【单元练】上海田林第三中学九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》习题

一、选择题
1．国家电网近来实施了新一轮农村电网改造升级工程，解决了农村供电“最后1公里”问题，电力公司在 改造时把某一输电线铁塔建在了一个坡度为1:0.75的山坡CD 的平台BC 上（如图），测得52.5,5AED BC ︒∠＝＝米，35CD =米，19DE =米，则铁塔AB
的高度约为（ ）（参考数据：52.50.79,52.50.61,52.5 1.30sin cos tan ︒︒︒≈≈≈）
A ．7.6 米
B ．27.5 米
C ．30.5 米
D ．58.5 米C
解析：C
【分析】 延长AB 交ED 于G ，过C 作CF ⊥DE 于F ，得到GF=BC=5，设DF=3k ，CF=4k ，解直角三角形得到结论．
【详解】
解：延长AB 交ED 于G ，过C 作CF ⊥DE 于F ，
则四边形BGFC 是矩形
∴GF=BC=5，
∵山坡CD 的坡度为1：0.75，
∴设DF=3k ，CF=4k ，
∴CD=5k=35，
∴k=7，
∴DF=21，BG=CF=28，
∴EG=GF+DF+DE=5+21+19=45，
∵∠AED=52.5°，
∴AG=EG•tan52.5°=45×1.30=58.5，
∴AB=AG-BG=30.5米，
答：铁塔AB 的高度约为30.5米．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题和解直角三角形的应用-坡度坡角问题，难度适中，通过作辅助线，构造直角三角形，利用三角函数求解是解题的关键． 2．在Rt ABC 中，90,C a b c ∠=︒、、分别是A B C ∠∠∠、、的对边，如果3,4a b ==，那么下列等式中正确的是( )
A ．4sin 3A =
B ．4cos 3A =
C ．4tan 3A =
D ．4cot 3
A =D 解析：D
【分析】
分别算出∠A 的各个三角函数值即可得到正确选项．
【详解】
解：由题意可得：2222345c a b =+=+=， ∴3434sin ,cos ,tan ,,5543
a b a b A A A cotA c c b a =
======= ∴正确答案应该是D ，
故选D ．
【点睛】 本题考查锐角三角函数的定义，正确理解锐角三角函数的定义是解题关键．
3．下表是小红填写的实践活动报告的部分内容，设铁塔顶端到地面的高度FE 为xm ，根据以上条件，可以列出的方程为 （ ）
题目 测量铁塔顶端到地面的高度
测量目标示意图 相关数据 10,45,50CD m αβ==︒=︒
A ．()10tan50x x =-︒
B ．()10cos50x x =-︒
C ．10tan50x x -=︒
D ．()10sin50x x =+︒A
解析：A
【分析】 过D 作DH ⊥EF 于H ，则四边形DCEH 是矩形，根据矩形的性质得到HE ＝CD ＝10，CE ＝DH ，求得FH ＝x−10，得到CE ＝x−10，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．
【详解】
过D 作DH ⊥EF 于H ，
则四边形DCEH 是矩形，
∴HE ＝CD ＝10，CE ＝DH ，
∴FH ＝x−10，
∵∠FDH ＝α＝45°，
∴DH ＝FH ＝x−10，
∴CE ＝x−10，
∵tanβ＝tan50°＝
EF CE ＝-10
x x ， ∴x ＝（x−10）tan 50°，
故选：A ．
【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，由实际问题抽象出边角关系的等式，正确的识别图形是解题的关键．
4．下列说法中，正确的有（ ）个
①a 为锐角，则1sina cosa +>；
②314172︒+︒=︒cos cos cos ﹔
③在直角三角形中，只要已知除直角外的两个元素，就可以解这个三角形﹔
④坡度越大，则坡角越大，坡越陡； ⑤1302
=
=︒sinA ； ⑥当Rt ABC ∆的三边长扩大为2倍时，则sinA 的值也相应扩大2倍． A ．1
B ．2
C ．3
D ．4B
解析：B
【分析】
①根据三角函数的定义判断；
②函数值不是简单度数相加；
③至少已知一条边能解直角三角形；
④根据坡度的性质即可判定④对；
⑤只能说∠A=30°；
⑥角度数不变，函数值就不变．
【详解】
①在Rt △ACB 中，设c 为斜边，∠α的对边、邻边分别为a ，b ，那么sinα+cosα=1a b c
