北师大版八年级上册第1章 《勾股定理》单元培优卷

《勾股定理》单元培优卷
一．选择题（共10小题）
1．下列四组数中，是勾股数的是（ ） A ．0.3，0.4，0.5 B ．32，42，52 C ．3，4，5
D ．
2．下列线段，不能做成直角三角形的是（ ） A ．cm ，cm ，cm B ．3cm ，4cm ，5cm C ．7cm ，24cm ，25cm
D ．10cm ，24cm ，26cm
3．在△ABC 中，若∠B +∠C ＝90°，则（ ） A ．BC ＝AB +AC B ．AC 2＝AB 2+BC 2 C ．AB 2＝AC 2+BC 2
D ．BC 2＝AB 2+AC 2
4．下列判断中正确的有（ ）个
（1）直角三角形的两边为3和4，则第三边长为5
（2）有一个内角等于其它两个内角和的三角形是直角三角形 （3）若三角形的三边满足b 2＝a 2﹣c 2，则△ABC 是直角三角形
（4）若△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C ＝8：15：17，则△ABC 是直角三角形 A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．将一根长为25厘米的筷子置于底面直径为5厘米，高为12厘米的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外的长为h 厘米，则h 的取值范围是（ ） A ．12≤h ≤13
B ．11≤h ≤12
C ．11≤h ≤13
D ．10≤h ≤12
6．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a +b ＝10cm ，c ＝8cm ，则Rt △ABC 的面积为（ ） A ．9cm 2
B ．18cm 2
C ．24cm 2
D ．36cm 2
7．如图，在三个正方形中，其中两个的面积S 1＝25，S 2＝144，则另一个正方形的面积S 3，为（ ）
A．13 B．200 C．169 D．225
8．如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝13，AC＝5，则BC边上的高AD为（）
A．12 B．13 C．D．60
9．2019年10月1日，中华人民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式．倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红旗级缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生．爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度．将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为（）
A．10m B．11m C．12m D．13m
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE为△ABC的角平分线，且ED⊥AB，若AC＝6，BC＝8，则BD的长（）
A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题
11．如图，BD为△ABC的中线，AB＝10，AD＝6，BD＝8，△ABC的周长是．
12．如图，在三角形ABC中，AB⊥AC于点A，AB＝6，AC＝8，BC＝10，点P是线段BC上的一点，则线段AP的最小值为．
13．如图，一架长5米的梯子A 1B 1斜靠在墙A 1C 上，B 1到墙底端C 的距离为3米，此时梯子的高度达不到工作要求，因此把梯子的B 1端向墙的方向移动了1.6米到B 处，此时梯子的高度达到工作要求，那么梯子的A 1端向上移动了 米．
14．如图所示，由四个全等的直角三角形拼成的图中，直角边长分别为2，3，则大正方形的面积为 ．
15．如图，三角形ABC 三边的长分别为AB ＝m 2﹣n 2，AC ＝2mn ，BC ＝m 2+n 2，其中m 、n 都是正整数．以AB 、AC 、BC 为边分别向外画正方形，面积分别为S 1、S 2、S 3，那么S 1、S 2、S 3之间的数量关系为 ．
三．解答题
16．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝10． （1）求高AD 的长； （2）求△ABC 的面积．
17．如图，已知在四边形ABCD中，AB＝20cm，BC＝15cm，CD＝7cm，AD＝24cm，∠ABC＝90°．（1）连结AC，求AC的长；
（2）求∠ADC的度数；
（3）求出四边形ABCD的面积
18．如图所示，一架长为2.5米的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时梯子底部B到墙AC 的距离为0.7米．
（1）如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4米到D，求梯子底部B向外移动的距离BE？
（2）如果梯子底部B向外移动的距离BE为1.7米，那么顶部A下滑的距离AD是否与BE 相等？请给予说明．
19．一只渔船在灯塔C的正西方向10海里的A处，以20海里/时的速度沿北偏东30°方向行驶．
（1）多长时间后，渔船距灯塔最近？
（2）多长时间后，渔船行驶到灯塔的正北方向？此时渔船距灯塔有多远？（其中：202﹣102＝17.32）
20．葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘上升的路线，总是沿着最短路线﹣﹣盘旋前进的．难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？
（1）如图，如果树的周长为3cm，从点A绕一圈到B点，葛藤升高4cm，则它爬行路程是多少厘米？
（2）如果树的周长为8cm，绕一圈爬行10cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？
参考答案
一．选择题
1．解：A、0.32+0.42＝0.52，能构成直角三角形，但不是整数，不是勾股数，故本选项不符合题意；
B、（32）2+（42）2≠（52）2，不是勾股数，故本选项不符合题意；
C、32+42＝52，是勾股数，故本选项符合题意；
