高二级上学期期末考试理科数学试卷(含参考答案)

考试时间：120分钟；满分：150分；
注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案．．．．．．填涂．．在答题．．．卷．上．）．
1.在复平面内，复数i （2﹣i ）对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 2.命题“若x 2=1，则x=1或x=﹣1”的逆否命题为（ ） A ．若x 2=1，则x ≠1且x ≠﹣1
B ．若x 2≠1，则x ≠1且x ≠﹣1
C ．若x ≠1且x ≠﹣1，则x 2≠1
D ．若x ≠1或x ≠﹣1，则x 2≠1 3.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c
，且c =S=3，则b 的值为（ ）
A ．6
B ．26 C
D
4.如图，为测量塔高AB ，选取与塔底B 在同一水平面内的两点 C 、D ，在C 、D 两点处测得塔顶A 的仰角分别为45°，30°， 又测得∠CBD=30°，CD=50米，则塔高AB=（ ） A ．50米
B ．253米
C ．25米
D ．503米
5.若直线ax ﹣by+2=0（a ＞0，b ＞0）被圆x 2+y 2+2x ﹣4y+1=0截得的弦长为4，则11
a b
+的最小值为（ ） A ．
14 B
．32+
．3
2
+ 6.已知双曲线C ：22
22x y 1(a 0,b 0)a b
-=>>
C 的渐近线方程为（ ）
A ．y=±3x
B ．y=±2x
C ．1y x 3=±
D ．1
y x 2
=± 7.已知命题p ：x 2+2x ﹣3＞0；命题q ：x ＞a ，且￢q 的一个充分不必要条件是￢p ，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，1] B ．[1，+∞） C ．[﹣1，+∞） D ．（﹣∞，﹣3] 8. 等差数列}{n a 中，3016104=++a a a ，则14182a a -的值为（ ） A ．20 B ．20- C.10 D ．10-
9.四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面是平行四边形，M 是AC 与BD 的交点．
第一
学期期末考试
高二级理科数学试题卷
若1AB a ,AD b ,AA c ,=== 则1C M
可以表示为（ ）
A ．1a b c 2
++ B ．11a b c 22--+ C ．11a b c 22--- D ．11a b c 22++
10.若不等式（a ﹣2）x 2+2（a ﹣2）x ﹣4＜0对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣2，2]
B ．[﹣2，2]
C ．（2，+∞）
D ．（﹣∞，2]
11.在正方体1111ABCD A B C D -中，N M 、为的棱A AD B 与的中点，则异面直线N M 与1BD 所成角的余弦值是（ ） A
B ．12 C
D
12.如图，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为 整数的点）按如下规则表上数字标签：原点处标0 点（1，0）处标1，点（1，-1）处标2，点（0，-1） 处标3，点（-1，-1）处标4，点（-1，0）标5，点 （-1，1）处标6，点（0，1）处标7，以此类推，
则标签2
2009的格点的坐标为( )
A ．(1005,1004)
B ．(1004，1003)
C ．(2009,2008)
D ．(2008,2007)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．
13.已知向量(2,1,3)a =- ，(4,,)b x y =- ，若a b
∥则实数x y +=___________．
14.在直角坐标系中，若不等式组()x 0x y 0y k x 11≥⎧⎪
-≤⎨⎪≤++⎩
表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是 ．
15.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为
．若
a 2sinC=4sinA ，（a+c ）2=12+
b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为 ．
16.已知F 是双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的一个焦点，O 为坐标原点，M 是双曲线C 上
一点，若MOF ∆是等边三角形，则双曲线C 的离心率等于 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明或演算步骤.） 17.（10分）已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tanB+tanC=C
cos B cos A
cos 3．
（1）求角A 的大小； （2）当a=2时，求△ABC 周长的最大值．
18.（12分）在平面直角坐标系xOy 中，点P
到两点(0,的距离之和等于4， 设点P 的轨迹为C ． （1）写出C 的方程；
（2）设直线y=kx+1与C 交于A 、B 两点，k 为何值时OA OB ⊥
？
19.（12分）已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，n n 1S qS 1-=+， 其中q ＞0，n ＞1，n ∈N *
．
（1）若2322a ,a ,a 2+成等差数列，求{a n }的通项公式；
（2）设双曲线 22
2n
y x 1a -=的离心率为e n ，且e 2=3，求222
12n e e e +++
20.（12分）如图，底面ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，
//AF DE ，3DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为60︒．
（1）求证：AC ⊥平面BDE ； （2）求二面角F BE D --的余弦值．
21.（12分）设不等式组*x 4y 0y nx (x N )≤⎧⎪
≥⎨⎪≤∈⎩
所表示的平面区域为D n ，记D n 内整点的个数为a n （横纵坐标均
为整数的点称为整点）．
（1）当n=2时，先在平面直角坐标系中作出区域D 2，再求a 2的值； （2）求数列{a n }的通项公式；
