2015四川巴中中考数学试卷

2015年四川省巴中市中考数学试卷
（满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。

） 1．（2015四川省巴中市，1，3分）－2的倒数是（ ） A ．2
B ．
1
2 C ．12
-
D ．－2
【答案】 C ． 2．（2015四川省巴中市，2，3分）下列计算正确的是（ ） A ．()3
36a a =
B ．632a a a ÷=
C ．235a b ab +=
D ．325a a a =
【答案】 D ． 3．（2015四川省巴中市，3，3分）如图所示的几何体的俯视图是（ ）
【答案】 B ．
4．（2015四川省巴中市，4，3分）若单项式22a b x y +与41
3
a b x y --是同类项，则a ，b 的值分
别为（ ） A ．a =3，b =1 B ．a =－3，b =1 C ．a =3，b =－1 D ．a =－3，b =－1 【答案】 A ．
5．（2015四川省巴中市，5，3分）函数1
2
y x =
-中，x 的取值范围是（ ） A ．x ≠－2 B ．x ＞2 C ．x ＜2 D ．x ≠2
【答案】 D ． 6．（2015四川省巴中市，6，3分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降
为315元已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x ，下面所列的方程中正确的是（ ） A ．()2
5601+315x =
B ．()2
5601315x -=
C ．()2
56012315x -= D ．()
25601+315x =
【答案】 B ． 7．（2015四川省巴中市，7，3分）小张的爷爷每天见识体育锻炼，星期天爷爷从家里跑步
到公园，打了一会儿太极拳，然后沿原路慢步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离y （米）与时间（分钟）之间关系的大致图象是（ ）
【答案】 B ． 8．（2015四川省巴中市，8，3分）下列说法正确的是（ ） A ．“打开电视，正在播放新闻节目”是必然事件 B ．“抛一枚硬币，正面朝上的概率为
1
2
”表示每抛两次就有一次正面朝上 C ．“抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为
1
6
”表示随着抛掷次数的增加 “抛出朝上的点数是6”这一事件发生的频率稳定在
1
6
附近 D ．为了解某种节能灯的使用寿命，选择全面调查 【答案】 C ． 9．（2015四川省巴中市，9，3分）如图，在⊙O 中，弦AC ∥半径OB ，∠BOC =50°，则∠
OAB 的度数为（ ）
A ．25°
B ．50°
C ．60°
D ．30°
【答案】 A ．
10．（2015四川省巴中市，10，3分）已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，
对称轴是直线x=－1，下列结论：
①abc＜0 ②2a＋b=0 ③a－b＋c＞0 ④4a－2b＋c＜0 期中正确的是（）
A．①②B．只有①C．③④D．①④
【答案】D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．）
11．（2015四川省巴中市，11，3分）从巴中市交通局获悉，我市2015年前4月在巴陕高速公路完成投资8400万元，请你将8400万元用科学记数法表示为元．
【答案】8．4×107．
12．（2015四川省巴中市，12，3分）分解因式：2a2－4a＋2= ．
【答案】2（a－1）2．
13．（2015四川省巴中市，13，3分）若a、b、c为三角形的三边，且a，b满足()2
2920
a b
--=，则第三边c的取值范围是．
【答案】1＜c＜5．
14．（2015四川省巴中市，14，3分）分式方程
32
2
x x
=
+
的解x= ．
【答案】4．
15．（2015四川省巴中市，15，3分）若一个正多边形的一个外角等于30°，则这个多边形为正多边形．
【答案】12．
16．（2015四川省巴中市，16，3分）有一组数据：5，4，3，6，7，则这组数据的方差是．【答案】2．
17．（2015四川省巴中市，17，3分）圆心角为60°，半径为4 cm 的扇形的弧长为 cm ． 【答案】
4
π3
． 18．（2015四川省巴中市，18，3分）如图，将∠AOB 放在边长为1的小正方形组成的网格
中，则tan ∠AOB = ．
【答案】
12
19．（2015四川省巴中市，19，3分）如图，在△ABC 中，AB =5，AC =3，AD 、AE 分别为△ABC
的中线和角平分线，过点C 作CH ⊥AE 于点H ，并延长交AB 于点F ，连接DH ，则线段DH 的长为 ．
【答案】 1．
20．（2015四川省巴中市，20，3分）定义：a 是不为1的有理数，我们把
1
1a
-称为a 的差倒数，如：2的差倒数是1112=--，－1的差倒数是
111(1)2=--．已知11
2a =-，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，……，以此类推，则a 2015= ．
【答案】
2
3
．
三、解答题（本大题共11小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21．（2015四川省巴中市，21，5分）计算：()
1
12320152sin 60+3π-⎛⎫
--+︒- ⎪⎝⎭
．
【答案】解：原式=3
