2011-2012学年高三数学上学期单元测试(7)新人教A版

2011—2012学年度上学期高三一轮复习数学单元验收试题（7）【新人
教】
命题X 围：三角
说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分；答题时间120分钟。

第Ⅰ卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代
号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。

1．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=
（ ）
A ．45-
B ．3
5
- C ．
35 D ．4
5
2．设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移
3
π
个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于
（ ）
A ．
1
3
B ．3
C ．6
D ．9 3．设函数)(|,3sin |3sin )(x f x x x f 则+=为 （）
A ．周期函数，最小正周期为
32π B ．周期函数，最小正周期为3
π C ．周期函数，数小正周期为π2 D ．非周期函数 4．ABC ∆中，若C B A sin cos cos =+，则ABC ∆的形状是
（ ）
A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．等腰直角三角形
D ．直角三角形 5．函数f （x ）=
x
x x
x cos sin 1cos sin ++的值域是
（ ）
A ．[－2－1，1]∪[－1, 2－1]
B ．[－
212+,2
1
2-] C ．[－
22－1, 2
2
－1] D ．[－
212+,－1)∪（－1, 2
1
2-] 6．对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是
（ ） A ．sin （α+β）>sin α+sin β B ．sin （α+β）>cos α+cos β
C ．cos （α+β）<sinα＋sinβ
D ．cos （α+β）<cosα＋cosβ
7．在△ABC 中，sinA∶sinB∶sinC＝a ∶（a +1）∶2a ，则a 的取值X 围是（ ）
A ．a ＞2
B ．a ＞21
C ．a ＞0
D ．a ＞1
8．设函数()f x （x ∈R ）满足()()f x f x -=，(2)()f x f x +=，则函数()y f x =的图像是
（ ）
9．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的X 围
是（）
A ．（1，2）
B ．（2，+∞）
C ．[3，+∞)
D ．（3，+∞）
10．函数1
1
y x =
-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
11．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则
（ ）
A ．111A
B
C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形
C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形
D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形
12．如图，一个“凸轮”放置于直角坐标系X 轴上方，其“底端”落在原点O 处，一顶点及
中心M 在Y 轴正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．
今使“凸轮”沿X 轴正向滚动前进，在滚动过程中“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置，应大致为 （ ）
第Ⅱ卷
二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。

13．已知a ∈（
2
π
，π），sin α5，则tan2α=。

14．某舰艇在A 处测得遇险渔船在北偏东45︒距离为10海里的C 处，此时得知，该渔船沿北
偏东105︒方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇到达渔船的最短时间是___________．
15．已知向量(2cos ,2sin ),(3cos ,3sin )a b ααββ==，其夹角为
60，则直线
21sin cos +
-ααy x =0与圆2
1)sin ()cos (2
2=++-ββy x 的位置关系是________。

16．设()f x =sin 2cos2a x b x +，其中a ，b ∈R ，ab ≠0，若()()6
f x f π
≤对一切则x ∈R 恒
成立，则：①11(
)012f π=；②7()10f π＜()5
f π
；③()f x 既不是奇函数也不是偶函数；
④()f x 的单调递增区间是2,()6
3k k k Z π
πππ⎡⎤
+
+
∈⎢⎥⎣
⎦
；⑤存在经过点（a ，b ）的直线与函数的图()f x 像不相交。

以上结论正确的是（写出所有正确结论的编号）
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6个大题，共76分）。

17．（12分）1
()2sin(),3
6
f x x x R π
=-
∈已知函数。

5(1)(
)4
f π
求的值; 106(2),0,,(3),(32),cos()22135f f ππαβαβπαβ⎡⎤
∈+=+=+⎢⎥⎣⎦
设求的值.
18．（12分）已知函数"2
4
:"
12cos 32)4
(
sin 4)(2
π
π
π
≤
≤--+=x P x x x f 且给定条件．
（Ⅰ）求)(x f 的最大值及最小值；
（Ⅱ）若又给条件q ：“|f （x ）－m|<2”且P 是q 的充分条件，某某数m 的取值X 围 19．（12分）为进行科学实验，观测小球A 、B 在两条相交成60︒角的直线型轨道上运动的情况，如图（乙）所示，运动开始前，A 和B 分别距O 点3m 和1m ，后来它们同时以每分钟4m 的速度各沿轨道l l 12、按箭头的方向运动。

问：
（1）运动开始前，A 、B 的距离是多少米？（结果保留三位有效数字）。

（2）几分钟后，两个小球的距离最小？
20．（12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos c A a C =． （I ）求角C 的大小； （II
cos()4
A B π
-+
的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．
21．（14分）。

