〖汇总3套试卷〗青岛市某知名实验中学2020年九年级上学期数学期末经典试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．已知在直角坐标平面内，以点P （﹣2，3）为圆心，2为半径的圆P 与x 轴的位置关系是（ ） A ．相离 B ．相切
C ．相交
D ．相离、相切、相交都有可能
【答案】A
【解析】先求出点P 到x 轴的距离，再根据直线与圆的位置关系得出即可． 【详解】解：点P(-2，3)到x 轴的距离是3， 3>2，
所以圆P 与x 轴的位置关系是相离， 故选A. 【点睛】
本题考查了坐标与图形的性质和直线与圆的位置关系等知识点，能熟记直线与圆的位置关系的内容是解此题的关键．
2．对于反比例函数3
2y x
=
，下列说法错误的是（ ） A ．它的图像在第一、三象限 B ．它的函数值y 随x 的增大而减小
C ．点P 为图像上的任意一点，过点P 作PA x ⊥轴于点A ．POA ∆的面积是34
．
D ．若点()11,A y -和点()
2B y 在这个函数图像上，则12y y < 【答案】B
【分析】对反比例函数32y x =化简得3
2y x
=，所以k=3
2
＞0，当k ＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小，根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A 、∵k=
3
2
＞0，∴它的图象分布在第一、三象限，故本选项正确； B 、∵它的图象分布在第一、三象限，∴在每一象限内y 随x 的增大而减小，故本选项错误； C 、∵k=
32，根据反比例函数中k 的几何意义可得POA ∆的面积为1
2k ⨯=34
，故本选项正确；
D 、∵它的图象分布在第一、三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小，∵x 1=﹣1＜0，x 2=0，且x 1＞x 2，∴12y y <，故本选项正确． 故选：B ． 【点睛】
题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y=k
x
（k≠0）中，当k＞0时函数图象的两个分支分别位
于一三象限是解答此题的关键．
3．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某新能源汽车4s店的汽车销量自2018年起逐月增加．据统计，该店第一季度的汽车销量就达244辆，其中1月份销售汽车64辆．若该店1月份到3月份新能源汽车销售量的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．64（1+x）2＝244
B．64（1+2x）＝244
C．64+64（1+x）+64（1+x）2＝244
D．64+64（1+x）+64（1+2x）＝244
【答案】C
【分析】设该店1月份到3月份新能源汽车销售量的月平均增长率为x，等量关系为：1月份的销售量+1月份的销售量×（1+增长率）+1月份的销售量×（1+增长率）2=第一季度的销售量，把相关数值代入求解即可．
【详解】设该店1月份到3月份新能源汽车销售量的月平均增长率为x，
根据题意列方程：64+64（1+x）+64（1+x）2＝1．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
4．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴的正半轴交于点C，下列结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③2a﹣b＞0，其中正确的个数为（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】由抛物线的开口方向判断a与1的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与1的关系，进而判断①；根据x=﹣2时，y＞1可判断②；根据对称轴x=﹣1求出2a与b的关系，进而判断③．
【详解】①由抛物线开口向下知a＜1，
∵对称轴位于y轴的左侧，
∴a、b同号，即ab＞1．
∵抛物线与y 轴交于正半轴， ∴c ＞1， ∴abc ＞1； 故①正确；
②如图，当x=﹣2时，y ＞1，则4a ﹣2b+c ＞1， 故②正确； ③∵对称轴为x=﹣
2b
a
＞﹣1， ∴2a ＜b ，即2a ﹣b ＜1， 故③错误； 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．
5．若点A （﹣2，y 1），B （﹣1，y 2），C （4，y 3）都在二次函数()2
1y x k =-++的图象上，则下列结论正确的是（ ） A ．123y y y >> B ．321y y y >> C ．312y y y >> D ．213y y y >>
【答案】D
【分析】先利用顶点式得到抛物线对称轴为直线x=-1，再比较点A 、B 、C 到直线x=-1的距离，然后根据二次函数的性质判断函数值的大小．
【详解】解：二次函数()2
1y x k =-++的图象的对称轴为直线x=-1， a=-1<0，所以该函数开口向下，且到对称轴距离越远的点对应的函数值越小，
A （﹣2，y 1）距离直线x=-1的距离为1，
B （﹣1，y 2）距离直线x=-1的距离为0，
C （4，y 3）距离距离直线x=-1的距离为5.
