内蒙古通辽市开鲁县第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案

开鲁一中2021--2021学年度第一学期
高二理科数学期中试卷 2021.11
命 题 ： 吴 相 明
考前须知：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡及答题纸上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡或答题纸上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将答题纸和答题卡一并交回。

一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选
项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．
1．集合(){}
223A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，，，，那么A 中元素的个数为〔〕 A ．9B ．8C ．5D ．4
2．命题:p x R ∀∈，sin 1x ≤，那么〔 〕
A ．:p x R ⌝∃∈，sin 1x ≥
B ．:p x R ⌝∀∈，sin 1x ≥
C ．:p x R ⌝∃∈，sin 1x >
D ．:p x R ⌝∀∈，sin 1x >
3．不等式|1|2x +>的解集为()
A ．{|1}x x >
B ．{|1x x >或3}x <-
C ．{|31}x x -<<
D ．{|3x x >-或1}x < 4．设R x ∈，那么“11||22
x -<〞是“31x <〞的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．假设双曲线22
:13x y C m
-=
C 的虚轴长为〔〕 A ．4B
．
．．2
6．假设实数x 、y 满足约束条件2000x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，那么12y z x +=-的最小值为〔〕
A ．2-
B ．32-
C ．1-
D ．12- 7．假设一个椭圆的两个焦点三等分它的长轴，那么该椭圆的离心率为〔〕 A ．16B ．13
C ．12
D ．23 8.110a b
<<，那么以下结论错误的选项是〔〕 A ．22a b <B ．2>+b a a b C ．2ab b >D ．2lg lg()a ab < 9．椭圆C ：22
142
x y +=的焦点为1F ，2F ，过点1F 直线交椭圆C 于A ，B 两点，那么2ABF ∆的周长为〔〕
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
10．双曲线2212211:1x y C a b -=〔110,0a b >>〕与双曲线22
22222
:1y x C a b -= 〔220,0a b >>〕有相同的渐近线2y x =±，那么以下关系中正确的选项是〔〕
A ．1212a a b b =
B ．21122a b a b =
C ．1212a a b b +=+
D ．121222a a b b +=+
11．a ，0b >，5a b +=，那么13a b +++的最大值为〔〕
A ．18
B ．9
C ．32
D ．23
12.椭圆2
22:1(1)x T y a a
+=>的焦点(2,0)F -，过点(0,1)M 引两条互相 垂直的两直线1l 、2l ，假设P 为椭圆上任一点，记点P 到1l 、2l 的距离分别为1d 、2d ， 那么2212d d +的最大值为〔〕
A ．2
B ．134
C ．52
D ．254
二.填空题〔共4小题，每题5分，计20分〕
13.与椭圆1244922=+y x 有公共焦点，且离心率4
5=e 的双曲线方程为。

14.曲线19
252
2=-+-k y k x 是焦点在x 轴上的椭圆，那么k 的范围是。

15．a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝3，那么21a b
+的最小值为________. 16．设椭圆22
22 x y E :1(a b 0)a b
+=>>的右顶点为A 、右焦点为,F B 为 椭圆E 在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，假设直线BF 平分
线段AC ，那么椭圆E 的离心率是______．
三.解答题〔共计70分，写出必要的文字说明或计算步骤〕
17．〔10分〕数列{}n a 满足：313a =-，()141,n n a a n n N -=+>∈.
〔1〕求1a 及通项n a ；
〔2〕设n S 是数列{}n a 的前n 项和，那么数列1S ，2S ，3S ，…n S …中哪一项
最小？并求出这个最小值.
〔3〕求数列{}n a 的前10项和.
18.〔12分〕函数()1f x x x a a
=-++，0a >. 〔1〕假设2a =，求不等式()3f x ≤的解集；
〔2〕假设关于x 的不等式.()4f x >恒成立，求a 的取值范围.
19．〔12分〕在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且()2cos cos a b C c B -⋅=⋅. 〔1〕求角C 的大小；
〔2〕假设2c =， ABC ∆，求该三角形的周长.
20．〔12分〕函数()|31||33|f x x x =-++.
〔1〕求不等式()10f x ≥的解集；
〔2〕正数,a b 满足2a b +=≥.
21．〔12分〕椭圆C ：22221x y a b += 〔0a b >>， (,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.
〔1〕求椭圆C 的方程；
〔2〕斜率为2的直线与椭圆交于P 、Q 两点OP OQ ⊥，求直线l 的方程；
22．〔12分〕椭圆C ：2
212x y +=，点11,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，(1,2)B . 〔Ⅰ〕假设直线1l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且A 为线段MN 的中点，求直 线MN 的斜率；
〔Ⅱ〕假设直线2l ：2(0)y x t t =+≠与椭圆C 交于P ，Q 两点，求BPQ ∆的 面积的最大值.
高二理科数学参考答案〔2021.11〕
一.选择题： 1 A ；2 C ；3 B ；4 A ；5 C ；6 A ；7 B ；8 C ；9 D ；10 A ；11 C ；12 D
二.填空题：1916.1322=-y x ；179.14<<k ；38.15 ；3
1.16 三．解答题：17.解：〔1〕因为)2(41≥+=-n a a n n ，
∴当3n =时，324a a =+，217a =-，214a a =+，121a =-，.......2分 由14n n a a --=知数列为首项是21-，公差为4的等差数列，
故425n a n =-； ...........3分
〔2〕425n a n =-，故610a =-<，730a =>，......4分。

