平方数定律

“平方数定律”探究
此定律由我在2012年4月份探究而出，如有雷同，纯属本人兴趣。

<2012年下半年命名>
主要是运用“三数探究法”进行探究。

以下是部分平方数表：
说明：
关于“平方数定律”涉及的数学概念
1、“三数探究法”：指的是用三个有相互关联的数来进行探究，并得出关于这三个数之间的关系的方法，如：3、4、5；3、5、7；3、7、11等。

他们都是中间隔了一个整数或多个整数或是没有隔任何数。

2、已知X1、X2、X3都属于整数，且X1＜X2＜X3。

“零隔数”：指的是在“三数探究法”中，三个有相互联系的数是三个连续的数，中间没有什么数隔着，例如：3、4、5；10、11、12等，即X2－X1＝X3－X2＝1；“隔一数”指的是在“三数探究法”中，有相互联系三个数，第一个数与第二个数、第二个数与第三个数中间隔了一个数，例如：3、5、7（3和5之间隔了一个整数4；5和7之间隔了一个整数6）；11、13、15等，即X2－X1＝X3－X2＝2；,其它隔n数依此类推。

（注：这里所隔的数都指的是整数，但也可以是小数，但小数在这里用不合适，后面会提到的。

）
以下是探究过程：
一、零隔数。

首先，我们先随便取三个连着数的平方，如：3²=9、4²=16、5²=25
〈你也可以选取其他的数〉
从上我们可以得出，：3²+4²=5²=25 (这是三角形的勾股定理数)，但是我们可以从另一个方面来探究这三个连着数的平方之间的关系：
已知5²=25=16+9，4²=16，3²=9
∴5²=25可由4²+3²代替，4²可由5²﹣3²代替，3²可由5²﹣4²代替
∴就有：4²+3²=5²－3²+5²－4²
即，5²=5²－3²＋5²－4²=4²+3²－3²＋4²＋3²－4²
∵4²=16=3²×2－2
∴5²=4²＋3²－3²＋4²＋3²－4²
=4²＋3²－3²＋4²＋3²－﹙3²×2－2﹚
=2×4²－3²＋2
即，5²=2×4²－3²＋2
若设X1 ²=3²、X2 ²=4²、X3 ²=5²
那么则有以下结论：
X3 ²=2X2 ²－X1 ²＋2
﹙注：X1、X2、X3是相连的三个数，都属于整数，且X1＜X2＜X3；若
X1、X2、X3中存在负数，则它们的绝对值满足上式。

﹚
二、隔一数。

我们随便取六个连着数的平方，如：11²=121、12²=144、
13²=169、14²=196、15²=225、16²=256，
根据“三数探究法”，我们取12²=144、14²=196、16²=256三个数，
∵16²=256=14²＋60=196＋60······①
14²=196=12²＋52=144＋52······②
∴①－②式，得16²－14²=196＋60－144－52=52＋8······③
∵14²－12²=144＋52－144=52······④
∴③－④式得，16²－14²－14²＋12²=52＋8－52
即，16²－2×14²＋12²=8
∴16²=2×14²－12²＋8
若设X1²=11²、X2²=12²、X3²=13、X4²=14²、X5²=15²、X6²=16²，
\那么则有以下结论：
X6²=2X4²－X2²＋8
﹙注：X1、X2、X3、X4、X5、X6为相连的六个数，都属于整数，且X1＜X2＜X3＜X4＜X5＜X6；若X1、X2、X3、X4、X5、X6中存在负数，则它们的绝对值满足上式。

﹚
根据以上探究规律可推出另一个结论：
即，X5²=2 X3²－X1²＋8
三、隔两数。

同样，我们随便取七个相连的数的平方，如：3²=9、4²=16、5²=25、6²=36、7²=49、8²=64、9²=81。

根据“三数探究法”，我们取：3²=9、6²=36、9²=81三个数
∵9²=81=6²＋45=36＋45······①
6²=36=3²＋27=9＋27······②
∴①﹣②式得，9²－6²=36－9＋45－27
=27＋18······③
∵6²－3²=9＋27－9=27······④
∴③－④式得，9²－6²－6²＋3²=27＋18－27
即，9²－2×6²＋3²=18
∴9²=2×6²－3²＋18
若设X1²=3²、X2²=4²、X3²=5²、X4²=6²、X5²=7²、X6²=8²、X7²=9²
则有以下结论：
X7²=2 X4²－X1²＋18
﹙注：X1、X2、X3、X4、X5、X6、X7为相连的七个数，都属于整数，且X1＜X2＜X3＜X4＜X5＜X6＜X7；若X1、X2、X3、X4、X5、X6、X7中有负数存在，则它们的绝对值满足上式。