+>，所以①对； ②不对，函数值是角与边的关系，不是简单度数相加；
③不对，只知道角不知道边也不能解直角三角形；
④垂直高度与水平距离之比即坡度所以④对；
⑤也不对，sinA=
1302
=︒，是明显错误； ⑥不对，角度数不变，函数值就不变．
综上，①④正确，共2个，
故选：B ．
【点睛】 本题主要考查了解直角三角形以及锐角三角函数．学生学这一部分知识时要细心去理解文字所表达的意思．关键是熟练掌握有关定义和性质．
5．如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比为1：3，坝高BC ＝3m ，则AB 的长度为（ ）
A ．6m
B ．3
C ．9m
D ．3A
解析：A
【分析】 根据坡比的概念求出AC ，根据勾股定理求出AB ．
【详解】
解：∵迎水坡AB 的坡比为13
∴3BC AC =33
AC = 解得，AC ＝3
由勾股定理得，AB 22BC AC =
+=6（m ）， 故选：A ．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键． 6．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ⊥AC ，垂足为点F ，连接DF ，下面四个结论：①CF=2AF ；②tan ∠CAD=22
；③DF=DC ；④△AEF ∽△CAB ；⑤S 四边形
CDEF =52
S △ABF ,其中正确的结论有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个D
解析：D
【分析】 依据△AEF ∽△CBF ，即可得出CF=2AF ；依据△BAE ∽△ADC ，即可得到tan ∠CAD=
22
；过D 作DM ∥BE 交AC 于N ，依据DM 垂直平分CF ，即可得出DF=DC ；依据∠EAC=∠ACB ，∠ABC=∠AFE=90°，即可得到△AEF ∽△CAB ；设△AEF 的面积为s ，则△ABF 的面积为2s ，△CEF 的面积为2s ，△CDE 的面积为3s ，四边形CDEF 的面积为5s ，进而得出S 四边形CDEF =
52
S △ABF 【详解】
解：∵AD ∥BC ，
∴△AEF ∽△CBF ， AE AF BC CF
∴= ∵AE=
12AD= 12BC ， 12
AF CF ∴= ∴CF=2AF ，故①正确；
设AE=a ，AB=b ，则AD=2a ，
∵BE ⊥AC ，∠BAD=90°，
∴∠ABE=∠ADC ，而∠BAE=∠ADC=90°，
∴△BAE ∽△ADC ，
2b a a b
∴=，即2b a ∴= 22CD tan CAD AD b a =∠=∴=
，故②正确；
如图，过D 作DM ∥BE 交AC 于N ，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM=DE=1
2
BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DM垂直平分CF，
∴DF=DC，故③正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，∴△AEF∽△CAB，故④正确；
如图，连接CE，
由△AEF∽△CBF，可得
1
2
AF
CF EF
BF
==
设△AEF的面积为s，则△ABF的面积为2s，△CEF的面积为2s，
∴△ACE的面积为3s，
∵E是AD的中点，
∴△CDE的面积为3s，
∴四边形CDEF的面积为5s，
∴S四边形CDEF=5
2
S△ABF，故⑤正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例．
7．在△ABC中，若cosA=
2
2
，tanB=3，则这个三角形一定是（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形A
解析：A
【解析】
试题
∵cos A=2
2
，tan B=3，
∴∠A=45°，∠B=60°．
∴∠C=180°-45°-60°=75°．
∴△ABC为锐角三角形．
故选A．
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC等于（）
A．a•tanαB．a•cotαC．a•sinαD．a•cosαB
解析：B
【分析】
画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可.
