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高中平面解析几何知识点总结一. 直线部分
1．直线的倾斜角与斜率：
（ 1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x
轴相交的直线，如果把
x
轴绕着交
点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角 . 倾斜角[ 0,180 ) , 90 斜率不存在 .
k y2 y
1 ( x1 x
2 ), k tan
（ 2）直线的斜率：x2 x1 ．两点坐标为P
1
( x
1
, y
1
)
、
P
2
(x
2
, y
2
)
.
2．直线方程的五种形式：
（ 1）点斜式：y
y1 k( x x1 ) (直线 l 过点
P
1
( x
1
, y
1
)
，且斜率为 k )．
注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为xx 0．
（ 2）斜截式：y
kx b (b 为直线
l
在 y 轴上的截距 ). y y1 x x1
（ 3）两点式：y
2 y
1 x
2 x1
(
y
1
y
2，
x
1
x
2 ).
注：① 不能表示与x
轴和
y
轴垂直的直线；
②方程形式为：(x
2 x1 )( y y1 ) ( y2 y1 )( x x1 )
时，方程可以表示任意直线．
x y
1
（a,b
分别为
x
轴
y
轴上的截距，且
a
（ 4）截距式：a
b 0,b 0 ）．
注：不能表示与x
轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点
的直线．
（ 5）一般式：Ax
By C 0 ( 其中 A、 B 不同时为 0) ．
y A x C k A
一般式化为斜截式： B B
，即，直线的斜率： B ．
注：（1）已知直线纵截距b
，常设其方程为
y
kx
b
或 x 0．
已知直线横截距x
0，常设其方程为
x my x
0 ( 直线斜率 k 存在时，
m
为 k 的倒数 ) 或
y 0
．
已知直线过点( x
, y
)
，常设其方程为
y
k( x x0 ) y0或 x x0．
（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合．
3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.
（1）直线在两坐标轴上的截距相等直线的斜率为1或直线过原点．（2）直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点．
（3）直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点．4．两条直线的平行和垂直：
（1）若l
1
: y k
1
x b
1 ，
l
2
: y k
2
x b
2 ，有
①
l
1
// l
2 k1 k2 , b1
b
2 ；② l1 l 2 k1 k2 1 .
（2）若 l1 : A1 x B1 y C1 0 ， l 2 : A2 x B2 y C 2 0 ，有
①l
1
// l
2 A1 B2
A2 B1且 A1C
2
A
2
C
1 ；②
l
1 l
2 A1 A2
B
1
B
2
．
5．平面两点距离公式：
P ( x , y )
、P ( x , y )
，则两点间距离
P
1
P
2 ( x1
（ 1）已知两点坐标 1 1 1 2 2 2
（ 2）x
轴上两点间距离：
AB
x B
x
A ．
x1 x 2
x 0 2
y1 y 2
（3）线段P
1
P
2 的中点是
M ( x
, y
)
，则
y 0
2 ．
6．点到直线的距离公式：
d Ax0 By0 C
点P( x
, y
)
到直线l：AxBy A2 B 2
C
的距离：．
7．两平行直线间的距离公式：
d
两条平行直线l
1
：AxBy C
1 0， l 2： Ax By C 2
的距离：
8．直线系方程：x2 ) 2( y1y2 ) 2．
C1C2
A2 B 2．
（1）平行直线系方程：
①直线y kx b
中当斜率
k
一定而
b
变动时，表示平行直线系方程．
② 与直线l : Ax By C 0 平行的直线可表示为Ax By C1 0 ．
③过点 P( x0 , y0 ) 与直线 l : Ax By C 0 平行的直线可表示为： A( x x0 ) B( y y0 ) 0 ．（ 2）垂直直线系方程：
① 与直线 l : Ax By C 0 垂直的直线可表示为 Bx Ay C 1 0 ．
②
过点
P( x
, y 0
) 与直线 l : Ax By C 0 垂直的直线可表示为： B( x x 0
) A( y y 0
) 0 ．
（ 3）定点直线系方程：
① 经过定点 P 0
(x 0
, y 0 )
的直线系方程为
y
y 0
k( x x 0 )
(
除直线
xx
), 其中 k 是待定的
系数．
② 经过定点
P 0
(x 0
, y 0 )
的直线系方程为
A(x
x 0 ) B( yy 0 ) 0
, 其中 A, B 是待定的系数．
（ 4）共点直线系方程：经过两直线 l 1： A 1
x
B 1 y
C 1
0， l 2
： A 2
xB 2
y C 2
交点的直线系
方程为 A 1 x B 1 y C 1
( A 2 x B 2 y C 2 ) 0 ( 除开 l 2 ) ，其中λ是待定的系数．
9．两条曲线的交点坐标：
f ( x, y) 0
曲线 C 1 : f ( x, y) 0 与 C 2 : g(x, y)
的交点坐标
方程组 g( x, y)
的解．
10. 平面和空间直线参数方程：
① 平面直线方程以向量形式给出：
x a y b 方向向量为
s
，
下面推导参数方程：
n
1
n
2
n 1
n
2
令：
x a
y b t
则有 x a n 1
t
n
1
n
2
y b n 2
t
② 空间直线方程也以向量形式给出：
x a y b
z b
方向向量为
s
， ,
n
3
下面推导参数方程：
n 1
n 2
n
3
n 1
n 2
y b
x a n 1
t
令：x a z c t 则有 y b n 2
t
n
2
n
1
n
3
z
c n 3
t
注意：只有封闭曲线才会产生参数方程， 对于无限曲线， 例如二次函数一般不会有化为如
上的参数方程。

