八下8.5相似形复习

相似图形
一、考点梳理
线段的比、比例线段、比例的基本性质、黄金分割、相似图形的定义和性质、相似三角形的性质及判定、利用相似测量实物的高度、相似多边形的性质、位似图形的性质及作图。

二、考点在线
1、如果:2:3x y =，则下列各式不成立的是（ ）
A
35=+y y x B 31=-y x y C 312=y x D 4
3
11=++y x 2、如图：在△ABC 中,若DE ∥BC,
AD DB =1
2
,DE=4cm,则BC 的长为（ ） A.8cm B.12cm C.11cm D.10cm
3、如图：点D 在△ABC 的边AB 上，连接CD ，下列
条件：○
1B ACD ∠=∠ ○2ACB ADC ∠=∠ ○
3AB AD AC ⋅=2 ○4BC AC CD AB ⋅=⋅,其中能 判定△ACD ∽△ABC 的共有（ ）
A 1个
B 2个
C 3个
D 4个
4、在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（ ）
A 4.8米
B 6.4米
C 9.6米
D 10米
5、如图，已知△EFH 和△MNK 是位似图形，那么其位似中心是点 。

三、精典剖析：
例1、如图：BC AB ⊥,BC DC ⊥,E 为BC 上一点， DE AE ⊥，若cm AB 6=，cm DC 4=，cm BC 11= 求线段AE 、DE 的长。

解：5,10==DE AE 或54,53==DE AE
例2：如图：□ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，
M
N
K
E
A
D B
C
2题图 A
B
D
C
3题图
A
C
B
E D
例1图
A E
F
D
B
C
例2图
BE 与AD 交于点F ，CD DE 2
1
=
. ⑴求证：△ABF ∽△CEB;
⑵若△DEF 的面积为2，求□ABCD 的面积。

解：⑴证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A ＝∠C ，AB ∥CD ， ∴∠ABF ＝∠CEB ， ∴△ABF ∽△CEB.
⑵∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥＝
CD ， ∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF ， ∵CD DE 2
1
=
, ∴912
=⎪⎭⎫
⎝⎛=∆∆EC DE S S CEB DEF ,4
12
=⎪
⎭⎫ ⎝⎛=∆∆AB DE S S ABF DEF ∵2=∆DEF S ,
∴18=∆CEB S ,8=∆ABF S
∴16=-=∆∆D EF BCE BCD F S S S 四边形,
∴24816=+=+=∆ABF BCD F ABCD S S S 四边形四边形. 例3、如图，已知直线
1l 的解析式为63+=x y ，直线1l 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，直线2l 经过B 、C 两点，点C 的坐标为（8，0），又已知点P 在x 轴上从点A 向点C 移动，点Q 在直线2l 从点C 向点B 移动。

点P 、Q 同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t 秒（101<<t ）。

（1）求直线2l 的解析式。

（2）设△PCQ 的面积为S ，请求出S 关于t 的函数关系式。

（3）试探究：当t 为何值时，△PCQ 为等腰三角形？ 剖析：本题运用了相似三角形的判定和性质来解决问题，除此之外本例中还包含了数形结合、分类讨论以及运动变化的数学思想，数学思想方法是数学的灵魂，也是中考命题的永恒主题，需要我们不断的体会、感悟和把握。

解：（1）2l 的解析式为：64
3
+-=x y （2）t t S 310
32
+-
= （3）1当CP=CQ 时，t=5
2当QC=QP 时，1350=
t 3当PC=PQ 时，13
80
=t
所以：当t=5或1350=t 或13
80
=t 时，△PCQ 为等腰三角形。

四、直击中考
（一）填空题：
1、若ABC ∆∽DEF ∆,∠A=30°、∠C=100°，则∠E= .
2、如图：CAE DAB ∠=∠,请补充一个条件： ，
使△ABC ∽△ADE.
3、如图，已知△ABC 中，EF ∥GH ∥IJ ∥BC ， 则图中相似三角形共有 对．
4、如图：点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上， 且ABC AED ∠=∠，若AE ＝３，BC ＝６，AB ＝８， 则DE 的长为 。

