新人教版九年级上册数学《二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质(3)》名师教案

新人教版九年级上册数学《二次函数y ＝ax^2＋bx ＋c 的图象
和性质（3）》名师教案
第三课时 (卢文)
一、教学目的
〔一〕学习目的
学会运用待定系数法求二次函数解析式，熟练运用图象上三个点能确定二次函数解析式． 掌握二次函数解析式的三种方式，并会选用不同的方式，用待定系数法求二次函数的解析式．
〔二〕学习重点
经过对用待定系数法求二次函数解析式的探求，掌握求解析式的方法．
〔三〕学习难点
能灵敏依据条件恰外地选择解析式，体会二次函数解析式之间的转化．在实践运用中确立二次函数表达式．
二、教学设计
〔一〕课前设计
1.预习义务
〔1〕二次函数表达式罕见的三种方式是：
普通式：c bx ax y ++=2；
顶点式：k h x a y +-=2)（；
交点式：))(21x x x x a y --=（.
（2）求二次函数表达式的常用方法是待定系数法.
2.预习自测
〔1〕假定抛物线经过〔0，1〕，〔-1，0〕，〔1，0〕三点，那么此抛物线的解析式为〔 〕
A. y=x 2+1
B. y=x 2-1
C. y=-x 2+1
D. y=-x 2-1
【知识点】待定系数法求解析式，解方程组
【解题进程】解：设所求函数的解析式为y =ax 2+bx +c ，
把〔0，1〕，〔-1，0〕，〔1，0〕区分代入，
得：100c a b c a b c =⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩ 解得⎪⎩
⎪⎨⎧==-=101c b a
所求的函数的解析式为12+-=x y ．
应选C
【思绪点拨】三点，用待定系数法求抛物线的解析式
【答案】C
〔2〕某抛物线的顶点坐标为〔1，-2〕，且经过〔2，1〕，那么抛物线的解析式为〔 〕
A.y =3x 2-6x -5 B ．y =3x 2-6x +1 C ．y =3x 2+6x +1 D ．y =3x 2+6x +5
【知识点】待定系数法求解析式，解方程组
【解题进程】解: ∵抛物线的顶点坐标为〔1，-2〕，且经过〔2，1〕，
∴设抛物线的解析式为y =a 〔x -1〕2-2，
把〔2，1〕代入得：1=a 〔2-1〕2-2，
解得：a=3，
∴y =3〔x -1〕2-2=3x 2-6x +1，
选B
【思绪点拨】顶点，用顶点式求抛物线的解析式。

设抛物线的解析式为y =a 〔x -1)2-2，把〔2，1〕代入得出1=a 〔2-1〕2-2，求出a.
【答案】B
〔3〕抛物线经过点A 〔0，6〕，且与x 轴两交点的横坐标区分为-3，2，那么此抛物线的解析式为〔 〕
A . y =-x 2+x+6
B ．y =-x 2-x+6
C ．y =-x 2+5x +6
D ．y =-x 2+x +5
【知识点】待定系数法求解析式
【解题进程】解: ∵抛物线经过点A 〔0，6〕，且与x 轴两交点的横坐标区分为-3，2， ∴设抛物线的解析式为y =a 〔x+3〕〔x -2〕，
把〔0，6〕代入得：a 〔0+3〕〔0-2〕=6，
解得：a =-1，
∴y =-〔x+3〕〔x -2〕，即y =-x 2-x+6，
应选B
【思绪点拨】图象与x 轴交点的坐标，用交点式求抛物线的解析式。

【答案】选B
〔4〕二次函数的图象如下图,那么它的解析式正确的选项是( )
A. y=2x 2-4x
B. y=-x(x-2)
C. y=-(x-1)2+2
D. y=-2x 2+4x
【知识点】待定系数法求解析式
【数学思想】数形结合
【解题进程】解: 依据图象得:抛物线的顶点坐标为(1,2),
设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2,
将(2,0)代入解析式,得0=a+2,解得a=-2,
那么抛物线解析式为y=-2(x-1)2+2=-2x 2+4x.
应选D.
【思绪点拨】由图象与x 轴交点的横坐标，可求得对称轴方程，再用顶点式求抛物线的解析式。

(二)课堂设计
1.知识回忆
〔1〕二次函数表达式罕见的三种方式是：普通式：c bx ax y ++=2；顶点式：k h x a y +-=2)（；交点式：))(21x x x x a y --=（.
〔2〕抛物线k h x a y +-=2)（的顶点坐标是〔h,k 〕.
2.效果探求
探求一
●活动① 回忆旧知,引出新知
效果1：一次函数y=kx+b(k ≠0)有几个待定系数？通常需求几个点的坐标求出它的解析式？
生答：2个
效果2：求一次函数解析式的方法是什么？它的普通步骤是什么？
生答：待定系数法：(1)设：〔表达式〕；(2)代：〔坐标代入〕；(3)解：方程〔组〕；(4)恢复：〔写解析式〕
效果3：二次函数c bx ax y ++=2〔a ≠0〕有几个待定系数？通常需求几个点的坐标求出它的解析式？
生答：3个
【设计意图】温习待定系数法求一次函数解析式的方法，引出异样可用待定系数法求二次函数c bx ax y ++=2〔a ≠0〕的解析式。

