2019-2020学年天津市和平区高三上学期期末考试数学试卷及答案

∴存 在 m 992 ，使得 Sm 2019 . 20.解：（1） F (x) xex1 ， F (x) (x 1)e x1 ，
当 x , 1 时， Fx 0 ， F x 单调递减；
当 x 1, 时， F x 0 ， F x 单调递增，
故 x 1时， F x 取得最小值 F 1 e2 .
3 4k2
3 4k2
直线
l2
的方程为
y
1 k
x
1 ，即
x
ky
k
0
，
∴| MN | 2
1
1
k
2
k
2
2 .
1 k2
∴ ABN 的面积 S 1 | AB | | MN | 1 4
2
2
6
1 k2 12k2 3 4k2
2 3 1 k2
解得
k
1 2
，即直线
l1
的斜率为
1 2
.
19.解：（1）由 a4 2 是 a3 ， a5 的等差中项，得 a3 a5 2a4 4 ，
果存在，求出 m 的值；如果不存在，说明理由.
20.设函数 f x aex ， g x ln x b ，其中 a,b R , e 是自然对数的底数.
（1）设 F x xf x ，当 a e1 时，求 F x 的最小值；
（2）证明：当 a e1 ， b 1时，总存在两条直线与曲线 y f x 与 y g x 都相切；
个动点，且 △PF1F2 面积的最大值为 3 . （1）求椭圆 C 的方程；
（2）过点
M
0,1 作直线 l1 交椭圆 C
于
A、B
两点，过点
M
作直线 l1 的垂线 l2 交圆 O :
x2
y2
a2 4
于另
一点 N .若 ABN 的面积为 3，求直线 l1 的斜率.
19.已知等比数列an 的公比 q 1，且 a3 a4 a5 28 ， a4 2 是 a3 、 a5 的等差中项.
2 当 k 10 时， S 55 210 2 1077 2019 ，
当 k 11时， S 66 211 2 2112 2019 ， 又∵ 2019 1077 942 471 2 ,
∴ m 10 1 2 22 28 471 992 时， Sm 2019 ，
∴由正弦定理得 sin A 2sin C ,
又∵
A
C
2
,∴
sin
A
sin
C
2
cos
C
,
∴ 2 sin C cos C ，又∵ sin2 C cos2 C 1 ,
(2). 6
解得 cos C 2 5 . 5
（2）由（1）知 sin C 5 , 5
∴ sin 2C 2sin C cos C 4 , cos 2C 2 cos2 C 1 3 ,
设直线 l1 的方程为 y kx 1，
x
2
由 4
y2 3
1 消去
y得
3 4k 2
x2 8kx 8 0 ，
y kx 1
设 A x1, y1 ， B x2, y2 ，
则
x1
x2
8k 3 4k 2
，
x1x2
8 3 4k 2
，
∴| AB |
1k2
(8k)2 4 3 4k 2 (8) 4 6 1 k 2 1 2k 2 .
AC 面A1AC ，平面A1AC 平面AB1B ．
（2）以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则 C 2,0,0, B 0, 2,0, A1 0, 2, 2 ， B1 0, 4, 2 ， C1 2, 2, 2 ，
AA1 0, 2, 2 ， BC B1C1 2,2, 0 ，
cos AA1, BC
f
(x)
log
2 ( x 1) 1
x2 x 2
x
1 x 0
.若方程 f x kx 1有两个实根，则实数 k 的取值范围
x0
是（ ）
A.
1 2
,
2
B. (1, 2 ] ln 2
C. (1, 2]
D.