【详解】
如图，∠C＝90°，∠A＝α，BC＝a，
∵cotαAC
BC
，
∴AC＝BC•cotα＝a•cotα，
故选：B．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义的应用，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比；余弦是角的邻边与斜边的比；正切是对边与邻边的比；余切是邻边与对边的比；熟练掌握三角函数的定义是解题关键.
9．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边，（ OC⊥OB，点A、B、C、D、O在同一平面内），已知AB a，AD b，∠BCO=α．则点A到OC的距离等于（）
A．asinα+bsinαB．acosα+bcosαC．asinα+bcosαD．acosα+bsinαD
解析：D
【分析】
根据题意，做出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点A 到OC 的距离即可求解．
【详解】
解：作AE ⊥OC 于点E ，作AF ⊥OB 于点F ，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵∠ABC=∠AEC ，∠BCO=α，
∴∠EAB=α，
∴∠FBA=α，
∵AB=a ，AD=b ，
∴FO=FB+BO=a•cosα+b•sinα，
故选：D ．
【点睛】
本题考查解直角三角形、三角函数的定义、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，正确做出辅助线，利用数形结合的思想解答．
10．如图，反比例函数k y x
=(0)k ≠第一象限内的图象经过ABC ∆的顶点A ，C ，AB AC =，且BC y ⊥轴，点A ，C ，的横坐标分别为1，3，若120BAC ∠=︒，则k 的值为（ ）
A ．1
B 2
C 3
D ．2C
解析：C
【分析】 先表示出CD ，AD 的长，然后在Rt △ACD 中利用∠ACD 的正切列方程求解即可．
【详解】
过点A 作AD BC ⊥，
∵点A 、点C 的横坐标分别为1，3，
且A ，C 均在反比例函数k y x =第一象限内的图象上， ∴(1,)A k ，3,
3k C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴CD=2，AD=k-3
k ， ∵AB AC =，120BAC ∠=︒，AD BC ⊥，
∴30ACD ∠=︒，90ADC ∠=︒，
∵tan ∠ACD=AD DC
， ∴3DC AD =，即233k k ⎛⎫=
- ⎪⎝
⎭，∴3k =． 故选：C ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，以及反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
二、填空题
11．如图是一个地铁站入口的双翼闸机．它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B 之间的距离为10cm ，双翼的边缘AC ＝BD ＝54cm ，且与闸机侧立面夹角∠PCA ＝∠BDQ ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为________cm ．
64【分析】连接ABCD 过点A 作AE ⊥CD 于E 过点
B 作BF ⊥CD 于F 求出CEEFDF 即可解決问题；【详解】解：如图连接ABCD 过点A 作AE ⊥CD 于E 过点B 作BF ⊥CD 于F ∵AB//EFAE//BF ∴
解析：64
【分析】
连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F，求出 CE , EF , DF 即可解決问题；
【详解】
解：如图，连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F．
∵AB//EF，AE//BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵∠AEF＝90°，
∴四边形AEFB是矩形，
∴EF＝AB＝10（cm），
∵AE//PC，
∴∠PCA＝∠CAE＝30°，
∴CE＝AC•sin30°＝27（cm），
同法可得DF＝27（cm），
∴CD＝CE+EF+DF＝27+10+27＝64（cm），
故答案为64．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．
12．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行302km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为______km．
【分析】BE⊥AC于点E根据题意计算可得解直角三角形
ABE可得BE=AE=30根据平行线性质计算可得解直角三角形CEB可得AE+CE的值即是AC两港之间的距离【详解】解：设过A点正北方向直线为AD过
解析：303