二. 圆部分
1．圆的方程：
（ 1）圆的标准方程：( x a)
2
( y b)2 r 2 （
r 0
）．
（ 2）圆的一般方程：x
2 y2 Dx Ey F 0(D 2 E 2 4F 0) ．
（ 3）圆的直径式方程：若A(x
1
, y
1
)，B( x
2
, y
2
)
，以线段 AB 为直径的圆的方程是：
( x x1 )(x x2 ) ( y y1 )( y y 2 ) 0．
注： (1) 在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是(
D
,
E
) r 1 D 2 E 2 4F
2 2 ， 2 ．
（ 2）一般方程的特点：
① x 2 和 y2 的系数相同且不为零；②没有xy
项；③ D 2 E 2 4F 0
（ 3）二元二次方程Ax
2
Bxy Cy 2 Dx Ey F
表示圆的等价条件是：
① A C 0 ；② B 0 ；③ D 2 E 2 4 AF 0 ．2．圆的弦长的求法：
（ 1）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为l ，弦心距为d，半径为r，
则：“半弦长2 +弦心距2
( l )2 d 2 r 2 =半径2”—— 2 ；
（2）代数法：设 l 的斜率为 k ， l 与圆交点分别为A(x
1
, y
1
)，B(x
2
, y
2
)
，则
| AB | 1 k 2 | x A x B | 1 1
2 | y A y B | k
（其中| x
1
x
2
|,| y
1
y
2
|
的求法是将直线和圆的方程联立消去
y 或x，利用韦达定理求解）
3．点与圆的位置关系：
点 P( x0 , y0 ) 与圆 (x a) 2 ( y b) 2 r 2 的位置关系有三种
①P 在在圆外 d r ( x0 a) 2 ( y0 b) 2 r 2 ．
②P 在在圆内 d r ( x0 a) 2 ( y0 b) 2 r 2 ．
③P 在在圆上 d r ( x0 a) 2 ( y0 b) 2 r 2 ．
【 P 到圆心距离d
(a x0 )2 (b y0 )2 】
4．直线与圆的位置关系：
直线 Ax By C 0 与圆 (x a) 2 ( y b) 2 r 2 的位置关系有三种 :
Aa Bb C d
A2 B 2 x
（或
y
）后，所得一
圆心到直线距离为d
( ) ，由直线和圆联立方程组消去
元二次方程的判别式为．
d r 相离0；
d r 相切0 ；
d r 相交0 ．5．两圆位置关系 :
设两圆圆心分别为O1, O2，半径分别为 r1, r2，O
1
O
2
d
d r1 r2 外离4条公切线；
d r1 r2 内含无公切线；
d r1 r2 外切3条公切线；
d r1 r2 内切1条公切
线；
r1 r2 d r1 r2 相交2条公切线．
6．圆系方程：x
2 y 2 Dx Ey F 0(D 2 E 2 4F 0)
（1）过直线 l： Ax By C 0
与圆 C :
x
2
y2 Dx Ey
F 0
的交点的圆系方程：
x 2 y2 Dx Ey F ( Ax By C ) 0
, λ是待定的系数．
（2）过圆C
1 :x
2 y 2 D1 x E1 y F1 0 与圆
C
2: x2 y 2 D 2 x E2 y F2
的交点的圆系
方程：
x2 y2 D1x E1 y F1 (x 2 y 2 D 2 x E2 y F
2
)0
,λ是待定的系数．
特别地，当1时，x
2