函数y ＝Asin （ωx+φ）（A ＞0,ω＞0）在x∈（0，7π）内取到一个最大值和
一个最小值，且当x ＝π时，y 有最大值3，当x ＝6π时，y 有最小值-3． （1）求此函数解析式；
（2）是否存在实数ω，满足Asin （ω322++-m m +φ）＞Asin （ω
42+-m +φ）?若存在，求出m ．若不存在，说明理由．
图（乙）
22．（14分）叙述并证明余弦定理．
参考答案
一、选择题
1．B ；2．C ；3．A ；4．C ；5．D ；6．D ；7．B ；8．B ；9．B ；10．D ；11．D ；12．A ； 二、填空题 13．3
4-
；14．2
3小时；15．相离；16．①③；
三、解答题
17
．
.
65
16
54135531312sin sin cos cos )cos(.
5
4
sin ],2[0,,53cos ,56cos 2)2sin(2)23(;
13
12
cos ],2[0,,135sin ,1310sin 2)23()2(.24
sin 2)6125sin(2)45(
)1(:=⋅-⋅=-=+∴=∴∈=∴==+=+=∴∈=∴==+==-=βαβαβαβπβββπβπβαπαααπαπ
πππ f f f 解
18．解：（Ⅰ）∵12cos 322sin 212cos 32)]22
cos(1[2)(+-=--+-=x x x x x f π
1)3
2sin(4+-=π
x
又∵
3
23
26
2
4
ππ
π
π
π
≤
-
≤∴
≤
≤x x 即 51)3
2sin(43≤+-≤π
x
∴y max =5， y min =3
（Ⅱ）∵2)(22|)(|+<<-∴<-m x f m m x f
又∵P 为q 的充分条件
∴⎩⎨
⎧≥+≤-5
23
2m m
解得53≤≤m 19．解：（1）小球开始运动前的距离为：
AB m =+-⨯⨯⨯︒=≈3123160726522cos .（）
（2）设t 分钟后，小球A 、B 分别运动到A’、B’处，则AA t BB t ''.==44， 当034
≤≤t 时，()()()()()A B t t t t t t ''cos 222
23414234146048247=-++-⋅-⋅+⋅︒=-+ 当t >
34
时，()()()()()A B t t t t t t ''cos 222
243142431412048247=-++-⋅-⋅+⋅︒=-+ 故()A B t t t ''2
2482470=-+≥（） () A B t t ''2
2
481440=-
⎛⎝
⎫
⎭
⎪+≥（） ∴当t =
1
4
，()()A B m ''min =2 故
1
4
分钟后两个小球的距离最小。

20．解析：（I ）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C =
因为0,A π<<所以sin 0.sin cos .cos 0,tan 1,4
A C C C C C π
>=≠==从而又所以则
（II ）由（I ）知3.4
B A π
=- 于是：
cos()cos()
4
cos 2sin().6
3110,,,,
46612623
A B A A A A A A A A A π
ππ
πππππππ
-+=--=+=+<<∴<+<+==从而当即时
2sin()6
A π
+取最大值2．
cos()4
A B π
-+
的最大值为2，此时5,.3
12
A B π
π=
=
21．解：（1）∵A＝3 2T
＝5π⇒T ＝10π
∴ω＝T π2＝51⇒51π+φ＝2π⇒φ＝103π
∴y＝3sin （51x+103π
）
（2）∵ω322
++-m m +φ
＝514)1(2
+--m + 103π∈（0, 2π
）
ω42
+-m +φ＝5π
42+-m + 103π∈（0, 2π
）
而y ＝sint 在（0，2π
）上是增函数
∴ω322++-m m +φ＞ω42+-m +φ⇒322++-m m ＞
42+-m
22．解：
叙述：
余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦
之积的两倍。

或：在△ABC 中，a ，b ，c 为A ，B ，C 的对边，有：
2222cos a b c bc A =+-， 2222cos b c a ca B =+-， 2222cos c a b ab C =+-．
证明：（证法一） 如图，2
c BC =()()
AC AB AC AB =-•-
222AC AC AB AB =-•+22
2cos AC AC AB A AB =-•+
222cos b bc A c =-+
即2
2
2
2cos a b c bc A =+- 同理可证2
2
2
2cos b c a ca B =+-，
2222cos c a b ab C =+-
（证法二）已知ABC ∆中，,,A B C 所对边分别为,,,a b c ，以A 为原点，AB 所在直线为
x 轴建立直角坐标系，则(cos ,sin ),(,0)C b A b A B c ，
∴2
2
2
2
2
2
2
2
2
||(cos )(sin )cos 2cos sin a BC b A c b A b A bc A c b A ==-+=-++
222cos b c bc A =+-，
即
2222cos a b c bc A =+-
同理可证：2
2
2
2cos b c a ca B =+-，
2222cos c a b ab C =+-。