项式定理知识点总结

二项式定理.
一、二项式定理：
()n
n n k k n k n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+--ΛΛ110（*∈N n ）
等号右边的多项式叫做()n b a +的二项展开式，其中各项的系数k n C )3,2,1,0(n k ⋅⋅⋅=叫做二项式系数。

对二项式定理的理解： （1）二项展开式有1+n 项
（2）字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1到0；字母b 按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n
（3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数b a ,，等式都成立，通过对b a ,取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。

在定理中假设x b a ==，1，则
()n
n n k n k n n n n n x C x C x C x C x +++++=+-ΛΛ101（*∈N n ）
（4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式()n b a +展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式()n b a +
二、二项展开式的通项：k
k n k n
k b a C T -+=1v
二项展开式的通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ⋅⋅⋅=是二项展开式的第1+k 项，它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用
对通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ⋅⋅⋅=的理解：
（1）字母b 的次数和组合数的上标相同 （2）a 与b 的次数之和为n
（3）在通项公式中共含有1,,,,+k T k n b a 这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素
例1．n
n
n n n n C C C C 1321393-++++Λ等于 （ ） A ．n
4 B 。

n
43⋅ C 。

134-n D.3
1
4-n
例2．（1）求7(12)x +的展开式的第四项的系数 （2）求91
()x x
-的展开式中3x 的系
数及二项式系数
三、二项展开式系数的性质：
①对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即
ΛΛ,,,,22110k n n k n n n n n n n n n n C C C C C C C C ---====
②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。

如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即n 偶数：()
2max
n
n
k
n C C
=；
如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并最大，即
()
2121max
+-==n n
n n
k
n C
C
C
③二项展开式的各项二项数的和等于n 2，令1=a ，1=b 即n n n n n n C C C 2)11(10=+=+++Λ；
④奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，令1=a ，1-=b 即
13
1202-=++=++n n n n n C C C C ΛΛ
例题：写出11)(y x -的展开式中：
（1）二项式系数最大的项； （2）项的系数绝对值最大的项；
（3）项的系数最大的项和系数最小的项； （4）二项式系数的和； （5）各项系数的和
四、多项式的展开式及展开式中的特定项
（1）求多项式n
n a a a )(21+++Λ的展开式，可以把其中几项结合转化为二项式，再利用二项式定理展
开。

例题：求多项式3
2
2
)21(-+
x
x 的展开式 （2）求二项式之间四则运算所组成的式子展开式中的特定项，可以先写出各个二项式的通项再分析。

例题：求5
2
)1()1(x x -⋅+的展开式中3
x 的系数
例题：（1）如果在n
x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+4
21 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。

（2）求3
21⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+x x 的展开式的常数项。

【思维点拨】 求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确
定k
五、展开式的系数和
求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值的选择则根据所求的展开式系数和特征来定
例题：已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++L ，求。

：
（1）127a a a +++L ； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a +++L .
六、二项式定理的应用：
1、二项式定理还应用与以下几方面：
（1）进行近似计算 （2）证明某些整除性问题或求余数
（3）证明有关的等式和不等式。

如证明：()N n n n n ∈≥>,322取()n n 112+=的展开式中的四项即可。

2、各种问题的常用处理方法 （1）近似计算的处理方法
当n 不是很大，|x |比较小时可以用展开式的前几项求n x )1(+的近似值。

例题：6)05.1(的计算结果精确到0.01的近似值是
（ ）
A ．1.23
B ．1.24
C ．1.33
D ．1.34
（2）整除性问题或求余数的处理方法
①解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式
②用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数的倍数与某数k 的和或差的形式，再利用二项式定理展开，这里的k 通常为±1，若k 为其他数，则需对幂的底数
k 再次构造和或差的形式再展开，只考虑后面（或者是某项）一、二项就可以了
③要注意余数 的范围，对给定的整数)0(,≠b b a ，有确定的一对整数q 和r ，满足
r bq a +=，其中b 为除数，r 为余数，[]
b r ,0∈，利用二项式定理展开变形后，若剩余
部分是负数，要注意转换成正数 例题：求632013除以7所得的余数
例题： 若n 为奇数，则777712211---++++n n n n n n
n C C C Λ被9除得的余数是 （ ） A ．0 B 。

