云南省昆明市寻甸县第三中学高三数学理联考试题含解析

云南省昆明市寻甸县第三中学高三数学理联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数的图像可能是（）
参考答案：
B
2. 已知复数满足，则复数的虚部是（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
3. 直线与圆交于不同的两点，，且，其中是坐标原点，则实数的取值范围是
（A）（B）
（C）（D）
参考答案：
D
4. 设函数在R上为增函数，则下列结论一定正确的是（）
A.在R上为减函数
B.在R上为增函数
C. 在R上为增函数
D.在R上为减函数
参考答案：B
5. α，β是两个平面，m，n是两条直线，下列四个命题错误的是（）
A．如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β
B．如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n
C．α∥β，m?α，那么m∥β
D．如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等
参考答案：
A
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个结论的真假，可得答案．
【解答】解：对于A，如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故错误；
对于B，如果n∥α，则存在直线l?α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正确；
对于C，如果α∥β，m?α，那么m与β无公共点，则m∥β．故正确
对于D，如果m∥n，α∥β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等．故正确；
故选：A．
6. 已知函数，且，则（）
（A）0 （B）4 （C）0或
4 （D）1或3
参考答案：
7. 已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点．若，
，则C的方程为
A．B．C．D．
参考答案：
B
由椭圆的焦点为，可知，又，，可设，则，，根据椭圆的定义可知，
得，所以，，可知，根据相似可得代入椭圆的标准方程，得，，椭圆的方程为.
8. 已知是第四象限角，，则（）
A. －5
B. 5
C. －7
D. 7
参考答案：
D
【分析】
先根据的正弦值和角所在的象限，求得的值，根据两角差的正切公式求得所求表达式的值.
【详解】因为，且为第四象限角，则，，故选D.
所以.
【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正切公式，属于基础题.
9. 设集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3}的集合B的个数是（）
A．1 B．3 C．4 D．8
参考答案：
C
【考点】并集及其运算．
【分析】根据题意，分析可得，该问题可转化为求集合A={1，2}的子集个数问题，再由集合的元素数目与子集数目的关系可得答案．
【解答】解：A={1，2}，A∪B={1，2，3}，
则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合A={1，2}的子集个数问题，
所以满足题目条件的集合B共有22=4个．
故选择答案C．
10. 在复平面内，复数所对应的点位于( )
（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限
参考答案：
A
，选A.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 表示不超过的最大整数.
那么
.
参考答案：
略
12. （几何证明选讲）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB于点D，且AD＝3DB，设∠COD＝，则＝＿＿＿
参考答案：
13. 坐标系与参数方程）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与轴的正半轴
重合,曲线的参数方程为（为参数）,直线的极坐标方程为.点在曲线上,则点到直线的距离的最小值为 .
参考答案：
略
14. 函数的反函数________________．
参考答案：
解：∵，∴
，由得，故
15. 的计算可采用如图所示的算法，则图中①处应填的条件是。

参考答案：
n≤6 ？
16. 命题p：?x0∈R，x02+2x0+1≤0是命题（选填“真”或“假”）．
参考答案：
真．
【分析】举出正例x0=﹣1，可判断命题的真假．
【解答】解：x2+2x+1=0的△=0，
故存在?x0=﹣1∈R，使x02+2x0+1≤0成立，
即命题p：?x0∈R，x02+2x0+1≤0是真命题，
故答案为：真．
17. 全集U=R，f(x)，g(x)均为二次函数，P={x| f(x)＜0，Q={x| g(x)≥0}，则不等式组
的解集可用P、Q表示。

参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分
别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．
（1）求证：AD//EC；
（2）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC =2，BD =9，求AD的长。

