基于区间犹豫模糊语言集与TOPSIS多属性决策方法

基于区间犹豫模糊语言集与TOPSIS多属性决策方法
张文;龚日朝
【摘要】将区间犹豫模糊语言集与TOPSIS相结合,利用区间犹豫模糊语言数的得
分函数与精确函数确定正理想解和负理想解,通过定义区间犹豫模糊语言数的Euclidean距离测度,计算各个备选方案与正、负理想解的距离,给出基于区间犹豫
模糊语言集评价的多属性备选方案的排序方法.最后以一金属有限公司选择投资国
家的实例,验证该方法的可行性和有效性.
【期刊名称】《淮北师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2018(039)004
【总页数】6页(P63-68)
【关键词】区间犹豫模糊语言集;距离测度;TOPSIS方法;多属性决策
【作者】张文;龚日朝
【作者单位】湖南科技大学商学院,湖南湘潭 411201;湖南科技大学商学院,湖南
湘潭 411201
【正文语种】中文
【中图分类】C934
0 引言
多属性决策是现代决策科学的一个重要组成部分，它的理论和方法广泛应用于工程、经济、管理、军事等领域，例如投资决策，项目评估，方案选优，工厂选址，经济
效益综合评价等［1］.由于客观事物的复杂性和不确定性以及人类思维的模糊性，人们往往不能明确地给出属性的信息，而且所给出的属性值多数情况下也不是以具体数值来表达，为了使多属性决策结果更加准确且符合实际情况，人们进行一系列的研究.
为了更好地刻画这种不确定性，Zadeh［2］在1965年提出了模糊集，用0～1
之间的隶属度来描述这种模糊性，这一理论便开始被广泛的研究和开发，并且成功地应用于各个领域.在模糊集中，元素的隶属度是0～1之间的单个值，然而人们有时候会在两个值之间犹豫不定，这时，便出现犹豫模糊集.犹豫模糊集是传统的模
糊集的一种推广，Torra等［3-4］首次提出并将其应用于决策，相比于模糊集，
犹豫模糊集更好地表达了人们在决策时的犹豫心理.徐泽水等［5］将犹豫模糊集推广到区间犹豫模糊集，以一个区间来表示隶属度.然而在现实中，遇到的问题往往
非常复杂，难以量化，这时，语言是表达我们的意愿或者偏好的有效途径.因此，Delgado等［6］提出语言集的概念，用“较好”“好”“很好”等语言来进行评价，更符合人们的认知.Rodríguez等［7］根据犹豫模糊集的背景，认为在评价过程中，决策者有时候也会在几个语言评价值之间犹豫不定，基于这种想法提出犹豫模糊语言集，并且将其应用于多属性决策，更加符合现实的需要.王坚强等［8］又将区间犹豫模糊集和语言集相结合，提出区间犹豫模糊语言集，并通过聚合算子，利用得分函数对备选方案进行排序.本文基于另外一种思路，定义区间犹豫模糊语
言数之间的距离测度，结合TOPSIS（优劣解距离）方法，提出新的决策途径，进而对备选方案进行排序，能达到同样甚至更好的决策效果.
1 基本理论
定义1［6］（语言术语集）设S={|sii=0,1,…,2t}是由奇数个语言术语组成的集合，若满足以下特征：
（1）有序性，如果 i＞j，则 si＞sj，反之亦然；
（2）逆运算，如果i+j=2t，则si=neg(sj)，反之亦然.
则称为语言术语集，其中术语的个数2t+1称为该术语集的粒度.
通常情况下，语言术语集的中点(st)是一个中性评价值，其他评价值以该点为中心，分别向两端（“好”与“差”两个方向）对称扩展.因此，语言术语集中的元素个
数通常为奇数个.例如S={s1,s2,s3,s4,s5}为一个语言术语集，其中s1表示差，s2
表示较差，s3表示一般，s4表示较好，s5表示好.
定义2［8］（区间犹豫模糊语言集）设X={x1,x2,…,xn}为给定的对象集且
sθ(x)∈S，则一个区间犹豫模糊语言集定义如下：
这里ΓA(x)是(0,1]上有限个闭子集的集合，表示x属于sθx的可能区间隶属度.