B 点距离对称轴最近，
C 点距离对称轴最远， 所以213y y y >>， 故选：D. 【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征.熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 6．已知ABC DEF ∽△△，若:4:9AC DF =，则它们的周长之比是（ ） A ．4：9 B ．16：81 C ．9：4 D ．2：3
【答案】A
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可． 【详解】∵△ABC ∽△DEF ，AC ：DF=4：9， ∴△ABC 与△DEF 的相似比为4：9， ∴△ABC 与△DEF 的周长之比为4：9， 故选：A ． 【点睛】
此题考查相似三角形性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键． 7．关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k ---+=有两个实数根12,x x ，
()1212122(2)2x x x x x x -+--+3=-，则k 的值（ ）
A ．0或2
B ．-2或2
C ．-2
D ．2
【答案】D
【分析】将()1212122(2)2=3x x x x x x -+--+-化简可得，()2
1212124423x x x x x x +-+=-－，
利用韦达定理，()2
142(2)3k k ----+=-，解得，k ＝±2，由题意可知△＞0， 可得k ＝2符合题意.
【详解】解：由韦达定理，得：
12x x +＝k －1，122x x k +＝－,
由()1212122(2)23x x x x x x -+--+=-，得：
()
2
1212423x x x x --+=-，
即()2
1212124423x x x x x x +-+=-－， 所以，()2
142(2)3k k ----+=-, 化简，得：24k =， 解得：k ＝±2，
因为关于x 的一元二次方程2
(1)20x k x k ---+=有两个实数根， 所以，△＝()2
14(2)k k ---+＝227k k +-〉0， k ＝－2不符合， 所以，k ＝2 故选D. 【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.
8．若一元二次方程x 2﹣4x ﹣4m ＝0有两个不等的实数根，则反比例函数y ＝2
m x
+的图象所在的象限是（ ） A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、四象限 D ．第三、四象限
【答案】B
【分析】首先根据一元二次方程根的判别式确定m 的取值范围，进而可得m+2的取值范围，然后再根据反比例函数的性质可得答案．
【详解】∵一元二次方程x 2﹣4x ﹣4m =0有两个不等的实数根， ∴△=b 2﹣4ac =16+16m ＞0， ∴m ＞﹣1， ∴m+2＞1， ∴反比例函数y =2
m x
+的图象所在的象限是第一、三象限， 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了反比例函数的性质以及一元二次方程根的判别式，关键是正确确定m 的取值范围． 9． 关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣m ＝0有实根，则m 的值可能是（ ） A ．﹣4 B ．﹣3
C ．﹣2
D ．﹣1
【答案】D
【分析】根据题意可得，24b ac =-△≥0，即可得出答案. 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣m ＝0有实根， ∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m ）≥0， 解得：m≥﹣1． 故选D ． 【点睛】
本题考查的是一元二次方程的根的判别式，当240b ac =->时，有两个不等实根；当240b ac =-=时，有两个相等实根；当240b ac =-<时，没有实数根.
10．如图，小彬收集了三张除正面图案外完全相同的卡片，其中两张印有中国国际进口博览会的标志，另外一张印有进博会吉祥物“进宝”.现将三张卡片背面朝上放置，搅匀后从中一次性随机抽取两张，则抽到的两张卡片图案不相同．．．
的概率为（ ）
A ．
13
B ．
49
C ．
59
D ．
23
【答案】D
【分析】根据题意列出相应的表格，得到所有等可能出现的情况数，进而找出满足题意的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】设印有中国国际进口博览会的标志为“A ”，印有进博会吉祥物“进宝”为B ，由题列表为
∴所有的等可能的情况共有6种，抽到的两卡片图案不相同的等可能情况共有4种，
4263
P ∴=
=， 故选：D. 【点睛】
本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 11．下列说法正确的是（ ）
A ．若某种游戏活动的中奖率是30%，则参加这种活动10次必有3次中奖
B ．可能性很大的事件在一次试验中必然会发生
C ．相等的圆心角所对的弧相等是随机事件
D ．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”和“朝下”的可能性相等 【答案】C
【分析】根据概率的意义对A 进行判断，根据必然事件、随机事件的定义对B 、C 进行判断，根据可能性的大小对D 进行判断．
【详解】A 、某种游戏活动的中奖率是30%，若参加这种活动10次不一定有3次中奖，所以该选项错误． B 、可能性很大的事件在一次实验中不一定必然发生，所以该选项错误； C 、相等的圆心角所对的弧相等是随机事件，所以该选项正确；
D 、图钉上下不一样，所以钉尖朝上的概率和钉尖着地的概率不相同，所以该选项错误； 故选：C ． 【点睛】
此题考查了概率的意义、比较可能性大小、必然事件以及随机事件，正确理解含义是解决本题的关键．
12．若关于x 的一元二次方程2740x x ++=的两根是12x x 、，则
12
11
+x x 的值为(
) A ．74
-
B ．
74
C ．
733
-+ D ．
733
-- 【答案】A
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系即可求解.
