四川省成都东部新区养马高级中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

成都东部新区养马高级中学2023~2024学年度（上）
高2022级半期考试 数学试题
（时间：120分钟 总分：
150 审题人：高二数学组） 一、单项选择题
1. 已知点A (0,1),B (1,0)，则直线AB 的倾斜角为（ ） A. 3π4 B. 2π3 C. π3 D. π4
2. 下列统计量中，能度量样本x 1，x 2，…，x n 的离散程度的有（ ）
A.方差
B. 中位数
C.众数
D.平均数
3. 现从2个男生2个女生共4人中任意选出2人参加养马中学高三年级的百日誓师大会，已知选出的2人中有一个是男生，则另一个是女生的概率为（ ）
A. 12
B. 23
C. 45
D. 56
4. 以()3,1−为圆心，且经过点()7,4−的圆的方程是（ ）
A ．(x −3)2+(y +1)2=5
B ．(x −3)2+(y +1)2=25
C ．(x +3)2+(y −1)2=5
D ．(x +3)2+(y −1)2=25
5. 已知直线260ax y ++=与直线2(1)10x a y a +−+−=互相平行，则实数a 的值为( )
A. 2−
B. 2或1−
C. 2
D. 1−
6. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点()()2,0,0,1A B ，且AC =BC ，则△ABC 的欧拉线的方程为（ ）
A. 2430x y +−=
B. 4230−−=x y
C. 230x y −−=
D. 230x y −−=
7. 在如图所示的电路中，5个盒子表示保险匣，设5个盒子被断开分别为事件A ，B ，C ，D ，E .盒子中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是（ ） A. A ，B 两个盒子串联后畅通概率为
16
B. D ，E 两个盒子并联后畅通的概率为115
C. A ，B ，C 三个盒子混联后畅通的概率为12
D. 当开关合上时，整个电路畅通的概率为
79
的
二、多项选择题 9.对于直线:10l x y +−=，下列说法正确的有（ ）
A ．直线l 过点(0，1)
B ．直线l 与直线y =x 垂直
C ．直线l 的一个方向向量为()1,1
D ．直线l 的倾斜角为45°
10.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图例：
用该样本估计总体，以下四个选项正确的是（ ）
A. 54周岁以上参保人数最少
B. 18～29周岁人群参保总费用最少
C. 丁险种更受参保人青睐
D. 30周岁以上的人群约占参保人群20%
11. 下列结论正确．．
的是（ ） A. 过(x 1,y 1),(x 2,y 2)两点的所有直线，其方程均可写为y−y 1y 2−y 1=x−x 1x 2−x 1
B. 已知点A (3,1),B (2,3)，点P 在y 轴上，则PA PB +的最小值为√29
C. 直线x −2y −2=0与直线2x −4y +1=0之间的距离为√5
D. 已知两点A (−3,4),B (3,2)，过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围 是(][),11,−∞−⋃+∞ 12. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，下列四个结论中正确．．
的是（ ） A ．直线B 1C 与直线AD 1所成的角为90°
B ．直线1B
C 与平面AC
D 1所成角的余弦值为√33
C ．B 1
D ⊥平面ACD 1
D ．点A 到平面11D B C 的距离为√32
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.无论k 为何值时，直线kx －y ＋2＋2k ＝0恒过定点________． 14. 某人有3把钥匙，其中2
把能打开门，如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能打开门钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率为__________.
15. 直线:1x y l m n
+=过点()1,2A ,则直线l 与x 轴正半轴、
y 轴正半轴围成三角形面积的最小值为
__________． 16.若非零实数对(),a b 满足关系式1771a b a b ++=−+=，则a b =__________． 的
四、解答题：第17题10分，第18~22题每道题12分，共计70分.解答应写出相应的文字说明、证明过程或者演算步骤.
17.已知直线l 过点P (2,−1)．
（1）若直线l 与直线230x y ++=垂直，求直线l 的方程
（2）若已知直线l:x +2y −2=0，点Q (−2,−1)关于直线l 的对称点的坐标．
18. 已知以点C 为圆心的圆经过点A (-1，0)和B (3，4)，且圆心C 在直线3150x y +−=上
（1）求圆C 的方程；
（2）设点Q (-1，m )(m >0)在圆C 上，求△QAB 的面积.
19. 某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不
同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分
（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m 人，按年龄分
成5组，其中第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，
第四组：[35,40)，第五组：
[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.
（1）根据频率分布直方图，估计这m 人的平均年龄和第80百分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的
“中国梦”宣传使者.若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定人选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
20. 为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试.试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p ，乙同学答对每题的概率都为()q p q >，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲､乙同时答对的概率为13，恰有一人答对的概率为12.
（1）求p 和q 的值；
（2）试求两人共答对3道题的概率.
21. 如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，2AB =，π
3DAB ∠=，
FA FC ==，记平面AEF 与平面ABCD 的交线为l ．
（1）证明：//BD l ；
（2）证明：平面BDEF ⊥平面ABCD ；
22. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,,4a b c c =，且
()()()sin sin 4sin a b A b c B b C −++=+．
（1）求△ABC 外接圆半径.
（2）求△ABC 周长的最大值．。