2020年高考数学二轮复习小题押题(12+4)专题精讲特训6-基本初等函数、函数与方程(求准度,提速度)

2020年高考数学二轮复习小题押题（12+4）专题精讲特训6（求准度，提速度）
小题押题16—(6)⎪⎪基本初等函数、函数与方程
考查点一基本初等函数的图象与性质
1．(2016·全国卷Ⅰ)若a＞b＞0,0＜c＜1，则()
A．log a c＜log b c B．log c a＜log c b
C．a c＜b c D．c a＞c b
解析：选B法一：因为0＜c＜1，所以y＝log c x在(0，＋∞)上单调递减，又0＜b＜a，所以log c a＜log c b.
法二：取a＝4，b＝2，c＝1
2，则log4
1
2＝－
1
2＞log2
1
2，排除A；4
1
2＝2＞2
1
2，排除C；⎝⎛⎭⎫
1
2
4＜
⎝
⎛
⎭
⎫1
2
2，排除D.故选
B.
2．(2013·全国卷Ⅱ)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则()
A．a>c>b B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
解析：选D易知log23>1，log32∈(0,1)，log52∈(0,1)．在同一平面直角坐标系中画出函数y＝log3x与y＝log5x
的图象，观察可知log32>log52.所以c>a>b.比较a，b的其他解法：log32>log33＝1
2，log52<log55＝
1
2，得a>b；
0<log23<log25，所以1
log23>1
log25，结合换底公式即得log32>log52.
考查点二函数的零点判断及应用3．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(e x－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝()
A ．－12
B ．13
C ．12
D ．1
解析：选C 法一：f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －
1＋e －x ＋1
)
＝(x －1)2＋a [e x －
1＋e
－(x －1)
]－1，
令t ＝x －1，则g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋a (e t ＋e －
t )－1. ∵g (－t )＝(－t )2＋a (e －
t ＋e t )－1＝g (t )，
∴函数g (t )为偶函数． ∵f (x )有唯一零点， ∴g (t )也有唯一零点．
又g (t )为偶函数，由偶函数的性质知g (0)＝0， ∴2a －1＝0，解得a ＝1
2.
法二：由f (x )＝0⇔a (e x －
1＋e
－x ＋1
)＝－x 2＋2x .
e x －
1＋e
－x ＋1
≥2e x －
1·e
－x ＋1
＝2，
当且仅当x ＝1时取“＝”．
－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，当且仅当x ＝1时取“＝”． 若a >0，则a (e x －
1＋e
－x ＋1
)≥2a ，
要使f (x )有唯一零点，则必有2a ＝1，即a ＝1
2.
若a ≤0，则f (x )的零点不唯一． 综上所述，a ＝1
2
.
4．(2014·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围为( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，－2) C ．(1，＋∞)
D ．(－∞，－1)
解析：选B 当a ＝0时，f (x )＝－3x 2＋1有两个零点，不符合题意，故a ≠0.f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2
a ，由题意得a <0且f ⎝⎛⎭⎫2a >0，解得a <－2.
5．(2011·全国卷)在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫－1
4，0 B.⎝⎛⎭⎫0，1
4 C.⎝⎛⎭⎫14，12
D.⎝⎛⎭⎫12，34
解析：选C 因为f ⎝⎛⎭⎫14＝e 1
4＋4×14－3＝e 1
4
－2<0，f ⎝⎛⎭⎫12＝e 1
2＋4×12－3＝e 1
2－1>0，所以f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为⎝⎛⎭⎫14，12.
函数零点问题是难点——精析2种考法破解它
考法(一) 函数零点个数的判断及应用
1．函数的零点及其与方程根的关系
对于函数f (x )，使f (x )＝0的实数x 叫做函数f (x )的零点．函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．
2．零点存在性定理
如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．
[题组突破]
1．(2017·南昌模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ＞0时，f (x )＝ln x －x ＋1，则函数g (x )＝f (x )－e x (e 为自然对数的底数)的零点个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：选C 当x ＞0时，f (x )＝ln x －x ＋1，f ′(x )＝1
x －1＝1－x x ，所以x ∈(0,1)时f ′(x )＞0，此时f (x )单调递增；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，此时f (x )单调递减．因此，当x ＞0时，f (x )max ＝f (1)＝ln 1－1＋1＝0.根据函数f (x )是定义在R 上的奇函数作出函数y ＝f (x )与y ＝e x 的大致图象，如图所示，观察到函数y ＝f (x )与y ＝e x 的图象有两个交点，所以函数g (x )＝f (x )－e x (e 为自然对数的底数)有2个零点．
2．(2017·福州质检)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x ，x ≥2，
(x －1)3，x ＜2，若函数g (x )＝f (x )－k 有两个零点，则两零点所在的区间为
( )
A ．(－∞，0)
B ．(0,1)
C ．(1,2)
D ．(1，＋∞)
解析：选D 在平面直角坐标系内作出函数f (x )的图象如图所示，由图易得若函数g (x )＝f (x )－k 有两个零点，即函数f (x )的图象与直线y ＝k 有两个交点，则k 的取值范围为(0,1)，两个零点分别位于(1,2)和(2，＋∞)内，故选D.