●活动② 协作探求，抛物线上三个点确定二次函数解析式．
效果：抛物线上三个点如何确定二次函数解析式？
二次函数图象经过点〔-3，0〕，〔-1，0〕，〔0，-3〕，试求出这个二次函数的解析式.
解析：设普通式y＝ax2＋bx＋c，再把三点坐标代入失掉关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c即可.
解：设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,
把〔-3，0〕，〔-1，0〕，〔0，-3〕代入y=ax2+bx+c得
解得
∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.
归结总结：
普通式法求二次函数解析式的方法：
这种三点求二次函数解析式的方法叫做普通式法.
其步骤是：
①设函数解析式为y=ax2+bx+c；
②代入后失掉一个三元一次方程组；
③解方程组失掉a,b,c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数解析式.
假定标题给出了二次函数图象上三个点的坐标，那么可采用普通式求解.
【设计意图】让先生知道抛物线上三个点确定二次函数解析式的方法．
探求二
活动协作探求，抛物线的顶点坐标确定二次函数解析式．
效果：顶点坐标及图象上另一点坐标，能否求出二次函数解析式？如何停止？
抛物线的顶点坐标为M(1，－2)，且经过点N(2，3)，求此二次函数的解析式．
解析：由于抛物线的顶点坐标为M(1，－2)，所以设此二次函数的解析式为y＝a(x－1)2－2，把点N (2，3)代入解析式解答．
解：抛物线的顶点坐标为M(1，－2)，
设此二次函数的解析式为y＝a(x－1)2－2，
把点N(2，3)代入解析式，得a－2＝3，即a＝5，
∴此函数的解析式为y＝5(x－1)2－2.
归结总结
顶点式法求二次函数解析式的方法：
这种知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点式法.其步骤是：
①设函数解析式是y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标，失掉关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数解析式.
假定标题给出了二次函数的顶点坐标，那么采用顶点式求解复杂．
【设计意图】让先生知道抛物线的顶点坐标确定二次函数解析式的方法．
探求三
活动抛物线与x轴两交点坐标或一交点坐标和对称轴如何确定二次函数解析式？
抛物线经过两点A(1，0)，B(0，－3)，且对称轴是直线x＝2，求此二次函数的解析式．解析：可设交点式y＝a(x－1)(x－3)，然后把B点坐标代入求出a即可；
解：∵对称轴是直线x＝2，∴抛物线与x轴另一个交点坐标为(3，0)．
设抛物线解析式为y＝a(x－1)(x－3)，
把B(0，－3)代入得a(－1)×(－3)＝－3，解得a＝－1，
∴抛物线解析式为y＝－(x－1)(x－3)＝－x2＋4x－3.
归结总结：
交点式法求二次函数解析式的方法：
这种知道抛物线与x轴的交点坐标，求解析式的方法叫做交点式法.其步骤是：
①设函数解析式是y=a(x-x
1)(x-x
2
)；
②先把两交点的横坐标x
1,x
2
代入到解析式中，失掉关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数解析式.
抛物线与x轴两交点或一交点和对称轴，那么采用交点式求解复杂．
【设计意图】让先生知道抛物线与x轴两交点坐标或一交点坐标和对称轴，确定二次函数解析式的方法．
探求四
●活动①基础型例题
例1.二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1,且经过点(2,5)和(-2,13),求这个二次函数的表达
式.
【知识点】用待定系数法求二次函数解析式
【解题进程】解:由于二次函数图象与y 轴交点的纵坐标为1,所以c=1.
设二次函数的表达式为y=ax 2+bx+1,
将点(2,5)和(-2,13)代入y=ax 2+bx+1,得
所以所求二次函数的表达式为y=2x 2-2x+1.
【思绪点拨】二次函数图象经过恣意三点，可直接设表达式为普通式，代入可得三元一次方程组，解之即可求出待定系数.
【答案】y=2x 2-2x+1.
练习:二次函数的图象经过点A (3,0)，B (2，-3)，C (0，-3)，求函数的表达式和对称轴.
【知识点】用待定系数法求二次函数解析式
【解题进程】解:设函数表达式为y=ax 2+bx+c ，由于二次函数的图象经过点A (3,0)，B (2，-3)，C (0，-3)，那么有
930,423,3.a b c a b c c ++=⎧⎪++=-⎨⎪=-⎩
解得1,2,3.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩
∴函数的表达式为y=x 2-2x-3，其对称轴为直线x=1.
【思绪点拨】图象上三点，用普通式求解.
【答案】y=x 2-2x-3，对称轴为直线x=1.
例2.抛物线的顶点是〔1，2〕且过点〔2，3)，求这个二次函数的表达式.
【知识点】用待定系数法求二次函数解析式
【解题进程】解:顶点坐标设顶点式y=a(x-h)2+k
∵顶点是〔1，2〕
∴设y=a(x-1)2+2，又过点〔2，3〕
∴a(2-1)2+2=3，∴a=1
∴ y=(x-1)2+2，即y=x 2-2x+3
【思绪点拨】此题只通知了两个点的坐标，但其中一点为顶点坐标，所以表达式可设顶点式：y=a(x-h)2+k ，即可失掉一个关于字母a 的一元一次方程，再把另一点代入即可求出待定系数.
在设表达式时留意h 的符号.
【答案】y=x 2-2x+3
练习：一个二次函数的图象的顶点是(-1，2)，且过点〔0，32
〕，求这个二次函数的表达式及与x 轴交点的坐标.
【知识点】用待定系数法求二次函数解析式
【解题进程】解:顶点坐标设顶点式y=a(x-h)2+k
∵顶点是〔-1，2〕
∴设y=a(x+1)2+2，又过点〔0，
32〕， ∴a(0+1)2+2=
32，∴a=-12 ∴ y=-12(x+1)2+2，即y=-12x 2-x+32
. 令y=0，即-12x 2-x+32
=0， 解得1,321=-=x x .
∴与x 轴交点坐标为(-3，0)、(1，0).
【思绪点拨】抛物线的顶点和图象上另外一点的坐标，采用顶点式求解．关于其图象与x 的交点，即当y=0时，解关于x 的一元二次方程.
【答案】y=-12x 2-x+32
,与x 轴交点坐标为(-3，0)、(1，0). 【设计意图】让先生熟习用待定系数法求二次函数解析式。

