专题14 圆锥曲线切线方程 微点3 圆锥曲线切线方程综合训练

专题14 圆锥曲线切线方程 微点3 圆锥曲线切
线方程综合训练
专题14圆锥曲线切线方程 微点3圆锥曲线切线方程综合训练 一、单选题 1．已知过圆锥曲线
22
1x y m n +=上一点(),o o P x y 的切线方程为001x x y y m n
+=.过椭圆22
1124
x y +=上的点()3,1A -作椭圆的切线l ，
则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为（ ） A ．30x y --= B ．-20x y += C ．2330x y +-=
D ．3100x y --=
（2022·全国·高三专题练习）
2．已知点()1,0A -､()10B ,，若过A ､B 两点的动抛物线的准线始终与圆22
8x y +=相切，
该抛物线焦点的轨迹是某圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线是（ ） A ．椭圆
B ．圆
C ．双曲线
D ．抛物线
（2022·江苏·高二专题练习）
3．设P 是双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>在第一象限内的动点，O 为坐标原点，双曲
线C 在P 点处的切线的斜率为m ，直线OP 的斜率为n ，则当1
ln ln b a m n a b mn
++
++取得最小值时，双曲线C 的离心率为（ ）
A
B ．2
C D （2022·安徽·高二期末）
4．已知抛物线2:12C x y =的焦点为F ，其准线与y 轴的交点为A ，点B 为抛物线上一
动点，当
AB FB
取得最大值时，直线AB 的倾斜角为（ ）
A ．
4
π B ．
3
π C ．
6
π或56π D ．
4
π或34π
二、填空题
（2022·广西·浦北中学高二期中）
5．在直角坐标系xOy 中，椭圆C 方程为2
213
x y +=，P 为椭圆C 上的动点，直线的方程
为：4x y +=，则点P 到直线的距离d 的最小值为__________. （2022·广东揭阳·高三期末）
6．如图所示，已知()00,P x y 是双曲线22
:14
3
x y
C -=右支上任意一点，双曲线C 在点P 处
的切线分别与两条渐近线y =交于,A B 两点，则OA OB ⋅=__________.
（2022·四川资阳·高二期末）
7．过点()2,1P -作抛物线2:2C x y =的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为___________.
（2022·四川省资阳中学高二期末）
8．已知抛物线2:8E x y =，点P 是E 的准线l 上一个动点，过点P 作E 的两条切线，切点分别为,A B .则直线AB 必然经过定点，该定点坐标为___________. （2022·四川省成都市新都一中高二期末）
9．已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过点F 的直线l 与抛物线C 交于不同的两点A ，B ，抛物线在点A ，B 处的切线分别为1l 和2l ，若1l 和2l 交于点P ，则2
16
4
PF AB
+
的最小值为______．
（2022·河南·封丘一中高二期末）
10．过点()30A -,
作抛物线24y x =的切线，则切点的横坐标为______． （2022·青海·模拟预测）
11．如图，平面直角坐标系中，0,Q ⎛ ⎝⎭
，()3,0L -，圆Q 过坐标原点O 且与圆L 外切．若抛物线()2
20x py p =>与圆L ，圆Q 均恰有一个公共点，则p ＝______．
三、双空题
（2022·江苏苏州·高三阶段练习）
12．极线是高等几何中的重要概念，它是圆锥曲线的一种基本特征.对于圆222x y r +=，与点()00,x y 对应的极线方程为2
00x x y y r +=，我们还知道如果点()00,x y 在圆上，极线
方程即为切线方程；如果点()00,x y 在圆外，极线方程即为切点弦所在直线方程.同样，对于椭圆22
221x y a b
+=，与点()00,x y 对应的极线方程为00221x x y y a b +=.如上图，已知椭圆C ：
22
143
x y +=，()4,P t -，过点P 作椭圆C 的两条切线P A ，PB ，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为______；直线AB 与OP 交于点M ，则sin PMB ∠的最小值是______.
四、解答题
（2022·全国·高三专题练习）
13．已知点()1,1A 是椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>上一点12,F F 是椭圆的两焦点，且满足
124AF AF +=． (1)求椭圆的标准方程；
(2)求过()1,1A 与椭圆相切的直线方程．
（2022·江苏盐城·高二期末）
14．平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左焦点为F ，点P 为
椭圆上的动点，OP 的最小值为1，FP 的最大值为1 (1)求椭圆C 的方程；
(2)直线:30l x -=上是否存在点Q ，使得过点Q 能作椭圆C 的两条互相垂直的切线？若存在，请求出这样的点Q ；若不存在，请说明理由． （2022·重庆市涪陵高级中学校模拟预测）
15．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P ，Q 为椭圆C
上任意两点，且11(0)PF QF λλ=<，若三角形2PQF 的周长为8，12PF F △面积的最大值为2.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设椭圆C 外切于矩形ABCD ，求矩形ABCD 面积的最大值. （2022·上海交大附中高三期中）
16．设椭圆Γ：()2
2211x y a a
+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ．直线l 若与椭圆Γ只有一
个公共点P ，则称直线l 为椭圆Γ的切线，P 为切点． (1)若直线l ：2y x =+与椭圆相切，求椭圆的焦距12F F ； (2)求证：椭圆Γ上切点为()00,P x y 的切线方程为
02
1xx yy a +=； (3)记1F 到直线l 的距离为1d ，2F 到直线l 的距离为2d ，判断“121d d =”是“直线l 与椭圆Γ相切”的什么条件？请给出你的结论和理由． （2022·全国·高二期末）
17．已知椭圆22
:154
x y Γ+=的中心为O ，一个法向量为(),1n k =-的直线l 与Γ只有一个
公共点M ．
(1)若1k =且点M 在第二象限，求点M 的坐标；
(2)若经过O 的直线1l 与l 垂直，求证：点M 到直线1l 的距离2d ≤． （2022·陕西·交大附中模拟预测）
18．设A 、B 分别为椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右顶点，设()0,1M -是椭圆下
顶点，直线MA 与MB 斜率之积为1
4
-．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若一动圆的圆心Q ．过原点O 作动圆Q 的两条切线，分别交椭圆于E 、F 两点，试证明2
2
OE OF +为定值． （2022·全国·高二专题练习）
19．设P 为椭圆22
143
x y +=上的一个动点，过点P 作椭圆的切线与圆O ：2212x y +=相
交于M 、N 两点，圆O 在M 、N 两点处的切线相交于点Q .
