2022年强化训练沪科版九年级数学下册第24章圆综合测试试卷(含答案详解)

沪科版九年级数学下册第24章圆综合测试
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为（）
A．70°B．50°C．20°D．40°
∠的度数为（）2、如图，四边形ABCD内接于O，如果它的一个外角64
∠=，那么BOD
DCE︒
A．20︒B．64︒C．116︒D．128︒
3、点P(3，﹣2)关于原点O的对称点P'的坐标是（）
A．(3，﹣2) B．(﹣3，2) C．(﹣3，﹣2) D．(2，3)
4、下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
5、下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
6、下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
7、将等边三角形绕其中心旋转n 时与原图案完全重合，那么n 的最小值是（ ）
A ．60
B ．90
C ．120
D ．180
8、如图，O 是△ABC 的外接圆，已知25ABO ∠=︒，则ACB ∠的大小为（ ）
A ．55°
B ．60°
C ．65°
D ．75°
9、如图，边长为5的等边三角形ABC 中，M 是高CH 所在直线上的一个动点，连接MB ，将线段BM 绕点B 逆时针旋转60︒得到BN ，连接HN ．则在点M 运动过程中，线段HN 长度的最小值是（ ）
A ．5
4 B ．1 C ．2 D ．5
2
10、如图，AB 为O 的直径，C 为D 外一点，过C 作O 的切线，切点为B ，连接AC 交O 于
D ，38C ∠=︒，点
E 在AB 右侧的半圆周上运动（不与A ，B 重合）
，则AED ∠的大小是（ ）
A ．19°
B ．38°
C ．52°
D ．76°
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，正方形ABCD的边长为1，⊙O经过点C，CM为⊙O的直径，且CM＝1．过点M作⊙O的切线分别交边AB，AD于点G，H．BD与CG，CH分别交于点E，F，⊙O绕点C在平面内旋转（始终保持圆心O在正方形ABCD内部）．给出下列四个结论：
①HD＝2BG；②∠GCH＝45°；③H，F，E，G四点在同一个圆上；④四边形CGAH面积的最大值为2
_____（填写所有正确结论的序号）．
2、《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样的一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”．其意思是：“如图，现有直角三角形，勾（短直角边）长为 8 步，股（长直角边）长为 15 步，问该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是多少？”答：该直角三角形所能容纳的最大圆的直径
．．是______步．
3、如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若∠P= 50°，则∠ACB ＝_____________°
4、在△ABC 中，已知∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，如图所示，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°后得到△AB ′C ′．则图中阴影部分的面积为_____．
5、如图，一次函数(00)，=+<>y ax b a b 的图像与x 轴，y 轴分别相交于点A ，点B ，将它绕点O 逆时针旋转90°后，与x 轴相交于点C ，我们将图像过点A ，B ，C 的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函数．如果一次函数(0)y kx k k =-+>的关联二次函数是22y mx mx c =++（0m ≠），那么这个一次函数的解析式为______．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图①，在Rt △ABC 中，∠BAC = 90°，AB = k ·AC ，△ADE 是由△ABC 绕点A 逆时针旋转某个角度得到的，BC 与DE 交于点F ，直线BD 与EC 交于点G
（1）求证：BD = k ·EC ；
（2）求∠CGD 的度数；
（3）若k = 1（如图②），求证：A ，F ，G 三点在同一直线上．
2、新定义：如图①，已知AOB ∠，在AOB ∠内部画射线OC ，得到三个角，分别为AOC ∠、BOC ∠、AOB ∠．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC 为AOB ∠的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）
（阅读理解）（1）角的平分线______这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
（初步应用）（2）如图①，48AOB ∠=︒，射线OC 为AOB ∠的“幸运线”，则AOC ∠的度数为______；（直接写出答案）
（解决问题）
（3）如图②，已知50AOB ∠=︒，射线OM 从OA 出发，以每秒10°的速度绕O 点顺时针旋转，同时，
射线ON 从OB 出发，以每秒15°的速度绕O 点顺时针旋转，设运动的时间为t 秒()05t <<．若OM 、ON 、OB 三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求运动的时间t 的值．
（实际运用）
（4）周末，小丽帮妈妈到附近的“中通快递”网点取包裹，出家门时小丽看了看时钟，恰好是下午3点整，取好包裹回到家时，小丽再看了看时钟，还没有到下午3点半，但此时分针与时针恰好重合．问小丽帮妈妈取包裹用了多少分钟？
3、在平面内，给定不在同一直线上的点A ，B ，C ，如图所示．点O 到点A ，B ，C 的距离均等于r （r 为常数），到点O 的距离等于r 的所有点组成图形G ，∠ABC 的平分线交图形G 于点D ，连接AD ，C D ．求证：AD =C D ．
4、如图，正方形ABCD 是半径为R 的⊙O 内接四边形，R ＝6，求正方形ABCD 的边长和边心距．