●活动2 提升型例题
例3.抛物线经过三点〔-3，0〕，〔-1，0〕，〔0，-3〕，试求出这个二次函数的表达式.
【知识点】用待定系数法求二次函数解析式
【解题进程】解：∵〔-3，0〕〔-1，0〕是抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的交点.
所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x 1)(x-x 2).(其中x 1、x 2为交点的横坐标〕 因此得y=a(x+3)(x+1).
再把点〔0，-3〕代入上式得
∴a(0+3)(0+1)=-3，
解得a=-1，
∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+3)(x+1),即y=-x 2-4x-3.
【思绪点拨】由于点为抛物线与x轴的交点，表达式可设为交点式，再把第三点代入可得一元一次方程，较普通式所得的三元一次方程组复杂.而顶点可依据顶点公式求出.
【答案】y=-x2-4x-3.
练习：一抛物线经过三点A(-2，0)、B(1，0)、C(2，8).试求该抛物线的表达式及顶点坐标. 【知识点】用待定系数法求二次函数解析式
【解题进程】解:∵A(-2，0)、B(1，0)是抛物线与x轴两交点，
∴设表达式为y=a(x+2)(x-1)，
把C(2，8)代入上式，
那么有a(2+2)(2-1)=8,∴a=2.
∴此函数的表达式为y=2x2+2x-4，其顶点坐标为〔-1
2
，-
9
2
〕.
【思绪点拨】抛物线与x轴两交点，采用交点式求解．
【答案】y=2x2+2x-4，其顶点坐标为〔-1
2
，-
9
2
〕.
例4.如图，二次函数的图象过A、C、B三点，点A的坐标为〔﹣1，0〕，点B的坐标为〔4，0〕，点C在y轴正半轴上，且AB=OC．
〔1〕求点C的坐标；
〔2〕求二次函数的解析式，并化成普通方式．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式．
【数学思想】数形结合
【解题进程】解：〔1〕∵点A的坐标为〔﹣1，0〕，点B的坐标为〔4，0〕，
∴OC=AB=5，
∴点C的坐标为〔0，5〕；
〔2〕设二次函数解析式为：y=ax2+bx+5，
把A〔﹣1，0〕、B〔4，0〕代入原函数解析式得出：
a=﹣5
4
，b=
15
4
；
所以这个二次函数的解析式为：y=﹣5
4
x2+
15
4
x+5．
【思绪点拨】〔1〕依据标题所给的信息可以知道OC=AB=5，点C在y轴上可以写出点C的坐标；
〔2〕二次函数图象经过点A、B、C；这三个点的坐标，依据三点法确定这个二次函数解析式．
【答案】〔1〕C〔0，5〕；〔2〕y=﹣5
4
x2+
15
4
x+5．
练习：在直角坐标平面内，抛物线y=x2+bx+6经过x轴上两点A，B，点B的坐标为〔3，0〕，与y轴相交于点C.
〔1〕求抛物线的表达式；
〔2〕求△ABC的面积．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式，求三角形面积．
【数学思想】数形结合
【解题进程】解：〔1〕把点B的坐标〔3，0〕代入抛物线y=x2+bx+6
得0=9+3b+6，解得b=﹣5，
所以抛物线的表达式y=x2﹣5x+6；
〔2〕∵抛物线的表达式y=x2﹣5x+6；
∴A〔2，0〕，B〔3，0〕，C〔0，6〕，
∴S△AB C=1
2
×1×6=3．
【思绪点拨】〔1〕把点B的坐标〔3，0〕代入抛物线y=x2+bx+6，即可得出抛物线的表达式y=x2﹣5x+6；
〔2〕先求出A〔2，0〕，B〔3，0〕，C〔0，6〕，再应用三角形面积公式求解．
【答案】〔1〕y=x2﹣5x+6；〔2〕S△ABC=3．
【设计意图】让先生掌握用待定系数法求解析式.
●活动3 探求型例题
例5.一个二次函数的图象经过点A(0,1),B(1,2),C(2,1),你能确定这个二次函数的表达式吗?你有几种方法?
【知识点】二次函数的解析式的求法的综合运用
【数学思想】分类讨论
【解题进程】
解法1：∵二次函数图象与y轴的交点的纵坐标为1,∴c=1.
设二次函数的表达式为y=ax2+bx+1,将点(1,2)和(2,1)区分代入y=ax2+bx+1,
∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+1.
解法2：由A(0,1),B(1,2),C(2,1)三个点的特征以及二次函数图象的对称性,可得点B(1,2)是函数图象的顶点坐标.
∴二次函数的表达式为y=a(x-1)2+2,
将点(0,1)代入y=a(x-1)2+2,
得a=-1.
∴二次函数的表达式为y=-(x-1)2+2,即y=-x 2+2x+1.
解法3：设二次函数的表达式为y=ax 2+bx+c,将点(0,1),(1,2)和(2,1)区分代入y=ax 2+bx+c,
得 12,142c a b c a b c =⎧⎪=++⎨⎪=++⎩12.1a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩解得
∴二次函数的表达式为y=-x 2+2x+1.
【思绪点拨】区分找出用三种方法求解析式的条件，区分求解。