3．(2016·山东高考)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
|x |，x ≤m ，
x 2－2mx ＋4m ，x ＞m ，其中m ＞0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )
＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．
解析：作出f (x )的图象如图所示．当x ＞m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则4m －m 2＜m ，即m 2－3m ＞0.又m ＞0，解得m ＞3.
答案：(3，＋∞)
[解题方略]
考法(二) 函数零点的综合问题
[典例] (1)(2018届高三·湘中名校联考)已知函数f (x )＝－1
3x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2，若x 1＜f (x 1)
＜x 2，则关于x 的方程[f (x )]2－2af (x )－b ＝0的实数根的个数不可能为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
[解析] 由题意，得f ′(x )＝－x 2＋2ax ＋b .因为x 1，x 2是函数f (x )的两个极值点，所以x 1，x 2是方程－x 2＋2ax ＋b ＝0的两个实数根，所以由[f (x )]2－2af (x )－b ＝0，可得f (x )＝x 1或f (x )＝x 2.由题意，知函数f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增，又x 1＜f (x 1)＜x 2，依题意作出简图，如图所示，结合图形可知，方程[f (x )]2－2af (x )－b ＝0的实数根的个数不可能为5，故选D.
[答案] D
(2)(2017·云南玉溪一中月考)已知函数f (x )是定义在区间[－2,2]上的偶函数，当0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－2x ＋1，若在区间[－2,2]内，函数g (x )＝f (x )－kx －2k 有三个零点，则实数k 的取值范围是( )
A.⎝⎛⎭
⎫0，1
4 B.⎝⎛⎭
⎫0，1
2
C.⎝⎛⎭⎫14，12
D.⎝⎛⎭⎫14，＋∞
[解析] 因为函数f (x )是定义在区间[－2,2]上的偶函数，且当－2≤x ＜0时，0＜－x ≤2，所以f (x )＝f (－x )＝(－x )2－2(－x )＋1＝x 2＋2x ＋1.函数g (x )＝f (x )－kx －2k 在[－2,2]内有三个零点，即函数y ＝f (x )＝
⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－2x ＋1，0≤x ≤2，x 2＋2x ＋1，－2≤x ＜0的图象和直线y ＝k (x ＋2)在[－2，2]内有三个不同的交点．作出函数y ＝f (x )和y ＝k (x ＋2)的图象，如图所示．直线y ＝k (x ＋2)过定点P (－2，0)，由图可知k PA ＝14，k PB ＝12，
要
使此直线与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，则需满足14＜k ＜1
2
.故选C.
[答案] C [解题方略]
1．(2017·福州模拟)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
e x
，x ≥0，
ax ，x ＜0，若方程f (－x )＝f (x )有五个不同的根，则实数a 的取值范围为
( )
A ．(－∞，－e)
B ．(－∞，－1)
C ．(1，＋∞)
D ．(e ，＋∞)
解析：选A 因为f (0)＝f (－0)＝e 0＝1， 所以x ＝0是方程f (－x )＝f (x )的一个根． 又方程f (－x )＝f (x )有五个不同的根， 即方程e x ＝a (－x )(x ＞0)有两个不同的根，
设过原点且与函数g (x )＝e x (x ＞0)的图象相切的直线为OP (其中点P (x 0，y 0)为切点)， 则－a ＞k OP .由g ′(x )＝e x ， 得k OP ＝e
x 0
＝y 0x 0＝e x 0
x 0
，解得x 0＝1. 所以－a ＞e ，即a ＜－e ，
所以实数a 的取值范围为(－∞，－e)．
2．已知y ＝f (x )是R 上的偶函数，对于任意的x ∈R ，均有f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝(x －1)2，则函数g (x )＝f (x )－log 2 017|x －1|的所有零点之和为________．
解析：因为函数f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (2－x )＝f (x ＋2)，所以函数f (x )的周期为2，又当x ∈[0,1]时，f (x )＝(x －1)2，将偶函数y ＝log 2 017|x |的图象向右平移一个单位长度得到函数y ＝log 2 017|x －1|的图象，由此可在同一平面直角坐标系下作出函数y ＝f (x )与y ＝log 2 017|x －1|的图象(图略)，函数g (x )的零点，即为函数y ＝f (x )与y ＝log 2 017|x －1|图象的交点的横坐标，当x ＞2 018时，两函数图象无交点，又两函数图象在[1,2 018]上有2 016个交点，由对称性知两函数图象在[－2 016,1]上也有2 016个交点，且它们关于直线x ＝1对称，所以函数g (x )的所有零点之和为4 032.