【详解】由题意可得：1212
7
4x x x x +=-⎧⎨⋅=⎩
则211212117
4
x x x x x x =+⋅+=- 故选：A. 【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，对于一般形式2
0(a 0)++=≠ax bx c ，设其两个实数根分别为12,x x ，则方程的根与系数的关系为：1212,b c
x x x x a a
+=-⋅=. 二、填空题（本题包括8个小题） 13．如图，AB 是O 的直径，点C 和点D 是O 上位于直径AB 两侧的点，连结AC ，AD ，BD ，CD ，
若
O 的半径是5，8BD =，则sin ACD ∠的值是_____________．
【答案】
3
5
【分析】根据题意可知∠ADB=90°,∠ACD=∠ABD,求出∠ABD 的正弦就是∠ACD 的正弦值． 【详解】解：∵AB 是O 的直径，
∴∠ADB=90° ∴∠ACD=∠ABD ∵
O 的半径是5，8BD =，
∴63sin sin 105
ACD ABD ∠=∠== 故答案为：35
【点睛】
本题考查的是锐角三角函数值.
14．如图，正方形ABCD 的边长为5E 为AB 的中点，点M ，N 分别在边BC ，CD 上（点M
不与点B ，C 重合，点N 不与点C ，D 重合），连接MN ，DE ，若以M ，N ，C 为顶点的三角形与AED ∆相似，且MNC ∆的面积为1，则CM 的长为______．
【答案】1或1
【分析】根据正方形的性质以及相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形
∴AD AB 25==DAE MCN 90∠∠==︒ ∵E 是AB 的中点，∴AE 5=∴1
52
ADE
S AD AE =⨯⨯=， 当~CMN
AED S
S 时有，
2
15
MNC ADE
S
CM S
AE ⎛⎫== ⎪⎝⎭，
∴21CM =， ∵CM>0, ∴CM=1； 当~CMN
ADE S
S 时有，
2
15
MNC ADE
S
CM S
AD ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴24CM =， ∵CM>0, ∴CM=1． 故答案为：1或1. 【点睛】
本题考查的知识点是相似三角形的性质，利用相似三角形的面积比等于对应线段比的平方求解是此题的关键．
15．已知点 A （a ，1）与点 B （﹣3，b ）关于原点对称，则 ab 的值为_____． 【答案】-2
【分析】根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，可得a 、b 的值，根据有理数的乘法，可得答案．
【详解】解：由点A （a ，1）与点B （-2，b ）关于原点对称，得 a=2，b=-1．
ab=（2）×（-1）=-2，
故答案为-2．
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用了关于原点对称的点的坐标规律是：横、纵坐标都是互为相反数．
16．如图，直线y=
4
3
x
+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，
则点B′的坐标是_________．
【答案】（1，3）
【分析】首先根据直线AB求出点A和点B的坐标，结合旋转的性质可知点B′的横坐标等于OA与OB的长度之和，而纵坐标等于OA的长，进而得出B′的坐标．
【详解】解：y=-4
3
x+4中，令x=0得，y=4；令y=0得，-