（3）记数列{a n }的前n 项的和为S n ，试证明：对任意n ∈N *
恒有
12n 22223n 1S S S 5
2S 3S (n 1)S 12
++++<+ 成立． 22.（12分）如图，设点F 1（﹣c ，0）、F 2（c ，0）分别是椭圆22
2x C:y 1(a 1)a
+=>的左、右焦点，P 为
椭圆C 上任意一点，且 12
PF PF ⋅
的最小值为0． （1）求椭圆C 的方程；
（2）若动直线l 1，l 2均与椭圆C 相切，且l 1∥l 2，试 探究在x 轴上是否存在定点B ，点B 到l 1，l 2的 距离之积恒为1？若存在，请求出点B 坐标；若 不存在，请说明理由．
高二级理科数学期末试题答案1.A 2. C．3.D 4.A 5.C 6.A 7.B 8.D 9.C 10.A 11.D 12.A
13.4-14.（﹣1，1）15.1
17.【解答】解：（1）∵tanB+tanC=，
∴====，
∴sinA=cosA，∴tanA=，又0＜A＜π，∴A=．
（2）由正弦定理得：，
∴b==sinB，c==sinC=sin（﹣B），
∴b+c=[sinB+sin（﹣B）]=4（cosB+sinB）=4sin（B+），
∴当B+=即B=时，b+c取得最大值4．
∴△ABC周长的最大值4+2=6．
18.【解答】解：（1）由条件知：P点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，
其中，所以b2=a2﹣c2==1．
故轨迹C的方程为：；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）
由⇒（kx+1）2+4x2=4，即（k2+4）x2+2kx﹣3=0
由△=16k2+48＞0，可得：，
再由，
即（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+1=0，
所以，．
19.【解答】解：（Ⅰ）：∵S n+1=qS n +1 ①，
∴当n ≥2时，S n =qS n ﹣1+1 ②，两式相减可得a n+1=q•a n ， 即从第二项开始，数列{a n }为等比数列，公比为q ．
当n=1时，∵数列{a n }的首项为1，∴a 1+a 2=S 2=q•a 1+1，∴a 2 =a 1•q， ∴数列{a n }为等比数列，公比为q ．∵2a 2，a 3，a 2+2成等差数列， ∴2a 3 =2a 2+a 2+2，∴2q 2=2q+q+2，求得q=2，
则数列{a n }是以1为首项，公比为2的等比数列，则a n =1×2n ﹣1=2n ﹣1； （Ⅱ）由（1）可得数列{a n }是以1为首项，公比为q 的等比数列， 则a n =1×q n ﹣1
=q
n ﹣1
；若e 2=3，则e 2
=
=3，解可得a 2
=2
，则a 2
=q=2，即
q=2，
a n =1×q
n ﹣1
=q
n ﹣1
=（
2）
n ﹣1
，则e n 2
=1+a n 2
=1+8n ﹣1
， 故e 12+e 22+…+e n 2=n+（1+8+82+…+8n ﹣1）
=n+
20.解：（1）证明：∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，
∴DE AC ⊥，又∵底面ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥．∵BD DE D = ， ∴AC ⊥平面BDE ．
（2）解：∵DA ，DC ，DE 两两垂直，∴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -， ∵BE 与平面ABCD 所成角为60︒，即60DBE ∠=︒
，∴ED
DB
=， 由3AD =
，可知BD =
DE =
AF =
则(3,0,0)A
，F
，E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ，
∴(0,BF =-
，(3,0,EF =- ．设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =
，
则0,0,n BF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
即30,30,y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩
令z =
n = ． ∵AC ⊥平面BDE ，∴CA
为平面BDE 的一个法向量，
∴(3,3,0)CA =-
，
∴||cos ,||||n CA n CA n CA ⋅<>=⋅
．
∵二面角F BE D --为锐角，∴二面角F BE D --．
21.【解答】解：（1）D 2如图中阴影部分所示，
∵在4×8的矩形区域内有5×9个整点，对角线上有5个整点，
∴a 2=
=25．
（另解：a 2=1+3+5+7+9=25）
（2）直线y=nx 与x=4交于点P （4，4n ），
据题意有a n =
=10n+5．
（另解：a n =1+（n+1）+（2n+1）+（3n+1）+（4n+1）=10n+5） （3）S n =5n （n+2）． （8分）
∵
=
=
•
＜
，
∴++…+＜++…+
=（﹣+…+﹣）=（+﹣﹣）＜
（13分）
22.【解答】解：（1）设P （x ，y ），则有
，
∴∵点P 在椭圆C 上，可得，可得y 2=x 2，
∴
因此，最小值为1﹣c 2=0，解之得c=1，可得a 2=2，
∴椭圆C 的方程为
．
（2）①当直线l 1，l 2斜率存在时，设其方程为y=kx+m ，y=kx+n 把l 1的方程代入椭圆方程，得（1+2k 2
）x 2
+4mkx+2m 2
﹣2=0 ∵直线l 1与椭圆C 相切，
∴△=16k 2m 2﹣4（1+2k 2）（2m 2﹣2）=0，化简得m 2=1+2k 2 同理可得n 2=1+2k 2 ∴m 2=n 2，而若m=n 则l 1，l 2重合，不合题意，因此m=﹣n
设在x轴上存在点B（t，0），点B到直线l1，l2的距离之积为1，
则，即|k2t2﹣m2|=k2+1，
把1+2k2=m2代入，并去绝对值整理，可得k2（t2﹣3）=2或k2（t2﹣1）=0，而前式显然不能恒成立；因而要使得后式对任意的k∈R恒成立
必须t2﹣1=0，解之得t=±1，得B（1，0）或B（﹣1，0）；
②当直线l1，l2斜率不存在时，其方程为和，
定点（﹣1，0）到直线l1，l2的距离之积为；定点（1，0）到直线l1，l2的距离之积
为，也符合题意．
综上所述，满足题意的定点B为（﹣1，0）或（1，0）。