【分析】
BE ⊥AC 于点E ，根据题意计算可得45EAB ∠=︒，解直角三角形ABE ，可得BE=AE=30，根据平行线性质计算可得60C ∠=°，解直角三角形CEB 可得，103CE =，AE+CE 的值即是AC 两港之间的距离．
【详解】
解：设过A 点正北方向直线为AD ，过B 点正北方向直线为BG ，过B 作BE ⊥AC 于E ，过C 作CF ∥AD ，如图:
∵由题意得：∠CAB =65°﹣20°=45°，∠AEB =∠CEB =90°，AB 2km ． ∴在Rt ABE △中，∠ABE =45°，
∴△ABE 是等腰直角三角形．
∵AB 2km ，
∴AE =BE 2=30（km ）． ∵CF ∥AD ∥BG ， ∴∠ACF =∠CAD =20°，∠BCF =∠CBG =40°，
∴∠ACB =20°+40°=60°，
∵在Rt CBE 中，∠ACB =60°，tan ∠ACB =
BE CE ， ∴CE =tan 603BE ︒=3km ），
∴AC =AE +CE 3km ），
∴A 、C 两港之间的距离为（3km ．
故答案为：（3
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用——方位角问题，添加辅助线构建直角三角形，熟练运用解直角三角形的方法是解题关键．
13．如图，在边长为10的菱形ABCD 中，AC 为对角线，∠ABC =60°，M 、N 分别是边BC ，CD 上的点，BM =CN ，连接MN 交AC 于P 点，当MN 最短时，PC 长度为_____．
【分析】连接AMAN 证明△AMB ≌△ANC 推出
△AMN 为等边三角形当AM ⊥BC 时AM 最短即MN 最短在Rt △ABM 中求出AM 的长在Rt △AMP 中求出AP 的长即可解决问题【详解】解：连接AMAN ∵ABC 解析：52
【分析】
连接AM ，AN ，证明△AMB ≌△ANC ，推出△AMN 为等边三角形，当AM ⊥BC 时，AM 最短，即MN 最短，在Rt △ABM 中求出AM 的长，在Rt △AMP 中求出AP 的长，即可解决问题．
【详解】
解：连接AM ，AN ，
∵ABCD 是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC 为等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC=10，
同理可证∠ACN=60°，
在△AMB 和△ANC 中，
AB AC B ACN BM NC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AMB ≌△ANC ，
∴AM=AN ，∠BAM+∠MAC=∠MAC+∠NAC=60°，
∴∠MAN=60°，
∴△AMN 为等边三角形，
∴MN=AM ，∠MAN=60°，
当AM ⊥BC 时，AM 最短，即MN 最短，
∵sinB=AM AB
， ∴AM=sin60°3．
∵∠ABC=60°，
∴∠BAM=30°，
∴∠MAC=30°，
∴∠NAC=30°，
∴AP ⊥MN ．
∵sin ∠AMN=AP AM ， ∴AP=sin60°×53=
152， ∴CP=10-152=52
． 故答案为：
52．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，以及锐角三角函数的知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
14．某斜坡的坡度33i =，则它的坡角是__________度．30【分析】根据坡度与坡角的关系及特殊角正切的值可得解答【详解】解：设斜坡的坡角为则有∵故答案为【点睛】本题考查锐角三角函数值的应用正确理解坡度与坡角的意义及特殊角的三角函数值是解题关键 解析：30
【分析】
根据坡度与坡角的关系及特殊角正切的值可得解答．
【详解】
解：设斜坡的坡角为α，则有()3tan i α==
∵()3tan 30303
α︒=∴=︒， 故答案为30 ．
【点睛】
本题考查锐角三角函数值的应用，正确理解坡度与坡角的意义及特殊角的三角函数值是解题关键 ．
15．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝α，AB ＝m ，那么边AB 上的高为
___．msinαcosα【分析】利用直角三角形中的余弦三角函数的定义求得AC 的长度然后利用三角形的面积公式求得AB 边上的高的长度【详解】如图所示：根据题意可得：AC ＝mcosαBC ＝msinα∴AC•BC
解析：m sinαcosα
【分析】
利用直角三角形中的余弦三角函数的定义求得AC 的长度，然后利用三角形的面积公式求得AB 边上的高的长度．
【详解】
如图所示：
根据题意可得：AC ＝m cosα，BC ＝m sinα， ∴12AC •BC ＝12
mh ，即h ＝m sinαcosα， 故答案是：m sinαcosα．
【点睛】
