2021-2022学年湖南省郴州市资兴波水学校高三数学理模拟试题含解析

2021-2022学年湖南省郴州市资兴波水学校高三数学理模拟试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1.
在三角形ABC中，的值为（） A． B． C．
D．
参考答案：
答案：D
2. 设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2 (x)＝f1′(x)，…，f n＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2010(x)＝（）
A．sinx B．－sinx C．cosx D．－cosx
参考答案：
B
3. 如图，已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸，
则该墨水瓶的容积为（瓶壁厚度忽略不计）A．B．
C．D．
参考答案：
C
试题分析：根据所给的三视图，可知该几何体为一个长方体和一个圆柱的组合体，故其容积为
，故选C.
考点：根据几何体的三视图求其体积.
4. 已知全集U=R，集合，，则（）
A. B.
C. D.
参考答案：
B
【分析】
由补集的运算求得，再根据集合的并集运算，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，集合，则，
根据集合的并集运算，可得，故选B．
【点睛】本题主要考查了集合混合运算，其中解答中熟记集合的并集和补集的概念及运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
5. 过双曲线的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若线段AB的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为（）
A．B．
C．D．
参考答案：
A
略
6. 设,且,则锐角为
A．B．C．
D．
参考答案：
C
7. 已知某几何体的三视图如图，其中正(主)视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为
A． B． C． D．
参考答案：
A
8. 给出如下四个命题
①若“且”为假命题，则、均为假命题
②命题“若，则”的否命题为“若，则”
③“”的否定是“”
④在ABC中，“”是“”的充要条件
其中不正确的命题的个数是（）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
参考答案：
C 若“且”为假命题，则、至少有一个为假命题，所以①不正确。

②正确。

“”的否定是，所以③不正确。

在ABC中，若，则，根据正弦定理可得，所以④正确，所以不正确的个数为2个，选C.
9. 已知实数x，y满足，若目标函数z=﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，最小值为﹣2m﹣2，则实数m的取值范围是（）
A．[﹣1，2] B．[﹣2，1] C．[2，3] D．[﹣1，3]
参考答案：
A
【考点】7D：简单线性规划的应用．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，由z=﹣mx+y的最大值为﹣
2m+10，即当目标函数经过点（2，10）时，取得最大，当经过点（2，﹣2）时，取得最小值，利用数形结合确定m的取值范围．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
由目标函数z=﹣mx+y得y=mx+z，
则直线的截距最大，z最大，直线的截距最小，z最小．
∵目标函数z=﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，最小值为﹣2m﹣2，
∴当目标函数经过点（2，10）时，取得最大，
当经过点（2，﹣2）时，取得最小值，
∴目标函数z=﹣mx+y的目标函数的斜率m满足比x+y=0的斜率大，比2x﹣y+6=0的斜率小，
即﹣1≤m≤2，
故选：A．
10. 若a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）
A．ab＜b2 B．a2＜b2 C．lg（﹣ab）＜lg（﹣a2）D．2＜2
参考答案：
D
【考点】不等式比较大小．
【分析】根据题意，对选项中的命题判断正误即可．
【解答】解：a＜b＜0时，ab＞b2，∴A错误；
a2＞ab＞b2，∴B错误；
﹣ab＜0，负数没有对数，∴C错误；
由题意＜，∴＜，∴D正确．
故选：D．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 向量，满足，，则=______．
参考答案：
1
【分析】
根据向量数量积的运算，直接计算即可得出结果.
【详解】因为向量，满足，，
所以，因此
故答案为1．
【点睛】本题主要考查已知向量数量积求向量的模，熟记运算法则即可，属于基础题型.
12. （不等式选讲选做题）若存在实数满足,则实数的取值范围为_________．参考答案：
13. 设抛物线C：y2=2x的焦点为F，若抛物线C上点P的横坐标为2，则|PF|=．
参考答案：【考点】抛物线的简单性质．
【分析】直接利用抛物线的定义，即可求解．
【解答】解：抛物线y2=2x上横坐标为2的点到其焦点的距离，
就是这点到抛物线的准线的距离．
抛物线的准线方程为：x=﹣，
所以抛物线y2=2x上横坐标为2的点到其焦点的距离为+2=．
故答案为：．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的定义的应用，考查计算能力．
14. 已知函数，则
参考答案：
由题意，
，
表示以原点为圆心,以为半径的圆的一段弧与轴所围成的图形的面积,其面积为
.