4
3
x+4=0，解得x=3，
∴A（3，0），B（0，4）．
由旋转可得△AOB≌△AO′B′，∠O′AO=90°，
∴∠B′O′A=90°，OA=O′A，OB=O′B′，
∴O′B′∥x轴，
∴点B′的纵坐标为OA长，即为3；横坐标为OA+O′B′=OA+OB=3+4=1．
故点B′的坐标是（1，3），
故答案为：（1，3）．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质以及一次函数与坐标轴的交点问题，利用基本性质结合图形进行推理是解题的关键．
17．某公园平面图上有一条长12cm的绿化带．如果比例尺为1：2000，那么这条绿化带的实际长度为_____．【答案】240m
【分析】根据比例尺＝图上距离∶实际距离可得实际距离，再进行单位换算．
【详解】设这条公路的实际长度为xcm，则：
1：2000＝12：x，
解得x＝24000，
24000cm ＝240m ． 故答案为240m ． 【点睛】
本题考查图上距离实际距离与比例尺的关系，解题的关键是掌握比例尺＝图上距离∶实际距离． 18．已知关于x 的二次函数y ＝ax 2+（a 2﹣1）x ﹣a 的图象与x 轴的一个交点坐标为（m ，0）．若2＜m ＜5，则a 的取值范围是_____． 【答案】
15
＜a 1
2<或﹣5＜a ＜﹣1．
【分析】首先可由二次函数的表达式求得二次函数图象与x 轴的交点坐标，可知交点坐标是由a 表示的，再根据题中给出的交点横坐标的取值范围可以求出a 的取值范围． 【详解】解：∵y ＝ax 1+（a 1﹣1）x ﹣a ＝（ax ﹣1）（x+a ）， ∴当y ＝0时，x ＝﹣a 或x ＝
1
a
， ∴抛物线与x 轴的交点为（﹣a ，0），（
1
a
，0）， 由题意函数与x 轴的一个交点坐标为（m ，0）且1＜m ＜5， ∴当a ＞0时，1＜
1
a ＜5，即15
＜a 12<； 当a ＜0时，1＜﹣a ＜5，即﹣5＜a ＜﹣1； 故答案为
15
＜a 1
2<或﹣5＜a ＜﹣1．
【点睛】
本题综合考查二次函数图象与与x 轴的交点坐标以及一元一次不等式的解法，熟练掌握二次函数图象与坐标轴交点坐标的求法以及一元一次不等式的解法是解题关键． 三、解答题（本题包括8个小题）
19．已知：y=y 1＋y 2，y 1与x 2成正比例，y 2与x 成反比例，且x=1时，y=3；x=–1时，y=1．求x=-1
2
时，y 的值． 【答案】-
32
【详解】试题分析：设y 1=k 1x 2，22k y x =
，所以2
21 k y k x x
=+　把x=1，y=3，x=-1，y=1分别代入，然后解方程组后可得出y 与x 的函数关系式，然后把x ＝1
2
-
代入即可求出y 的值． 试题解析：因为y 1与x 2成正比例，y 2与x 成反比例， 所以设y 1=k 1x 2，2
2k y x
=
， 所以2
21 k
y k x x
=+　，
把x=1，y=3，x=-1，y=1分别代入上式得：
121231k k k k =+⎧⎨=-⎩
∴12221,21k y x k
x =⎧=+⎨=⎩， 当x=-12
时， y=2×（-12）2+112
-= 12-2=-32 考点：1
．函数关系式2．求函数值．
20．如图，在平面直角坐标系中，ΔABC 的三个顶点坐标分别为A （-2,1）、B （-1,4）、C （-3,2）. （1）画图：以原点为位似中心，位似比为1:2，在第二象限作出ΔABC 的放大后的图形111A B C ∆ （2）填空：点C 1的坐标为 ，111tan C A B ∠= .