考查了解直角三角形．解题关键利用了三角函数的定义求得直角三角形两条直角边的长． 16．在平面直角坐标系xOy 中，已知一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象过点P （1，1），与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且tan ∠ABO ＝2，那么点A 的坐标是_____．（﹣10）或（30）【分析】依题意得即可得一次函数解析式为所以由tan ∠ABO ＝2得到且可解得或进而求得结论【详解】解：∵一次函数的图象经过点∴即∴一次函数解析式为∴一次函数与x 轴y 轴的交点坐标为（
解析：（﹣1，0）或（3，0）
【分析】
依题意得1k b =+，即1b k =-，可得一次函数解析式为1y kx k =+-，所以
1k OA k -=，1OB k =-，由tan ∠ABO ＝2得到121k k k -=-且1k ≠可解得12
k =或12
k =-，进而求得结论． 【详解】
解：∵一次函数y kx b =+的图象经过点()1,1P ，
∴1k b =+，
即1b k =-，
∴一次函数解析式为1y kx k =+-，
∴一次函数1y kx k =+-与x 轴、y 轴的交点坐标为（
1k k -，0）、（0，1k -）， ∴1k OA k
-=，1OB k =-，
∵tan 2OA ABO OB ∠==, ∴121k k k
-=-且1k ≠， 解得，12k =
或12k =-， 当12
k =时，OA=1，此时点A 在x 轴负半轴上，所以点A 坐标为（﹣1，0）， 当12k =-
时，OA=3，此时点A 在x 轴正半轴上，所以点A 坐标为（3，0）， ∴A 点的坐标是1,0或3,0
故答案为：（﹣1，0）或（3，0）．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是求出函数图象与x 轴、y 轴的交点坐标．解决本题时要注意点A 的坐标有两种情况，不要漏解．
17．计算：tan60°﹣cos30°=________；如果∠A 是锐角，且sinA= 12
，那么∠A=________゜．30【分析】由特殊角三角函数值进行计算即可求出答案【详解】解：；∵∠A 是锐角∴；故答案为：；30【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值解题的关键是掌握特殊角的三角函数值进行解题
23 【分析】
由特殊角三角函数值进行计算，即可求出答案．
【详解】
解：323tan 60tan 303︒-︒==； ∵1sin 2
A =
，∠A 是锐角， ∴30A ∠=︒； 23；30．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值进行解题．
18．如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠D=60°，∠A＝105°，∠B＝120°，则AD
BC
的值
为__________．
【分析】沿AB作垂线与C的延长线相交于M点可得到等
边直角三角形和锐角为30°的直角三角形根据三角函数求解即可【详解】解：如图连接AC并过B点作BM⊥CM设BM=k∵AD＝CD∠D=60°∴△ACD是
解析：
6 2
【分析】
沿AB作垂线与C的延长线相交于M点，可得到等边直角三角形和锐角为30°的直角三角形，根据三角函数求解即可.
【详解】
解：如图
连接AC并过B点作BM⊥CM，设BM=k，
∵AD＝CD，∠D=60°,
∴△ACD是等边三角形，AD=AC，
∵∠A＝105°，∠B＝120°，∠DAC=60°,
∴∠MBC=60°，∠BCM=30°，∠BAC=45°，
∵BM=k，
∴BC=2k，MC=BM
tan30
=3，
∵∠BAC=45°，∠MCA=45°，
∴AD=AC=MC 3k sin 4522
=，
∴
==AD BC . 【点睛】 本题考查了特殊角的三角函数值和公式的应用，正确应用公式和作出辅助线是解题的关键.3tan 303=
，sin45=2
. 19．在Rt △ABC 中，∠C =90°，如果tan
∠A cos ∠B =_____．【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A=30°进而得出∠B 的度数进而得出答案【详解】∵tan ∠A=∴∠A=30°∵∠C=90°∴∠B=180°﹣30°﹣90°=60°∴cos ∠B=故答案为：
【点
解析：12
【分析】
直接利用特殊角的三角函数值得出∠A =30°，进而得出∠B 的度数，进而得出答案．
【详解】
∵tan
∠A ∴∠A =30°，
∵∠C =90°，
∴∠B =180°﹣30°﹣90°=60°，
∴cos ∠B =12
． 故答案为：
12． 【点睛】
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确理解三角函数的计算公式是解题关键． 20．在△ABC 中，若()21cos 1tan 02
A B -+-=，则∠C=____________．75°【分析】根据非负数性质得根据三角函数定义求出∠A=60°∠B=45°根据三角形内角和定理可得【详解】因为所以所以所以∠A=60°∠B=45°所以∠C=180°-∠A-∠B=75°故答案为：75
解析：75°
【分析】
根据非负数性质得1cos 0,1tan 02
A B -
=-=，根据三角函数定义求出∠A=60°，∠B=45°，根据三角形内角和定理可得.