﹚
四、隔三数。

我们随便取九个相连的数的平方，如：3²=9、4²=16、5²=25、6²=36、7²=49、8²=64、9²=81、10²=100、11²=121。

根据“三数探究法”，我们取3²=9、7²=49、11²=121三个数
∵11²=121=7²＋72=49＋72······①
7 ²=3²＋40=9＋40······②
∴①﹣②式得，11²－7²=49＋72－9－40
=32＋40······③
∵7²－3²=9＋40－9=40······④
∴③－④式得，11²－7²－7²＋3²=40＋32－40
即，11²－2×7²＋3²=32
∴11²=2×7²－3²＋32
若设X1²=3²、X2²=4²、X3²=5²、X4²=6²、X5²=7²、X6²=8²、X7²=9²、X8²=10²、X9²=11²，
则有以下结论：
X9²=2 X5²－X1²＋32
﹙注：X1、X2、X3、X4、X5、X6、X7、X8、X9为相连的九个数，都属于整数，且X1＜X2＜X3＜X4＜X5＜X6＜X7＜X8＜X9；若X1、X2、X3、X4、X5、X6、X7、X8、X9中有负数存在，则它们的绝对值满足上式。

﹚
综上探究结论：
“零隔数”时，满足：
X3 ²=2X2 ²－X1 ²＋2；
“隔一数”时，满足：
X5²=2 X3²－X1²＋8；
“隔二数”时，满足：
X7²=2 X4²－X1²＋18；
“隔三数”时，满足：
X9²=2 X5²－X1²＋32；
∴由上探究结论可知，探究结论中，他们的序数“2”、“8”、“18”、“32”等满足一个关系式，我们可以进行探究：
8－2=6
18－8=10 →10－6=4
32－18=14 14－10=4
··
··
··
根据以上探究，等探究“隔四数”时。

那么它的序数就会相应地在“隔三数”的基础上再加上一个数，而这个数又满足一个关系式，这个关系式可以看做是一个等差数列，且这个等差数列的首项是以“隔一数”中的“一”为首项，
若设之为a n，即为a1，则a n=4n＋2，
∴“隔四数”的序数为：4×4＋2＋32=50，等
若以“零隔数”的序数为首项，则有以下关系式：
8－2=6；
18－8=10；
32－18=14；
50－32=18；
·
·
·
设之位b n，则有：
b2－b1=8－2=6；
b3－b2=18－8=10；
b4－b3=32－18=14；
b5－b4=50－32=18；
·
·
·
∵6、10、14、18成等差数列，且公差d=4，首项为6，若设之为c n，因为总共
有n－1项，所以就可以得出：c n－1=6＋4﹙n－2﹚=4n－2
∴bn－bn－1=4n－2
即，
b2－b1=8－2=6；
b3－b2=18－8=10；
b4－b3=32－18=14；
b5－b4=50－32=18；
·
·
·
bn－bn－1=4n－2
根据累加法原理累加上式，得：
bn－b1=6＋10＋14＋18＋、、、＋﹙4n－2﹚
即bn－2=6﹙n－1﹚＋½﹙n－1﹚﹙n－2﹚×4
∴bn=2n²－2＋2=n²
由上探究结论：
X3 ²=2X2 ²－X1 ²＋2；
X5²=2 X3²－X1²＋8；
X7²=2 X4²－X1²＋18；
X9²=2 X5²－X1²＋32；
可以得出一个关系式，这个关系式是以“零隔数”为首项“1”来推理的，所以就可以得出，“隔一数”为第二项，“隔二数”为第三项，……，“隔n数”为﹙n ＋1﹚项，所以，
当“隔n数”时，满足：
X﹙2n＋3﹚²=2X﹙n＋2﹚²－X1²＋﹙n＋1﹚﹙2n＋1﹚＋n＋1
=2X﹙n＋2﹚²－X1²＋2﹙n＋1﹚²
即，X﹙2n＋3﹚²=2X﹙n＋2﹚²－X1²＋2﹙n＋1﹚²
其中这里的n属于正整数。

在探究的过程中，“隔n数”中的“n”所代表的数，并不单指的是隔了几个数，还可指整数、小数、分数等，但满足一个式子，即，
X2－X1＝X3－X2=n
我们来验证一下，看是否满足上式：
若，X2－X1＝X3－X2=¾，且X1＝1，则X2=7∕4，X3 =10∕4，
∵﹙10∕4﹚²=100∕16，
2﹙7∕4﹚²－1²＋2×﹙3∕4﹚²=98∕16－1＋18∕16
=100∕16，
即，﹙10∕4﹚²=2﹙7∕4﹚²－1²＋2×﹙3∕4﹚²=100∕16，
∴在这里，对于任意的n满足这个式子：X3²=2X2²－X1²＋2n²
其中n属于R，且满足X3－X2=X2－X1＝n
2012年4月~2012年10月
平方数定律探究
探究人：朱志恒
和之美工作室
（Harbuitmen Workroom）时间：2012年4月~10月。