【答案】（1）见解析；（2）（-6,4），2
【分析】（1）利用位似比为1：2，进而将各对应点坐标扩大为原来的2倍，进而得出答案； （2）利用（1）中位似比得出对应点坐标．
【详解】（1）如图所示：△A 1B 1C 1即为所求；
（2）∵C 点坐标为(-3，2)，
∴C 1点坐标为（-6，4）；
∵22112222C A =+=
22114442C B =+=
221126
210B A =+=，
∵()()22224240+=，()221040=，
∴222111111C A C B B A +=，
∴111C A B 是直角三角形，且11190B C A ∠=︒，
∴111111142tan 222
C B C A B C A ∠=
==. 【点睛】 本题主要考查了位似变换和锐角三角函数的知识，正确掌握位似比与坐标的关系是解题关键． 21．如图，在等边三角形ABC 中，点D ，E 分别在BC, AB 上，且∠ADE=60°.求证：△ADC~△DEB ．
【答案】见解析
【解析】根据等边三角形性质得∠B=∠C ，根据三角形外角性质得∠CAD=∠BDE,易证
ADC DEB . 【详解】证明：
∆ABC 是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°,
∴∠ADB=∠CAD+∠C= ∠CAD+60°，
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB=∠BDE+60°,
∴∠CAD=∠BDE,
∴
ADC DEB 【点睛】
考核知识点：相似三角形的判定.根据等边三角形性质和三角形外角确定对应角相等是关键.
22．如图，平面直角坐标系中，一次函数y ＝﹣x+b 的图象与反比例函数y ＝﹣
4x
在第二象限内的图象相交于点A ，与x 轴的负半轴交于点B ，与y 轴的负半轴交于点C ．
（1）求∠BCO的度数；
（2）若y轴上一点M的纵坐标是4，且AM＝BM，求点A的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点P在y轴上，点Q是平面直角坐标系中的一点，当以点A、M、P、Q为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）∠BCO＝45°；（2）A(﹣4，1)；（3）点Q坐标为(﹣4，﹣4)或(﹣4，6)或(﹣4，31
6
)或(4，
1)．
【分析】（1）证明△OBC是等腰直角三角形即可解决问题；
（2）如图1中，作MN⊥AB于N．根据一次函数求出交点N的坐标，用b表示点A坐标，再利用待定系数法即可解决问题；
（3）分两种情形：①当菱形以AM为边时，②当AM为菱形的对角线时，分别求解即可．
【详解】（1）∵一次函数y＝﹣x+b的图象交x轴于B，交y轴于C，则B(b，0)，C（0，b），
∴OB＝OC＝﹣b，
∵∠BOC＝90°
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠BCO＝45°．
（2）如图1中，作MN⊥AB于N，
∵M（0，4），MN⊥AC，直线AC的解析式为：y＝﹣x+b，
∴直线MN的解析式为：y＝x+4，
联立
4
y x
y x b
=+
⎧
⎨
=-+
⎩
，解得：
4
2
4
2
b
x
b
y
-
⎧
=
⎪⎪
⎨
+
⎪=
⎪⎩
，
∴N(
4
2
b-
，
4
2
b+
)，
∵MA＝MB，MN⊥AB，∴NA＝BN，设A(m，n)，
则有
4 22
04 22 m
b
b
n b
+-
⎧
=
⎪⎪
⎨
++
⎪=
⎪⎩
，解得：
4
4
m
n b
=-
⎧
⎨
=+
⎩
，
∴A(﹣4，b+4)，
∵点A在y＝﹣
4
x
上，
∴﹣4（b+4）＝﹣4，
∴b＝﹣3，
∴A（﹣4，1）；
（3）如图2中，
由（2）可知A(﹣4，1)，M(0，4)，
∴AM＝22
34
+＝5，
当菱形以AM为边时，AQ＝AQ′＝5，AQ∥OM，可得Q(﹣4，﹣4)，Q′(﹣4，6)，
当A，Q关于y轴对称时，也满足条件，此时Q(4，1)，
当AM为菱形的对角线时，设P″(0，b)，
则有（4﹣b）2＝42+（b﹣1）2，
∴b＝﹣
1
6
．
∴AQ″＝MP″＝
25
6
，
∴Q″(﹣4，
31
6
)，
综上所述，满足条件的点Q坐标为(﹣4，﹣4)或(﹣4，6)或(﹣4，
31
6
)或(4，1)．
【点睛】
本题主要考查反比例函数与一次函数的综合以及菱形的性质定理，根据题意添加辅助线画出图形，数形结合，式是解题的关键．
23．某学校为了解学生“第二课堂“活动的选修情况，对报名参加A．跆拳道，B．声乐，C．足球，D．古
典舞这四项选修活动的学生（每人必选且只能选修一项）进行抽样调查．并根据收集的数据绘制了图①和图②两幅不完整的统计图．