【详解】 因为()21cos 1tan 02A B -
+-= 所以1cos 0,1tan 02A B -
=-= 所以1cos ,tan 12
A B == 所以∠A=60°，∠B=45°
所以∠C=180°-∠A-∠B=75°
故答案为：75°
【点睛】
考核知识点：特殊锐角三角函数．熟记特殊锐角三角函数值是关键．
三、解答题
21．（1）计算：|﹣1|﹣（3﹣π）0（﹣
12）-1+2cos60°； （2）解方程：2x （x ﹣1）＝x ﹣1．
解析：（1）3；（2）x 1＝1，x 2＝0.5．
【分析】
（1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】
（1）原式＝1﹣1+4+（﹣2）+2×
12＝3； （2）∵2x （x ﹣1）＝x ﹣1．
∴2x （x ﹣1）﹣（x ﹣1）＝0，
∴（x ﹣1）（2x ﹣1）＝0，
则x ﹣1＝0或2x ﹣1＝0，
解得x 1＝1，x 2＝0.5．
【点睛】
本题主要考查实数的运算、解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
22．如图，一艘轮船以18海里/小时的速度由南向北航行，在A 处测得小岛P 在北偏西15︒的方向上，2小时后，轮船在B 处测得小岛P 在北偏西30方向上，在小岛P 周围20海里内有暗礁，若轮船继续向前航行，有无触礁的危险？
解析：有危险，理由见解析
【分析】
有危险，理由为：过P 作PD 垂直与AB ，交AB 延长线于点D ，如图所示，由∠PBD 为三角形PAB 的外角，利用外角的性质得到∠PBD ＝∠A ＋∠APB ，由∠PBD 及∠A 的度数求出∠BPA 的度数，得到∠BPA ＝∠A ，利用等角对等边得到PB ＝AB ，由2小时走的路程为15海里/时×2，得到PB 为30海里，在直角三角形PBD 中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半得到PB ＝2PD ，由PB 的长求出PD 的长，由PD 的长与20比较大小，即可对轮船不改变方向仍继续向前航行，有无触礁的危险作出判断．
【详解】
解：有危险，
理由如下：
过P 点作PD AB ⊥，交AB 延长线与点D ，如图所示：
由题意可知：15A ∠=︒，30PBD ∠=︒，
15BPA PBD A ∴∠=∠-∠=︒，
即BPA A ∴∠=∠
18236PB AB ∴==⨯=（海里）
在Rt BPD ∆中，
30PBD ∠=︒，36PB =（海里）
1182
PD PB ∴==海里20<海里， 则轮船不改变方向仍继续向前航行，有触礁的危险．
【点睛】
此题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，以及含30°直角三角形的性质，其中轮船有没有危险由PD 的长与20比较大小决定．
23．如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB 、小刚在D 处用高1.5m
的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前进40m到达E，又测得教学楼顶端A的仰角为60°．求这幢教学楼的高度AB．（结果带根号）
解析：3 1.5
【分析】
利用60°的正切值可表示出FG长，进而利用∠ACG的正切函数求AG长，加上1.5即为这幢教学楼的高度AB．
【详解】
解：在Rt△AFG中，tan∠AFG＝AG FG
，
∴FG＝
tan AG
AFG
∠3
3
3
AG．
在Rt△ACG中，tan∠ACG＝AG CG
，
∴CG＝
tan AG
ACG
∠
3AG．
又CG−FG＝40，
33
AG＝40，
∴AG＝3
∴AB＝3＋1.5．
答：这幢教学楼的高度AB为（3 1.5）米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，利用两个直角三角形的公共边求解是常用的解直角三角形的方法．