(1)求点Q 的轨迹方程；
(2)若P 是第一象限内的点，求OPQ 面积的最大值. （2022·陕西汉中·高二期中）
20．已知椭圆221:1(04)4+=<<x y E m m 椭圆222:(01)4+=<<x y E t t m ，
椭圆2E 的切线MN 交椭圆1E 于M 、N 两点，切点为Q . (1)求椭圆1E 的标准方程； (2)求证：点Q 是线段MN 的中点. （2022·全国·模拟预测）
21．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()22
22:10x y C a b a b +=>>的右焦点与抛物线
2y =的焦点重合，且椭圆的四个顶点围成的四边形面积为
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)已知点P 是直线420y x =-+上的动点，过点P 做椭圆C 的两条切线，切点分别为M ，N ，问直线MN 是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由． （2022·全国·高二课时练习）
22．已知双曲线22
22:1(0)x y C a b a b
-=>>的两个焦点为1F 、2F ，一条渐近线方程为y bx =，
且双曲线C 经过点D 1)． (1)求双曲线C 的方程；
(2)设点P 在直线(x m y m =≠±，01m <<，且m 为常数)上，过点P 作双曲线C 的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，求证：直线AB 过某一个定点．
（2022·江苏省镇江第一中学高二期末）
23．已知双曲线C ：22
221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)的一个焦点坐标为(3，0)，其中一条渐近线
的倾斜角的正切值为O 为坐标原点． (1)求双曲线C 的方程；
(2)直线l 与x 轴正半轴相交于一点D ，与双曲线C 右支相切(切点不为右顶点)，且l 分别交双曲线C 的两条渐近线于M 、N 两点，证明：△MON 的面积为定值，并求出该定值．
（2022·青海·海东市教育研究室一模）
24．如图，已知双曲线2
2:13
x C y -=，过()1,1P 向双曲线C 作两条切线，切点分别为
()11,A x y ，()22,B x y ，且120,0x x <>.
(1)证明：直线PA 的方程为
1113
x x
y y -=. (2)设F 为双曲线C 的左焦点，证明：πAFP BFP ∠∠+=. （2022·贵州遵义·高二期末）
25．抛物线()2
20x py p =>焦点为F ，过F 斜率为2
的直线交抛物线于C ，D 两点，
且6CD =
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过直线1y =-上一点P 作抛物线两条切线，切点为,A B ，猜想直线AB 与直线PF 位置关系，并证明猜想. （2022·贵州遵义·高二期末）
26
．抛物线()2
20y px p =>焦点为F ，过F l 交抛物线于C ，D 两点，
且6CD =．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过直线=1x -上一点P 作抛物线两条切线，切点为A ，B ．猜想直线AB 与直线PF 位
置关系，并证明猜想．
（2022·上海交大附中高二期末）
27．如图，已知()()1122,,A x y B x y ､为二次函数2
(0)y ax a =>的图像上异于顶点的两个点，
曲线2y ax =在点()()1122,,A x y B x y ､处的切线相交于点()00,P x y .
(1)利用抛物线的定义证明：曲线2y ax =上的每一个点都在一条抛物线上，并指出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；
(2)求证：102x x x ､､成等差数列，102y y y ､､成等比数列；
(3)设抛物线2y ax =焦点为F ，过P 作PH 垂直准线l ，垂足为H ，求证：BPH APF ∠∠=. （2022·江西上饶·高二期末）
28．已知抛物线22(0)x py p =>上的任意一点到(0,1)P 的距离比到x 轴的距离大1． (1)求抛物线的方程；
(2)若过点(0,2)的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作抛物线的切线，两条切线交于点Q ，求QAB 重心G 的轨迹方程． （2022·全国·模拟预测）
29．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的短轴长为31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭是C 上一点．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)已知点M ，N 是y 轴上不同的两点，直线PM ，PN 分别交椭圆C 于另一点S ，T ，若PM PN =，证明：椭圆C 在点P 处的切线与PST 的外接圆相切． （2022·天津·一模）
30．已知椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>，其离心率为1
2，右焦点为F ，两焦点与短轴两
端点围成的四边形面积为
(1)求椭圆C的标准方程：
(2)直线l与椭圆有唯一的公共点M（M在第一象限，此直线l与y轴的正半轴交于点N，
直线NF与直线OM交于点P且
3
7
OFP OFN
S S
△△
，求直线l的斜率.
参考答案：
1．B
【解析】根据题中所给的结论，求出过()3, 1A -的切线方程，进而可以求出切线的斜率，利用互相垂直的直线之间斜率的关系求出过A 点且与直线l 垂直的直线的斜率，最后求出直线方程.
【详解】过椭圆22
1124
x y +=上的点()3, 1A -的切线l 的方程为()31124y x -+
=，即40x y --=，切线l 的斜率为1.与直线l 垂直的直线的斜率为-1，过A 点且与直线l 垂直的直线方程为()13y x +=--，即20x y +-=.