2312322
--+⨯-=-．
22．（2015四川省巴中市，22，5分）解不等式：
2132
134
x x -+-≤，并把解集表示在数轴上．
【答案】解：
2132
134
x x -+-≤． 两边同时乘12，得4（2x －1）≤3（3x ＋2）－12． 整理，得x ≥2．
∴不等式的解集为x ≥2，解集在数轴上的表示如图所示．
23．（2015四川省巴中市，23，5分）化简：
22
2242
1121
a a a a a a a ---÷+--+． 【答案】解：原式=()()()()2
22121112a a a a a a a ---⨯+-+-=()2122111
a a a a a --=+++．
24．（2015四川省巴中市，24，7分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格
中，给出了格点三角形ABC （顶点是网格线的交点）． （1）先将△ABC 竖直向上平移6个单位，再水平向右平移3个单位得到△A 1B 1C 1，请画出△A -1B 1C 1；
（2）将△A 1B 1C 1绕B 1点顺时针旋转90°，得△A 2B 2C 2， 请画出△A 2B 2C 2； （3）线段B 1C 1变换到B 1C 2的过程中扫过区域的面积为 ．
【答案】解：（1） 画出△A 1B 1C 1如图所示；（2）画出△A 2B 2C 2如图所示；（3）线段B 1C 1变
换到B 1C 2时，扫过的区域是以点B 1为圆心，B 1C 1为半径的扇形，圆心角为90°，∴其
面积为290π39=π3604
．
25．（2015四川省巴中市，25，10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y 1=ax ＋
b （a ，b 为常数，且a ≠0）与反比例函数2m
y x
=
（m 为常数，且m ≠0）的图象交于点A （－2，1）、B （1，n ）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）连接OA 、OB ，求△AOB 的面积；
（3）直接写出当y 1＜y 2＜0时，自变量x 的取值范围．
【答案】解：（1）由题意，点A （－2，1）在反比例函数图象上，∴12
m
=
-，m =－2．∴反比例函数解析式为22y x =-．又点B （1，n ）也在反比例函数图象上，∴n =2
21-=-．
∵点A ，B 在一次函数图象上，∴12,2.a b a b =-+⎧⎨-=+⎩解得1,
1.a b =-⎧⎨=-⎩
∴一次函数解析式为y 1=x ＋1．
（2）设线段AB 交y 轴于C ，∴OC =1．分别过点A ，B 作AE ，BF 垂直于y 轴．
∴S △AOB =S △AOC ＋S △BOC =1122OC AE OC BF +=12×1×2＋12×1×1=3
2
．
（3）当y 1＜y 2＜0时，－2＜x ＜0或x ＞1．
26．（2015四川省巴中市，26，10分）“中国梦”关系每个人的幸福生活，为展现巴中人追梦的风采，我市某中学举行“中国梦·我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整．请你根据统计图解答下列问题．
（1）参加比赛的学生人数共有名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为度，图中m的值为；
（2）补全条形统计图；
（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出2名去参加市中学生演讲比赛．已知A等级中男生有1名，请用“列表”或“画树状图”的方法求出所选2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率．
【答案】解：（1）根据统计图，可知A等级的有3人，占15%，∴参加比赛的共有3÷15%=20
（人）．∴C等级所占百分比为8
=40%
20
，D等级所占百分比为
4
=20%
20
．
∴m=40，D等级所占百分比为360°×20%=72°．
（2）由题意，B等级所占百分比为1－15%－40%－20%=25%，∴B等级人数为20×25%=5（人），补全统计图如下所示．
27．（2015四川省巴中市，27，10分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，MN过点O且与边AD、BC分别交于点M和点N．
（1）请你判断OM与ON的数量关系，并说明理由；
（2）过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，当AB=6，AC=8时，求△BDE的周长．【答案】解：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，AO=CO．∴∠MAO=∠NCO．
在△AOM与△CON中，
,
,
,
MAO NCO
AO CO
AOM CON
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
∴△AOM≌△CON．∴OM=ON．
（2）依题意，DE∥AC，又AC⊥BD，AD∥BC，∴四边形ACED为平行四边形，DE⊥BD．∴CE=AD=AB=BC=6，DE=AC=8．
∴在Rt△BDE中，由勾股定理，得2222
12845
BD BE DE
=-=-=．
∴△BDE的周长为BD＋BE＋DE=45＋20．
28．（2015四川省巴中市，28，8分）如图，某农场有一块长40 m，宽32 m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路．要使种植面积为1140 m2，求小路的宽．