24．计算：2cos30°+tan60°16（π﹣3.14）0
解析：33
【分析】
原式利用特殊角的三角函数值，以及零指数幂法则计算即可得到结果．
【详解】
原式=
3
2341
+
333=+- 233=-
【点睛】
此题考查了含特殊角的三角函数值的实数的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解本题的关键．
25．计算：（1）|-2|-2cos60°+(π-2020)0；
（2）(13
)-1+18+|-2|-4sin45° 解析：（1）2；（2）52+
【分析】
本题涉及零指数幂、负指数幂、绝对值、二次根式、特殊角的三角函数5个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【详解】
解：（1）原式12212
=-⨯+， 211=-+，
2=．
解：原式2332242
=++-⨯
332222=++- 52=+．
【点睛】
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算． 26．理解写作
如下图1，在探究锐角A ∠的对边与直角三角形斜边之比的数学实验中包含两个环节，一是通过在A ∠的边AB 上取不同的点B '， B ''，分别作高B C ''，B C ''''利用三角形相似，可以说明 B C B C A AB B ''''''=''
'，即A ∠的对边与斜边的比值固定，与点B '的位置无关． 二是说明A ∠的度数发生变化时，A ∠的对边与斜边的比值也会发生变化．请根据下图2简要说明做法并证明第二个环节的结论，并在图3中再构造一种思路证明此结论．
解析：答案见解析．
【分析】
环节一，我们用相似论证了当A ∠不变时，A ∠的对边与斜边的比值固定不变；环节二，再次为我们论证了当A ∠改变时，A ∠的对边与斜边的比值也随之变化，不再固定不变；进而从斜边相等，或直角边相等，两个方面论证即可．
【详解】
解：环节二证明过程如下：
（1）如下图所示：过点A 在BAC ∠内部做射线AB '，截取AB AB '=，过点 B '作BC AC ''⊥，此时构造出了B AC ''∠，显然 BAC B AC ''∠≠∠
此时sin BC BAC AB ∠=；sin B C B AC AB ''''∠='
， 因为AB AB '=，而BC B C ''≠，所以 sin sin BAC B AC ''∠≠∠
所以当A ∠的度数发生变化时，A ∠的对边与斜边的比值也会发生改变．
（2）图3中构造另外一种思路证明： 由上题我们自然想到控制变量法．环节二我们使斜边相等，现在我们使直角边BC 与B C ''与相等，如图所示：
此时sin BC BAC AB ∠=；sin B C B AC AB
''''∠='；因为 BC B C ''=，而AB AB '≠，所以 sin sin BAC B AC ''∠≠∠．
【点睛】
本题考查了对边与斜边的比，即正弦值，会随着角度的变化而变化，熟悉相关性质是解题的关键．
27．在ABC 中，AB AC =，45BAC ∠=︒，将ABC 绕点A 顺时针旋转得到ADE ，连接BD 、CE ，直线BD 、CE 相交于点F ．
（1）求证BD CE =．
（2）求BFC ∠的度数．
（3）若2AB AC ==，当四边形ADFC 是菱形时，求BF 的长．
解析：（1）见解析；（2）45BFC ∠=︒或135BFC ∠=︒；（3）222BF =-
【分析】
（1）通过AEC ADB △≌△即可证得BD=CE ；
（2）分情况讨论：旋转角小于45︒和旋转角大于45︒两种情况；
（3）AB 与FC 相交于点G ，依题意可证得△AGC 和△FBG 是等腰直角三角形，再利用锐角三角函数求出AG 和FB ，问题可解．
【详解】