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有人；在扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是；（2）将条形统计图补充完整；
（3）在被调查选修古典舞的学生中有4名团员，其中有1名男生和3名女生，学校想从这4人中任选2人进行古典舞表演．请用列表或画树状图的方法求被选中的2人恰好是1男1女的概率．
【答案】（1）200、144；（2）补全图形见解析；（3）被选中的2人恰好是1男1女的概率1
2
．
【分析】（1）由A活动的人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以B活动人数所占比例即可得；（2）用总人数减去其它活动人数求出C的人数，从而补全图形；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】（1）本次调查的学生共有30÷15%＝200（人），
扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是360°×80
200
＝144°，
故答案为200、144；
（2）C活动人数为200﹣（30+80+20）＝70（人），补全图形如下：
（3）画树状图为：
或列表如下： 男 女1 女2 女3 男
﹣﹣﹣ （女，男） （女，男） （女，男） 女1
（男，女） ﹣﹣﹣ （女，女） （女，女） 女2
（男，女） （女，女） ﹣﹣﹣ （女，女） 女3 （男，女） （女，女） （女，女） ﹣﹣﹣
∵共有12种等可能情况，1男1女有6种情况，
∴被选中的2人恰好是1男1女的概率
61122
=． 【点睛】
本题考查了扇形统计图，条形统计图，树状图等知识点，解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比． 24．如图，山顶有一塔AB ，塔高33m ．计划在塔的正下方沿直线CD 开通穿山隧道EF ，从与E 点相距80m 的C 处测得A 、B 的仰角分别为27°、22°，从与F 点相距50m 的D 处测得A 的仰角为45°．求隧道EF 的长度．（参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51）
【答案】隧道EF 的长度约为323m .
【分析】延长AB 交CD 于H ，利用正切的定义用CH 表示出AH 、BH ，根据题意列式求出CH ，计算即可．
【详解】解：如图，延长AB 交CD 于点H ，则AH CD ⊥.
在Rt ACH 中，27ACH ︒∠=，
∵tan 27AH CH
︒=. ∴tan 27AH CH ︒=⋅.
在Rt BCH 中，22BCH ︒∠=，
∵tan 22BH CH
︒=，
∴tan 22BH CH ︒=⋅.
∵AB AH BH =-,
∴tan 27tan 2233CH CH ︒︒⋅-⋅=.
∴300CH ≈.
∴tan 27153AH CH ︒=⋅≈.
在Rt ADH 中，45D ︒=∠， ∵tan 45AH HD
︒=， ∴153HD AH ==.
∴EF CD CE FD =--
CH HD CE FD =+--
3001538050=+--
323=.
因此，隧道EF 的长度约为323m .
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
25．在一不透明的口袋中装有3个球,这3个球分别标有1,2,3,这些球除了数字外都相同.
（1）如果从袋子中任意摸出一个球,那么摸到标有数字是2的球的概率是多少?
（2）小明和小亮玩摸球游戏,游戏的规则如下:先由小明随机摸出一个球,记下球的数字后 放回,搅匀后再由小亮随机摸出一个球,记下数字.谁摸出的球的数字大 ,谁获胜.请你用树状图或列 表法分析游戏规则对双方是否公平?并说明理由.
【答案】（1）13
.（2）公平，理由见解析. 【分析】（1）利用概率公式直接求出即可；
（2）首先利用列表法求出两人的获胜概率，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等，即可得出答案．
【详解】（1）从3个球中随机摸出一个，摸到标有数字是2的球的概率是：
13
. （2）游戏规则对双方公平.列表如下：
由表可知，P （小明获胜）=13，P （小东获胜）=13， ∵P （小明获胜）=P （小东获胜），
∴游戏规则对双方公平．
【点睛】 考点：1.游戏公平性；2.列表法与树状图法．
26．一个不透明的布袋里装有3个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率12
. (1)布袋里红球有多少个？
(2)先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，求出两次都摸到白球的概率.
