2021年河南省六市高考数学第一次联考试卷(理科)(2021.03)(解析版)

2021年河南省六市高考数学第一次联考试卷（理科）（3月份）一、选择题（共12小题）.
1．集合A＝{x|≤0}，集合B＝{x|y＝}，则集合A∪B等于（）A．[0，]B．（﹣1，+∞）C．（﹣1，1）D．[﹣1，+∞）2．已知i是虚数单位，复数z满足，则|z|＝（）
A．B．2C．1D．
3．等差数列{a n}的前n项和为S n，S15＝30，a10＝4，则a9＝（）
A．2B．3C．4D．8
4．为了得到函数g（x）＝sin2x的图象，需将函数f（x）＝sin（﹣2x）的图象（）A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
5．，log26，3log32的大小关系是（）
A．2B．
C．D．
6．的展开式中x的系数是（）
A．10B．2C．﹣14D．34
7．函数f（x）＝（﹣1）sin x图象的大致形状是（）
A．B．
C．D．
8．如图，在棱长为1正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱AB的中点，动点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，总有AP⊥D1M，则动点P的轨迹的长度为（）
A．B．C．D．
9．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，M（x0，）为该抛物线上一点，若以M 为圆心的圆与C的准线相切于点A，∠AMF＝120°，过F且与y轴垂直的直线l与C交于G，H两点，P0为C的准线上的一点，△GHP0的面积为（）
A．1B．2C．4D．9
10．二进制是计算机技术中广泛采用的一种数制．二进制数据是用0和1两个数码来表示的数．它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则“借一当二”．当前的计算机系统使用的基本上是二进制系统，计算机中的二进制则是一个非常微小的开关，用1来表示“开”，用0来表示“关”．如图所示，把十进制数（10）10化为二进制数（1010）2，十进制数（99）10化为二进制数（1100011）2，把二进制数（10110）2化为十进制数为1×24+0×23+1×22+1×21+0×20＝16+4+2＝22，随机取出1个不小于（100000）2，且不超过（111111）2的二进制数，其数码中恰有4个1的概率是（）
A．B．C．D．
11．在三棱锥A﹣BCD中，AB＝CD＝4，AC＝BD＝AD＝BC＝3，则该三棱锥的内切球的表面积为（）
A．B．17πC．D．
12．若函数f（x）＝（2ax+）lnx﹣（a﹣1）x3有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）
A．（0，）
B．（1，）
C．（0，1）∪（1，）
D．（0，1）∪{}
二、填空题（共4小题）.
13．已知向量，，且与向量的夹角为90°，则向量在向量方向上的投影为．
14．已知实数x，y满足，则z＝x﹣3y的最小值为．
15．设正数数列{a n}的前n项和为S n，数列{S n}的n项之积为T n，且S n+2T n＝1，则数列{a n}的通项公式是．
16．已知直线l：x﹣y＝0交双曲线Γ：＝1（a＞0，b＞0）于A，B两点，过A 作直线l的垂线AC交双曲线Γ于点C．若∠ABC＝60°，则双曲线Γ的离心率为．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤必考题：共60分。

17．在△ABC中，内角A，BC所对的边分别为a，b，c，若＝sin C tan A﹣cos C．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若b＝3，c＝2，点D在边BC上，且CD＝2DB，求a及AD．
18．如图，在四棱锥A﹣BCFE中，四边形EFCB为梯形，EF∥BC，且2EF＝BC，△ABC 是边长为2的正三角形，顶点F在AC上的射影为点G，且FG＝，CF＝，BF ＝．
（1）证明：平面FGB⊥平面ABC；
（2）求二面角E﹣AB﹣F的余弦值．
19．某种机器需要同时装配两个部件S才能正常运行，且两个部件互不影响，部件S有两个等级：一等品售价5千元，使用寿命为5个月或6个月（概率均为0.5）；二等品售价2千元，使用寿命为2个月或3个月（概率均为0.5）
（1）若从4件一等品和2件二等品共6件部件S中任取2件装入机器内，求机器可运行时间不少于3个月的概率．
（2）现有两种购置部件S的方案，方案甲：购置2件一等品；方案乙：购置1件一等品和2件二等品，试从性价比（即机器正常运行时间与购置部件S的成本之比）角度考虑，选择哪一种方案更实惠．
20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞）的离心率为，且过点（0，2）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若矩形ABCD的四条边均与椭圆相切，求该矩形面积的取值范围．