【答案】y=-x 2+2x+1；三种。

练习：如下图,这是一名先生推铅球时,铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的图象，央求出其表达式。

【知识点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质．
【数学思想】数形结合
【解题进程】解：∵(4,3)是抛物线的顶点坐标,
∴设二次函数表达式为y=a(x-4)2+3,
把点(10,0)代入y=a(x-4)2+3,解得a=12
1-, 因此铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为y=121-
(x-4)2+3. 即3
5321212++-=x x y . 【思绪点拨】观察图象知，抛物线的顶点和另一点坐标，用顶点式求解。

【答案】3
5321212++-=x x y 例6.如图，二次函数24y ax x c =-+的图象经过点A 和点B ．
〔1〕求该二次函数的表达式；
〔2〕写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
〔3〕点P 〔m ，m 〕与点Q 均在该函数图象上〔其中m ＞0〕，且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m 的值及点Q 到x 轴的距离．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质．
【数学思想】数形结合
【解题进程】解：〔1〕将x=-1，y=-1；x=3，y=-9区分代入y ax x c =-+24
()(),
.
a c a c ⎧-=⨯--⨯-+⎪⎨-=⨯-⨯+⎪⎩2
2
11419343解得,.a c =⎧⎨=-⎩16 ∴二次函数的表达式为246y x x =-- ． 〔2〕对称轴为x=2 ；顶点坐标为〔2，-10〕．
〔3〕将〔m ，m 〕代入246y x x =-- ，得 246m m m =--， 解得 121,6m m =-=．∵m ＞0，∴11m =-不合题意，舍去． ∴ m=6．
∵点P 与点Q 关于对称轴x=2对称， ∴点Q 到x 轴的距离为6．
【思绪点拨】〔1〕用待定系数法求解析式；〔2〕用对称轴方程和顶点坐标公式写出，也可用配方法写出；〔3〕先将P 〔m ，m 〕代入抛物线解析式求出m 值，再求Q 点坐标。