故6S 最小，.......5分 ()6656214662
S ⨯=⨯-+⨯=-； .........6分 〔3〕当16n ≤≤时，0n a <；当7n ≥时，0n a >，.......8分
()()()61061061092102142661022S S S S S ⨯=-+-=-=⨯-+
⨯-⨯-=. ......10分 18.解：〔1〕2a =时，不等式为1232x x -
++≤. 当2x -≤时，不等式化为1232x x -+--≤，94x ∴≥-，此时924
x -≤≤-；..1分 当122x -<<时，不等式化为532≤恒成立，此时122
x -<<；.....2分 当12
x ≥时，不等式化为1232x x -++≤，34x ∴≤，此时1324x ≤≤. .....3分 综上，不等式的解集为93,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
； ....6分 〔2〕()()111f x x x a x a x a a a a ⎛⎫=-++≥+--=+ ⎪⎝
⎭，.....8分 4)(>x f 因为恒成立，14a a ∴+
>，又0>a ，14a a ∴+>，....10分
解得02a <<-2a >+a 的取值范围是(()0,223,++∞.....12分 19.解：〔1〕在△ABC 中，由正弦定理知sin sin sin a b c A B C
==2R =....1分
又因为()2cos cos a b C c B -⋅=⋅
所以2sin sin cos AcosC BcosC BsinC =+，即2sin cos sin A C A =.....3分
∵0A π<<,∴sin 0A > ∴1cos 2
C = .....5分 ∵0C π<< ∴3C π=
.....6分
〔2〕∵1sin 2
ABC S ab C ∆== ∴4ab = .....8分 又()222223c a b abcosC a b ab =+-=+- ........10分
∴()216a b +=∴4a b +=
∴周长为6. .........12分
20.解：〔1〕当1x <-时，()13336210f x x x x =---=--≥，
解得2x -≤，所以2x -≤； .....1分 当113x -≤≤
时，()1333410f x x x =-++=≥，x φ∈； ......2分 当13
x >时，()31336210f x x x x =-++=+≥， 解得43x ≥，所以43
x ≥. ......3分 综上，不等式()10f x ≥的解集为4(,2][,)3
-∞-+∞. .....6分
〔2〕证明：因为,a b
等价于()f x a b ≥++x ∈R 恒成立. ....7分
又因为()|31||33|4f x x x =-++≥，......9分。

又2a b +=1≤，
12a b +≤
=，当且仅当1a b ==时等号成立......11分
≥成立. ......12分 〔或12
2)()()2(222=+=+≤+b a b a b a ，所以)(2x f b a =≤+〕
21.解：〔1〕由，112
c ab a ==，.....1分
又222a b c =+
，解得2,1,a b c ===......3分 ∴椭圆的方程为2
214
x y +=．......4分 〔2〕设),(),,(2211y x Q y x P ，PQ 方程为m x y +=2，与椭圆方程联立，得 044161722=-++m mx x ， ....6分 所以17
44,171622121-=-=+m x x m x x ....7分 ∵OP OQ ⊥，∴02121=+y y x x .....8分
即0)(252
2121=+++m x x m x x ，......10分
解得2±=m ...... 11分
∴直线l 的方程为22y x =±即220x y -±=．......12分 〔或：设直线l 的方程为2y x t =+，那么由22142x y y x t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得22224x y x y t -⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 即()()
2224416160y y t t x x ⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∵OP OQ ⊥∴2221614244
t t t t -=-⇒=⇒=±- ∴直线l 的方程为22y x =±即220x y -±=．〕
22.解：〔I 〕设()()1122,,,M x y N x y ，故221112
x y +=，2222 1.2x y +=将两式相减，可得22221212022x x y y ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭
，......1分 即()()()()121212120,2x x x x y y y y +-++-=因为A 为线段MN 的中点，所以12122, 1.x x y y +=+=.....2分
得()()()()
121212120,2x x y y y y x x +-+=+- ....3分 即
20,2MN k +=.......4分。

故直线MN 的斜率 1.MN k =- ......5分 〔II 〕联立222,1,2
y x t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2298220x tx t ++-=，由0∆>可得()226436220t t -->，解得209t <<......6分
设()()3344,,,P x y Q x y 由根与系数的关系可得342348,922.9t x x t x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
.....7分 又点B 到直线2l
的距离d == ......9分
1122BPQ S PQ d ∴=⨯⨯= .....10分 当且仅当292t =
，即t =.故BPQ
的面积的最大值为2....12分。