y2 D1x E1y F1 ( x2 y2 D 2 x E2 y F2 )
就是
(D1D2 ) x (E1E2 ) y ( F1F2 )0 表示两圆的公共弦所在的直线方程，即过两圆交点的直线．
7．圆的切线方程：
（ 1）过圆x2 y 2 r 2 P( x0 , y0 )
的切线方程为 :
x0 x y0 y r 2 上的点．
（2）过圆 ( x a) 2 ( y b) 2 r 2 上的点P( x
, y
)
的切线方程为:
( x
a)( x0 a) ( y b)( y0 b) r 2 ．
（3）当点P(x
, y
)
在圆外时，可设切方程为
yy
k (x x
)
，利用圆心到直线距离等于半径，
即
d r ，求出k；或利用0 ，求出k．若求得k只有一值，则还有一条斜率不存在的直线
x x
0 ．
8.圆的参数方程：
2 2
圆方程参数方程源于：sin cos 1
2 2
那么（x a) ( y b) 1
2 2
R R
（x a)
设：R sin 得：x
a Rsin
（y b)
cos y b R cos
R
9．把两圆x
2 y 2 D
1 x E1 y F1
0 与 x 2 y 2 D
2 x E2 y F2
方程相减
即得相交弦所在直线方程 : (D
1 D
2 )x (E1 E2 ) y (F1 F2 ) 0 ．
10．对称问题：（ 1）中心对称：
①点关于点对称：点A( x
1
, y
1
)
关于
M ( x
, y
)
的对称点
A(2x
0 x
1 ,
2 y0 y1 ) ．
② 直线关于点对称：
法1：在直线上取两点，利用中点公式求出两点关于已知点对称的两点坐标，由两点式求直线方程．
法2：求出一个对称点，在利用l
1
// l
2由点斜式得出直线方程．
（2）轴对称：
① 点关于直线对称：点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数，点与对称点的中点
在直线上．
AA ⊥ l
k
AA
·
1
k l
点 A 、A 关于直线 l 对称
AA 中点在 上 AA 中点坐标满足 l 方程
． l
② 直线关于直线对称：（设 a,b
关于 l
对称）
法 1：若
a, b
相交，求出交点坐标，并在直线 a
上任取一点，求该点关于直线 l
的对称
点．若 a // l ，则 b // l ，且 a, b
与 l 的距离相等．
法 2：求出 a 上两个点 A, B
关于 l
的对称点，在由两点式求出直线的方程．
（ 3）其他对称：
点 (a,b) 关于 x 轴对称： (a,-b) ； 关于 y 轴对称： (-a,b) ； 关于原点对称： (-a,-b) ；
点 (a,b) 关于直线 y=x 对称： (b,a) ；
关于 y=-x 对称： (-b,-a) ； 关于 y =x+m 对称： (b-m 、a+m)；
关于 y=-x+m 对称： (-b+m 、-a+m).
A( x 1 , y 1 )， B( x 2 , y 2 )， C ( x 3 , y 3 ) x 1
x 2x 3
，
y
1
y 2 y 3
11．若
，则△ ABC 的重心 G 的坐标是 3
3 ．
12．各种角的范围：
直线的倾斜角
180
两条相交直线的夹角 0
90 两条异面线所成的角
90
三. 椭圆部分
1. 椭圆定义：
① 到两定点距离之和为一常数的平面几何曲线：即∣
MO1∣+∣MO2∣ =2a
② 或定义：任意一条线段， 在线段中任取两点 （不包括两端点），将线段两端点置于这两点处，
用一个钉子将线段绷直旋转一周得到的平面几何曲线即为椭圆。