当 X中只含有一个元素 x时，区间犹豫模糊语言集 A退化为为了方便起见，令
α=＜sθ(α),Γα＞，称其为区间犹豫模糊语言数，区间犹豫模糊语言数是区间犹豫
模糊语言集中的元素，也可以认为是区间犹豫模糊语言集的特殊情形.如：
就是一个区间犹豫模糊语言集，＜s3,{[0.2,0.3],[0.3,0.4],[0.4,0.5]}＞是其中一个区间犹豫模糊语言数，[0.2,0.3]表示某个专家对x1的某个属性评价为s3的隶属
度.[0.3,0.4]、[0.5,0.6]与[0.2,0.3]的含义相同.
定义3［9（］语言元素的距离测度）设S={si|i=0,1,…,2t}是由奇数个语言术语组成的集合，sα,sβ是S中两个语言元素，则sα和sβ之间的距离测度为
定义4［10］（区间数及其比较）设a=[aL,aU]={x| aL≤x≤aU}，则a被称为一
个区间数.当aL=aU时，a退化为一个数值.设为两个区间数，并且其区间长度分别为和，则a1≥a2的可能性程度定义为：
2 区间犹豫模糊语言数距离测度
距离相似性测度［11-13］在区间犹豫模糊集中的应用，能够度量两个方案（即对象）之间的差距，通过对比不同方案与理想解之间的距离来找出最优方案.基于上述理论，在区间犹豫模糊语言决策矩阵已知的情况下，我们针对区间犹豫模糊语言数提出一个距离相似性测度，用来度量在同一属性下两个评价对象之间的距离.
定义5 设x1和x2是X中任意给定的两个对象，对于区间犹豫模糊语言集
其中是一个从大到小排序的区间数序列，则在同一属性下，x1和x2之间的距离相似性测度定义为
例如ΓA(xi)={[0.3,0.4],[0.7,0.8]}，因为[0.7,0.8]＞[0.3,0.4]，则
ΓA(xi)={[ 0.7,0.8],[0.3,0.4]}.
在实际生活中，同一对象往往有多种属性.在多属性情况下，该如何去度量两个对象之间的相似性呢？假设对象x1和x2具有m个属性，根据上述的区间犹豫模糊语言数的距离测度，则m个属性的Euclid⁃ean距离为：
其中：γlLik，γUlik表示第l个属性下xi语言评价变量的第k个区间隶属度上下界.距离公式满足以下性质：
性质1 设xi和xj是X中任意给定的两个对象，具有m个属性，则
（1）d(xi,xj)≥ 0，即非负性；
（2）d(xi,xj)=d(xj,xi)，即对称性；
（3）d(xi,xj)≤ d(xi,xv)+d(xv,xj)，即三角不等式.
证明距离公式显然满足非负性和对称性；只需证明三角不等式成立.事实上，有
证毕.
上述距离公式都必须满足在每个属性下，对各个对象的评价结果（即区间犹豫模糊语言数）中的区间个数g相等的情况下进行的，但是当对应的区间犹豫模糊语言
数中的区间个数不相同时，本文利用定义4区间数的比较来补齐区间的方式解决
这个问题.假如是一个风险追求者，添加最大的区间；反之，若是风险规避者，添
加最小的区间.
在运用TOPSIS法时，我们需要根据决策矩阵找出最优方案（即正理想解）和最劣方案（即负理想解）.那么，针对区间犹豫模糊语言集，文献［8］提出了一种两个区间犹豫模糊语言数之间的比较方法.
定义6［8］（语言尺度函数）如果θi∈R+(R+={r| r≥0,r∈R}是一个数，则语言
尺度函数 f是从语言到实数的一个映射，即f:si→θi(i=0,1,2,…,2t),这里0≤θ0＜θ1＜…＜θ2t.显然语言尺度函数是一个严格单调递增的函数.
如：，θi∈[0,1]，是其中简单且应用广泛的一种尺度函数.当然，还有其他的尺度
函数，这里不一一列举，本文中均使用该尺度函数.