15. 当点（x，y）在直线x+3y=2上移动时，z=3x+27y+3的最小值是．参考答案：
9
【考点】基本不等式．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】利用基本不等式的性质、指数的运算法则即可得出．
【解答】解：∵点（x，y）在直线x+3y=2上移动，
∴x+3y=2，
∴z=3x+27y+3≥+3=+3=+3=9，
当且仅当x=3y=1时取等号．
其最小值是9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了基本不等式的性质、指数的运算法则，属于基础题．
16. 在平面直角坐标系中，已知圆，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别
切圆C于P，Q两点，则线段PQ 的取值范围是
▲
．
参考答案：
17. 函数满足，且在区间(－2,2]上，则的值为
▲ ．
参考答案：
分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.
详解：由得函数f(x)的周期为4，所以, 因此
.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）
已知函数.（1）求函数的最小正周期；
（2）若是第一象限角，且，求的值.
参考答案：
（1）；（2）．
试题分析：（1）用辅助角公式化简，得，利用即可求出函数的最小正周期；（2）先将已知条件进行化简，再利用同角三角函数的基本关系求出和的值，
进而展开，代入数值．
试题解析：（1）解：
……
……………………1分
…………………………2分
…………………………3分
.
…………………………4分
∴ 函数的最小正周期为. (5)
分
（2）解：∵，∴ . …………………………6分
∴ .
∴
. …………………………7分
∵ 是第一象限角，
∴
. (8)
分
∴
. …………………………9分
∴ …………………………10分
…………………………11分
. …………………………12分
考点：1、辅助角公式；2、三角函数图象的周期性；3、同角三角函数的基本关系；4、两角差的正切公式．
19. 已知f n（x）=C n0x n﹣C n1（x﹣1）n+…+（﹣1）k C n k（x﹣k）n+…+（﹣1）n C n n（x﹣n）n，其中
x∈R，n∈N*，k∈N，k≤n．
（1）试求f1（x），f2（x），f3（x）的值；
（2）试猜测f n（x）关于n的表达式，并证明你的结论．
参考答案：
【考点】数学归纳法；二项式定理的应用．
【分析】（1）利用组合数公式直接计算；（2）根据（1）的计算猜想公式，根据组合数的性质进行化简，将条件向假设式配凑得出．
【解答】解：（1）f1（x）=x﹣（x﹣1）=x﹣x+1=1，
f2（x）=﹣+=x2﹣2（x2﹣2x+1）+（x2﹣4x+4）=2，
f3（x）=x3﹣（x﹣1）3+（x﹣2）2﹣（x﹣3）3=x3﹣3（x﹣1）3+3（x﹣2）3﹣（x﹣3）
3=6，
（2）猜想：f n（x）=n!．
证明：①当n=1时，猜想显然成立；
②假设n=k时猜想成立，即f k（x）=C k0x k﹣C k1（x﹣1）k+（x﹣2）k+…+（﹣1）k C k k（x﹣k）
k=k!，
则n=k+1时，f k（x）=C x k+1﹣（x﹣1）k+1+C（x﹣2）k+1+…+（﹣1）k+1C（x﹣k﹣1）k+1
=xC x k﹣（x﹣1）（x﹣1）k+（x﹣2）C（x﹣2）k+…+（﹣1）k（x﹣k）（x﹣k）k+（﹣1）k+1C（x﹣k﹣1）k+1
=x[C x k﹣（x﹣1）k+C（x﹣2）k+…+（﹣1）k（x﹣k）（x﹣k）k]
+[（x﹣1）k﹣2C（x﹣2）k+…+（﹣1）k k（x﹣k）k]+（﹣1）k+1C（x﹣k﹣1）k+1 =x[C x k﹣（+）（x﹣1）k+（）（x﹣2）k+…+（﹣1）k（+）（x﹣k）k]
+（k+1）[（x﹣1）k﹣（x﹣2）k…+（﹣1）k+1（x﹣k）k]+（﹣1）k+1C（x﹣k﹣1）k+1 =x[x k﹣C k1（x﹣1）k+（x﹣2）k+…+（﹣1）k C k k（x﹣k）k]﹣x[（x﹣1）k+（x﹣2）k+…+（﹣1）k﹣1C k k﹣1（x﹣k）k+（﹣1）k C（x﹣k﹣1）k]
+（k+1）[（x﹣1）k﹣（x﹣2）k…+（﹣1）k+1（x﹣k）k+（﹣1）k（x﹣k﹣1）k]
=xk!﹣xk!+（k+1）k!