5、如图：平行四边形ABCD 中，E 是BC 上的点， AE 交BD 于点F ，如果
23BE BC =,那么BF
FD
= .
6、如图，正方形ABCD 和正方形OEFG 中, 点A 和点F
的坐标分别为 (3,2)，(－1,－1)，则两个正方形的位似 中心的坐标是_________．
（二）选择题： 1、若ABC DEF △∽△，ABC △与DEF △的相似比为2:3， 则:ABC DEF S S △△为（ ）
x A G
E
H F J I B
C
3题图 B
A D E A
D E
B
2题图
A
B
E
D
4题图
C B E 5题图
A ．2:3
B ．4:9 C
D ．3:2
2、.如图，已知D 、E 分别是ABC ∆的AB 、 AC 边上的点， ,DE BC //且1ADE DBCE S S :=:8,四边形 那么:AE AC 等于（ ）
A ．1 : 9
B ．1 : 3
C ．1 : 8
D ．1 : 2
3、已知△ABC 和△A′B′C′是位似图形．△A′B′C′的面积为6cm 2
，周长是△ABC 的一
半．AB ＝8cm ，则AB 边上高等于（ ） A ．3 cm B ．6 cm C ．9cm D ．12cm
4、已知
8
75c
b a ==，且923=+-
c b a ，则=-+c b a 342（ ） A 14 B 42 C 7 D 3
14
5、下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ）
6、已知等边三角形ABC 的边长为2，
DE 是它的中位线，则下面四个结论： ○
1DE=1，○2AB
边上的高为3，○3△CDE ∽△CAB ，
○
4△CDE 的面积与△CAB 面积之比为1：4.
其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个
D ．4个
7、.如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点M 为BC 中点，
MN ⊥AC 于点N ，则MN 等于（ ）
A.65
B. 95
C. 125
D. 165
（三）解答题：
1、如图，E 是□ABCD 的边BA 延长线上一点，连接EC ， 交AD 于F ．在不添加辅助线的情况下，请找出图中的一 对相似三角形，并说明理由．
2、如图，在边长均为1的小正方形网格纸中，△OAB 的顶点O 、A 、B 均在格点上，且O 是直角坐标系的 原点，点A 在x 轴上．
（1）以O 为位似中心，将△OAB 放大，使得放大后的
A ．
B ．
C ．
D ．
A
M
N
C
B
△11B OA 与△OAB 对应线段的比为2∶1，画出△11B OA （所画△11B OA 与△OAB 在原点两侧）． （2）求出线段11B A 所在直线的函数关系式．
3、如图：路灯（P 点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O 点 ）20米的A 点，沿OA 所在的直线行走14米到B 点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
4、阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜。

请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种．．测量方案。

（1）所需的测量工具是： ； （2）请在下图中画出测量示意图； （3）设树高AB 的长度为x ，请用所测数据 （用小写字母表示）求出x.
5、如图10所示，E 是正方形ABCD 的边AB 上的动点， EF ⊥DE 交BC 于点F ．
（1）求证: ∆ADE ∽∆BEF ；
（2） 设正方形的边长为4， AE =x ，BF =y ．
当x 取什么值时， y 有最大值?并求出这个最大值．
6、如图，在△ABD 和ACE 中，AB =AD ，AC =AE ，∠BAD =∠CAE ， 连接BC 、DE 相交于点F ，BC 与AD 相交于点G ．
（1）试判断线段BC 、DE 的数量关系，并说明理由； （2）如果∠ABC =∠CBD ，那么线段FD 是线段F G 和 FB 的比例中项吗？为什么？
B
D
C
A G
E
F
7、已知：如图①，在Rt ACB △中，90C ∠=，4cm AC =，3cm BC =，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为(s)t （02t <<），解答下列问题： （1）当t 为何值时，PQ BC ∥？
（2）设AQP △的面积为y （2
cm ），求y 与t 之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt ACB △的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；
（4）如图②，连接PC ，并把PQC △沿QC 翻折，得到四边形PQP C '，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP C '为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．
五、方法感悟：
图①
《相似图形》答案
二、考点在线：
1、 D
2、B
3、C
4、C
5、点B 四、直击中考： (一)填空题：
1、50°
2、B D ∠=∠(答案不唯一)
3、6对
4、
49 5、3
2
6、（1，0）或（-5，-2） （二）选择题：
1、B
2、B
3、B
4、A
5、B 、
6、D
7、C （三）解答题：
1、答案不唯一，△EAF ∽△EBC ，或△CDF ∽△EBC ，或△CDF ∽△EAF ． 若△EAF ∽△EBC ．
理由如下： 在□ABCD 中，
∵AD ∥BC ，∴∠EAF ＝∠B.
又∵∠E ＝∠E ，∴△EAF ∽△EBC ． 2、解：（1）如图，△11B OA 就是△OAB 放大后的图像。