5、如图1，在ABC 中90ACB ∠=︒，AC BC =，8AB =，点D 为AB 边上一点．
（1）若1AD =，则CD =______；
（2）如图2，将线段CD绕着点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接AE，求证：222
+=；
2
AD BC AE
（3）如图3，过点A作直线CD的垂线AF，垂足为F，连接BF．直接写出BF的最小值．
-参考答案-
一、单选题
1、D
【分析】
首先连接OA，OB，由PA，PB为⊙O的切线，根据切线的性质，即可得∠OAP=∠OBP=90°，又由圆周角定理，可求得∠AOB的度数，继而可求得答案．
【详解】
解：连接OA，OB，
∵PA，PB为⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠ACB=70°，
∴∠AOB=2∠P=140°，
∴∠P=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=40°．
故选：D．
【点睛】
此题考查了切线的性质与圆周角定理，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．
2、D
【分析】
由平角的性质得出∠BCD =116°，再由内接四边形对角互补得出∠A =64°，再由圆周角定理即可求得∠BOD =2∠A =128°．
【详解】
∵64DCE ∠=︒
∴18064116BCD ∠=︒-︒=︒
∵四边形ABCD 内接于O
∴180********A BCD ∠=︒-∠=︒-︒=︒
又∵2BOD A ∠=∠
∴264128A ∠=⨯︒=︒．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角；在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
3、B
【分析】
根据“平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于原点的对称点是（﹣x ，﹣y ），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．
【详解】
解：点P （3，﹣2）关于原点O 的对称点P '的坐标是（﹣3，2）．
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．
4、B
【分析】
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
【详解】
A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
5、C
【分析】
利用中心对称图形的定义：旋转180 能与自身重合的图形即为中心对称图形，即可判断出答案．
【详解】
解：A、不是中心对称图形，故A错误．
B、不是中心对称图形，故B错误．
C、是中心对称图形，故C正确．
D、不是中心对称图形，故D错误．
故选：C．
【点睛】
本题主要是考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对图形的定义，是解决该题的关键．
6、B
【分析】
根据中心对称图形与轴对称图形的概念逐项分析
【详解】
解：A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；
B. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项正确，符合题意；
C. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；
D. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；
故选B
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．
7、C
【分析】
根据旋转对称图形的概念（把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角），找到旋转角，求出其度数．
【详解】
解：等边三角形绕其中心旋转n时与原图案完全重合，因而绕其中心旋转的最小度数是360
3
=120°．
故选C．【点睛】
本题考查了根据旋转对称性，掌握旋转的性质是解题的关键．
8、C
【分析】
由OA=OB ，25ABO ∠=︒，求出∠AOB =130°，根据圆周角定理求出ACB ∠的度数．
【详解】
解：∵OA=OB ，25ABO ∠=︒，
∴∠BAO =25ABO ∠=︒．
∴∠AOB =130°．
∴ACB ∠=1
2∠AOB =65°．
故选：C ．
【点睛】
此题考查了同圆中半径相等的性质，圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
9、A
【分析】
取CB 的中点G ，连接MG ，根据等边三角形的性质可得BH =BG ，再求出∠HBN =∠MBG ，根据旋转的性质可得MB =NB ，然后利用“边角边”证明△MBG ≌△NBH ，再根据全等三角形对应边相等可得HN =MG ，然后根据垂线段最短可得MG ⊥CH 时最短，再根据∠BCH =30°求解即可．
【详解】
解：如图，取BC 的中点G ，连接MG ，
∵旋转角为60°，
∴∠MBH +∠HBN =60°，
又∵∠MBH +∠MBC =∠ABC =60°，
∴∠HBN =∠GBM ，
∵CH 是等边△ABC 的对称轴，
∴HB =1
2AB ，
∴HB =BG ，
又∵MB 旋转到BN ，
∴BM =BN ，
在△MBG 和△NBH 中，
BG BH MBG NBH MB NB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△MBG ≌△NBH （SAS ），
∴MG =NH ，
根据垂线段最短，MG ⊥CH 时，MG 最短，即HN 最短，
此时∵∠BCH =12×60°=30°，CG =12AB =12×5=2.5，
∴MG =12CG =54
，
∴HN =54，
故选A ．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
10、B
【分析】
连接,BD 由AB 为O 的直径，求解903852,CBD ∠=︒-︒=︒ 结合CB 为O 的切线，求解
905238,ABD ABC DBC ∠=∠-∠=︒-︒=︒ 再利用圆周角定理可得答案.