【答案】解：设小路的宽为x m．图中的小路平移到矩形边上时，种植面积是不改变的．
∴（40－x）（32－x）=1140．
解得x1=2，x2=70（不合题意，舍去）．
∴小路的宽为2 m．
答：小路的宽为2 m．
29．（2015四川省巴中市，29，8分）如图，某校数学兴趣小组为测得大厦AB的高度，在大厦前的平地上选择一点C，测得大厦顶端A的仰角为30°，再向大厦方向前进80米，到达点D处（C、C、B三点在同一直线上），又测得大厦顶端A的仰角为45°．请你计算该大厦的高度．（精确到0．12．4143．732）
【答案】解：设大厦的高AB=x m．
依题意，∵AB⊥CB，∠ADB=45°，∠ACB=30°，
∴BD=AB=x，BC=
tan AB ACB
∠
=3x．
∴CD=AB－DB=3x－x=80．
∴x≈109．3．
答：大厦的高度约为109．3米
30．（2015四川省巴中市，30，10分）如图，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，交⊙O于点E，连接CE，AE，CD，若∠AEC=∠ODC．
（1）求证：直线CD为⊙O的切线；
（2）若AB=5，BC=4，求线段CD的长．
【答案】解：（1）证明：如图，连接CO，∵圆周角∠AEC与∠ABC所对弧相同，∴∠ABC=∠AEC．
又∠AEC=∠ODC，∴∠ABC=∠ODC．
∵OC=OB，OD⊥BC，∴∠OCB=∠OBC，且∠OCB＋∠COD=90°．
∴∠ODC＋∠COD=90°．∴∠OCD=180°－∠ODC－∠COD=90°，即OC⊥CD．
又OC为半径，∴直线CD为⊙O的切线．
（2）在⊙O中，OD⊥弦BC于点F，∴BC=CF=1
2
BC=2．
又OB=1
2
AB=
5
2
，∴OF22
3
2
OB BF
-=．
由（1）知∠OBF=∠CDF，且∠OFB=∠CFD，∴△OFB∽△CFD．
∴OF CF
OB CD
=
，∴52
102332
OB CF CD OF ⨯===．
31．（2015四川省巴中市，31，12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数
()240y ax bx a =+-≠的图象与x 轴交于点A （－2，0）、C （8，0）两点，与y 轴交于
点B ，其对称轴与x 轴交于点D ． （1）求该二次函数的解析式；
（2）如图1，连接BC ，在线段BC 上是否存在点E ，使得△CDE 为等腰三角形？若存在，
求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若点P （m ，n ）是该二次函数图象上的一个动点（其中m ＞0，n ＜0），连接
PB ，PD ，BD ，求△BDP 的面积的最大值即此时点P 的坐标．
【答案】解：（1）依题意，把点A （－2，0）、C （8，0）代入二次函数解析式，得 4240,64840,a b a b --=⎧⎨
+-=⎩解得1,43.
2
a b ⎧
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴二次函数解析式为213442y x x =--． （2） 存在点E ，使得△CDE 为等腰三角形．
依题意，点D 的坐标为（3，0）．OB =4，OC =8，BC 5BC 的解析式为y =1
2
x －4． 有如下情形：
①当CE =DE 时，过点E 作EF ⊥OC ，∴点F 为DC 中点．∴DF =12（OC －OD ）=52． ∴OF =112．在直线BC 的解析式中，令x =112，得y =54-．∴点E 的坐标为11524⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ②当CD =CE 时，过点E 作EG ⊥OC ，∴EG ∥BO ，∴△CEG ∽△CBO ．
∴CG CO CE CB =，852545
CO CG CE CB ===，∴OG =8－25． 在直线BC 的解析式中，令x =8－25，得y =5-．∴点E 的坐标为()
855-，．
③当CD =DE 时，过点E 作EH ⊥OC ．设E 的坐标为1,42x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，∴OH =x ，HE =142x -，DH =3－x ． 在Rt △HDE 中，222DE HD HE =+，∴25=()2
21342x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭．整理，得280x x -=． 解得x 1=0，x 2=8（舍去）．此时点E 与点B 重合，坐标为（0，－4）．
（3）如图，过点P 作PH ⊥OB 于点H ．设点P 的坐标为213,442m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
． ∴
()22113111334342422242BPD OBD BPH ODPH S S S S m m m m m m ⎛⎫⎛⎫=--=+-+-⨯⨯--+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭梯形()231708.84
m m m =-+＜＜ 所以当17
1743328m =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，BPD S 最大，最大值为28924
．此时点P 的坐标为17161336⎛⎫ ⎪⎝⎭
，-．。