定义7［8］（得分函数与精确函数）设是一个区间犹豫模糊语言数，则
（1）Γα的期望为，相应地,α 的得分函数为E(α)=f(sθ(α))×Eγ(Γa).
（2）Γα的方差为，相应地，α 的精确函数为
其中#Γα是Γα中区间的总个数.
定义8［8］设为任意两个区间犹豫模糊语言数.
（1）如果E(α)＞E(β)，则α＞β ；
（2）如果E(α)=E(β)，则当D(α)＞D(β)时，α＞β ；当D(α)=D(β)时，α=β .
根据上述方法，可计算每个属性下各个方案对应的区间犹豫模糊语言数的得分函数，并对其进行比较.通过得分函数和精确函数值的比较，将每个属性下得分最高的区
间犹豫模糊语言数组合在一起，得到正理想解x+；反之，将得分最低的组合在一起，得到负理想解x-.
3 基于区间犹豫模糊语言集与TOPSIS的决策过程
TOPSIS方法是多属性决策中一种常用的方法，其原理是通过计算各方案与正理想解和负理想解的距离来对方案进行排序，距离正理想解最近的方案为最佳方案；反之，则为最差方案.基于本文提出的区间犹豫模糊语言数的距离相似性测度，结合TOPSIS方法，进行多属性决策.
在某个决策问题中，假设有n个可供选择的方案X={x1,x2,…,xn}，有m个属性
C={c1,c2,…,cm}，并且有s个决策者对各个方案的每个属性进行评价.则基于区间
犹豫模糊语言集距离TOPSIS方法多属性决策方法的基本步骤如下：
Step1 建立区间犹豫模糊语言决策矩阵.
Step2 根据各自的风险偏好，添加适当的区间，使每个属性下对应的区间犹豫模
糊语言数中的区间个数相等.
Step3 确定正理想解和负理想解.
Step4 根据定义5的距离公式，计算各个方案与正理想解和负理想解的距离.
Step5 对方案进行排序.通过计算各个方案的相对贴近度Ci，
对其进行排序，Ci越大，方案越优.
4 实例分析
中国经济改革开放后急剧增长，中国的矿物消耗量正在以创纪录的水平增长.但是，中国矿产储量有限，不能满足工业发展的需要.因此，为了维持未来的发展，中国
越来越多的企业从海外获得矿产.而在投资过程中，应该考虑到投资环境和投资风
险等诸多因素，以保证某些项目的安全性和有效性.
A有色金属有限公司是一家大型国有公司，主要从事有色金属生产和销售.它也是
中国最大的多种有色金属制造商.为了扩大其主要业务，公司总是从事海外投资，并且已经成立一个由执行经理和该领域的几位专家组成的部门，专门负责全球矿产投资的决策.
最近，海外投资部门决定从几个国家中选择一个国家进行投资，经过彻底调查，初步选定5个国家（即对象）X={x1,x2,x3,x4,x5}，并且从资源、政治和政策、经济和基础设施4个方面（即属性）C={c1,c2,c3,c4}对这5个国家进行评价.语言集
S={s0,s1,s2,s3,s4,s5,s6}=｛非常差，差，较差，一般，较好，好，非常好｝，专家根据自己的知识和经验，对5个国家的每个属性进行评价，评价的结果以区间犹豫模糊语言数的形式给出.
经过激烈的讨论，最终达成共识.表1就是其评价的区间犹豫模糊语言决策矩阵. 表1 区间犹豫模糊语言决策矩阵A1 A2 A3 A4 A5 A1 A2 A3 A4 A5 c1＜
s4,{[0.3,0.5]}＞＜s2,{[0.2,0.3],[0.5,0.8]}＞＜s3,{[0.3,0.4],[0.5,0.7]}＞＜
s2,{[0.3,0.4],[0.4,0.5],[0.6,0.7]}＞＜s5,{[0.3,0.6],[0.7,0.9]}＞c3＜
s4,{[0.5,0.6],[0.7,0.8]}＞＜s3,{[0.6,0.8]}＞＜s6,{[0.7,0.8],[0.8,0.9]}＞＜
s2,{[0.3,0.5],[0.6,0.8]}＞＜s3,{[0.5,0.7],[0.8,0.9]}＞c2＜s5,{[0.2,0.3],[0.4,0.5]}＞＜s4,{[0.3,0.4],[0.4,0.7]}＞＜s4,{[0.3,0.5]}＞＜s3,{[0.5,0.7]}＞＜s5,{[0.4,0.6]}＞c4＜s3,{[0.4,0.5]}＞＜s4,{[0.3,0.4],[0.5,0.6]}＞＜s2,{[0.6,0.7]}＞＜s2,{[0.8,0.9]}＞＜s4,{[0.7,0.8]}＞
根据风险规避的原则，添加区间数最小的，使其对应的区间个数均相等，数据处理结果如表2.