【答案】〔1〕246y x x =--；〔2〕对称轴为x=2 ；顶点〔2，-10〕；〔3〕m=6，点Q 到x 轴的距离为6．
练习：如图，抛物线y=ax 2+2x+c 经过点A 〔0，3〕，B 〔﹣1，0〕，请解答以下效果： 〔1〕求抛物线的解析式；
〔2〕抛物线的顶点为点D ，对称轴与x 轴交于点E ，衔接BD ，求BD 的长． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质． 【数学思想】数形结合
【解题进程】解：〔1〕∵抛物线y=ax 2+2x+c 经过点A 〔0，3〕，B 〔﹣1，0〕，
∴将A 与B 坐标代入得：302c
a c =⎧⎨=-+⎩，
解得：1
3a c =-⎧⎨=⎩
，
那么抛物线解析式为y=﹣x 2+2x+3；
〔2〕点D 为抛物线顶点，由顶点坐标〔﹣2b
a ，244ac
b a
-〕得，D 〔1，4〕，
∵对称轴与x 轴交于点E ， ∴DE =4，OE =1， ∵B 〔﹣1，0〕，
∴BO =1， ∴BE =2，
在Rt △BED 中，依据勾股定理得：BD =
【思绪点拨】〔1〕将A 与B 代入抛物线解析式求出a 与c 的值，即可确定出抛物线解析式； 〔2〕应用顶点坐标公式表示出D 点坐标，进而确定出E 点坐标，失掉DE 与OE 的长，依据B 点坐标求出BO 的长，进而求出BE 的长，在直角三角形BED 中，应用勾股定理求出BD 的长．
【答案】〔1〕y=﹣x 2+2x+3；〔2〕BD =
【设计意图】在实践运用中确立二次函数解析式，并用二次函数解析式处置其它效果． 3. 课堂总结 知识梳理
（1）待定系数法求解析式的普通步骤：
①设：〔表达式〕；②代：〔坐标代入〕；③解：方程〔组〕；④恢复：〔写解析式〕 （2）待定系数法求二次函数解析式的普通方法： 条件 所选方法
①三点坐标 用普通式法：2y ax bx c =++ ②顶点坐标或 用顶点法：()2
y a x h k =-+ 对称轴或最值
③抛物线与x 轴 用交点法：()()12y a x x x x =-- 的两个交点 〔12x x ，为交点的横坐标〕 重难点归结
在应用待定系数法求二次函数关系式时，要依据标题给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．普通地，当抛物线上三点时，常选择普通式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当抛物线的顶点或对称轴或最大〔小〕值，常设其解析式为顶点式来求解；当抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 〔三〕课后作业 基础型 自主打破 1.抛物线y=ax
2
+bx+c 经过点(-1,10)和(2,7),且3a+2b=0,那么该抛物线的解析式为
____________ .
【知识点】用待定系数法求二次函数解析式 【解题进程】解：依据题意,
得 10742032,a b c a b c a b =-+⎧⎪
=++⎨⎪=+⎩
，，
解方程组,得⎪⎩
⎪
⎨⎧=-==532c b a
所以该抛物线的解析式为y=2x 2-3x+5.故填y=2x 2-3x+5. 【思绪点拨】用待定系数法，列方程组求解。

【答案】y=2x 2-3x+5
2.二次函数的图象如下图,那么这个二次函数的表达式为______________. 【知识点】用待定系数法求二次函数解析式 【数学思想】数形结合
【解题进程】解：∵抛物线过(0,-3),∴c=-3, 设二次函数的表达式为y=ax 2+bx-3, 把(-1,0),(3,0)区分代入上式,
得30,9330.a b a b --=⎧⎨+-=⎩
解这个方程组,得 1,2.
a b =⎧⎨=-⎩
∴这个二次函数的表达式为y=x 2-2x-3.故填y=x 2-2x-3. 【思绪点拨】用待定系数法，列方程组求解。

【答案】y=x 2-2x-3. 3.二次函数y=x
2
+bx+c 的图象经过点(3,0)和(4,0),那么这个二次函数的表达式是
_______________.
【知识点】用待定系数法求二次函数解析式
【解题进程】解：设二次函数的解析式为y=a(x-3)(x-4),
而a=1,所以二次函数的解析式y=(x-3)(x-4)=x 2-7x+12.故填y=x 2-7x+12.
【思绪点拨】抛物线与x 轴两交点，采用交点式求解． 【答案】y=x 2-7x+12.
4.二次函数的图象经过点〔-1，-5〕，〔0，-4〕和〔1，1〕，那么这二次函数的表达式为〔 〕 A. y=-6x 2+3x+4 B. y=-2x 2+3x-4 C. y=x 2+2x-4 D. y=2x 2+3x-4 【知识点】用待定系数法求二次函数解析式 【解题进程】解：设函数表达式为y=ax 2+bx+c ， 把〔-1，-5〕，〔0，-4〕和〔1，1〕区分代入上式，
得：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-145c b a c c b a 解得⎪⎩
⎪⎨⎧===-432
c b a
∴函数的表达式为y=2x 2+3x-4.应选D 【思绪点拨】图象上三点，用普通式求解. 【答案】D
5.某二次函数的图象如下图，那么这个二次函数的解析式为〔 〕
A. y=-3(x-1)2+3
B. y=3(x-1)2+3
C. y=-3(x+1)2+3
D. y=3(x+1)2+3 【知识点】用待定系数法求二次函数解析式 【数学思想】数形结合
【解题进程】解:∵抛物线的顶点为〔1，3〕 ∴设抛物线的顶点式为y=a(x-1)2+3， 把〔0，0〕代入，得a=-3，
∴该二次函数的解析式为y=-3(x-1)2+3，应选A
【思绪点拨】抛物线的顶点和图象上另外一点的坐标，采用顶点式求解． 【答案】A
6.假设抛物线经过点A 〔2，0〕和B 〔-1，0〕，且与y 轴交于点C ，假定OC =2. 那么这条抛物线的解析式是〔 〕
A. y=x 2-x-2
B. y=-x 2-x-2或y=x 2+x+2
C. y=-x 2+x+2
D. y=x 2-x-2或y=-x 2+x+2 【知识点】用待定系数法求二次函数解析式 【数学思想】数形结合
【解题进程】解:∵A〔2，0〕和B〔-1，0〕是抛物线与x轴两交点，∴设表达式为y=a(x-2)(x+1)，
∵OC=2.
∴C点坐标为〔0，2〕或〔0，-2〕
当C点坐标为〔0，2〕时，
那么有a(0-2)(0+1)=2，∴a=-1.
∴抛物线的解析式为y=-(x-2)(x+1)，即y=-x2+x+2
当C点坐标为〔0，-2〕时，
那么有a(0-2)(0+1)=-2，∴a=1.
∴抛物线的解析式为y=(x-2)(x+1)，即y=x2-x-2
应选D
【思绪点拨】抛物线与x轴两交点，采用交点式求解．留意分类讨论。