故选：B
【点睛】本题考查了求过点与已知直线垂直的直线方程，考查了数学阅读能力，属于基础题. 2．A
【分析】由抛物线的定义可转化||||FA FB +等于A ,B 到准线距离的和，再由圆与准线相切及O 是AB
的中点，可得||||2FA FB r +==.
【详解】由题设知，抛物线焦点F 到定点A 和B 的距离之和等于A 和B 分别到准线的距离和，等于
AB 的中点O
到准线的距离的二倍，由抛物线准线与圆相切知和为2r =，
所以||||||2FA FB AB +=>=，
所以抛物线焦点的轨迹方程C 是以A 和B 为焦点的椭圆. 故选：A 3．D
【分析】设()00,P x y ，则20
20
b x m a y =，00y n x =，则
22221ln ln ln b a b a a b a m n f a b mn a b b a b ⎛⎫
++++=+++= ⎪⎝⎭
，令0a t b =>，则()212ln f t t t t t =++-，利用导数研究其单调性，求得最小值点，再由离心率公式即可得出. 【详解】设()00,P x y ，则双曲线C 在P 点处的切线方程为：
00
2
21x y x y a b
-=，则2020b x m a y =，
y n x =
， 22
002200·b x y b mn a y x a ∴==，
1ln ln b a m n a b mn ∴++++ 2222ln b a a b a b b a =+++ a f b ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，
令
0a t b
=>，则()21
2ln f t t t t t =++-，
()()()
2
22
21112'12t t f t t t t t +-=-++-=
，
∴当01t <<时，()'0f t <，当1t >时，()'0f t >，
所以()f t 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增， 得1t =时，()f t 取最小值， 1a b
∴
=，即a b =时，1
ln ln b a m n a b mn ++
++取最小值，
c e a ∴=
= 故选：D. 4．D
【分析】过点B 作抛物线C 的准线的垂线BM ，垂足为点M ，分析可得
cos BF
BAF AB
=∠，当
AB FB
取得最大值时，BAF ∠最大，此时AB 与抛物线C 相切，设出直线AB 的方程，将抛
物线C 的方程，由Δ0=可求得直线AB 的斜率，即可求得直线AB 的倾斜角. 【详解】抛物线C 的准线为2:12l x y =，焦点为()0,3F ，易知点()0,3A -，
过点B 作BM l ⊥，垂足点为M ，由抛物线的定义可得BM BF =，
易知//BM y 轴，则BAF ABM ∠=∠，所以，
cos cos BF BM
ABM BAF AB AB
==∠=∠， 当
AB FB
取得最大值时，cos BAF ∠取最小值，此时BAF ∠最大，则直线AB 与抛物线C 相切，
由图可知，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为3y kx =-，
联立2123x y
y kx ⎧=⎨=-⎩可得212360x kx -+=，则21441440k ∆=-=，解得1k =±，
因此，直线AB 的倾斜角为4
π或34π
. 故选：D.
5【分析】设椭圆切线x y k +=，联立椭圆方程求出切线方程，利用平行线的距离判断椭圆上点到已知直线距离的最值.
【详解】令x y k +=与椭圆2
213
x y +=相切，消去x 整理得：224230y ky k -+-=，
所以222416(3)4(123)0k k k ∆=--=-=，可得2k =±，显然4x y +=与椭圆无交点，
当2k =-，切线为2x y +=-，与4x y +=
=
当2k =，切线为2x y +=，与4x y +=
=；
所以点P 到直线的距离d .
6．1
【分析】根据切线方程及渐近线方程计算出关于点,A B 的表达式，再利用向量的数量积的坐标运算求解.
【详解】如下图所示，设双曲线渐近线上的点()12A t
，点()
22,B t ， 当00y =时，过点()00,P x y 的切线方程为2x =，
当00y ≠时，设过点()00,P x y 的切线方程为()00y y k x x -=-，即()00y k x x y =-+，
代入双曲线方程化简为()()()
222222
0000003484230k x k x ky x k x y kx y -+--+-+=，
则k ≠()
2220000484230x k x y k y ⎡⎤∆=--++=⎣⎦， 因为2200143
x y -=，所以
222
0000432034y x k x y k -+=，所以0034x k y =， ∴在点()00，y P x 处的切线方程为00:143
x x y y
l -=，当00y =也符合；
且点A ，B 又在切线l 上
01021212
x t x t ⎧⎛=⎪ ⎪⎝∴⎨⎛⎪= ⎪⎝⎩，
2200
12143⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭
x y t t 121t t ∴=
()124=13⋅∴=-OA OB t t
故答案为：1
7．210x y -+=
【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，再利用直线方程的相关知识即可求出. 【详解】抛物线2
:2C x y =可写成：2
=2
x y 且=y x '
设1122(,),(,)A x y B x y ，则两条切线的斜率分别为1122,k x k x ==
两条切线的方程为： 111()y y x x x -=- 111()y y x x x -=-
又两条切线过点()2,1P -，所以 1111(2)y x x --=- 1111(2)y x x --=-
所以直线AB 的方程为：1(2)y x x --=-
又22x y =，所以直线AB 的方程为：210x y -+=. 故答案为：210x y -+=. 8．(0,2)
【详解】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，(,2)P t -，运用导数的几何意义，求得抛物线在A ，B 处的切线的方程，再由两点确定一条直线，可得AB 的方程，进而得到恒过定点. 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，(,2)P t -，
由28x y =，即218
y x =，可得1
4y x '=，
所以抛物线28x y =在A 处的切线PA 的方程为1
11()4
x y y x x -=-， 即2111144x y x x y =
-+，因为2118x y =，可得114
x
y x y =-， 因为P 在切线AP 上，可得1
124
x t y -=-，①， 同理可得2
224
x t y -=
-，① 综合①①可得A ，B 的坐标满足24
x t y -=-， 即直线AB 恒过抛物线的焦点(0,2)F ， 故答案为：(0,2) 9．4
【分析】设直线l ：1x my =+，利用韦达定理求得AB ，设()()111:0l y y k x x k -=-≠，利
用判别式求得直线的方程，进而得到P 的坐标，从而可得
2
221644164
444
PF m AB m ++=++，
再利用基本不等式即得.