表2 正规化区间犹豫模糊语言决策矩阵A1 A2A3 A4 A5 A1 A2A3 A4 A5 c1＜s4,{[0.3,0.5],[0.3,0.5],[0.3,0.5]}＞＜s2,{[0.2,0.3],[0.5,0.8],[0.2,0.3]}＞＜
s3,{[0.3,0.4],[0.5,0.7],[0.3,0.4]}＞＜s2,{[0.3,0.4],[0.4,0.5],[0.6,0.7]}＞＜
s5,{[0.3,0.6],[0.7,0.9],[0.3,0.6]}＞c3＜s4,{[0.5,0.6],[0.7,0.8],[0.5,0.6]}＞＜
s3,{[0.6,0.8],[0.6,0.8],[0.6,0.8]}＞＜s6,{[0.7,0.8],[0.8,0.9],[0.7,0.8]}＞＜
s2,{[0.3,0.5],[0.6,0.8],[0.3,0.5]}＞＜s3,{[0.5,0.7],[0.8,0.9],[0.5,0.7]}＞c2＜
s5,{[0.2,0.3],[0.4,0.5],[0.2,0.3]}＞＜s4,{[0.3,0.4],[0.4,0.7],[0.3,0.4]}＞＜
s4,{[0.3,0.5],[0.3,0.5],[0.3,0.5]}＞＜s3,{[0.5,0.7],[0.5,0.7],[0.5,0.7]}＞＜
s5,{[0.4,0.6],[0.4,0.6],[0.4,0.6]}＞c4＜s3,{[0.4,0.5],[0.4,0.5],[0.4,0.5]}＞＜
s4,{[0.3,0.4],[0.5,0.6],[0.3,0.4]}＞＜s2,{[0.6,0.7],[0.6,0.7],[0.6,0.7]}＞＜
s2,{[0.8,0.9],[0.8,0.9],[0.8,0.9]}＞＜s4,{[0.7,0.8],[0.7,0.8],[0.7,0.8]}＞
计算各个属性下每个区间犹豫模糊语言数的得分，见表3.
表3 区间犹豫模糊语言数的得分函数值A1 A2A3 A4 A5
c10.2670.1280.2170.1500.472 c20.2640.2780.2670.3000.417
c30.4110.3500.7830.1670.342 c40.2250.2780.2170.2830.500
由表3可以确定正理想解x+和负理想解x-.
计算各个方案与正理想解和负理想解的距离及其相对贴近度，结果如表4.
表4 各方案与正理想解和负理想解的距离及其相对贴近度d(xi,x+)d(xi,x-)Ci
x10.60260.43690.4203 x20.61800.48530.4399 x30.34040.52610.6072
x40.57230.57260.5001 x50.26630.51860.6607
根据表4的结果，对方案进行排序，排序结果为x5≻x3≻x4≻x2≻x1.从结果可以看出，x5方案最好，即x5国家是最好的投资对象，而x1是最不合适的投资国.
5 结语
多属性决策是决策领域中重要的组成部分，由于其具有广泛的应用领域，也是研究最多的一部分.本文定义区间犹豫模糊数的Euclidean距离，结合传统的TOPSIS 方法，提出基于区间犹豫模糊语言集与TOPSIS的多属性决策方法.最后通过一个有色金属有限公司选择投资对象的实例进行分析，进一步说明在解决多属性决策问
题时该方法的有效性和可行性.本文不仅提出一个可行的距离测度，并且拓展TOPSIS方法的应用范围，因此，该方法在决策领域具有很好的应用前景.
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