【答案】D
才干型师生共研
7.假定二次函数2
=++的x与y的局部对应值如下表：
y ax bx c
那么当x＝1时，y的值为〔〕
A、5
B、﹣3
C、－13
D、－27
【知识点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数性质。

【解题进程】
解法一：由表可知，抛物线的对称轴为x＝－3，顶点为〔﹣3，5〕，∴设二次函数的解析式为y＝a〔x＋3〕2＋5，
把〔﹣2，3〕代入得，a＝－2.
∴二次函数的解析式为y＝－2〔x＋3〕2＋5.
当x＝1时，y＝－27.
应选D.
解法二：由表可知，抛物线的对称轴为x＝－3，顶点为〔﹣3，5〕，
由抛物线的对称性知，x=1时y 的值与x=－7时y 的值相等， ∵x=－7时y 的值为－27，∴x=1时y 的值也为－27， 应选D
【思绪点拨】此题既可用待定系数法求，也可用抛物线的对称性求。

【答案】D
8.某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，在柱子上离空中1米的B 处装置一个喷头向外喷水.李冰同窗树立了如下图的直角坐标系，失掉该抛物线还经过
(2,1), ），（4
523两点，央求出该喷泉喷出的最远距离，即空中点A 距离点B 所在的柱子的距离.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数性质。

【数学思想】数形结合
【解题进程】解：由题意，B 〔0，1〕，图象还过(2,1), ），（4
5
23两点，
∴设抛物线解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，那么有
得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=45
23491241c b a c b a c 解得⎪
⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎨⎧==-=1
3231c b a
∴抛物线解析式为：13
2
312++-=x x y .
由013
2
312=++-x x ，
解得3,121=-=x x .
∴OA=3,喷泉喷出的最远距离为3米.
【思绪点拨】先用待定系数法求出二次函数解析式，再令y=0，解一元二次方程求出。

【答案】3米. 探求型 多维打破
9.如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过点A (－4，－3)，与y 轴交于点B ，对称轴是x ＝－3，请解答以下效果：
(1)求抛物线的解析式；
(2)假定和x 轴平行的直线与抛物线交于C ，D 两点，点C 在对称轴左侧，且CD ＝8，求△BCD 的面积．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数性质，三角形面积。

【数学思想】数形结合
【解题进程】解：(1)把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c
得16－4b＋c＝－3，
∴c－4b＝－19.
∵对称轴是x＝－3，
∴－b
2＝－3，∴b＝6，
∴c＝5，
∴抛物线的解析式是y＝x2＋6x＋5；
(2)∵CD∥x轴，
∴点C与点D关于x＝－3对称．
∵点C在对称轴左侧，且CD＝8，
∴点C的横坐标为－7，
∴点C的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12. ∵点B的坐标为(0，5)，
∴△BCD中CD边上的高为12－5＝7，
∴△BCD的面积＝1
2×8×7＝28.
【思绪点拨】(1)把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c得16－4b＋c＝－3，依据对称轴是x＝－3，求出b＝6，即可得出答案；(2)依据CD∥x轴，得出点C与点D关于x＝－3对称，依据点C在对称轴左侧，且CD＝8，求出点C的横坐标和纵坐标，再依据点B的坐标为(0，5)，求出△BCD中CD边上的高，即可求出△BCD的面积．
【答案】〔1〕y＝x2＋6x＋5；〔2〕△BCD的面积＝28.
10.如图，抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A〔1，0〕，C〔0，3〕两点，与x轴交于点B．
〔1〕假定直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
〔2〕在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
〔3〕设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
【知识点】待定系数法求一次函数、二次函数解析式，二次函数性质，勾股定理。