【详解】由题可知(1,0)F ，设直线l ：1x my =+， 直线l :1x my =+与24y x =联立消x ，得2440y my --=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y m +=，124y y =-，
①()2
12122444AB x x m y y m =++=++=+，
设()()111:0l y y k x x k -=-≠，
由()1124y y k x x y x ⎧-=-⎨=⎩，可得2114440y y y x k k -+-=，
①2
1144440y x k k ⎛⎫⎛⎫
∆=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又2114y x =，
①1
2k y =
， ①()1111
2
:l y y x x y -=
-，即1122y y x x =+， 同理可得2:l 2222=+y y x x ， 所以可得()121211
1,242
P P x y y y y y m =
=-=+=，即()1,2P m -，
①PF = ①
2
22
22
1644164144
4441
PF m m AB m m ++=+=++≥++，当且仅当22411m m +=+，即1m =±取等号. 故答案为：4. 10．3
【分析】设切线方程为3x ty =-，再联立直线于抛物线的方程，令判别式为0求解即可 【详解】设切线方程为3x ty =-，与抛物线方程联立可得24120y ty -+=，由216480t ∆=-=，
解得t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩
t y ⎧=⎪⎨=-⎪
⎩代入3x ty =-得3x =．
故答案为：3 11．1
2##0.5
【分析】由两圆关系确定圆L 的方程，根据抛物线与圆L 恰有一个公共点(,)A m n 且30m -<<，利用导数几何意义写出该点处曲线的公切线方程，结合直线AL 与公切线垂直关系、L 与公切线的距离列方程组求m 值，进而可求p . 【详解】由题设，圆Q
为224(5
x y +=，显然与()2
20x py p =>有一个公共点(0,0)，
而||QL ==，由圆Q 与圆L 外切，则圆L
所以圆L 为22(3)5x y ++=，
要使()2
20x py p =>与圆L 恰有一个公共点(,)A m n 且30m -<<，
抛物线可得：x
y p
'
=
，故过(,)A m n 的公切线方程为()m y n x m p -=-，
所以2
0mx py np m -+-=，而2
2m pn =，则2
02
m mx py --=， 由3AL
n p k m m
==-+，即2
23m p p m m
=-+①，
又L
2|3|
m m --=， 联立①①并整理得：2322(156248)(1)(6)(8)0m m m m m m m m +++=+++=， 易知：1m =-，则12
p =. 故答案为：1
2 12． 103ty x -+
-=（或330x ty -+=）；
. 【分析】（1）根据已知直接写出直线AB 的方程； （2
）求出cos ,OP n →
→
〈〉=
sin PMB ∠=利用基本不等
式求解.
【详解】解：（1）由题得AB ：4143
x ty
-+=，即103ty x -+-=，
（2）()4,OP t →
=-，3k AB t
→
=
，①AB →
的方向向量(),3n t =，
所以
cos ,OP n
OP n OP n
→→→→
→
→
⋅〈〉=
=
sin PMB ∠=
即(
)min sin PMB ∠=. 故答案为：103ty x -+
-=
13．(1)椭圆的标准方程为22
3144x y +=
(2)直线方程为340x y +-=
【分析】（1）根据椭圆的定义得出基本量的值，得出椭圆方程；（2）椭圆是封闭图形，利用相切只有一个交点，将直线方程与椭圆方程联立有一个实数解可解得. （1）
①椭圆上的点A 满足124AF AF +=． ①24a =，解得2a =，
①椭圆的方程为22
214x y b
+=，
把()1,1代入得．211
14b
+=，
解得2
43
b =
， ①椭圆方程的标准方程为22
3144x y +=．
（2）
解法1：过A 与x 轴垂直的直线与椭圆不相切，因此切线的斜率存在．
设过()1,1A 的直线方程()11y k x -=-，由()
2211314
4y k x x y ⎧-=-⎪
⎨+=⎪
⎩，消去y 得关于x 的方程：
()()2
2231613610k
x k k x k k +--+--=．
令()
()()2
2
223614313610k
k k k k ∆=--+--=，解得1
3
k =-，故所求的切线方程为：
340x y +-=．
解法2：改写直线的方程为一般式2210
314
4kx y k x y --+=⎧⎪⎨+
=⎪⎩，22
4,,,1,431a b A k B C k ====-=-，
相切时： 222220a A b B C +-=，得到22
4(143
)0k k +--=，
化简得2
110,33k k ⎛
⎫+==- ⎪⎝
⎭，
故所求的切线方程为： 340x y +-=． 14．(1)2
212
x y +=
(2)
存在；(Q
【分析】（1）
根据椭圆的几何性质可知：1a c +=1b =，
即可求解1,1a b c ==； （2）联立切线方程与椭圆方程，得根与系数的关系，根据切线垂直可得斜率相乘等于1-，进而得点Q 在圆223x y +=上，又点Q
在:30l x -=，联立即可求解. （1）
设点00(,)P x y ，则2
22
2222
22
00
0221x c OP x y x b x b a a
⎛⎫=+=+-=+ ⎪⎝⎭，
当00x =时，OP 取得最小值为1b =， ．
22
2
2
2
2
2000
02()()(1)()x c
FP x c y x c b x a a a =++=++-=+，
则当0x a =时，FP
取得最大值1a c +=
解得1,1a b c ===，则椭圆方程为2
212
x y +=．
（2）
设点()00,Q x y
当0x