【详解】
解：连接,BD AB 为O 的直径，
90,90,ADB BDC ∴∠=︒∠=︒
38,C ∠=︒
903852,CBD ∴∠=︒-︒=︒ CB 为O 的切线，
90,905238,ABC ABD ABC DBC ∴∠=︒∠=∠-∠=︒-︒=︒
38,AED ABD ∴∠=∠=︒
故选B
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，切线的性质定理，熟练运用以上知识逐一求解相关联的角的大小是解本题的关键.
二、填空题
1、②③④
【分析】
根据切线的性质，正方形的性质，通过三角形全等，证明HD=HM，∠HCM=∠HCD，GM=GB，
∠GCB=∠GCM，可判断前两个结论；运用对角互补的四边形内接于圆，证明∠GHF+∠GEF=180°，取GH的中点P，连接PA，则PA+PC≥AC，当PC最大时，PA最小，根据直径是圆中最大的弦，故PC=1时，PA最小，计算即可．
【详解】
∵GH是⊙O的切线，M为切点，且CM是⊙O的直径，
∴∠CMH=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CMH=∠CDH=90°，
∵CM=CD，CH=CH，
∴△CMH≌△CDH，
∴HD=HM，∠HCM=∠HCD，
同理可证，∴GM=GB，∠GCB=∠GCM，
∴GB+DH=GH，无法确定HD＝2BG，
故①错误；
∵∠HCM+∠HCD+∠GCB+∠GCM=90°，
∴2∠HCM+2∠GCM=90°，
∴∠HCM+∠GCM=45°，
即∠GCH＝45°，
故②正确；
∵△CMH ≌△CDH ，BD 是正方形的对角线，
∴∠GHF =∠DHF ，∠GCH =∠HDF =45°，
∴∠GHF +∠GEF =∠DHF +∠GCH +∠EFC
=∠DHF +∠HDF +∠HFD
=180°，
根据对角互补的四边形内接于圆，
∴H ，F ，E ，G 四点在同一个圆上，
故③正确；
∵正方形ABCD 的边长为1，
∴BCG GCHA ABCD S S S S =--△△CDH 四边形四边形 =11
()2BG DH -+
=1
12GH -，∠GAH =90°，AC 取GH 的中点P ，连接PA ，
∴GH =2PA ，
∴GCHA S 四边形=1PA -，
∴当PA 取最小值时，GCHA S 四边形有最大值，
连接PC ，AC ，
则PA +PC ≥AC ，
∴PA ≥AC - PC ，
∴当PC 最大时，PA 最小，
∵直径是圆中最大的弦，
∴PC =1时，PA 最小，
∴当A ，P ，C 三点共线时，且PC 最大时，PA 最小，
∴PA ，
∴GCHA S 四边形最大值为：1-），
∴四边形CGAH 面积的最大值为2
∴④正确；
故答案为: ②③④．
【点睛】
本题考查了切线的性质，直径是最大的弦，三角形的全等，直角三角形斜边上的中线，四点共圆，正方形的性质，熟练掌握圆的性质，灵活运用直角三角形的性质，线段最短原理是解题的关键． 2、6
【分析】
依题意，直角三角形性质，结合题意能够容纳的最大为内切圆，结合内切圆半径，利用等积法求解即可；
【详解】
设直角三角形中能容纳最大圆的半径为：r ；
17=
依据直角三角形面积公式：12
S ah =，即为1815602S =⨯⨯=； 内切圆半径面积公式：1()2S r a b c =++，即为1(81517)2S r =⨯++； 所以1
60(81517)2r =++，可得：3r =，所以直径为：26d r ==；
故填：6；
【点睛】
本题主要考查直角三角形及其内切圆的性质，重点在理解题意和利用内切圆半径求解面积； 3、65
【分析】
连接,OA OB ，根据切线的性质以及四边形内角和定理求得130AOB ∠=︒，进而根据圆周角定理即可求得∠ACB
【详解】
解：连接,OA OB ，如图，
PA ，PB 分别与⊙O 相切
90OAP OBP ∴∠=∠=︒
360130AOB OAP OBP P ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒
AB AB =
1652
ACB AOB ∴∠=∠=︒ 故答案为：65
【点睛】
本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形的内角和，掌握切线的性质是解题的关键．
4、2π
【分析】
利用勾股定理求出AC 及AB 的长，根据阴影面积等于AB C CAC DAB S S S
''
''--扇形扇形求出答案． 【详解】
解：由旋转得,AB AB AC AC ''==，90CAC '∠=︒，B AC ''∠=∠BAC ＝30°，