答案：4 032
[A 级——“12＋4”保分小题提速练]
1．(2018届高三·吉林实验中学摸底)若f (x )是幂函数，且满足f (9)
f (3)＝2，则f ⎝⎛⎭⎫19＝( ) A.1
2 B.14
C ．2
D ．4
解析：选B 设f (x )＝x α
，由f (9)f (3)＝9α3α＝3α
＝2，得α＝log 32，∴f ⎝⎛⎭⎫19＝⎝⎛⎭⎫19log 32＝14. 2．(2017·云南模拟)设a ＝60.7，b ＝log 70.6，c ＝log 0.60.7，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．c ＞a ＞b
D ．a ＞c ＞b
解析：选D 因为a ＝60.7＞1，b ＝log 70.6＜0,0＜c ＝log 0.60.7＜1，所以a ＞c ＞b . 3．函数f (x )＝|log 2x |＋x －2的零点个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选B 函数f (x )＝|log 2x |＋x －2的零点个数，就是方程|log 2x |＋x －2＝0的根的个数．
令h (x )＝|log 2x |，g (x )＝2－x ，画出两函数的图象，如图．
由图象得h (x )与g (x )有2个交点，∴方程|log 2x |＋x －2＝0的解的个数为2. 4．(2017·河南适应性测试)函数y ＝a x －a (a ＞0，a ≠1)的图象可能是( )
解析：选C 由函数y ＝a x －a (a ＞0，a ≠1)的图象过点(1,0)，得选项A 、B 、D 一定不可能；C 中0＜a ＜1，有可能，故选C.
5.已知奇函数y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
f (x )，x ＞0，
g (x )，x ＜0.若f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)对应的图象如图所示，则
g (x )＝( )
A.⎝⎛⎭⎫12－x
B ．－⎝⎛⎭⎫12x
C ．2－
x
D ．－2x
解析：选D 由图象可知，当x ＞0时，函数f (x )单调递减，则0＜a ＜1，∵f (1)＝12，∴a ＝1
2
，即函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x
，当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝⎝⎛⎭⎫12－x ＝－g (x )，即g (x )＝－⎝⎛⎭⎫12－x ＝－2x ，故g (x )＝－2x ，x ＜0，选D. 6．已知f (x )＝a x 和g (x )＝b x 是指数函数，则“f (2)＞g (2)”是“a ＞b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选C 由题可得，a ＞0，b ＞0且a ≠1，b ≠1.
充分性：f (2)＝a 2，g (2)＝b 2，由f (2)＞g (2)知，a 2＞b 2，再结合y ＝x 2在(0，＋∞)上单调递增，可知a ＞b ，故充分性成立；
必要性：由题可知a ＞b ＞0，构造函数h (x )＝f (x )g (x )＝a x b x ＝⎝⎛⎭⎫a b x ，显然a b ＞1，所以h (x )单调递增，故h (2)＝a 2b 2＞h (0)
＝1，所以a 2＞b 2，故必要性成立．
7．函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)
D ．(1,2)
解析：选C 法一：∵f (0)＝e 0＋0－2＝－1＜0，f (1)＝e 1＋1－2＝e －1＞0，∴f (0)f (1)＜0，故函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是(0,1)，选C.
法二：函数f (x )＝e x ＋x －2的零点，即函数y ＝e x 的图象与y ＝－x ＋2的图象的交点的横坐标，作出函数y ＝e x
与直线y ＝－x ＋2的图象如图所示，由图可知选C.
8．已知函数f (x )＝ln x ＋3x －8的零点x 0∈[a ，b ]，且b －a ＝1，a ，b ∈N *，则a ＋b ＝( ) A ．0 B ．2 C ．5
D ．7
解析：选C ∵f (2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2＜0，f (3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1＞0，且函数f (x )＝ln x ＋3x －8在(0，＋∞)上为单调递增函数，∴x 0∈[2,3]，即a ＝2，b ＝3，∴a ＋b ＝5.