（2）由题意得： 1A （4，0），1B （2，-4）
设线段11B A 所在直线的函数关系式为)0(≠+=k b kx y
则4024x b k b +=⎧⎨
+=-⎩
， 解得28k b =⎧⎨=-⎩，
∴函数关系式为 82-=x y
3、解：
90MAC MOP ∠=∠=，
AMC OMP ∠=∠，
MAC MOP ∴△∽△． MA AC MO OP ∴=， 即 1.6
208MA MA =+．
解得5MA =．
同样由NBD NOP △∽△可求得 1.5NB =
所以，小明的身影变短了3.5米 4、解：（1）皮尺、标杆。

（2）测量示意图如图所示。

（3）如图，测得标杆DE ＝a ，
树和标杆的影长分别为AC ＝b ，EF ＝c
∵△DEF ∽△BAC
∴
DE FE
BA CA = ∴a c
x b =
∴ab
x c
=
5、证明： （1）因为ABCD 是正方形，所以∠DAE =∠FBE =90， 所以∠ADE +∠DEA =90
又EF ⊥DE ，所以∠AED +∠FEB =90
所以∠ADE =∠FEB 所以∆ADE ∽∆BEF ．
（2）解：由（1） ∆ADE ∽∆BEF ，AD =4，BE =4-x ，得
4
4x
x y -=， 得y =
]4)2([41)4(4122+--=+-x x x =1)2(41
2+--x 所以当x =2时， y 有最大值 y 的最大值为1。

6、解：（1）BC DE ，的数量关系是BC DE =．
理由如下：BAD CAE BAC DAE ∠=∠∴∠=∠，
． 又AB AD AC AE ==，， ABC ADE ∴△≌△（SAS ）． BC DE ∴=．
（2）线段FD 是线段FG 和FB 的比例中项．
理由如下：ABC ADE △≌△，ABC ADE ∴∠=∠． ABC CBD ADE CBD ∠=∠∴∠=∠，． 又BFD DFG ∠=∠， BFD DFG ∴△∽△． 2BF DF FD FG FB DF GF
∴=∴=⋅
即线段FD 是线段FG 和FB 的比例中项．
7、解：（1）在Rt △ABC 中，522=+=AC BC AB ，
由题意知：AP = 5－t ，AQ = 2t ， 若PQ ∥BC ，则△APQ ∽△ABC ，
∴
=AC AQ AB AP
， ∴5542t t -=， ∴7
10=t
（2）过点P 作PH ⊥AC 于H ． ∵△APH ∽△ABC ， ∴=BC
PH
AB AP ， ∴
=3
PH 55t -，
∴t PH 5
3
3-=，
∴t t t t PH AQ y 35
3
)533(221212+-=-⨯⨯=⨯⨯=．
（3）若PQ 把△ABC 周长平分， 则AP+AQ=BP+BC+CQ ． ∴)24(32)5(t t t t -++=+-， 解得：1=t ．
若PQ 把△ABC 面积平分，
则ABC APQ S S ∆∆=2
1
， 即－25
3t ＋3t =3． ∵ t =1代入上面方程不成立，
∴不存在这一时刻t ，使线段PQ 把Rt △ACB 的周长和面积同时平分． （4）过点P 作PM ⊥AC 于Ｍ，PN ⊥BC 于N ，
若四边形PQP ′ C 是菱形，那么PQ ＝PC ． ∵PM ⊥AC 于M ， ∴QM=CM ．
∵PN ⊥BC 于N ，易知△PBN ∽△ABC ．
图①
B
B
N
∴
AB
BP
AC PN =， ∴54t PN =， ∴5
4t
PN =
， ∴5
4t CM QM =
=， ∴425
4
54=++t t t ， 解得：9
10
=t ．
∴当9
10
=
t 时，四边形PQP ′ C 是菱形． 此时375
33=
-=t PM ， 9
854==t CM ， 在Rt △PMC 中，9
50581649492
2=+=
+=CM PM PC ， ∴菱形PQP ′ C 边长为9
505
．。