Q 作椭圆的两条切线并不垂直， 故可设过点Q 的椭圆的切线方程为y kx m =+，
联立方程组22
22y kx m
x y =+⎧⎨+=⎩，消元可得222(21)4220k x kmx m +++-= 由2222164(21)(22)0k m k m ∆=-+-=可得2221k m +=，
又直线y kx m =+过点()00,Q x y ，则00m y kx =-﹐于是222
0021()k m y kx +==-
化简可得222
0000(2)210x k x y k y -++-=，
由两条切线互相垂直可知，该方程的两根之积2
122
112y k k x -==-- 则22
003x y +=，即点Q 在圆223x y +=上，
由22
330
x y x ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩
解得1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
(Q 满足题意，
15．(1)22
142
x y +=
(2)12
【分析】（1）三角形2PQF 的周长为8，得到2a =，再由12
2==PF F S
bc ，可得答案；
（2）分矩形ABCD 中有一条边与坐标轴平行时，则另外三条也与坐标轴平行、矩形ABCD 的边都不与坐标轴平行，这时设直线AB 的方程为；y kx m =+，则CD 的方程为：y kx m =-，
AD 的方程为：1y x n k =-+，BC 的方程为：1
y x n k =--，与椭圆方程联立，分别求得矩
形ABCD 的边长AD ，AB 求解. （1）
由11(0)PF QF λλ=<得1、、P F Q 三点共线， 因为三角形2PQF 的周长为8， 所以48a =，则2a =，
当P 点为椭圆上或下顶点时12PF F △面积的最大， 即12
1
222
=⨯⨯==PF F S
c b bc ， 由222
244=-=-
b a
c b
，解得2
2b =，
所以椭圆C 的方程为22
142
x y +=.
（2）
当矩形ABCD 中有一条边与坐标轴平行时，则另外三条也与坐标轴平行， 矩形ABCD
的两条边长分别为矩形24,2==a b
此时4ABCD S =⨯=，
当矩形ABCD 的边都不与坐标轴平行时，由对称性，不妨设直线AB 的方程为；y kx m =+，则CD 的方程为：y kx m =-.
AD 的方程为：1y x n k =-+，BC 的方程为：1
y x n k
=--.
由2214
2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()
222124220k x kmx m +++-=，
令Δ0=得2242m k =+，同理得2
242n k
=+，
矩形ABCD
的边长分别为AD =
AB
①
2
41ABCD mnk
S k =
=+
，
12
=≤=， 当且仅当1k =±时取等号，所以矩形ABCD 面积的最大值是12. 综上所述，矩形ABCD 面积的最大值是
12. 16．(1)(2)见解析 (3)见解析
【分析】（1）联立直线方程与椭圆方程，消元，根据题意可得Δ0=，求得2a 即可得解；
（2）00y =和00y ≠两种情况讨论，当00y ≠时，联立2
22
00
2
11
x y a
xx yy a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，证明Δ0=即可；
（3）先说明必要性，根据（2）分别求出12,d d ，再证明121d d =即可；再说明充分性，
分a ≥
和1a <<. （1）
解：联立22
212x y a y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，消y 整理得()
2222
1430a x a x a +++=，
因为直线l ：2y x =+与椭圆相切，
所以()
422
161210a a a ∆=-+=，解得2232a c =⇒=，
所以椭圆的焦距12F F = （2）
证明：当00y =时，0x a =±， 直线0x a =±与椭圆相切； 当00y ≠时，
联立22
200211
x y a xx yy a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y 得222222
0000220x y x x x a a y a ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，
又22
0021x y a
+=，则220021x y a =-，
所以2
2
2
0202201x a a x a x x ⎛⎫
-+ ⎝
-⎪⎭-=，
所以()2
00x x -=，
及直线l 与椭圆Γ只有一个公共点()00,P x y ，直线l 与椭圆Γ相切， 综上所述椭圆Γ上切点为()00,P x y 的切线方程为0
021xx yy a
+=； （3）
解：由（2）知，切线l ：
02
01xx yy a +-=，
(
))
12
,F F ，
则12d d =
，
故()()()()
2222220004
4
4122
2
2
2
2
20
00004424
1111111111x a x a x a a a a d d x x x x a y a
a a
a ----
--=
=
==-++-
-
，
反之，当a ≥0x ty +=， 使得2
12211
1
d a t d =+=
-，显然此时直线与椭圆不相切， 当1a << 因为121d d =，
可设直线l ：y kx n =+，
此时121d d =⇒()2222
11n k a k --=+，
则2221n a k =+，
将直线y kx n =+代入椭圆方程得()()
222222
1210a k x a knx a n +++-=，
则()()()
42222222222
4411410a k n a n a k a a k n ∆=--+=+-=，
所以直线l 与椭圆
Γ相切，
综上所述，当1a <<“121d d =”是“直线l 与椭圆Γ
相切”的充要条件； 当a ≥“121d d =”是“直线l 与椭圆Γ相切”的必要不充分条件.
