严州中学高三1月阶段测试数学(理科)试卷.docx

高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作
严州中学2016届高三1月阶段测试数学(理科)试卷
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的。

1．直线31y x =-+的倾斜角是
A.
π6
B. π3
C. 2π3
D.
5π6
2．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的 体积等于
A ．10 cm 3
B ．20 cm 3
C ．30 cm 3
D ．40 cm 3 3．已知,a b 为异面直线．对空间中任意一点P ，存在过点P 的 直线
A. 与,a b 都相交
B. 与,a b 都垂直
C. 与a 平行，与b 垂直
D. 与,a b 都平行
4．为得到函数π
2sin(2)4
y x =+的图象，只需将函数2cos2y x =的图象
A. 向左平移π
4单位
B. 向右平移π
4单位
C. 向左平移π
8
单位
D. 向右平移π
8
单位
5．已知(),(),()f x g x h x 为R 上的函数，其中函数()f x 为奇函数，函数()g x 为偶函数，则 A. 函数(())h g x 为偶函数 B. 函数(())h f x 为奇函数 C. 函数(())g h x 为偶函数
D. 函数(())f h x 为奇函数
（第2题 正视图
侧视图
俯视图
5
3 4
3
(第2题图)
6．命题“0x ∃∈R ，010x +<或2
000x x ->”的否定形式是
A. 0x ∃∈R ，010x +≥或2
000x x -≤
B. x ∀∈R ，10x +≥或20x x -≤
C. 0x ∃∈R ，010x +≥且2000x x -≤
D. x ∀∈R ，10x +≥且20x x -≤
7．如图，A ，F 分别是双曲线2
2
22C 1 (0)x y
a b a b
-=：，＞的左
顶点、右焦点，过F 的直线l 与C 的一条渐近线垂直且与
另一条渐近线和y 轴分别交于P ，Q 两点．若AP ⊥AQ ，则C 的离心率是
A ．2
B ．3
C ．1134+
D ．117
4+
8．已知函数(
)
()2()k
a x f x a -=∈R ，且(1)(3)f f >，(2)(3)f f >．
A. 若1k =，则12a a -<-
B. 若1k =，则12a a ->-
C. 若2k =，则12a a -<-
D. 若2k =，则12
a a ->-
非选择题部分 (共110分)
注意事项:
1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上, 不能答在试题卷上。

2.在答题纸上作图, 可先使用2B 铅笔, 确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。

二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

9． 若集合{}
2|60A x x x =--≤，{}|1B x x =>，则A B =_______，()A B =R ð_______．
10．已知单位向量12,e e 满足121
2
⋅=
e e ．若1212(54)()()k k -⊥+∈R e e e e ，则k =_______， 12k +=e e _______．
11．已知等比数列{}n a 的公比0q >，前n 项和为n S ．若3542,,3a a a 成等差数列，24664a a a =，
则q = _______，n S =_______．
12．设2z x y =-+，实数,x y 满足2,
1,2.x x y x y k ≤⎧⎪
-≥-⎨⎪+≥⎩
若z 的最大值是0，则实数k =_______，z 的
最小值是_______．
P
x
A
Q
F
y O
(第7题图)
l
13．若实数,a b 满足436a b ==，则
12
a b
+=_______． 14．设A (1，0)，B (0，1)，直线l ：y ＝ax ，圆C ：(x －a )2＋y 2＝1．若圆C 既与线段AB 又与
直线l 有公共点，则实数a 的取值范围是________．
15．已知函数2()f x ax bx c =++，,,a b c ∈R ，且0a ≠．记(,,)M a b c 为()f x 在[]0,1上的最
大值，则2(,,)
a b c
M a b c ++的最大值是_______．
三、 解答题: 本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A B C ,,所对的边分别是a b c ,,．已知cos cos a B b A =，
边BC 上的中线长为4．
(Ⅰ) 若π
6A =，求c ；
(Ⅱ) 求ABC ∆面积的最大值．
17．(本题满分15分) 在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，
AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝4，AB ＝CD ＝10． (Ⅰ) 证明：BD ⊥平面P AC ；
(Ⅱ) 若二面角A －PC －D 的大小为60°，求AP 的值．
18．（本题满分15分）已知函数22
()x ax b f x x a
--=+[)(0,)x ∈+∞，其中0a >，b ∈R ．
记(,)Mab 为()f x 的最小值．
(Ⅰ) 求()f x 的单调递增区间；
(Ⅱ) 求a 的取值范围，使得存在b ，满足(,)1M a b =-．
A
B
D
C
P
(第17题图)
19．（本题满分15分）已知,A B 为椭圆2
2C :12
x y +=上两个不同的点，O 为坐标原点．设直
线,,OA OB AB 的斜率分别为12,,k k k ． (Ⅰ) 当12k =时，求OA ；
(Ⅱ) 当12121k k k k -=+时，求k 的取值范围．
20．（本题满分15分）已知数列{}n a 满足11a =，11(*)21
n n a n a +=
∈+N ．
(Ⅰ) 证明：数列12n a ⎧⎫
-⎨⎬⎩
⎭为单调递减数列；
(Ⅱ) 记n S 为数列{}1n n a a +-的前n 项和，证明：5
(*)3
n S n <
∈N ．
（第19题图）
x
y
B
O A
数学(理科)参考答案
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。