解：（1）∵将ABC 绕点A 顺时针旋转得到ADE ，
∴CAE BAD ∠=∠，,,45AC AE AB AD BAC DAE ==∠=∠=︒，
∵AB AC =，
∴AC AE AB AD ===，
∴AEC ADB △≌△（SAS ）
BD CE ∴=；
（2）过点A 作AM BD ⊥于M ，AN CE ⊥于N ，
当45CAE BAD ∠=∠︒＜时，如图，
AC AE AB AD ===，
1234∴∠=∠=∠=∠，
90AMB ANF ∠=∠=︒，
在四边形ANFN 中，180BFC MAN ∠+∠=︒ ，
MAN 311245BAE BAE BAC ∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠=︒
18045135BFC ∴∠=︒-︒=︒；
当45CAE BAD ∠=∠︒＞时，如图，
45BAC DAE ∠=∠=︒
BAC BAE DAE BAE ∴∠+∠=∠+∠，
DAB CAE ∴∠=∠，
AC AE AB AD ===，
111,222
EAN CAE BAM DAB ∴∠=∠=∠∠=∠=∠， 12EAN BAM ∴∠=∠=∠=∠
145MAN BAN BAM BAN BAC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒
90AMF ANF ∠=∠=︒，
180135MFN MAN ∴∠=︒-∠=︒，
18045BFC MFN ∴∠=︒-∠=︒，
故45BFC ∠=︒或135︒；
（3）如图，AB 与EC 交于G ，
∵四边形ADFC 是菱形，
AC ∴∥BD ，
45FBA BAC ∴∠=∠=︒，
BFC 45∠=︒，
90FGB AGC ∴∠=∠=︒，
在Rt △AGC 中，AC=2， ∴2cos 4522AG AC =⋅︒== 22GB AB AG ∴=-=
22222sin 452
2
BG BF -∴===-︒ ．
【点睛】
本题考察了全等三角形的判定和性质，旋转变换，四边形内角和，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数等知识，有一定的综合性，根据旋转的特征进行分类讨论和正确运用图形的性质是解题的关键．
28．第十一届全国少数民族传统体育运动会于2019年9月8日至16日在郑州举行，据了解，该赛事每四年举办一届，是我国规格最高、规模最大的综合性民族体育盛会，其中，花炮、押加、民族式摔跤三个项目的比赛在郑州大学主校区进行．如图，钟楼是郑州大学主校区标志性建筑物之一，是郑大的“第一高度”，寓意来自五湖四海的郑大人的团结和凝聚．小刚站在钟楼前C 处测得钟楼顶A 的仰角为53°，小强站在对面的教学楼三楼上的D 处测得钟楼顶A 的仰角为45°，此时，两人的水平距离EC 为4m ，已知教学楼三楼所在的高度为10m ，根据测得的数据，计算钟楼AB 的高度．（参考数据：sin53°≈
45，cos53°≈35，tan53°≈43
）
解析：钟楼AB 的高度约为56m
【分析】
作DF ⊥AB 于F ，根据矩形的性质得到FB ＝DE ＝10，DF ＝BE ，根据等腰直角三角形的性质、正切的定义计算，得到答案．
【详解】
解：作DF ⊥AB 于F ，
设AB ＝xm ，
∵FB ⊥EB ，DE ⊥EB ，DF ⊥AB ，
∴四边形FBED 为矩形，
∴FB ＝DE ＝10，DF ＝BE ，
∴AF ＝10﹣x ，
在Rt △AFD 中，∠ADF ＝45°，
∴DF ＝AF ＝x ﹣10，
在Rt △ABC 中，∠ACB ＝53°，tan ∠ACB ＝AB BC ， ∴BC ＝3tan 4
AB x ACB ≈∠， 由题意得，BE ﹣BC ＝CE ，即x ﹣10﹣
34x ＝4， 解得，x ＝56，
答：钟楼AB 的高度约为56m ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．。