【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，主要是椭圆的切线，还考查了充分条件和必要条件，综合性比较强，考查了逻辑推理能力和数据分析能力及分类讨论思想，有一定的难度. 17．(1)54,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭
(2)证明见解析
【分析】（1）设直线l 的方程为y x m =+，将直线l 的方程与椭圆的方程联立，由Δ0=以及切点所在象限可求得m 的值，然后将m 的值回代二次方程，可求得切点的坐标；
（2）根据题意可得，直线1l 的方程为0x ky +=，设直线l 的方程为y kx m =+，将直线l 的方
程与椭圆方程联立，由已知条件可得出2254m k =+，求出点M 的坐标，利用点到直线的距离公式结合基本不等式可证得结论成立 （1）
解：设直线l 的方程为y x m =+，
联立22
4520
y x m x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 并整理得()22
910540x mx m ++-=，①， ()()22
4954010m m ∆⨯⨯-==-，解得29m =，因为M 在第二象限，故3m =，
代入①得2930250x x ++=，解得53x =-，进而43y =，故54,33M ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
．
（2）
解：根据题意可得，直线1l 的方程为0x ky +=，设直线l 的方程为y kx m =+，
联立22
4520y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 并整理得()()222
4510540k x kmx m +++-=， ()()()2
2210204540km k m '=+⋅-∆-=，解得22540k m -+=，即2254m k =+，
且2554km x k -=
+，2454m y k =+，故22
54,5454km
m M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭
． 点M 到直线1l
的距离
d =
=
=
①当0k =时，0d =； ①当0k ≠
时，2d =
=
≤
=
=
=
，
当且仅当k = 综合①①可得，点
M 到直线1l 距离2d ≤．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基
本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 18．(1)2
214
x y +=
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知可得出1b =，根据已知条件求出a 的值，即可得出椭圆的方程； （2）由题意可知，两条切线中至少有一条切线的斜率存在，设直线OE 的斜率存在，对切线OE 的斜率是否为零进行分类讨论，在切线OE 的斜率为零时，直接求出2
2
OE OF +；在直线OE 的斜率不为零时，分析可知两切线的斜率为关于k 的方程
222
0000442055x k kx y y ⎛⎫--+-= ⎪⎝
⎭的两根，利用韦达定理结合弦长公式可求得22OE OF +，即
可证得结论成立. （1）
解：由题意可知，1b =，(),0A a -，(),0B a ，由111
4MA MB k k a a ⋅=-⋅=-，即24a =，
又0a >，所以2a =，椭圆C 的方程为2
214
x y +=.
（2）
解：设点Q 坐标为()00,x y ，即22
00
14
x y +=． 当直线OE 的斜率为0
，此时0y =
，0x =，则直线OF 的斜率不存在， 此时2
2
225OE OF a b +=+=；
当直线OE 的斜率存在且斜率不为0时，设直线OE 的方程为1y k x =，直线OF 的方程为2y k x =，
设点()11,E x y 、()22,F x y ，联立22
44y kx x y =⎧⎨+=⎩
，可得()22
414k x +=， 则2
121441
x k =
+，2222441
x k =
+，
又圆Q 与直线OE 、OF
=
， 整理可得222
0000442055x k kx y y ⎛⎫--+-= ⎪⎝
⎭，
则1k 、2k 为关于k 的方程222
0000442055x k kx y y ⎛⎫--+-= ⎪⎝
⎭的两根，
所以，2
200
1222
0044
1154544455
x y k k x x ---
=
==---
， 所以，()()()()222
2
1222221
1
2
2
221241411141
41
k k OE OF k
x k x
k k +++=+++=
+
++
()()222
21
111222
11121
1414141161615141414114k k k k k k k k ⎛⎫
+ ⎪+++⎝⎭=+=+=++++. 综上：22
OE OF +为定值5．
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 19．(1)22
13648
x y +=
【分析】（1）设()00,P x y ，()11,Q x y ，根据P 在椭圆22
143x y +
=上，得到2200143
x y +=；再由MN 即为椭圆在()00,P x y 处的切线方程也为圆O ：2212x y +=切点弦所在直线方程求解. （2）过P 作P A ①x 轴，过Q 作QB ①x 轴，得到()0,0A x ，()003,4Q x y ，()03,0B x ，再由001
2
=--=
OPQ
OBQ OPA PABQ S
S
S S x y ，利用基本不等式求解. （1）
解：设()00,P x y ，()11,Q x y .
①P 在椭圆22
143x y +=上，①2200143
x y +=①；
椭圆在()00,P x y 处的切线方程为：00143
x x y y
+=①；
又QM 、QN 为过点Q 所引的圆O ：2212x y +=的两条切线， 所以切点弦MN 所在直线方程为：1112x x y y +=①.
其中①①表示同一条直线方程，
则0
01113412
y x x y ==，得103x
x =，104y y =代入①，
得22
1113648
x y +=， 故点Q 的轨迹方程为22
13648
x y +=.
（2）
过P 作P A ①x 轴，过Q 作QB ①x 轴， 则()0,0A x ，()003,4Q x y ，()03,0B x ， 所以001
2
=--=
OPQ
OBQ
OPA
PABQ S
S
S
S x y ，
又2200143x y =+≥
①00x y ≤
00x y ==. ①OPQ
S
20．(1)2
214
x y +=
(2)证明见解析
【分析】（1）由椭圆1E
m ，即可得到椭圆1E 的标准方程；
（2）可设椭圆2
22:(01)4
+=<<x E y t t ，分类讨论：当直线MN 斜率不存在时，由椭圆的对称性可知点Q 是线段MN 的中点.当直线MN 斜率存在时，设直线:MN y kx n =+，()11,M x y ，
()22,N x y ，()00,Q x y ，利用“设而不求法”得到M 、N 、Q 三点的关系，即可证明.
（1）
椭圆221:1(04)4+=<<x y E m m
=
，解得1m =.
∴椭圆1E 的标准方程为
2
214
x y +=. （2）
由（1）知，椭圆2
22:(01)4
+=<<x E y t t ， 当直线MN 斜率不存在时，由椭圆的对称性可知点Q 是线段MN 的中点.