参考答案：
（1）证明：连接，是的切线，.
又
（2）是的切线，是的割线，
..又中由相交弦定理，
得，.是的切线，是的割线，
略
19. 已知椭圆C：（a＞b＞0）经过点E(，1)，离心率为，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若点P为椭圆C上一动点，点A（3，0）与点P的垂直平分线交y轴于点B，求|OB|的最小值．
参考答案：
【考点】直线与椭圆的位置关系．
【分析】（Ⅰ）离心率为，可得，故，椭圆C为，把点代入椭圆方程，解出即可得出．
（Ⅱ）由题意，直线l的斜率存在，设点P（x0，y0）（y0≠0），利用中点坐标公式可得：线段AP的中点D坐标，由点A（3，0）关于直线l的对称点为P，得直线l⊥AP，可得直线l的斜率为﹣
=，利用直线l的方程可得B，又=1，得=6﹣3，可得|OB|，利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）离心率为，∴，故，
椭圆C为，
把点代入得a2=6，b2=2，所以椭圆C的方程为=1．…
（Ⅱ）由题意，直线l的斜率存在，设点P（x0，y0）（y0≠0），
则线段AP的中点D的坐标为，且直线AP的斜率k AP=，…
由点A（3，0）关于直线l的对称点为P，得直线l⊥AP，
故直线l的斜率为﹣=，且过点D，
所以直线l的方程为：=，…
令x=0，得y=，则B，
由=1，得=6﹣3，化简，得B．…
所以|OB|==|y0|+≥2=．…
当且仅当|y0|=，即y0=∈时等号成立．
所以|OB|的最小值为．…
20. 已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）+，求函数h（x）的单调区间；
（Ⅲ）若g（x）=﹣，在[1，e]（e=2.71828…）上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，求a的取值范围．
参考答案：
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）求出切点（1，1），求出，然后求解斜率k，即可求解曲线f（x
）在
点（1，1）处的切线方程．
（Ⅱ）求出函数的定义域，函数的导函数，①a＞﹣1时，②a≤﹣1时，分别求解函数的单调区间即可．
（Ⅲ）转化已知条件为函数在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0，利用第（Ⅱ）问的结果，通过①a≥e﹣1时，②a≤0时，③0＜a＜e﹣1时，分别求解函数的最小值，推出所求a的范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，f（1）=1，切点（1，1），
∴，∴k=f′（1）=1﹣2=﹣1，
∴曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．
（Ⅱ），定义域为（0，+∞），
，
①当a+1＞0，即a＞﹣1时，令h′（x）＞0，
∵x＞0，∴x＞1+a
令h′（x）＜0，∵x＞0，∴0＜x＜1+a．
②当a+1≤0，即a≤﹣1时，h′（x）＞0恒成立，
综上：当a＞﹣1时，h（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增．
当a≤﹣1时，h（x）在（0，+∞）上单调递
增．
（Ⅲ）由题意可知，在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，
即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）≤0，
即函数在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0．
由第（Ⅱ）问，①当a+1≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，
∴，∴，
∵，∴；
②当a+1≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，
∴[h（x）]min=h（1）=1+1+a≤0，
∴a≤﹣2，③当1＜a+1＜e，即0＜a＜e﹣1时，∴[h（x）]min=h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）≤0，
∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，∴h（1+a）＞2
此时不存在x0使h（x0）≤0成立．
综上可得所求a的范围是：或a≤﹣2．
21. 2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图（如图）：
（I）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过6000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，求这两户在同一分组的概率；
（Ⅱ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如下表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？
附：临界值表参考公式：K2=，n=a+b+c+d．
参考答案：
【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图． 【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．
【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图可得，损失不少于6000元的居民共有（0.00003+0.00003）×2000×50=6户，损失为6000～8000元的居民共有0.00003×2000×50=3户，损失不少于8000元的居民共有0.00003×2000×50=3户，即可求这两户在同一分组的概率； （Ⅱ）求出K 2
，与临界值比较，即可得出结论．
【解答】解：（I ）由频率分布直方图可得，损失不少于6000元的居民共有（0.00003+0.00003）×2000×50=6户，
损失为6000～8000元的居民共有0.00003×2000×50=3户， 损失不少于8000元的居民共有0.00003×2000×50=3户，…（3分）
因此，这两户在同一分组的概率为 P== …（6分）
（II ）如表：
…（7分）
K 2=…（8分）
=
=4.046＞3.841…（10分）
所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否4000元有关．…（12分）
【点评】本题考查频率分布直方图，独立性检验知识，考查古典概型，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．
22. 已知函数.
(1)求
的单调递增区间；
(2)在中，三内角的对边分别为，已知,,.求的值.
参考答案：。