【答案】 (1)红球的个数为2个；(2)15
. 【分析】（1）设红球的个数为x ，根据白球的概率可得关于x 的方程，解方程即可；
（2）画出树形图，即可求出两次摸到的球都是白球的概率．
【详解】解：（1）设红球的个数为x ，
由题意可得：31312
x =++， 解得：2x =，经检验2x =是方程的根，
即红球的个数为2个；
（2）画树状图如下：
两次都摸到白球的概率：
61305
=. 【点睛】 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步
完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
27．在“美丽乡村”建设中，某村施工人员想利用如图所示的直角墙角，计划再用30米长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD ，要求把位于图中点 P 处的一颗景观树圈在花园内，且景观树 P 与篱笆的距离不小2米．已知点 P 到墙体
DA 、DC 的距离分别是8米、16米，如果 DA 、DC 所在两面墙体均足够长，求符合要求的矩形花园面积 S 的最大值．
【答案】216米2
【分析】设AB=x 米，可知BC=（30-x ）米， 根据点 P 到墙体
DA 、DC 的距离分别是8米、16米，求出x 的取值范围，再根据矩形的面积公式得出 S 关于x 的函数关系式即可得出结论．
【详解】解：设矩形花园 ABCD 的宽 AB 为
x 米，则长BC 为 (30)x -米 由题意知，8230162
x x ≥+⎧⎨-≥+⎩ 解得1012x ≤≤
2(30)30S x x x x =-=-+
即2(15)225(1012)S x x =--+≤≤
显然，1012x ≤≤时S 的值随
x 的增大而增大 所以，当12x =时，面积 S 取最大值
max 12(3012)216S =⨯-=
答： 符合要求的矩形花园面积 S 的最大值是216米2
【点睛】
此题主要考查二次函数的应用，关键是正确理解题意，列出S 与x 的函数关系式解题的关键．
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，已知AE与BD相交于点C，连接AB、DE，下列所给的条件不能证明△ABC～△EDC的是（）
A．∠A＝∠E B．AC BC
EC DC
=C．AB∥DE D．
AC BC
DE DC
=
【答案】D
【分析】利用相似三角形的判定依次判断即可求解．
【详解】A、若∠A＝∠E，且∠ACB＝∠DCE，则可证△ABC～△EDC，故选项A不符合题意；
B、若AC BC
CE DC
=，且∠ACB＝∠DCE，则可证△ABC～△EDC，故选项B不符合题意；
C、若AB∥DE，可得∠A＝∠E，且∠ACB＝∠DCE，则可证△ABC～△EDC，故选项C不符合题意；
D、若AC BC
DE DC
=，且∠ACB＝∠DCE，则不能证明△ABC～△EDC，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定方法是解题的关键，判定时需注意找对对应线段. 2．如图，小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1m，则旗杆PA的高度为( )
A．
1
1sinα
-
m B．
1
1sinα
+
m C．
1
1cosα
-
m D．
1
1cosα
+
m
【答案】A
【解析】设PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，根据sinα=PC
PB'
，列出方程即可解决问题．
【详解】设PA=PB=PB′=x，
在RT△PCB′中，sinα=PC PB'
，
∴
1
x
x
-
=sinα，
∴x-1=xsinα，
∴（1-sinα）x=1，
∴x=
1
1sinα
-
．
故选A．
【点睛】
本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型．
3．若不等式组
1
1
32
4
x x
x m
+
⎧
<-
⎪
⎨
⎪<
⎩
无解，则m的取值范围为（）
A．2
m≤B．2
m<C．2
m≥D．2
m>
【答案】A
【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了可得关于m的不等式，解之可得．【详解】解不等式
1
1
32
x x
+
<-，得：x＞8，
∵不等式组无解，
∴4m≤8，
解得m≤2，
故选A．
【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
4．如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE的是( )
A．∠B＝∠D B．∠C＝∠AED
C．
AB
AD
＝
DE
BC
D．
AB
AD
＝
AC
AE
【答案】C
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
【详解】∠BAD =∠CAE，
,
BAC DAE
∴∠=∠
A，B，D都可判定A
ABC DE
∽△
△，
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似.
故选C.
【点睛】
考查相似三角形的判断方法，掌握相似三角形常用的判定方法是解题的关键.