当直线MN 斜率存在时，设直线:MN y kx n =+，()11,M x y ，()22,N x y ，()00,Q x y ， 联立22
,,4
y kx n x y t =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()222
418440+++-=k x knx n t . ()()22222(8)441446416160∴∆=-+-=-+=kn k n t tk n t ，即224+=tk t n .
02441
-∴=
+kn
x k . 当01t <<时，直线MN 与椭圆1E 交于,M N ， 所以有122
841kn x x k -+=
+，即1224241
+-=+x x kn
k . 12
02
x x x +∴=，又点M 、N 、Q 在一条直线上， 12
02
+∴=
y y y ，即MN 的中点坐标为()00,x y . ∴点Q 是线段MN 的中点.
21．(1)22
1124
x y +=
(2)是过定点，定点为121,55⎛⎫
⎪⎝⎭
【分析】（1）根据椭圆的几何性质，结合已知条件，即可求解；
（2）将过点P 做椭圆C 的两条切线问题转化为两切线交点为P ，设出M ，N ，P 三点坐标及切线PM 的方程，将切线PM 与椭圆C 联立，得到切点坐标与切线PM 方程的关系，再根据PM 与PN 相交于点P ，即点P 满足PM ，PN 方程，得到直线MN 方程，即可求解定点． 【详解】（1
）由题意得2
221
222,
c a b c a b ⎧=⎪
⎪⨯⋅=⎨⎪=-⎪⎩
解得22212,4,8,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩
所以椭圆C 的标准方程为22
1124
x y +
=．
（2）当椭圆C 的切线斜率存在时，设点()11,M x y ，()22,N x y
，1x ≠±
2x ≠±，
(),420P d d -+，
切线PM 的方程为y kx m =+．
联立22,1,124y kx m x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩消去y 整理得()222
1363120k x kmx m +++-=．
因为直线PM 与椭圆C 相切，
故()()2222
364133120k m k m ∆=-+-=，即22124m k =+，
122
3312134
km km k
x m k m --=
==-+，2221112124k m k y kx m m m m m
-=+=-+==， 所以14
m y =，113x k y =-，则切线PM 的方程为11143x y x y y =-+，即11312x x y y +=，
同理，切线PN 的方程为22312x x y y +=．
当椭圆C
的切线斜率不存在时，切点()
或()
-，
当切点为()
时，切线为x =
3012y +⨯⨯=；
当切点为()
-
时，切线为x =-
3012y -+⨯⨯=． 又切点()11,M x y ，()22,N x y ，则切线PM 方程为11312x x y y +=， 切线PN 方程为22312x x y y +=．因为直线PM 与直线PN 相交于点P ， 故()()112
2342012,
342012,x d y d x d y d ⎧+-+=⎪⎨
+-+=⎪⎩ 由两点确定一条直线有直线MN 的方程为()342012xd y d +-+=， 整理得()1260120d x y y -+-=， 联立120,60120,x y y -=⎧⎨-=⎩解得12,5
1,5x y ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩ 故直线MN 过定点121,55⎛⎫
⎪⎝⎭
．
22．(1)x 2﹣y 2＝1； (2)证明见解析.
【分析】(1)依题意，建立关于a 、b 的方程组，解出a 、b 的值，即可求得双曲线的方程； (2)设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，直线11:()PA y y k x x -=-，将其与双曲线方程联立，由相切可得Δ0=，化简可得1
1
x k y =，由此表示直线PA 方程，同理可得直线PB 方程，进而得到直线AB 方程，由此可得证． （1）
依题意，22211b
b a
a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，
∴C ：221x y -=；
（2）
设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，直线11:()PA y y k x x -=-，
由1122
()1y y k x x x y -=-⎧⎨-=⎩得，2221111(1)2()()10k x k y kx x y kx ------=， 直线PA 与双曲线相切，
∴2222111124()4(1)()4(1)0k y kx k y kx k ∆=-+--+-=且210k -≠， ∴22114()4(1)0y kx k -+-=，
∴22221111210k x kx y y k -++-=，即2221111(1)210x k kx y y --++=，
又22
111x y -=，
∴222211111,1x y y x -=+=，
∴22221111112()0y k kx y x y k x -+=-=，
1110y k x ∴-=，则1
1
x k y =
， ∴直线1
111
:()x PA y y x x y -=
-，即111y y x x =-， 同理，切线PB 的方程为221y y x x =-，
0(,)P m y 在切线PA 、PB 上，
∴01102211
y y mx y y mx =-⎧⎨=-⎩，
A ∴、
B 满足直线方程01y y mx =-，而两点确定唯一一条直线，
∴直线0:1AB y y mx =-，则当10
x m y ⎧=
⎪⎨⎪=⎩时，无论0y 取何值，等式均成立，
∴点1(,0)m 恒在直线AB 上，故无论点P 在何处，直线AB 恒过定点1
(,0)m ．
23．(1)2
2
18
y x -=；
(2)
证明见解析，
【分析】(1)由双曲线C 的一个焦点坐标为(3,0)可求c ，根据一条渐近线的倾斜角的正切值
为b
a
，结合a 、b 、c 的关系求解a 、b 得到双曲线方程；
(2)设直线l
的方程为(y kx m k =+≠±0)m ≠，联立直线与椭圆方程，利用判别式为0，求出k 与m 的关系．联立l 与渐近线方程求出M 和N 的坐标，通过
1
2
MON MOD NOD M N S S S OD y y =+=⋅⋅-△△△，化简即可．
【详解】（1）
由题可知22
2
3c b a a b c
=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩，解得2218a b ⎧=⎨=⎩，则C ：22
18y x -=；
（2）由于直线l 与双曲线C 右支相切(切点不为右顶点)，则直线l 的斜率存在且不为0， 设直线l
的方程为(y kx m k =+≠±0)m ≠， 令0y =，则m
x k
=-
，则m OD k =．
联立2218y kx m
y x =+⎧⎪
⎨-=⎪⎩
得，222(8)280k x kmx m ----=，
则222244(8)(8)0k m k m ∆=----=，即228m k =-．
双曲线两条渐近线方程为y =±，
联立y y kx m ⎧=⎪⎨=+⎪⎩
得，M ，
联立y y kx m
⎧=-⎪⎨=+⎪⎩
得，N ，
1122MON MO N D NOD M N M m S S S OD y y x x k
=+=
⋅⋅-=⋅⋅-△△△
1122m m k k =⋅=⋅= 故MON △
的面积为定值
24．(1)证明见解析 (2)证明见解析
【分析】（1）设出切线方程，联立后用韦达定理及根的判别式进行表达出A 的横坐标与纵坐标，进而表达出直线PA 的方程，化简即为结果；（2）再第一问的基础上，利用向量的夹角公式表达出夹角的余弦值，进而证明出结论. （1）
显然直线PA 的斜率存在，设直线PA 的方程为()11y k x -=-，
联立()22
1,311,x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪-=-⎩
得()()222
31613(1)30k x k k x k ---+-+=，则
()()
2222Δ36(1)4313220k k k k k =---⨯-+=，化简得210k k +-=.