21．已知函数f（x）＝e x﹣1﹣2lnx+x．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明：f（x）≥（x﹣2）3﹣3（x﹣2）．
选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，φ∈[0，π）），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为
．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）设P（1，1），若直线l与圆C相交于A，B两点，求的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知a，b，c为正数，且a+b+c＝2．证明：
（1）；
（2）．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．集合A＝{x|≤0}，集合B＝{x|y＝}，则集合A∪B等于（）A．[0，]B．（﹣1，+∞）C．（﹣1，1）D．[﹣1，+∞）解：∵＝{x|0＜1﹣x≤1}＝{x|0≤x＜1}，∴A∪B＝（﹣1，1）．
故选：C．
2．已知i是虚数单位，复数z满足，则|z|＝（）
A．B．2C．1D．
解：复数z满足，所以z＝＝＝＝﹣1﹣i，
所以|z|＝＝，
故选：A．
3．等差数列{a n}的前n项和为S n，S15＝30，a10＝4，则a9＝（）
A．2B．3C．4D．8
解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S15＝30，a10＝4，
∴15a1+d＝30，a1+9d＝4，
联立解得：a1＝﹣5，d＝1，
则a9＝﹣5+8＝3．
故选：B．
4．为了得到函数g（x）＝sin2x的图象，需将函数f（x）＝sin（﹣2x）的图象（）A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解：为了得到函数g（x）＝sin2x的图象，
需将函数f（x）＝sin（﹣2x）＝sin[π﹣（﹣2x）]＝sin（2x+）的图象，向右平移个单位长度，
故选：D．
5．，log26，3log32的大小关系是（）
A．2B．
C．D．
解：∵，，
3log32＝log38＜log39＝2，log26＞log24＝2，
所以．
故选：B．
6．的展开式中x的系数是（）
A．10B．2C．﹣14D．34
解：∵＝（1﹣x）•
＝（1﹣x）•（•x4+•x3+•x2+••+•），
故展开式中x的系数是﹣＝﹣14，
故选：C．
7．函数f（x）＝（﹣1）sin x图象的大致形状是（）
A．B．
C．D．
解：＝•sin x，
则f（﹣x）＝•sin（﹣x）＝•（﹣sin x）＝•sin x＝f（x），
则f（x）是偶函数，则图象关于y轴对称，排除B，D，
由f（x）＝0，得1﹣e x＝0或sin x＝0，
得x＝kπ，k∈Z，即当x＞0时，第一个零点为π，
当x＝1时，f（1）＝•sin1＜0，排除A，
故选：C．
8．如图，在棱长为1正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱AB的中点，动点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，总有AP⊥D1M，则动点P的轨迹的长度为（）
A．B．C．D．
解：如图，先找到一个平面总是保持与平面DD1M垂直，
取B1B的中点E，CB的中点F，连接AE，EF，AF，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
可知DM⊥AF，D1D⊥AF，则有AF⊥面DMD1，同理面MD1D⊥AE，则平面MDD1⊥平面AEF，
又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，
根据平面的基本性质得：
点P的轨迹为面AEF与面BCC1B1的交线段EF．
F为BC的中点，E为BB1的中点，|EF|＝＝．
故选：A．
9．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，M（x0，）为该抛物线上一点，若以M 为圆心的圆与C的准线相切于点A，∠AMF＝120°，过F且与y轴垂直的直线l与C交于G，H两点，P0为C的准线上的一点，△GHP0的面积为（）
A．1B．2C．4D．9
解：过点M作BM⊥y轴，
由抛物线的性质可得|MA|＝|MF|＝+，
将M点坐标代入抛物线的方程，得x02＝2p•，即x02＝p，
不妨设M在第一象限，则x0＝，
所以|BM|＝x0＝，
因为∠AMF＝120°，
所以∠BFM＝30°，
所以2|BF|＝|MF|，
所以2（﹣）＝+，解得p＝3，
所以抛物线的方程为x2＝6y，
所以F（0，），