每小题5分,满分40分。

1．C 2．B 3．B 4．D 5．A 6．D 7．D 8．D
二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。

多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分。

9．{|2}x x ≥-，{|3}x x >
10．2，7
11．2，1
(21)2
n -
12．4，4
-
13．2
14．[21-，
2
5
1+] 15．2 三、解答题：本大题共5小题，共74分。

16．本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。

满分14分。

(Ⅰ) 由cos cos a B b A =及正弦定理得
sin cos sin cos A B B A =， .........1分
所以
sin()0A B -=， 故
π
6
B A ==
， .........3分 所以3c a =，由余弦定理得
22π
16()2cos 226
a a c c =+-⋅，
解得
821
7
c =
． .........6分 (Ⅱ) 由A B =知2cos c a A =，及2216()2cos 22
a a
c c A =+-⋅，解得
22
64
18cos a A
=
+． .........8分
所以ABC ∆的面积
2
2164sin cos sin 2sin 9cos A A
S ac A A A
==+． .........10分
由基本不等式得
32
3
S ≤
，.........13分
当且仅当sin 3cos A A =时，等号成立．
所以ABC ∆面积的最大值为
32
3
． .........14分 17．本题主要考查空间线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。

满分15分。

(Ⅰ) 设O 为AC 与BD 的交点，作DE ⊥BC 于点E ．由四边形ABCD 是等腰梯形得
CE ＝
2
BC AD
-＝1， DE ＝22DC CE -＝3，.........3分 所以BE ＝DE ，从而得
∠DBC ＝∠BCA ＝45°，.........5分
所以∠BOC ＝90°，即
AC ⊥BD ． .........6分
由P A ⊥平面ABCD 得P A ⊥BD ，所以BD ⊥平面P AC ． .........7分 方法一：
(Ⅱ) 作OH ⊥PC 于点H ，连接DH ．
由(Ⅰ)知DO ⊥平面P AC ，故DO ⊥PC ．
所以PC ⊥平面DOH ，从而得PC ⊥OH ，PC ⊥DH ．
故∠DHO 是二面角A －PC －D 的平面角，所以∠DHO ＝60°． .........11分
在Rt △DOH 中，由DO ＝2，得OH ＝
6
3
． .........12分 在Rt △P AC 中，
PA PC ＝OH
OC ．设P A ＝x ，可得218
x x +＝36．.........14分
解得x ＝
32211，即 AP ＝322
11
． .........15分 方法二：
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知AC ⊥BD ．以O 为原点，OB ，OC 所在直线为x ，y 轴，建立空间直角坐标系
O －xyz ，如图所示．.........8分
由题意知各点坐标如下： A (0，－2，1)， B (22，0， 0)，
C (0，22，0)，
D (－2，0， 0)．.........9分
由P A ⊥平面ABCD ，得P A ∥z 轴，故设点P (0，－2，t ) (t ＞0)． 设m ＝(x ，y ，z )为平面PDC 的法向量，
由CD ＝(－2，－22，0)，PD ＝(－2，2，－t ) 知
2220,
220.
x y x y tz ⎧--=⎪⎨
-+-=⎪⎩ 取y ＝1，得
m ＝(－2，1，
32
t
)． .........12分 A B D
C
O P
(第17题图) H
E A B
D
C
O
P (第17题图)
x
z
y
又平面P AC 的法向量为n ＝(1，0，0)，于是 .........13分