D、（）2+（）2≠（）2，不是勾股数，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．解：A、∵（）2+（）2≠（）2，∴不能组成三角形，故此选项符合题意；
B、∵32+42＝52，∴能组成三角形，故此选项不符合题意；
C、∵72+242＝252，∴能组成三角形，故此选项不符合题意；
D、∵102+242＝262，∴能组成三角形，故此选项不符合题意；
故选：A．
3．解：∵在△ABC中，若∠B+∠C＝90°，
∴∠A＝90°，
∴BC2＝AB2+AC2，
故选：D．
4．解：（1）直角三角形的两边为3和4，则第三边长为5或，原来的说法错误；
（2）有一个内角等于其它两个内角和的三角形是直角三角形是正确的；
（3）若三角形的三边满足b2＝a2﹣c2，即b2+c2＝a2，则△ABC是直角三角形是正确的；
（4）若△ABC中，∠A：∠B：∠C＝8：15：17，∠C＝180°×＝76.5°，则△ABC不是直角三角形，原来的说法错误．
故正确的有2个．
故选：B．
5．解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝25﹣12＝13cm．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
如图所示：此时，AB＝＝＝13cm，
故h＝25﹣13＝12cm．
故h的取值范围是12cm≤h≤13cm．
故选：A．
6．解：∵a+b＝10cm，a2+b2＝c2＝64cm2，
∴（a+b）2＝100，
∴2ab＝100﹣（a2+b2）＝100﹣64＝36，
∴ab＝9（cm2），
故选：A．
7．解：由题可知，在直角三角形中两直角边的平方分别为25和144，
为169．
所以斜边的平方为144+25＝169，即面积S
3
故选：C．
8．解：∵52+122＝132，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
S
＝AB•AC＝BC•AD，
△ABC
×12×5＝×13×AD，
∴AD＝．
故选：C．
9．解：设旗杆高度为x，可得AC＝AD＝x，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m 根据勾股定理得，绳长的平方＝x2+12，
右图，根据勾股定理得，绳长的平方＝（x﹣1）2+52，
∴x2+22＝（x﹣1）2+52，解得x＝11．
故选：B．
10．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝，
∵AE为△ABC的角平分线，ED⊥AB，
∴CE＝ED，
∴△ACE≌△ADE（AAS），
∴AD＝AC＝6，
∴BD＝10﹣6＝4，
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．解：∵AB＝10，AD＝6，BD＝8，
∴AB2＝AD2+BD2＝100，
∴△ABD是直角三角形且AD⊥BD．
又BD为△ABC的中线，
∴AB＝BC＝10，AD＝CD＝6．
∴，△ABC的周长＝AB+BC+AD＝2AB+2AD＝20+12＝32．故答案是：32．
12．解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
当AP⊥BC时，AP的值最短，
∴AP＝＝＝，
∴线段AP的最小值为，
故答案为：．
13．解：在Rt △ABC 中，根据勾股定理知，A 1C ＝＝4（m ），
在Rt △ABC 中，由题意可得：BC ＝1.4（m ）， 根据勾股定理知，AC ＝
＝4.8（m ），
所以AA 1＝AC ﹣A 1C ＝0.8（米）． 故答案为：0.8．
14．解：∵直角三角形的两条直角边长分别为2，3， ∴整个大正方形的面积为：13．
15．解：∵AB ＝m 2﹣n 2，AC ＝2mn ，BC ＝m 2+n 2， ∴AB 2+AC 2＝BC 2， ∴△ABC 是直角三角形，
设Rt △ABC 的三边分别为a 、b 、c ， ∴S 1＝c 2，S 2＝b 2，S 3＝a 2， ∵△ABC 是直角三角形， ∴b 2+c 2＝a 2，即S 1+S 2＝S 3． 故答案为：S 1+S 2＝S 3． 三．解答题（共5小题） 16．解：（1）∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ∴BD ＝CD ∵BC ＝10， ∴BD ＝5．
在Rt △ABD 中，根据勾股定理可得：；
（2）△ABC 的面积＝
．
17．解：（1）连接AC，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
∵AB＝20cm，BC＝15cm，
∴由勾股定理可得：AC＝cm；
（2）∵在△ADC中，CD＝7cm，AD＝24cm，
∴CD2+AD2＝AC2，
∴∠ADC＝90°；
（3）由（2）知，∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝，18．解：
（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得
∵AC＝＝＝2.4米
∴DC＝AC﹣AD＝2.4﹣0.4＝2米
∴在Rt△EDC中，由勾股定理得
EC＝＝＝1.5米
∴BE＝EC﹣BC＝1.5﹣0.7＝0.8米
故梯子底部B向外移动的距离BE为0.8米
（2）∵梯子底部B向外移动的距离BE为1.7米，
∴EC＝1.7+0.7＝2.4米
∴在Rt△EDC中，由勾股定理得
DC＝＝＝0.7米
由（1）知AC＝2.4米
此时AD＝AC﹣DC＝2.4﹣0.7＝1.7米
∴AD＝BE
即顶部A下滑的距离AD与BE相等
19．解：（1）如图所示，
由题意可知，当船航行到D点时，距灯塔最近，
此时，CD⊥AB．
因为∠BAC＝90°﹣30°＝60°，
所以∠ACD＝30°．
所以AD＝AC＝×10＝5（海里）．
又因为5÷20＝0.25（小时），
所以0.25小时后，船距灯塔最近．
（2）当船到达灯塔的正北方向的B点时，BC⊥AC．
此时∠B＝30°，
所以AB＝2AC＝2×10＝20（海里）．
所以20÷20＝1（小时）．
所以BC2＝AB2﹣AC2＝202﹣102＝17.32．
所以BC≈17.3（海里）．
即1小时后，船到灯塔的正北方向，此时船距灯塔有17.3海里．
20．解：（1）如果树的周长为3cm，绕一圈升高4cm，则葛藤绕树爬行的最短路线为：＝5 厘米；
（2）如果树的周长为8cm，绕一圈爬行10cm，则爬行一圈升高为：＝6厘米．如果爬行10圈到达树顶，
则树干高为：10×6＝60厘米．。