9．(2018届高三·湖南四校联考)设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2x ，x ＞0，g (x )，x ＜0，若f (x )为奇函数，则g ⎝⎛⎭⎫－1
4的值为( ) A ．－1
4
B.14
C ．－2
D ．2
解析：选D 法一：当x ＞0时，f (x )＝log 2x ， ∵f (x )为奇函数，
∴当x ＜0时，f (x )＝－log 2(－x )， 即g (x )＝－log 2(－x )， ∴g ⎝⎛⎭⎫－14＝－log 21
4
＝2. 法二：g ⎝⎛⎭⎫－14＝f ⎝⎛⎭⎫－14＝－f ⎝⎛⎭⎫14＝－log 21
4
＝－log 22－2＝2. 10．(2017·杭州二模)已知直线x ＝m (m ＞1)与函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，g (x )＝log b x (b ＞0且b ≠1)的图象及x 轴分别交于A ，B ，C 三点，若AB ―→＝2BC ―→
，则( )
A ．b ＝a 2
B ．a ＝b 2
C ．b ＝a 3
D ．a ＝b 3
解析：选C 由于AB ―→＝2BC ―→，则AC ―→＝3BC ―→
，则点A 的坐标为(m,3g (m ))，又点A 在函数f (x )＝log a x 的图象上，故log a m ＝3log b m ，即log a m ＝log b m 3，由对数运算可知b ＝a 3.
11．(2017·山西监测)已知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ＋1，x ≤0，
|ln x |，x ＞0，则方程f [f (x )]＝3的根的个数是
( )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
解析：选B 令f (x )＝t ，则方程f [f (x )]＝3即为f (t )＝3，解得t ＝e －3
或e 3，作出函数f (x )的图象(如图所示)，由
图象可知方程f (x )＝e
－3
有3个解，f (x )＝e 3有2个解，则方程f [f (x )]＝3有5个实根．
12．(2017·合肥模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2x
＋1，x ＜0，⎪⎪⎪⎪
12x 2－2x ＋1，x ≥0.方程[f (x )]2－af (x )＋b ＝0(b ≠0)有6个不同的实数解，则3a ＋b 的取值范围是( )
A ．[6,11]
B ．[3,11]
C ．(6,11)
D ．(3,11)
解析：选D 作出函数f (x )的图象如图所示，
对于方程[f (x )]2－af (x )＋b ＝0，可令f (x )＝t ，那么方程根的个数就是f (x )＝t 1与f (x )＝t 2的根的个数之和，结合图象可知，要使总共有6个根，需要一个方程有4个根，另一个方程有2个根，从而可知关于t 的方程t 2－at ＋b ＝0有2个根，分别位于区间(0,1)与(1,2)内，由根的分布得出约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
b ＞0，1－a ＋b ＜0，
4－2a ＋b ＞0，
画出可行域如图所示，目标函数z ＝3a ＋b 经过⎩
⎪⎨⎪⎧
1－a ＋b ＝0，
4－2a ＋b ＝0的交点A (3,2)时取得最大值11，经过B (1,0)时
取得最小值3.故3a ＋b 的取值范围为(3,11)．
13．函数y ＝log a (x －3)＋3(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点________．
解析：因为函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点(1,0)，所以函数y ＝log a (x －3)＋3(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点(4,3)．
答案：(4,3)
14．(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)＝________. 解析：(log 43＋log 83)(log 32＋log 92) ＝12log 23＋1
3log 23⎝⎛⎭⎫log 32＋12log 32 ＝56log 23×3
2log 32 ＝54. 答案：5
4
15．已知函数f (x )为偶函数且f (x )＝f (x －4)，又在区间[0,2]上f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x 2－32x ＋5，0≤x ≤1，2x ＋2－x ，1<x ≤2，
函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫
12|x |
＋a ，若F (x )＝f (x )－g (x )恰有2个零点，则a ＝________.
解析：由题意可知f (x )是周期为4的偶函数，画出函数f (x )与g (x )的大致图象(图略)．若F (x )＝f (x )－g (x )恰有2
个零点，则有g (1)＝f (1)，解得a ＝2.