准线的方程为y＝﹣，
所以P0到直线GH的距离d＝p＝3，
联立，解得x＝3或﹣3，
所以G（﹣3，3），H（3，3），
所以GH＝6，
所以S＝•|GH|•d＝•6•3＝9，
故选：D．
10．二进制是计算机技术中广泛采用的一种数制．二进制数据是用0和1两个数码来表示的数．它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则“借一当二”．当前的计算机系统使用的基本上是二进制系统，计算机中的二进制则是一个非常微小的开关，用1来表示“开”，用0来表示“关”．如图所示，把十进制数（10）10化为二进制数（1010）2，十进制数（99）10化为二进制数（1100011）2，把二进制数（10110）2化为十进制数为1×24+0×23+1×22+1×21+0×20＝16+4+2＝22，随机取出1个不小于（100000）2，且不超过（111111）2的二进制数，其数码中恰有4个1的概率是（）
A．B．C．D．
解：（100000）2＝1×25＝32，
（111111）2＝1×25+1×24+1×23+1×22+1×2+1×20＝63，
33＝（100001）2，34＝（100010）2，35＝（100011）2，
36＝（100100）2，37＝（100101）2，38＝（100110）2，
39＝（100111）2，40＝（101000）2，41＝（101001）2，
42＝（101010）2，43＝（101011）2，44＝（101100）2，
45＝（101101）2，46＝（101110）2，47＝（101111）2，
48＝（110000）2，49＝（110001）2，50＝（110010）2，
51＝（110011）2，52＝（110100）2，53＝（110101）2，
54＝（110110）2，55＝（110111）2，56＝（111000）2，
57＝（111001）2，58＝（111010）2，59＝（111011）2，
60＝（111100）2，61＝（111101）2，62＝（111110）2，
63＝（111111）2，
∴随机取出1个不小于（100000）2，且不超过（111111）2的二进制数，
基本事件总数n＝32，
其数码中恰有4个1包含的基本事件有10个，
∴其数码中恰有4个1的概率p＝＝．
故选：D．
11．在三棱锥A﹣BCD中，AB＝CD＝4，AC＝BD＝AD＝BC＝3，则该三棱锥的内切球的表面积为（）
A．B．17πC．D．
解：如图，在长方体AHDG﹣EBFC中，设EC＝c，EB＝b，EA＝a，
则a2+b2＝16，c2+b2＝9，a2+c2＝9．
∵，c＝1，
故四面体ABCD的体积V＝abc﹣4×＝＝．
四面体ABCD的表面积S＝4S△ABC＝4××4×＝8，
根据等体积可得＝×r，r＝．
该三棱锥的内切球的表面积为4π×（）2＝．
故选：A．
12．若函数f（x）＝（2ax+）lnx﹣（a﹣1）x3有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）
A．（0，）
B．（1，）
C．（0，1）∪（1，）
D．（0，1）∪{}
解：令f（x）＝（2ax+）lnx﹣（a﹣1）x3＝0，
即2a•+（）2﹣（a﹣1）＝0，
设t＝g（x）＝，令g′（x）＝＝0，则x＝，即有g（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，则t＜g（）＝，
原方程可化为t2+2at﹣（a﹣1）＝0，设方程两根为t1＜t2，则0＜t2＜，t1＜0，设h（t）＝t2+2at﹣（a﹣1），
则，解得1＜a＜，
故选：B．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知向量，，且与向量的夹角为90°，则向量在向量
方向上的投影为．
解：∵，，∴＝（2+k，5），
又与向量的夹角为90°，∴（）•＝0即（2+k）×1+5×2＝0，解得k＝﹣12，
∴，，
∴向量在向量方向上的投影为＝．
故答案为：．
14．已知实数x，y满足，则z＝x﹣3y的最小值为﹣7．解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（2，3），
由z＝x﹣3y，得y＝，由图可知，当直线y＝过A时，
直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣7．
故答案为：﹣7．
15．设正数数列{a n}的前n项和为S n，数列{S n}的n项之积为T n，且S n+2T n＝1，则数列{a n}的通项公式是a n＝．
解：∵S n+2T n＝1，
∴+2T n＝1（n≥2），
整理，得﹣＝2（n≥2），
由S n+2T n＝1，可得a1＝，＝3，
∴数列{}是以3为首项，2为公差的等差数列，
∴＝2n+1，
∴T n＝，
∴S n＝＝，
当n＝1时，a1＝S1＝；
当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣＝
故答案为：a n＝．