1 2
,
2 ln 2
二、填空题（每题 5 分，满分 30 分，将答案填在答题纸上）
（1）证明：平面 A1AC 平面 AB1B ； （2）求棱 AA1 与 BC 所成的角的大小； （3）若点 P 为 B1C1 的中点，并求出二面角 P AB A1 的平面角的余弦值．
18.已知椭圆
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的左、右焦点分别为
F1
、
F2
，离心率为
1 2
，点 P 是椭圆 C 上的一
X
1
2
3
4
P
1
m
1
1
3
4
6
13. 已知三棱柱 ABC A1B1C1 的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为 3 ，
AB 2 ， AC 1 ， BAC 60 ，则此球的表面积等于_____
14.如图，在
ABC
中，AB
3
,
AC
4
, BAC
45 , CM
2MB
，过点
M
的直线分别交射线
三、解答题：本大题共 5 小题，共14 2 15 16 2 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.
16.在 ABC
中，角
A、B、C
所对的边分别为 a、b、c
.已知 c2
a2
b2
4bc
cosC
，且
AC
2
.
（1）求 cos C 的值；
（2）求
cos
B
3
的值.
17.如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， AB AC ，顶点 A1 在底面 ABC 上的射影恰为点 B ，且 AB AC A1B 2.
△PF1F2 的面积有最大值 3 .
∴
c
a a2
1
2 b2
c2
1
2c
b
2
a 2
,解得
b
3，
3
c 1
故椭圆 C 的方程为： x2 y2 1 . 43
（2）若 l1 的斜率为 0，则| AB | 4 6 ，| MN | 2 ， 3
∴ ABN 的面积为 4 6 ，不合题意，所以直线 l1 的斜率不为 0. 3
AA1 BC AA1 BC
4 8
8
1 2
，
故 AA1 与棱 BC 所成的角是 3 ．
（3）因为 P 为棱 B1C1 的中点，故易求得 P 1,3, 2 ．设平面 PAB 的法向量为
n1 x, y, z ，
则{n1 AP
n1 AB
0, 0
，由{AP
AB
1,3, 2 0, 2, 0
2019-2020 学年天津市和平区高三上学期期末考试数学试卷及答案
一、选择题：本大题共 9 个小题,每小题 5 分,共 45 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1.设全集为 R ，集合 A {x Z | 1 x 3} ，集合 B 1, 2 ，则集合 A I ðRB （ ）
A. 1, 0
B. 1,1 (2,3]
C. (0,1) (1, 2) (2,3] D. 0,3
2.设 x R ，则“ | x 2 | 1 ”是“ x2 4x 3 0 ”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分又不必要条件
3.奇函数 f x 在区间3, 6 上是增函数，在区间3, 6 上的最大值为 8，最小值为-1，则 f 6 f 3 的
AB
、AC
于不同的两点
P
、
Q
，若
AP
m AB
，
AQ
n AC
，则当
m
3 2
时，
n
___________,
AP
AQ
__________．
15.已知正实数 x, y 满足 4x2 y2 1 2xy ，则当 x __________时， 1 2 1 的最小值是__________． x y xy
值为（ ）
A. -10
B. 15
C. 10
D. 9
4.已知圆 C 的半径为 2，圆心在 x 轴的正半轴上，直线 3x 4 y 4 0 与圆 C 相切，则圆 C 的方程为( )
A. x2 y2 2x 3 0
B. x2 y2 4x 0
C. x2 y2 2x 3 0
D. x2 y2 4x 0
5.设 a 20.2 ， b log3 0.9 ， c 1 log0.1 4 ，则 a, b, c 的大小关系是（ ）
A. a c b
B. b c a
C. c a b
D. c b a
6.将函数
y
sin
x
2
cos
x
2
的图象沿
x
轴向左平移
8
个单位后，得到一个偶函数的图象，则
（3）当
a
2 e2
时，证明：
f
(x)
x[ g ( x)
b]
.
1-9DCDDA BCCB
数学试题参考答案
10.
3
；11.1；12.
9 4
；13.
8
；14.
(1).
