圆的一个优美性质在椭圆和双曲线中的推广

圆的一个优美性质在椭圆和双曲线中的推广
摘要：介绍了圆锥曲线作切线的简单方法、易操作，在作图中有很高的使用价值，应进行推广. 并按照这个方法完成了《圆锥曲线的切线及其作图原理》几何画板课件.
正文
笔者最近借助几何画板研究一个数学问题时,无意中发现了圆的一个优美性质,并将其推广到椭圆和双曲线,这一性质为我们提供了过椭圆(双曲线)上任意一点作椭圆(双曲线)切线的非常简便的尺规方法. 定理1:已知AB 是圆C :222
x y r +=的直径,直线l 与x 轴垂直,过圆C 上任意一点P (不同于,A B )作直线PA 与PB 分别交直线l 于,M N 两点,记线段MN 的中点为Q ,则直线PQ 与圆相切.
证明:设点00(,)P x y ,直线l 为x m =,直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ,则 0000012220000
22y y x y x k k x r x r x r y +=+==-+-- 直线010:()PA y y k x x -=-,令x m =,则100()y k m x y =-+
∴100(,())M m k m x y -+,同理可得200(,())N m k m x y -+
∴MN 的中点0000(,())x Q m m x y y --+,∴直线PQ 的斜率为00
x k y =- ∴直线0000
:()x PQ y y x x y -=--,即为200x x y y r +=,易知直线PQ 与圆相切. 定理2:已知,A B 是椭圆C :)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左右顶点,直线l 与x 轴垂直,过椭圆C 上任意一点 P (不同于,A B )作直线PA 与PB 分别交直线l 于,M N 两点,记线段MN 的中点为Q ,则直线PQ 与椭圆相切.
证明:设点00(,)P x y ,直线l 为x m =,直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ,则
200000122220000
22y y x y b x k k x a x a x a a y +=+==-+-- 直线010:()PA y y k x x -=-,令x m =,则100()y k m x y =-+
∴100(,())M m k m x y -+,同理可得200(,())N m k m x y -+
∴MN 的中点200020(,())b x Q m m x y a y --+,∴直线PQ 的斜率为2020
b x k a y =- ∴直线200020
:()b x PQ y y x x a y -=--,即为0
0221x x y y a b +=,易知直线PQ 与椭圆相切.
注:根据定理2我们可以过椭圆上任意一点作椭圆的切线,操作流程略去.
定理3:已知,A B 是双曲线C :22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右顶点,直线l 与x 轴垂直,过双曲线C 上任 意一点P (不同于,A B )作直线PA 与PB 分别交直线l 于,M N 两点,记线段MN 的中点为Q ,则直线PQ 与双曲线相切.
证明:方法与定理1的证明相似,此处略去不表!
注:根据定理3我们可以过双曲线上任意一点作双曲线的切线,操作流程略去.
定理4:已知A 是抛物线C :22(0)y px p =>的顶点,直线l 与x 轴垂直,
过双曲线C 上任意一点P (不同于A )作直线PA 交直线l 于,M 作PN l ⊥垂足为N ,记线段MN 的中点为Q ,则直线PQ 与抛物线相切. 证明:请读者自行完成,此处略去不表!
注:根据定理4我们可以过抛物线上任意一点作抛物线的切线,操作流程
略去.。