【优化方案】高中数学 第四讲一数学归纳法课件 新人教A选修45

那么n＝k＋1时， (k ＋ 2)(k ＋ 3)…(k ＋ k)(2k ＋ 1)(2k ＋ 2) ＝ 2(k ＋ 1)(k ＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－ 1)·[2(k＋1)－1]． 即n＝k＋1时等式也成立． 由(1)(2)可知对任何n∈N＋等式均成立．
•1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 •5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 •6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/182022/1/182022/1/181/18/2022 •7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/182022/1/18January 18, 2022 •8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/182022/1/182022/1/182022/1/18
误区警示
例 证明：12＋212＋213＋…＋2n1－1＋21n＝1－21n(其 中 n∈N＋)．
【错证】 (1)当 n＝1 时，左边＝21，右边＝1－12＝12， 等式成立． (2)假设当 n＝k(k≥1)时，等式成立，就是 12＋212＋213＋…＋2k1－1＋21k＝1－21k，
方法感悟
1．数学归纳法的两个步骤缺一不可，第一步中验 证n的初始值至关重要，它是递推的基础，但n的初 始值不一定是1，而是n的取值范围内的最小值． 2．第二步证明的关键是运用归纳假设．在使用归 纳假设时，应分析p(k)与p(k＋1)的差异与联系，利 用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发, 从p(k＋1)中分离出p(k)再进行局部调整． 3．在研究探索性问题时，由特例归纳猜想的结论 不一定是真命题，这时需要使用数学归纳法证明， 其一般解题步骤是：归纳—猜想—证明．
＝a·ak＋1＋(a＋1)2(a＋1)2k－1 ＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋ 1)2k－1 ＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1， 由归纳假设，以上两项均能被a2＋a＋1整除，故 当n＝k＋1时，命题也成立． 由(1)、(2)可知，对n∈N＋命题都成立．
【证明】 (1)当n＝1时，一个圆把平面分成两部 分，且f(1)＝1－1＋2＝2，因此，n＝1时命题成 立． (2)假设n＝k(k≥1)时，命题成立，即k个圆把平面 分成f(k)＝k2－k＋2部分．如果增加一个满足条件 的 任 一 个 圆 ， 则 这 个 圆 必 与 前 k 个 圆 交 于 2k 个 点．这2k个点把这个圆分成2k段弧，每段弧把它 所在的原有平面分成为两部分．因此，这时平面 被分割的总数在原来的基础上又增加了2k部分， 即有
f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1) ＋2. 即当n＝k＋1时，f(n)＝n2－n＋2也成立． 根据(1)、(2)，可知n个圆把平面分成了f(n)＝n2－ n＋2部分． 【名师点评】 有关诸如此类问题的论证，关键 在于分析清楚n＝k与n＝k＋1时二者的差异，这时 常常借助于图形的直观性，然后用数学式子予以 描述，建立起f(k)与f(k＋1)之间的递推关系．
思考感悟
在数学归纳法中的n0是什么样的数？ 提示：n0是适合命题的正整数中的最小值，有 时是n0＝1或n0＝2，有时n0值也比较大，不一定 是从1开始取值．
课堂互动讲练
考点突破
考点一 用数学归纳法证明等式问题 例1 用数学归纳法证明：n∈N＋时，11·3＋31·5 ＋…＋2n－112n＋1＝2nn＋1.
＝(x＋1)[(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1]＋(x2＋3x＋3)·(x ＋2)2k－1. 因为(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1和x2＋3x＋3都能被x2＋ 3x＋3整除，所以上面的式子也能被x2＋3x＋3整 除． 这就是说，当n＝k＋1时， (x＋1)(k＋1)＋1＋(x＋2)2(k＋1)－1也能被x2＋3x＋3整 除． 根据(1)(2)可知，命题对任何n∈N＋都成立．
则当n＝k＋1时，即增加一条直线l，因为任何两条 直线不平行，所以l与k条直线都相交,有k个交点； 又因为任何三条直线不共点，所以这k个交点不同 于k条直线的交点，且k个交点也互不相同，如此k 个交点把直线l分成k＋1段，每一段把它所在的平 面区域分为两部分，故新增加了k＋1个平面部 分．
考点三 用数学归纳法证明整除性
【名师点评】 运用数学归纳法证明时，两个步 骤缺一不可，步骤(1)是证明的归纳基础，步骤(2) 是证明的主体，它反映了无限递推关系．
变 式 训 练 1 求 证 ： (n ＋ 1)(n ＋ 2)…(n ＋ n) ＝ 2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N＋)． 证明：(1)当n＝1时，等式左边＝2， 等式右边＝2×1＝2， ∴等式成立． (2)假设n＝k(k∈N＋)等式成立， 即(k＋1)(k＋2)…(k＋k) ＝2k·1·3·5…·(2k－1)成立．
【名师点评】 用数学归纳法证明数或式的整除 性问题时，常采取加项、减项的配凑法，而配凑 的方法很多，关键是凑成n＝k时假设的形式．
变式训练3 求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋ 1整除(n∈N＋)． 证明：(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋ 1，命题显然成立． (2)假设当n＝k(k≥1)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2 ＋a＋1整除， 则当n＝k＋1时， ak＋2＋(a＋1)2k＋1
考点二 用数学归纳法证明几何问题
例2 平面上有n个圆，其中每两个圆都相交于 两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证： 这n个圆把平面分成了f(n)＝n2－n＋2部分． 【思路点拨】 用数学归纳法证明几何问题，主 要是搞清楚当n＝k＋1时比n＝k时分点增加了多 少，区域增加了几块，本题中第k＋1个圆被原来 的k个圆分成2k条弧，而每一条弧把它所在部分 分成了两部分，此时共增加了2k个部分，问题就 得到了解决．
第四讲 数学归纳法证明不等式
一 法的概念，运用数学归纳法 证明等式问题； 2．学会运用数学归纳法证明几何问题、证明整除 性等问题．
学习目标 一
数
课前自主学案
学
归 纳
课堂互动讲练
法
知能优化训练
课前自主学案
1 ． 数 学 归 纳 法 适 用 于 证 明 一 个 与 _无__限__多__个__正__整__数__ 有关的命题． 2．数学归纳法的步骤是： (1)( 归 纳 奠 基 )_验__证__当__n_＝__n_0_(_n_0为__命__题__成__立__的__起__始__自___ _然__数__)_时__命__题__成__立___； (2)(归纳递推)假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题 成立，_推__导__n_＝__k_＋__1_时__命__题__也__成__立___． (3)结论：由(1)(2)可知，命题对一切n≥n0的自然数 都成立．
例3 用数学归纳法证明 (x＋1)n＋1＋(x＋2)2n－ 1(n∈N＋)能被x2＋3x＋3整除． 【思路点拨】 证明多项式的整除问题，关键是 在(x＋1)n＋1＋(x＋2)2n－1中凑出x2＋3x＋3.
【证明】 (1)当n＝1时， (x＋1)1＋1＋(x＋2)2×1－1＝x2＋3x＋3能被x2＋3x＋3 整除，命题成立． (2)假设当n＝k(k≥1)时，(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1能 被x2＋3x＋3整除，那么 (x＋1)(k＋1)＋1＋(x＋2)2(k＋1)－1 ＝(x＋1)(x＋1)k＋1＋(x＋2)2·(x＋2)2k－1 ＝(x＋1)(x＋1)k＋1＋(x＋1)(x＋2)2k－1－(x＋1)·(x＋ 2)2k－1＋(x＋2)2(x＋2)2k－1