3 5
(2). 27 2 ；15. (1). 1
5
2
16.解：（1）∵ c2 a2 b2 4bc cosC ,由余弦定理可得 a 2c ，
10.设 i 是虚数单位，复数 z a i 的模为 1，则正数 a 的值为_______． 2i
11.已知
a＞0，
(x
–
a x2
)6
的二项展开式中，常数项等于
60，则(x–
（用数字作答）．
)6 的展开式中各项系数和为
12.设随机变量 X 的概率分布列如下表，则随机变量 X 的数学期望 EX __________．
（1）求数列an 的通项公式；
n
（2）试比较
k 1
ak ak 1 1 ak 2 1
1
与 的大小，并说明理由；
2
（3）若数列 bn 满足 bn log2 an1 n N * ，在每两个 bk 与 bk1 之间都插入 2k1 k N * 个 2，使得数 列bn 变成了一个新的数列 cp ，试问：是否存在正整数 m ，使得数列 cp 的前 m 项和 Sm 2019 ？如
n
em1 1
由题意得
n
，则 (m 1)em1 m b 0 .
(1 m)em1 ln n b 1
令 h(m) (m 1)en1 m b ，则 h (m) mem1 1 ，
由（1）得 m 1时， hm 单调递增，又 h1 0 ， m 1时， h¢(m) < 0 ， ∴当 m 1时， h¢(m) < 0 ， hm 单调递减；当 m >1 时， h¢(m) > 0 ， hm 单调递
（ 2 ） ∵ f x ex1 ， ∴ f x ex1 在 点 m, em1 处 的 切 线 方 程 为
y em1x (1 m)em1 ；
∵ g x 1 ， ∴ g x ln x b 在 点 n, ln n b 处 的 切 线 方 程 为
x y 1 x ln n b 1.
.
n
∴
k 1
ak ak 1 1 ak 2 1
1 2
1 21 1
1 22 1
1 2
1 22 1
1 23 1
1 2
2
1 n 1
2
1
n 1
1
1 2
1
1 2n1 1
1 2
（3） bn log2 an1 log2 2n n .
根据题意，数列 cp 中， bk （含 bk 项）前的所有项的和为： S (1 2 3 k ) 2 20 21 2 2 2 k2 k(k 1) 2 k 2 .
的
取值不可能是（ ）
A. 3 4
B. 4
C.
4
D. 5 4
7.抛物线
y2
8x 的焦点 F
是双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0) 的一个焦点，Am, n n
0 为抛物线上一点，
直线 AF 与双曲线有且只有一个交点，若 | AF | 8 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A. 2
B. 3
C. 2
D. 5
8.某中学组织高三学生进行一项能力测试，测试内容包括 A 、 B 、 C 三个类型问题，这三个类型所含题目 111
的个数分别占总数的 ， ， .现有 3 名同学独立地从中任选一个题目作答，则他们选择的题目所属类型
236
互不相同的概率为（ ）
1
A.
36
1
B.
12
1
C.
6
1
D.
3
9.已知函数
5
5
∴
cos
B
3
cos
AC3cos Nhomakorabea5 6
2C
cos 5 cos 2C sin 5 sin 2C
6
6
3 3 1 4 4 3 3 2 5 2 5 10
17.（1）证明： A1B 面ABC ， A1B AC ，又 AB AC ， AB A1B B ，
AC 面AB1B ，
x ，得{
3y 2z 2y 0
0
，令
z
1，则
n1
2,
0,1
，
而平面
ABA1
的法向量
n2
1,
0,
0
．则
cosn1,
n2
n1 n2 n1 n2
2 5
25 5
．
由图可知二面角 P AB A1 为锐角，故二面角 P AB A1 的平面角的余弦值是 2 5．
5
18.解：（1）∵椭圆 C 的离心率为 1 ，当 P 为 C 的短轴顶点时， 2
∴ a3 a4 a5 3a4 4 28 ,解得 a4 8 .
∴ a3
a5
20
，从而 8 q
1 q
20
，
∵ q 1，∴解得 q = 2 .
∴ a1 1 ，从而 an = 2n-1 .
（2）由（1）知
ak1
ak
1 ak2
1
2k 1 2k 1 2k1 1
1 2
1 2k 1
1 2k1 1