答案：2
16．(2018届高三·湖北七校联考)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P (毫克/升)与时间t (小时)的关系为P ＝P 0e －kt
.如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为
________小时．
解析：前5小时污染物消除了10%，此时污染物剩下90%，即t ＝5时，P ＝0.9P 0，代入得(e －
k )5＝0.9，
∴e －k
＝5
0.9＝0.915
，∴P ＝P 0e
－kt
＝P 0⎝⎛⎭
⎫0.91
5t .当污染物减少19%时，污染物剩下81%，此时P ＝0.81P 0，代入得0.81＝⎝⎛⎭
⎫0.91
5t ，解得t ＝10，即需要花费10小时． 答案：10
[B 级——中档小题强化练]
1．(2017·福州模拟)已知a ＝16ln 8，b ＝1
2ln 5，c ＝ln 6－ln 2，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．a ＜b ＜c
B ．a ＜c ＜b
C ．c ＜a ＜b
D ．c ＜b ＜a
解析：选B 因为a ＝16ln 8，b ＝12ln 5，c ＝ln 6－ln 2，所以a ＝ln 2，b ＝ln 5，c ＝ln 6
2＝ln 3.又函数y ＝
ln x 在(0，＋∞)上为单调递增函数，由2＜3＜5，得ln 2＜ln 3＜ln 5，所以a ＜c ＜b .
2．已知函数f (x )＝ln e x －e －
x
2
，则f (x )是( )
A ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增
B ．奇函数，且在R 上单调递增
C ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减
D ．偶函数，且在R 上单调递减
解析：选A 要使函数有意义，则e x ＞e －
x ，解得x ＞0，即函数的定义域是(0，＋∞)，故函数是非奇非偶函数．又
y ＝e x 与y ＝－e －
x 在(0，＋∞)上递增，所以f (x )在(0，＋∞)上递增，故选A.
3．(2017·西宁一检)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是( )
A.⎝⎛⎦⎤－∞，－12
B.⎝⎛⎦⎤－∞，1
4 C.⎣⎡⎭⎫12，＋∞
D.⎣⎡⎭⎫14，＋∞
解析：选D 对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)⇔f (x 1)min ≥g (x 2)min .又f (x )min ＝f (0)＝0，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，则0≥14－m ，解得m ≥1
4
. 4．(2017·沈阳模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x
＋22，x ≤1，|log 2(x －1)|，x ＞1，则函数F (x )＝f [f (x )]－2f (x )－32
的零点个数是( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
解析：选A 令f (x )＝t ，则函数F (x )可化为y ＝f (t )－2t －3
2，则函数F (x )的零点问题可转化为方程f (t )－2t
－32＝0有根的问题．令y ＝f (t )－2t －32＝0，即f (t )＝2t ＋3
2，如图①，由数形结合得t 1＝0,1＜t 2＜2，如图②，再由数形结合得，当f (x )＝0时，x ＝2，有1个解，当f (x )＝t 2时，有3个解，所以y ＝f [f (x )]－2f (x )－3
2
共有4个零点．
5.(2018届高三·西安八校联考)如图所示，已知函数y ＝log 24x 图象上的两点A ，B 和函数y ＝log 2x 图象上的点C ，线段AC 平行于y 轴，当△ABC 为正三角形时，点B 的横坐标为________．
解析：依题意，当AC ∥y 轴，△ABC 为正三角形时，|AC |＝log 24x －log 2x ＝2，点B 到直线AC 的距离为32×2＝3，设点B (x 0,2＋log 2x 0)，则点A (x 0＋3，3＋log 2x 0)．由点A 在函数y ＝log 24x 的图象上，得log 24(x 0＋3)＝3＋log 2x 0，则4(x 0＋3)＝8x 0，x 0＝3，即点B 的横坐标是 3.
答案： 3
6．(2017·江西师大附中期末)已知函数f (x )＝⎪
⎪⎪⎪2x －a 2x 在[0,1]上单调递增，则a 的取值范围为________． 解析：令2x ＝t ，t ∈[1,2]，则y ＝⎪⎪⎪
⎪t －a t 在[1,2]上单调递增．当a ＝0时，y ＝|t |＝t 在[1,2]上单调递增显然成立；当a >0时，函数y ＝⎪⎪⎪
⎪t －a t ，t ∈(0，＋∞)的单调递增区间是[a ，＋∞)，此时a ≤1，即0<a ≤1时成立；当a <0时，函数y ＝⎪⎪⎪⎪t －a t ＝t －a t
，t ∈(0，＋∞)的单调递增区间是[－a ，＋∞)，此时－a ≤1，即－1≤a <0时成立．综上可得a 的取值范围是[－1,1]．
答案：[－1,1]。