|cos< m ，n >|＝||||⋅⋅|m n|m n ＝2
218
5t
+＝1
2．
解得t ＝
32211，即 AP ＝322
11
． .........15分 18．本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识，同时考查推理
论证能力，分析问题和解决问题的能力。

满分15分。

(Ⅰ) 由题意得
[)22
2()3,0,a b f x x a a x x a
-=++-∈+∞+．.........2分
所以，当2222a b a -≤时，即当22a b ≤时，函数()f x 的单调递增区间为[)0,+∞；.........5分
当22a b >时，函数()f x 的单调递增区间为)
22
2,a b a ⎡--+∞⎣
． .........7分
(Ⅱ)由()f x 的单调性得
2
222222,
,(,)223,.b a b a
M a b a b a a b ⎧-≤⎪=⎨⎪-->⎩
.........10分 由2
1b a
-=-与22a b ≤得
01a <≤， .........12分
由222231a b a --=-与22a b >得
1322a <≤+． .........14分
综上，a 的取值范围为(
0,322⎤+⎦． .........15分
19．本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。

满分15分。

(Ⅰ)由直线OA 斜率12k =，得直线OA 的方程为
2y x =， .........2分 代入椭圆方程得
229
x =
， 所以
2210
(2)3
OA x x =+=
． .........5分 (Ⅱ) 设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 的方程为y kx b =+． 由2
21,2,x y y kx b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
消去y 得
222(12)4220k x kbx b +++-=． .........7分
故2216880k b ∆=-+>，且
1222
1224,2122.21kb x x k b x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
① .........9分
由12121k k k k +=-得 21121212x y x y y y x x +=-，
将11y kx b =+，22y kx b =+代入得
221212(21)(1)()0k k x x b k x x b --+-++=， ②
将①代入②得
22242b k k =-++． .........12分
联立0∆>与20b ≥得
22
4410,
2420,k k k k ⎧-->⎪⎨-++≥⎪⎩
.........13分
解得k 的取值范围为
121212,,1222
⎡⎫
⎛⎤
-+-+⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭
⎝⎦
．.........15分 20．本题主要考查数列的递推公式与单调性、不等式性质等基础知识，同时考查推理论证能
力、分析问题和解决问题的能力。

满分15分。

(Ⅰ)由题意知0n a >，故
11
1211212
n n n a a a +-
=<+-
， .........6分
所以数列12n a ⎧⎫
-⎨⎬⎩
⎭为单调递减数列．
(Ⅱ) 因为11a =，21
3
a =，所以，当3n ≥时
1126
n a -
<， 得
12
33
n a <<， 故
1
3
n a ≥
(*)n ∈N ． .........8分 因为
21126
2311
n n n n
n a a a a a +++-=
≤-+， .........11分
故
11216
()11n n n a a a a -+-≤-⋅．.........13分
所以
2161()225116153111
n
n S a a -≤-⋅
<<-(*)n ∈N ． .........15分。