=（k+1）!．
∴当n=k+1时，猜想成立．
20. 设函数f（x）=clnx+x2+bx（b，c∈R，c≠0），且x=1为f（x）的极值点．
（Ⅰ）若x=1为f（x）的极大值点，求f（x）的单调区间（用c表示）；
（Ⅱ）若f（x）=0恰有两解，求实数c的取值范围．
参考答案：
【考点】函数在某点取得极值的条件；函数的零点；利用导数研究函数的单调性．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ利用x=1为f（x）的极大值点，得到f'（1）=0，然后利用导数研究f（x）的单调区间（用c表示）；
（Ⅱ）分别讨论c的取值，讨论极大值和极小值之间的关系，从而确定c的取值范围．
【解答】解：，
∵x=1为f（x）的极值点，
∴f'（1）=0，
∴且c≠1，b+c+1=0．
（I）若x=1为f（x）的极大值点，
∴c＞1，
当0＜x＜1时，f'（x）＞0；
当1＜x＜c时，f'（x）＜0；
当x＞c时，f'（x）＞0．
∴f（x）的递增区间为（0，1），（c，+∞）；递减区间为（1，c）．
（II）①若c＜0，则f（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，
f（x）=0恰有两解，则f（1）＜0，即，∴ c＜0；②若0＜c＜1，则f（x）的极大值为f（c）=clnc+c2+bc，
f，
∵b=﹣1﹣c，
则=clnc﹣c﹣，
f，从而f（x）=0只有一解；
③若c＞1，则=clnc﹣c﹣，
，则f（x）=0只有一解．
综上，使f（x）=0恰有两解的c的范围为： c＜0．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值和单调性，考查学生的计算能力，以及分类讨论思想．
21. （本小题满分 10 分）选修 4- 5 ：不等式选讲
已知函数
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）解不等式.
参考答案：
(本小题满分l0分)选修4—5：不等式选讲
解：（1），------------------3分
又当时，，
∴--------------------------------------------5分
∴若使f(x)≤a恒成立，应有a≥f max(x),即a≥3
∴a的取值范围是：[3，+∞）
（2）当时，；
当时，；
当时，；-------------------------8分
综合上述，不等式的解集为：.-------------------------10分
22. （12分）（2015?陕西一模）有一种密码，明文是由三个字母组成，密码是由明文的这是哪个字谜对应的五个数字组成，编码规则如下表，明文由表中每一排取一个字母组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同次序排列组成；（如：明文取的是三个字母为AFP，则与他对应的五个数字（密码）就为11223．）
第一排字符 A B C
字符 11 12 13
第二排字符 E F G
字符 21 22 23
第三排字符 M N P
字符 1 2 3
（Ⅰ）假设明文是BGN，求这个明文对应的密码；
（Ⅱ）设随机变量ξ表示密码中不同数字的个数，
①求P（ξ=2）；
②求ξ的概率分布列和它的数学期望．参考答案：
【考点】：离散型随机变量的期望与方差；进行简单的合情推理．
【专题】：概率与统计．
【分析】：（Ⅰ）由明文是BGN，且B对应的数字是12，G对应的数字是23，N对应的数字是2，能求出明文BGN对应的密码．
（Ⅱ）①ξ=2表示密码中只有两个不同的数字，从而只能取表格的第一、二列中的数字作密码，由此能求出P（ξ=2）．
②由已知得ξ的可能取值为2，3，分别求出P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和
Eξ．
解：（Ⅰ）∵明文是BGN，且B对应的数字是12，G对应的数字是23，N对应的数字是2，
∴明文BGN对应的密码是12232．
（Ⅱ）①∵ξ=2，∴密码中只有两个不同的数字，
注意到密码的第一、二列只有数字1，2，
故只能取表格的第一、二列中的数字作密码，
∴P（ξ=2）==．
②由已知得ξ的可能取值为2，3，
P（ξ=2）==，
P（ξ=3）=1﹣=，
∴ξ的分布列为：
ξ 2 3
P
Eξ==．
【点评】：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．。