因为方程有两个相等实根，故切点A 的横坐标
()
()
2122613331231
k k k k x k k ---=-=--，得12131k y k -=
-，则113x k y =， 故()1111:3x l y x x y y =
-+，则22111133
xx x yy y =-+，即1113x x y y -=. （2） 同理可得2
2:13
PB xx l yy -=，又PA l 与PB l 均过()1,1P ， 所以
12121,133
x x
y y -=-=. 故():1,2,03
AB x
l y F -=-，()()11113,12,36FP FA x y x y ⋅=⋅+=++，
()()22223,12,36FP FB x y x y ⋅=⋅+=++， 又因为120,0x x <>，所以12
3,3x x -，
则
1103cos ,x FP FA ⎛⎫
+ ⎪===
2103cos ,x FP FB ⎛⎫
+ ⎪===， 故cos ,cos ,FP FA FP FB =-，故πAFP BFP ∠∠+=.
【点睛】圆锥曲线中证明角度相关的问题，往往需要转化为斜率或向量进行求解. 25．(1)2
4x y =
(2)直线AB 与直线PF 垂直；证明见解析
【分析】（1）设直线l 的方程为2
2p
y x =
+，与抛物线交于(
)11,C x y ，()22,D x y ，将直线方程代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系得12x x +，再结抛物线的定义可求出
p ，从而可得抛物线的方程，
（2）根据导数的几何意义求出切线,PA PB 的方程，从而可得直线AB 的方程，再求出直线PF 的斜率，比较两直线斜率的关系可得结论
【详解】（1）由题意知抛物线()2
20x py p =>焦点为(0)2
p F ，，
设直线l
的方程为2
p
y x =
+，与抛物线交于()11,C x y ，()22,D x y ，
联立抛物线方程222,022p y x x p x py ⎧=+⎪∴-=⎨⎪=⎩
，2
Δ60p =>，
所以12x x +，
所以1212)22
y y x x p p +=
++=， 又由抛物线的定义知126MN y y p =++=，即36p =， 即2p =，所以抛物线的方程为24x y =； （2）直线AB 与直线PF 垂直，理由如下： 由（1）得()2
4
x y f x ==，()12f x x '=，
设()33,A x y ，()44,B x y ，(),1P m -， 所以直线PA 方程为：()3331
2
y y x x x -=
-， 又因为点A 在抛物线24x y =上，即有2
334x y =，
得到直线PA 方程为3312xx y y =+；同理可得PB 方程为：441
2yy x x =+，
PA ，PB 经过点P ，则34431
,1122
1mx y mx y =-+=-+，
由AB 两点可确定一条直线，所以AB 所在直线方程为：1
12
mx y =-，
当0m =时，直线AB 与直线PF 垂直，显然成立， 当0m ≠时，直线AB 斜率11
2
k m =，(,1),(0,1)P m F -， PF 直线所在斜率21(1)02
k m m
--=
=--， 则121k k =-，
综上，直线AB 与直线PF 垂直.
【点睛】本题考查了抛物线方程的求解以及直线和抛物线的位置关系中的直线垂直问题，综合性较强，计算量大，解答时要注意利用导数的几何意义表示切线方程，关键在于利用方程思想表示出直线AB 的方程. 26．(1)24y x =；
(2)直线AB 与直线PF 垂直；证明见解析.
【分析】（1）利用直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理及抛物线的定义即得； （2）设()33,A x y ，()44,B x y ，()1,P m -，利用导数的几何意义可得切线方程，进而可得直线AB 的方程，然后分类讨论即得. （1）
设直线l
的方程为：2p y x ⎫=-⎪⎭，与抛物线交于()11,M x y ，()22,N x y ，
联立抛物线方程222p y x y px
⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩
，可得22
204p x px -+=， ①230p ∆=>，122x x p +=，
又由抛物线的定义知126MN x x p =++=， 即2p =，
所以抛物线的方程为24y x =； （2）
直线AB 与直线PF 垂直，理由如下： 由（1）得(
)y f x ==±(
)f x '= 设()33,A x y ，()44,B x y ，()1,P m -， 所以直线P A
方程为：)33y y x x =
--， 又因为点A 在抛物线24y x =上，联立2
334y x =，
得到直线P A 方程为()332yy x x =+， 同理可得PB 方程为：()442yy x x =+，
由AB 两点可以确定一条直线，P A ，PB 经过点P ， 所以AB 所在直线方程为：()21my x =-， 当0m =时，显然成立，。