③ 从椭圆定义出发得到一个基本结论：椭圆上任意一点引出的两个焦半径之和为常数
2a 。

2. 椭圆性质：
①由于椭圆上任意一点到两点距离之和为常数，所以从
A 点向焦点引两条焦半径
∣ AO 1∣ +∣ AO 2∣=∣AO 2∣+∣O 2B ∣=2a
这是因为∣ AO1∣=∣O2B ∣( 由图形比较看出 )
② 椭圆的标准方程：
2
x 2 y
1
2
2
a
b
③ 椭圆参数方程：
2
2
2
从圆方程知： x
y R
sin 2 2
圆方程参数方程源于：
cos
1
2
所以按上面逻辑将椭圆方程 x 2
y 1 视为
2
2
a
b x
sin 得：
x
Rsin 设 R
y
cos
y Rcos
R
x sin
得：
x
asin
同理椭圆参数方程为： a
y cos
y
bcos
b
④由于两个焦半径和为 2a
所以 O 1
C O 2
C 2a
得：
O
C O
C a
2
2
2
2 得： a b c
1
O C b
c 2 2
O 1
C O 2
C
a b
O C c
⑤ 椭圆离心率，来源于圆的定义：
圆实际上是一种特殊的椭圆，而圆不过是两个焦点与坐标圆点重合罢了。

c
椭圆离心率为
e
a
四. 双曲线部分
1. 双曲线定义： 到两定点的距离之差的绝对值为常数的平面几何图形，即：
MO 2
MO
1
2a
① 双曲线的标准方程：
2
x 2 y
1
2
2
a b
② 由于双曲线上任意一点两个焦点之差的绝对值为常数2a.
AQ 2 AQ 1 AB 2a
AQ 2 AQ 1 AB
BQ 2 AQ 1 AB 2a
③ 双曲线的渐近线：
2
2
b
2
a 2
y b 2
2
由标准方程知： y
2
x x a
a
a
又
y b 2
2
b 2
b
a x a a x a x
y b
x 为渐近线，另一条为 y
b x
a
a
以上为渐近线的推导过
程。

a
a
2
2
2
2
x
x
y b
若标准方程为
y
b b
2
a 2
1 ，那么这时
b
b
y
a
x
注意 y 下面对应 b ，x 下面对应 a.
④ 取 x=a 及 x=-a 两条直线，它们与渐近线的两个焦点的连线和
该轴称为虚轴。

⑤ 推导 a 、 b 、 c 之间的关系：
设双曲线上任意一点坐标 M （ x ， y ）
y 2
a y
b
y 轴的交点称为虚焦点，
MO 2
(x
2
2
c) y
MO
1
(x
2 2
c) y
MO 2
MO
1
( x 2
2
2
2
c)
y ( x c)
y 2a
2
y 2
经化简得：
x
2
2
2
1
a
c a
2
2
y
设：
2
2 2
双曲线标准方程为：
x
1
c
a
b
2
2
a b
2
2
2
从而得到 :
c
a b
五. 抛物线部分
1. 定义：到定点与定直线距离相等的平面曲线称为抛物线。

为了推导抛物线标准式，设：定直线为 x=-p ，定点为 O 1（p ，0），
（尽管这是一种特殊情况，但同样具有一般性） ① 设：抛物线上任意一点坐标为 M(x ，y)
M 点到定直线 x=-p 的距离为
x
p
M 点到定点 1
( x
2
2
O （p ，0）的距离为
p )
y
x p
2
y 2
(x p)
x 2
2
2
2
2 px 2
p 2 px x
p y
2
y 4 px
② 很显然与以前学习的二次函数是一致的， 只不过这里自变量变成 y ，函数变成 x ；而二次函数自变量是 x ，函数是 y ，因而二次函数也是抛物线，同样具有抛物线的性质。

如下：
y
2
c (
a 0)
a x bx
x
1
b
x 2
韦达定理：⑴ .
a
x 1
?
x 2
c
a
b 4a
c 2
⑵.
顶点坐标 (
b ) ，推导采用配方法：
，
4a
2a
2
2
y a x b x
b
b
2
a
2a
2a
2
b
4ac
2
a x
b
4a
2a
⑶ 求根公式：
x
1，2
b
b 2
4ac
2a
从而零点坐标为 ， 、 ， 。

x 1
0 x 2
③ 平移
例如： 、
2
如何平移呢？那就要看
2
难看出
1) 2 px
( y 1) 怎么样才可等于零，不
a ( y
只有在 y 1 0 时，y 1 ,即向下移动一个单位。

2
2 p(x 1)
同样看
(x
1) 如何为零，不难看出 x 1 ，即图像向左移动一个
b 、y 单位
c ( y
2
2 p(x
1)
( y 1) 2
(x 1)
y 1 x 1
1)
同样看 和 如何为零，不难看出 及 ，
、
即图像想上移动一个单 位，向右移动一个单位 。

注意，平移部分需要自己琢磨，根据上面三个例子 .。