16．已知直线l：x﹣y＝0交双曲线Γ：＝1（a＞0，b＞0）于A，B两点，过A 作直线l的垂线AC交双曲线Γ于点C．若∠ABC＝60°，则双曲线Γ的离心率为．解：联立，得x2＝，y2＝，
设A（，），
所以|AB|＝2|OA|＝，
在直角三角形ABC中，∠ABC＝60°，
可得|AC|＝|AB|，
设直线AC的方程为y＝﹣x+，
代入双曲线的方程可得（b2﹣3a2）x2+x﹣a2b2﹣＝0，
所以x C+＝﹣，
所以|x C﹣x A|＝|﹣﹣|＝，所以|AC|＝2•＝，
所以a2+b2＝|b2﹣3a2|，
解得a＝b，e＝＝＝，
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤必考题：共60分。

17．在△ABC中，内角A，BC所对的边分别为a，b，c，若＝sin C tan A﹣cos C．（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若b＝3，c＝2，点D在边BC上，且CD＝2DB，求a及AD．
解：（I）由正弦定理＝sin C tan A﹣cos C可化为sin C﹣sin B＝sin A sin C tan A﹣cos C），
即sin C﹣sin（A+C）＝sin A（sin C tan A﹣cos C），
所以sin C﹣sin A cos C﹣sin C cos A＝sin C×﹣sin A cos C，
因为sin C＞0，
所以＝，
即1﹣cos2A+cos2A＝，
所以cos A＝，
因为A为三角形内角，
所以A＝；
（II）由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝18+4﹣12＝10，
故a＝，
因为D在边BC上，且CD＝2DB，
所以BD＝＝，
又cos B＝＝﹣，
所以AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cos B＝，
所以AD＝．
18．如图，在四棱锥A﹣BCFE中，四边形EFCB为梯形，EF∥BC，且2EF＝BC，△ABC 是边长为2的正三角形，顶点F在AC上的射影为点G，且FG＝，CF＝，BF ＝．
（1）证明：平面FGB⊥平面ABC；
（2）求二面角E﹣AB﹣F的余弦值．
【解答】证明：（1）由顶点F在AC上投影为点G，可知，FG⊥AC．
取AC的中点为O，连结OB，GB．
在Rt△FGC中，FG＝，CF＝，
所以CG＝．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）
在Rt△GBO中，OB＝，OG＝，
所以BG＝．﹣﹣﹣﹣﹣﹣
所以，BG2+GF2＝FB2，即FG⊥BG．﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∵FG⊥AC，FG⊥GB，AC∩BG＝G，
∴FG⊥面ABC．
又FG⊆面FGB，所以面FGB⊥面ABC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣
解：（2）由（1）知，OB⊥FG，OB⊥AC，
且AC∩FG＝G
所以OB⊥面AFC，且FG⊥面ABC．
以OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，过点O作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则A（0，﹣1，0），B（，0，0），F（0，﹣，），E（，﹣1，），＝（﹣），＝（﹣，﹣1，），＝（﹣）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣
设平面ABE，ABF的法向量分别为，，
则，取x＝1，得＝（1，﹣），﹣﹣﹣﹣﹣﹣
，取a＝1，得＝（1，﹣，﹣），﹣﹣﹣﹣﹣﹣cosθ＝＝．
所以二面角E﹣AB﹣F的余弦值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣
19．某种机器需要同时装配两个部件S才能正常运行，且两个部件互不影响，部件S有两个等级：一等品售价5千元，使用寿命为5个月或6个月（概率均为0.5）；二等品售价2千元，使用寿命为2个月或3个月（概率均为0.5）
（1）若从4件一等品和2件二等品共6件部件S中任取2件装入机器内，求机器可运行时间不少于3个月的概率．
（2）现有两种购置部件S的方案，方案甲：购置2件一等品；方案乙：购置1件一等品和2件二等品，试从性价比（即机器正常运行时间与购置部件S的成本之比）角度考虑，选择哪一种方案更实惠．
解：（1）由题意知机器运行时间不少于3个月，共有三种可能：
第一，取到2个一等品，对应概率为＝，
第二，取到1个一等品，1个二等品，且二等品的使用寿命为3个月，
对应概率为＝，
第三，取到2个二等品，且二者使用寿命均为3个月，对应概率为：
＝，
∴机器可运行时间不少于3个月的概率P＝＝．
（2）若采用甲方案，则机器正常运行的时间为X（单位：月），