∵∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，
∴AC =2BC =2，AB
60CAB '∠=︒， ∴阴影部分的面积=AB C CAC DAB S S S ''''--扇形扇形
2
2609021
13603602
ππ⨯⨯=--⨯
=2π
故答案为：2π
．
【点睛】
此题考查了求不规则图形的面积，正确掌握勾股定理、30度角直角三角形的性质、扇形面积计算公式及分析出阴影面积的构成特点是解题的关键．
5、3+3y x =-
【分析】
由题意可知二次函数与坐标轴的三个交点坐标为（0，k ），（1，0），（-k ，0），将其代入抛物线
2
2y mx mx c =++（0m ≠）即可得m 、k 的二元一次方程组30210m k km m +=⎧⎨-+=⎩，即可解出13m k =-⎧⎨=⎩，故这个一次函数的解析式为3+3y x =-．
【详解】
一次函数(0)y kx k k =-+>与y 轴的交点为（0，k ），与x 轴的交点为（1，0）
绕O 点逆时针旋转90°后，与x 轴的交点为（-k ，0）
即（0，k ），（1，0），（-k ，0）过抛物线22y mx mx c =++（0m ≠）
即22020k c m m c k m km c =⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩
得30210
m k km m +=⎧⎨-+=⎩ 将3k m -=代入210km m -+=有
(2)103
k k --⋅+= 整理得2230k k --=
解得k =3或k =-1（舍）
将k =3代入3
k m -=得1m =- 故方程组的解为13
m k =-⎧⎨=⎩ 则一次函数的解析式为3+3y x =-
故答案为：3+3y x =-．
【点睛】
本题考查了一次函数和二次函数的图象及其性质，解二元一次方程组，结合旋转的性质以及图象得出抛物线与坐标轴的三个交点坐标是解题的关键．
三、解答题
1、（1）见解析；（2）90°；（3）见解析
【分析】
（1）由旋转的性质可得对应边相等对应角相等，由相似三角形的判定得出△ABD ∽△ACE ，由相似三角形的性质即可得出结论 ；
（2）由（1）证得△ABD ∽△ACE ，和等腰三角形的性质得出ADB AEC ∠=∠，进而推出
180ADG AEC ∠+∠=，由四边形的内角和定理得出结论；
（3）连接CD ，由旋转的性质和等腰三角形的性质得出AD AC =，CG ＝DG ，FC ＝FD ，由垂直平分线的判断得出A ，F ，G 都在CD 的垂直平分线上，进而得出结论．
【详解】
证明：（1）∵△ADE 是由△ABC 绕点A 逆时针旋转某个角度得到的，
∴AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ，
∴AB AD AC AE
=， ∴△ABD ∽△ACE ， ∴AB BD AC CE
=， ∵AB = k ·AC ， ∴AB BD k AC CE
==， ∴BD = k ·EC ；
（2）由（1）证得△ABD ∽△ACE ，
∴ABD ACE ∠=∠，
∵AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠BAC = 90°，
∴ABD ADB ACE AEC ∠=∠∠=∠，，
∴ADB AEC ∠=∠，
∵180ADB ADG ∠+∠=，
∴180ADG AEC ∠+∠=，
∴∴在四边形ADGE 中，180ADG AEC ∠+∠=，∠BAC = 90°，
∴∠CGD ＝360°－180°－90°＝90°；
（3）连接CD ，如图：
∵△ADE 是由△ABC 绕点A 逆时针旋转某个角度得到的，∠BAC = 90°，AB = k ·AC ，
∴当k = 1时，△ABC 和△ADE 为等腰直角三角形，BAD CAE ∠=∠
∴AB AD AC AE ===，
∴ADB ACE ∠=∠，ACD ADC ∠=∠
∴GCD GDC ∠=∠，∴CG ＝DG
∵45ACB ADE ∠=∠=，
∴FCD FDC ∠=∠，∴FC ＝FD ，
∴点A 、点G 和点F 在CD 的垂直平分线上，
∴A ，F ，G 三点在同一直线上．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质和判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，垂直平分线的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和垂直平分线的判定是解题的关键．
2、（1）是；（2）16°或24°或32°；（3）2或207或54；（4）18011