【数学思想】数形结合，分类讨论
【解题进程】
解：〔1〕∵对称轴为x=﹣1，且抛物线经过A〔1，0〕，C〔0，3〕
依题意得：
1
2
3
b
a
a b c
c
⎧
-=-
⎪
⎪
++=
⎨
⎪=
⎪
⎩
，解之得：
1
2
3
a
b
c
=-
⎧
⎪
=-
⎨
⎪=
⎩
，
∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3
把B〔﹣3，0〕、C〔0，3〕区分代入直线y=mx+n，
得
30
3
m n
n
-+=
⎧
⎨
=
⎩
，解之得：
1
3
m
n
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；
〔2〕设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，那么此时MA+MC的值最小．
把x=﹣1代入直线y=x+3得，y=2，
∴M〔﹣1，2〕，
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为〔﹣1，2〕；〔3〕设P〔﹣1，t〕，
又∵B〔﹣3，0〕，C〔0，3〕，
∴BC2=18，PB2=〔﹣1+3〕2+t2=4+t2，PC2=〔﹣1〕2+〔t﹣3〕2=t2﹣6t+10，
①假定点B为直角顶点，那么BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2﹣6t+10解之得：t=﹣2；
②假定点C为直角顶点，那么BC2+PC2=PB2即：18+t2﹣6t+10=4+t2解之得：t=4，
③假定点P为直角顶点，那么PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2﹣6t+10=18，
解之得：t1
t2
综上所述，P的坐标为〔﹣1，﹣2〕或〔﹣1，4〕或〔﹣1
或〔﹣1
〕．
【思绪点拨】〔1〕待定系数法求一次函数、二次函数解析式；〔2〕应用对称求两线段之和的最小值效果；〔3〕依据三角形的每个角区分为直角，应用勾股定理列方程求解。

【答案】〔1〕y=x+3，y=﹣x2﹣2x+3；〔2〕M〔﹣1，2〕；〔3〕P的坐标为〔﹣1，﹣2〕
或〔﹣1，4〕或〔﹣1
，
2
或〔﹣1
，
3
2
〕．
自助餐
1.抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点为〔-1，0〕，〔3，0〕，其外形与抛物线y=-2x 2相反，那么y=ax 2+bx+c 的函数关系式为〔 〕
A ．y=-2x 2-x+3
B ．y=-2x 2+4x+5
C ．y=-2x 2+4x+8
D ．y=-2x 2+4x+6 【知识点】用待定系数法求二次函数解析式 【解题进程】解:依据题意a =-2， 所以设y =-2〔x -x 1〕〔x -x 2〕， 求出解析式y =-2〔x +1〕〔x -3〕， 即是y =-2x 2+4x +6． 选D
【思绪点拨】抛物线y =ax 2+bx +c 的外形与抛物线y =-2x 2相反，a =-2．y =ax 2+bx +c 与x 轴的两个交点为〔-1，0〕，〔3，0〕，应用交点式求表达式 【答案】D
2.过A (-1,0),B (3,0),C (1,2)三点的抛物线的顶点坐标是( )
A.(1,2)
B.)3
2
,1( C.(-1,5)
D.)4
1
,2(-
【知识点】用待定系数法求二次函数解析式
【解题进程】解：设这个二次函数的解析式是y=ax 2+bx+c, 把(-1,0),(3,0),(1,2)区分代入,得
0,930,2.a b c a b c a b c -+=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩解方程组,得1,21,3.
2a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩
所以该函数的解析式为y=21-
x 2+x+2
3
，顶点坐标是(1,2).应选A. 【思绪点拨】先用待定系数法求二次函数解析式，再求顶点坐标。