5．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝4
5
，则tanB等于( )
A．4
3
B．
3
4
C．3
5
D．
4
5
【答案】B
【解析】法一，依题意△ABC为直角三角形，∴∠A+∠B=90°，∴cosB=4
5
，∵22
cos sin1
B B
+=，
∴sinB=3
5,∵tanB=
sin
cos
B
B
=
3
4
故选B
法2，依题意可设a=4,b=3,则c=5，∵tanb=
3
4
b
a
故选B
6．如图所示几何体的主视图是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据主视图的定义即可得出答案.
【详解】从正面看，共有两列，第一列有两个小正方形，第二列有一个小正方形，在下方，只有选项C符合
故答案选择C.
【点睛】
本题考查的是三视图，比较简单，需要熟练掌握三视图的画法.
7．如图，数轴上的点A，B，C，D表示的数分别为3-，1-，1，2，从A，B，C，D四点中任意取两点，所取两点之间的距离为2的概率是（）
A．1
6
B．
1
4
C．
2
3
D．
1
3
【答案】D
【分析】利用树状图求出可能结果即可解答.
【详解】解: 画树状图为:
共有12种等可能的结果数,其中所取两点之间的距离为2的结果数为4,
所取两点之间的距离为2的概率=
4
12
=
1
3
．
故选D.
【点睛】
本题考查画树状图或列表法求概率，掌握画树状图的方法是解题关键.
8．在△ABC中，I是内心，∠BIC=130°，则∠A的度数是（）
A．40°B．50°C．65°D．80°
【答案】D
【解析】试题分析：已知∠BIC=130°，则根据三角形内角和定理可知∠IBC+∠ICB=50°，则得到∠ABC+∠ACB=100度，则本题易解．
解：∵∠BIC=130°，
∴∠IBC+∠ICB=50°，
又∵I是内心即I是三角形三个内角平分线的交点，
∴∠ABC+∠ACB=100°，
∴∠A=80°．
故选D．
考点：三角形内角和定理；角平分线的定义．
9．如图，AB、CD相交于点O，AD∥CB，若AO=2，BO=3，CD=6，则CO等于（）
A．2.4 B．3 C．3.6 D．4
【答案】C
【分析】由平行线分线段成比例定理，得到CO BO DO AO = ；利用AO 、BO 、CD 的长度，求出CO 的长度，即可解决问题．
【详解】如图，∵AD ∥CB ，
∴CO BO DO AO
=； ∵AO=2，BO=3，CD=6， ∴
362CO CO =- ，解得：CO=3.6， 故选C ．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题．掌握平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例是解题的关键．．
10．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ACD ＝40°，则∠BAD 为（ ）
A ．40°
B ．50°
C ．60°
D ．70°
【答案】B 【分析】连接BD ，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB 的度数，然后在根据同弧所对的圆周角相等即可解决问题．
【详解】解：如图，连接BD ．
∵AB 是直径，
∴∠ADB ＝90°，
∵∠B ＝∠C ＝40°，
∴∠DAB ＝90°﹣40°＝50°，
故选：B ．
【点睛】
本题考查的是直径所对的圆周角是直角与同弧所对的圆周角相等的知识，能够连接BD 是解题的关键. 11．一元二次方程x 2﹣2x ﹣1＝0的根是（ ）
A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝﹣1，x2＝﹣2 C．x1＝1+2，x2＝1﹣2D．x1＝1+3，x2＝1﹣3【答案】C
【分析】利用一元二次方程的公式法求解可得．
【详解】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
则x＝222
2
＝1±2，
即x1＝1+2，x2＝1﹣2，
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，根据一元二次方程的特征，灵活选择解法是解题的关键．12．下列四个函数图象中，当x＞0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】直接根据图象判断，当x＞0时，从左到右图象是下降的趋势的即为正确选项. 【详解】A、当x＞0时，y随x的增大而增大，错误；
B、当x＞0时，y随x的增大而增大，错误；
C、当x＞0时，y随x的增大而减小，正确；
D、当x＞0时，y随x的增大先减小而后增大，错误；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查根据函数图象判断增减性，掌握函数的图象和性质是解题的关键.
二、填空题（本题包括8个小题）
13．如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC．则BD＝_____．。