．
【分析】
（1）根据幸运线定义即可求解；
（2）分3种情况，根据幸运线定义得到方程求解即可；
（3）根据幸运线定义得到方程求解即可；
（4）利用时针1分钟走0.5︒，分针1分钟走6︒，可解答问题．【详解】
解：（1）一个角的平分线是这个角的“幸运线”；
故答案为：是；
（2）①设∠AOC=x，则∠BOC=2x，
由题意得，x+2x=48°，解得x=16°，
②设∠AOC=x，则∠BOC=x，
由题意得，x+x=48°，解得x=24°，
③设∠AOC=x，则∠BOC=1
2
x，
由题意得，x+1
2
x=48°，解得x=32°，
故答案为：16°或24°或32°；
（3）OB是射线OM与ON的幸运线，
则∠BOM=1
2∠MON，即50-10t=1
2
（50-10t+15t），解得t=2；
∠BOM=1
3
∠MON，即50-10t=
1
3
（50-10t+15t），解得t=
20
7
；
∠BOM=2
3
∠MON，即50-10t=
2
3
（50-10t+15t），解得t=
5
4
；
故t的值是2或20
7
或
5
4
；
（4）时针1分钟走30
0.5
60
︒
=︒，分针1分钟走
360
6
60
︒
=︒，
设小丽帮妈妈取包裹用了x分钟，
则有0.5x+3×30=6x，解得：x=180 11
．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，幸运线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“幸运线”的定义是解题的关键．
3、见解析
【分析】
由题意画图，再根据圆周角定理的推论即可得证结论．
【详解】
证明：根据题意作图如下：
∵BD是圆周角ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∴AD CD
=，
∴AD=CD．
【点睛】
本题考查了角，弧，弦之间的关系，熟练掌握三者的关系定理是解题的关键．
4、边长为
【分析】
过点O作OE⊥BC，垂足为E，利用圆内接四边形的性质求出∠BOC=90°，∠OBC=45°，然后在Rt△OBE中，根据勾股定理求出OE、BE即可．
【详解】
解：过点O作OE⊥BC，垂足为E，
∵正方形ABCD是半径为R的⊙O内接四边形，R＝6，
∴∠BOC=360
4
=90°，∠OBC=45°，OB=OC=6，
∴BE=OE．
在Rt△OBE中，∠BEO=90°，由勾股定理可得
∵OE2+BE2=OB2,
∴OE2+BE2=36,
∴OE= BE=
∴BC=2BE=
即半径为6的圆内接正方形ABCD的边长为
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，以及勾股定理，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，正多
边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正n 边形每个中心角都等于
360n
． 5、
（1）5
（2）证明见解析
（3）【分析】 (1)过C 作CM ⊥AB 于M ，根据等腰三角形的性质求出CM 和DM ，再根据勾股定理计算即可；
(2)连BE ，先证明CAD CBE ≅,即可得到直角三角形ABE ，利用勾股定理证明即可；
（3）取AC 中点N ，连接FN 、BN ，根据三角形BFN 中三边关系判断即可．
（1）
过C 作CM ⊥AB 于M ，
∵90ACB ∠=︒，AC BC = ∴142
CM AM AB ==
= ∵1AD =
∴3DM =
∴在Rt CDM 中5CD ==
（2）
∵90ACB ∠=︒，AC BC =，90DCE ∠=︒，CD CE =
∴AB =,90ACD BCE BCD ∠=∠=︒-∠
∴()CAD CBE SAS ≅
∴45CAD CBE ∠=∠=︒，AD BE =
∴90ABE ∠=︒
在Rt ABE △中222AE AB BE =+
∴222)AE AD =+
∴2222AD BC AE +=
（3）
取AC 中点N ，连接FN 、BN ，
∵90ACB ∠=︒，AC BC =，8AB =
∴AC BC ==
∴12
FN AC ==∵AC 中点N ，
∴12
CN AC ==
∴BN =∵三角形BFN 中FN BN BF BN FN +>>-
∴BF >>
∴当B 、F 、N 三点共线时BF 最小，最小值为BN FN -=
【点睛】
本题考查等腰直角三角形的常用辅助线以及直角三角形斜边上的中线，解题的关键是根据等腰直角三角形作斜边垂线或者构造“手拉手模型”．。