【答案】A
3.二次函数图象过点〔-3，0〕、〔1，0〕，且顶点的纵坐标为4，此函数关系式为_______ 【知识点】用待定系数法求二次函数解析式
【解题进程】解： ∵二次函数图象过点〔-3，0〕、〔1，0〕，且顶点的纵坐标为4， ∴顶点横坐标为-1，即顶点坐标为〔-1，4〕， 设抛物线解析式为y =a 〔x +1〕2+4，
将x=1，y=0代入得：a=-1，
那么抛物线解析式为y=-〔x+1〕2+4=-x2-2x+3．
故填y=-x2-2x+3
【思绪点拨】由两点坐标得出顶点横坐标，进而确定出顶点坐标，设出抛物线的顶点方式，将一点代入求出a的值，即可确定出解析式
【答案】y=-x2-2x+3
4.二次函数的图象与x轴的两个交点A，B关于直线x=-1对称，且AB=6，顶点在函数y=2x 的图象上，那么这个二次函数的表达式为_________________.
【知识点】用待定系数法求二次函数解析式
【解题进程】解：∵对称轴为直线x=-1，且图象与x轴交于A、B两点，AB=6，
∴直线与x轴交于〔-4，0〕，〔2，0〕，顶点的横坐标为-1，
∵顶点在函数y=2x的图象上，
∴y=2×〔-1〕=-2，
∴顶点坐标为〔-1，-2〕，
设二次函数的解析式为y=a〔x+1〕2-2，
把〔2，0〕代入得，0=9a-2，
解得，a=2
9
∴y=
2
9
〔x+1〕2-2=
2
9
x2+
4
9
x-
16
9
∴这个二次函数的表达式为y=2
9
x2+
4
9
x-
16
9
故填y=2
9
x2+
4
9
x-
16
9
【思绪点拨】应用二次函数y=x2+bx+c的对称轴为直线x=-1，且图象与x轴交于A、B两点，AB=6，应用抛物线的对称性可求A、B两点的坐标，依据顶点在函数y=2x的图象上，求得顶点坐标，然后应用待定系数法求得解析式
【答案】y=2
9
x2+
4
9
x-
16
9
5.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B〔﹣2，6〕，C〔2，2〕两点．〔1〕试求抛物线的解析式；
〔2〕记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；
〔3〕假定直线y=﹣1
2
x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC〔包括端点B、C〕局
部有两个交点，求b的取值范围．
【知识点】用待定系数法求二次函数解析式
【数学思想】数形结合
【解题进程】解: 〔1〕由题意42264222a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得121
a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，
∴抛物线解析式为y=
12
x 2﹣x+2． 〔2〕∵y=12x 2﹣x+2=12〔x ﹣1〕2+32
． ∴顶点坐标〔1，32〕， ∵直线BC 为y=﹣x+4，∴对称轴与BC 的交点H 〔1，3〕，
∴S △BDC =S △BDH +S △DH C =13133+12222
⨯⨯⨯⨯=3． 〔3〕由212122
y x b y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y 失掉x 2﹣x+4﹣2b=0，
当Δ=0时，直线与抛物线相切，1﹣4〔4﹣2b 〕=0，
∴b=158
， 当直线y=﹣
12
x+b 经过点C 时，b=3， 当直线y=﹣12
x+b 经过点B 时，b=5， ∵直线y=﹣12x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC 〔包括端点B 、C 〕局部有两个交点， ∴158
＜b≤3． 【思绪点拨】〔1〕用待定系数法求二次函数解析式；〔2〕应用全体与局部的关系求面积；〔3〕求到直线与抛物线相切时b 的值和直线过B 、C 两点时b 的值，从而求到b 的取值范围。

【答案】〔1〕y=
12x 2﹣x+2；〔2〕S △BDC =3；〔3〕158
＜b≤3． 6.如图，抛物线经过A 〔﹣1，0〕，B 〔5，0〕，C 〔0，52-〕三点． 〔1〕求抛物线的解析式；
〔2〕在抛物线的对称轴上有一点P ，使P A +PC 的值最小，求点P 的坐标；
〔3〕点M 为x 轴上一动点，在抛物线上能否存在一点N ，使以A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形？假定存在，求点N 的坐标；假定不存在，请说明理由．
【知识点】用待定系数法求二次函数解析式，平行四边形性质
【数学思想】数形结合，分类讨论
【解题进程】解：〔1〕设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c〔a≠0〕，
∵A〔﹣1，0〕，B〔5，0〕，C〔0，
5
2
-〕三点在抛物线上，
∴
2550
5
2
a b c
a b c
c
⎧
⎪-+=
⎪
++=
⎨
⎪
⎪=-
⎩
，解得
1
2
2
5
2
a
b
c
⎧
=
⎪
⎪
=-
⎨
⎪
⎪=-
⎩
．
∴抛物线的解析式为：y=1
2
x2﹣2x﹣
5
2
；
〔2〕∵抛物线的解析式为：y=1
2
x2﹣2x﹣
5
2
，
∴其对称轴为直线x=
2
1
22
2
b
a
-
-=-
⨯
=2，
衔接BC，如图1所示，
∵B〔5，0〕，C〔0，﹣5
2
〕，
∴设直线BC的解析式为y=kx+b〔k≠0〕，
∴
50
5
2
k b
b
+=
⎧
⎪
⎨
=-
⎪⎩
，解得
1
2
5
2
k
b
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
，
∴直线BC的解析式为y=1
2
x﹣
5
2
，
当x=2时，y=1﹣5
2
=﹣
3
2
，
∴P〔2，﹣3
2
〕；
〔3〕存在．
①当点N在x轴下方时，
∵抛物线的对称轴为直线x=2，C〔0，﹣5
2
〕，
∴N1〔4，﹣5
2
〕；
②当点N在x轴上方时，
如图，过点N2作N2D⊥x轴于点D，
在△AN 2D 与△M 2CO 中，
∴△AN 2D ≌△M 2CO 〔ASA 〕，
∴N 2D=OC=
52，即N 2点的纵坐标为52
． ∴12x 2﹣2x ﹣52=52，
解得或x=2
∴N 2〔52〕，N 3〔252
〕．
综上所述，契合条件的点N 的坐标为〔4，﹣
52〕，〔52〕或〔252〕． 【思绪点拨】〔1〕用待定系数法求二次函数解析式；〔2〕应用对称求解两线段和最小的效果；〔3〕应用平行四边形性质，分类讨论求解。

【答案】〔1〕y=12x 2﹣2x ﹣52；〔2〕P 〔2，﹣32〕；〔3〕点N 的坐标为〔4，﹣52
〕，〔2+5
2〕或〔2﹣52〕．。