2 C 。

7 D.8 例题：当N n ∈且n >1，求证3)1
1(2<+<n n
【思维点拨】这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定
综合测试
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的. 1．在()103x -的展开式中，6x 的系数为
（ ）
A ．610C 27-
B ．410
C 27 C ．610
C 9-
D ．410C 9 2． 已知a 4b ,0b a =>+， ()n b a +的展开式按a 的降幂排列，其中第n 项与第n+1项
相等，那么正整数n 等于 （ ）
A ．4
B ．9
C ．10
D ．11
3．已知（n a a )132
+的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2，则n 是
（ ）
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
4．5310
被8除的余数是 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．7 5． (1.05)6
的计算结果精确到0.01的近似值是
（ ）
A ．1.23
B ．1.24
C ．1.33
D ．1.34
6．二项式n
4x 1x 2⎪⎭⎫ ⎝
⎛+ (n ∈N)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是
（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．设(3x 3
1
+x 2
1)n 展开式的各项系数之和为t ，其二项式系数之和为h ，若t+h=272，
则展开式的x 2项的系数是
（ ）
A ．2
1
B ．1
C ．2
D ．3 8．在62)1(x x -+的展开式中5x 的系数为
（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
9．n
x
x
)(5131+展开式中所有奇数项系数之和等于1024，则所有项的系数中最大的值是
（ ）
A ．330
B ．462
C ．680
D ．790 10．54)1()1(-+x x 的展开式中，4x 的系数为
（ ）
A ．－40
B ．10
C ．40
D ．45
11．二项式(1+sinx)n
的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值
为2
5，则x 在[0，2π]内的值为
（ ）
A ．
6π或3
π
B ．6
π
或65π C ．
3π或32π D ．3
π
或
6
5π 12．在(1+x )5+(1+x )6+(1+x )7的展开式中,含x 4
项的系数是等差数列 a n =3n －5的 （ ）
A ．第2项
B ．第11项
C ．第20项
D ．第24
项
二、填空题：本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果. 13．9
2)21(x
x -
展开式中9x 的系数是 . 14．若()44104
x a x a a 3x 2+⋅⋅⋅++=+，则()()2312420a a a a a +-++的值为__________. 15．若 32()n x x -+的展开式中只有第6项的系数最大，则展开式中的常数项是?????? ? .
16．对于二项式(1-x)1999，有下列四个命题： ①展开式中T 1000= －C 19991000x 999； ②展开式中非常数项的系数和是1；
③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；
④当x=2000时，(1-x)1999除以2000的余数是1．
其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确的命题序号都填上） 三、解答题：本大题满分74分.
17．（12分）若n x
x )1
(66+展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．
（１） 求n 的值；
（２）此展开式中是否有常数项，为什么？
18．（12分）已知(1
24
x +)n 的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展式中
二项式系数最大的项的系数．
19．（12分）是否存在等差数列{}n a ，使n n n 1n 2n 31n 20n 12
n C a C a C a C a ⋅=+⋅⋅⋅++++对任意*N n ∈都成立？若存在，求出数列{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由．
20．（12分）某地现有耕地100000亩，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均
粮食占有量比现在提高10%。

如果人口年增加率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少亩（精确到1亩）？
21. （12分）设f(x)=(1+x)m +(1+x)n (m 、n N ∈)，若其展开式中，关于x 的一次项系
数为11，试问：m 、n 取何值时，f(x)的展开式中含x 2
项的系数取最小值，并求出这个最小值. 22．（14分）规定!
)
1()1(m m x x x C m x +--=
Λ，其中x ∈R ，m 是正整数，且10=x C ，这是
组合数m n C （n 、m 是正整数，且m ≤n ）的一种推广．
(1) 求3
15-C 的值；
(2) 设x >０，当x 为何值时，21
3)
(x x
C C 取得最小值？ (3) 组合数的两个性质；
①m n n m n C C -=. ②m
n m n m n C C C 11+-=+.
是否都能推广到m
x C （x ∈R ，m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；
若不能，则说明理由.。