则X的可能取值为5，6，
P（X＝6）＝＝，
P（X＝5）＝1﹣P（X＝6）＝，
则X的分布列为：
X56
P
∴E（X）＝＝，
它与成本价之比为＝，
若采用方案乙，两个二等品的使用寿命之和Y（单位：月），
Y的可能取值为4，5，6，
P（Y＝4）＝＝，
P（Y＝5）＝＝，
P（Y＝6）＝＝，
则Y的分布列为：
Y456
P
记M为一等品的使用寿命（单位：月），此时机器的正常运用时间为Z，则Z的可能取值为4，5，6，
P（Z＝4）＝P（Y＝4）＝，
P（Z＝5）＝P（M＝5，Y＞5）+P（M＝6，Y＝5）＝＝，P（Z＝6）＝P（M＝y＝6）＝＝，
Z的分布列为：
Z456
P
E（Z）＝＝，
它与成本价之比为＝，
∵，
∴从性价比角度考虑，方案乙更实惠．
20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞）的离心率为，且过点（0，2）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若矩形ABCD的四条边均与椭圆相切，求该矩形面积的取值范围．
解：（Ⅰ）由题意可知，
解得：，
∴椭圆C的方程为：．
（Ⅱ）①当矩形的一边与坐标轴平行时，易知S＝8，
②当矩形的各边均不与坐标轴平行时，由矩形及椭圆的对称性，设其中一边所在的直线方程为：y＝kx+m，则其对边所在设为直线方程为：y＝kx﹣m，
另外两边所在的直线方程分别为：y＝﹣x+n，y＝﹣x﹣n，
联立，整理可得：（4+k2）x2+2kmx+m2﹣4＝0，
由题意可得△＝4k2m2﹣4（4+k2）（m2﹣4）＝0，
整理得k2+4＝m2，
设矩形与直线y＝kx+m对应的一条边长为d1，则，
同理可得，设矩形相邻的另一条边长为d2，则，
所以矩形的面积S＝d1•d2
＝
＝
＝4
＝4
＝4•
＝4
＝4，
∵k2＞0，∴，当且仅当k2＝1时取等号，
∴∈，
∴，
∴S∈（8，10]，
综上所述，该矩形面积的取值范围为[8，10]．
21．已知函数f（x）＝e x﹣1﹣2lnx+x．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明：f（x）≥（x﹣2）3﹣3（x﹣2）．
解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），，
易知在（0，+∞）上单调递增，且f′（1）＝0，
令f′（x）＜0，解得0＜x＜1，则f（x）的单调递减区间为（0，1）；
令f′（x）＞0，解得x＞1，则f（x）的单调递增区间为（1，+∞）；
（2）证明：设g（x）＝（x﹣2）3﹣3（x﹣2）（x＞0），g′（x）＝3（x﹣1）（x﹣3），令g′（x）＜0，解得1＜x＜3，令g′（x）＞0，解得0＜x＜1或x＞3，
∴当x＝1时，g（x）取得极大值，且极大值为2，
由（1）知，f（x）min＝f（1）＝2，故当0＜x≤3时，f（x）≥（x﹣2）3﹣3（x﹣2），设h（x）＝f（x）﹣g（x）＝e x﹣1﹣2lnx﹣（x﹣2）3+4x﹣6（x＞3），则
，
设，设
，
易知q′（x）在（3，+∞）上单调递增，则，则q（x）在（3，+∞）上单调递增，
从而，则h′（x）在（3，+∞）上单调递增，
所以，则h（x）在（3，+∞）上单调递增，
于是h（x）＞h（3）＝e2+5﹣2ln3＞0，故当x＞3时，f（x）≥（x﹣2）3﹣3（x﹣2）；
综上，f（x）≥（x﹣2）3﹣3（x﹣2）．
选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，φ∈[0，π）），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为
．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）设P（1，1），若直线l与圆C相交于A，B两点，求的最大值．
解：（1）圆C的极坐标方程为：．
转换为直角坐标方程为：，
所以：．
（2）将线l的参数方程为：（t为参数），
代入．
所以
设点A，B所对应的参数为t1和t2，
则，，
解法1：
当sinφ＝1时，，故．
解法2：
由t的几何意义知，，；
故．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知a，b，c为正数，且a+b+c＝2．证明：
（1）；
（2）．
【解答】证明：（1）∵a，b，c为正数，且a+b+c＝2，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝4．
∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，
上述三式相加，得a2+b2+c2≥ab+ac+bc，
∴4＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≥3ab+3ac+3bc，
∴，当且仅当时取等号；
（2），同理，，∴≥＝8，
即，当且仅当a＝b＝c＝时取等号．。