上海市三林中学2020年高三数学文联考试卷含解析

上海市三林中学2020年高三数学文联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知R上的连续函数g(x)满足：①当时，恒成立(为函数的导函数)；②对任意的都有，又函数满足：对任意的，都有成立。

当时，。

若关于的不等式
对恒成立,则的取值范围是（）
A、 B、 C、 D、或
参考答案：
D
略
2. 在中，三内角所对的边是且成等差数列，那么直线与直线的位置关系是 ( )（A）平行（B）垂直（C）重合（D）相交但不垂直
参考答案：
C
3. 等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=( )
A．n（n+1）B．n（n﹣1） C．D．
参考答案：
A
考点：等差数列的性质．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由题意可得a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4可得a1，代入求和公式可得．
解答：解：由题意可得a42=a2?a8，
即a42=（a4﹣4）（a4+8），
解得a4=8，
∴a1=a4﹣3×2=2，
∴S n=na1+d，
=2n+×2=n（n+1），
故选：A．
点评：本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．
4. 《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）
A. B. 6π C. 9π D. 24π
参考答案：
B
【分析】
由题意，为球的直径，求出，可得球的半径，即可求出球的表面积．
【详解】如图所示，该几何体为四棱锥．底面为矩形，
其中底面．
，，．
则该阳马的外接球的直径为．
该阳马的外接球的表面积为：．
故选：．
【点睛】本题考查了四棱锥的三视图、长方体的性质、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算
能力，属于中档题．
5. 设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为；
命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝对称，则下列的判断正确的是（）
A、p为真
B、q为假
C、q为假
D、为真
参考答案：
C
6. 若为非零实数，且，则
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
参考答案：
D
7. 设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为8，则ab的最大值为（）
A．1 B．2 C．D．4
参考答案：
C
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得到3a+14b=20，然后利用基本不等式求得ab的最大值．
解答：解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得B（）．
化z=ax+by为，
由图可知，当直线过B时，直线在y轴上的截距最大，z最大．
此时z=，即3a+14b=20．
∵a＞0，b＞0，
∴，即．
∴ab的最大值为．
故选：C．
点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了利用基本
不等式求最值，是中档题．
8. 若集合，，则………………………（）
. . .. .
. . .
参考答案：
A
略
9. 用表示a，b两数中的最小值。

若函数的图像关于直
线x=对称，则t的值为
( )
A．－2 B．2 C．－1 D．1
参考答案：
D
10. 已知函数，，则函数
的振幅为（）
A、 B、5 C、
7 D、13
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知，且，则．
参考答案：
-1
12. 用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的
奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是________（用数字作
答)．
参考答案：
解析：本小题主要考查排列组合知识。

依题先排除1和2的剩余4个元素有种方案，再向这排好的4个元素中插入1和2捆绑的整体，有种插法，
∴不同的安排方案共有种。

13. 若函数y＝ax2－2ax(a≠0)在区间[0,3]上有最大值3，则a的值是________．
参考答案：
1或－3
14. 现有6张风景区门票分配给6位游客，其中A、B风景区门票各2张，C，D风景区门票各1张，则不同的分配方式共有种（用数字作答）
参考答案：
180
略
15. （几何证明选讲选做题）如图，是圆的切线，切点为，点在圆上，
，，则圆的面积为.
参考答案：
【知识点】与圆有关的比例线段．N1
解析：∵弦切角等于同弧上的圆周角，∠BCD=60°，∴∠BOC=120°，
∵BC=2，∴圆的半径为：=2，∴圆的面积为：π?22=．故答案为：．
【思路点拨】通过弦切角，求出圆心角，结合弦长，得到半径，然后求出圆的面积．16. 如右图是一个算法的程序框图,当输出值的范围大于1时,则输入值的取值范围是 ____________ .
参考答案：
17. 从甲、乙、丙、丁四人中任选两名志愿者，则甲被选中的概率为_______.
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到.现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为.在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到.假设缆车匀
速直线运动的速度为，山路长为，经测量，，
.
（Ⅰ）求索道的长；
（Ⅱ）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（Ⅲ）为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，
乙步行的速度应控制在什么范围内？
参考答案：
∴为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，乙步行的速度应控制在范围内. …………12分
略
19. (本小题满分l2分)已知函数，∈R．
(I)讨论函数的单调性；
(Ⅱ)当时，≤恒成立，求的取值范围．
参考答案：
解：(Ⅰ)的定义域为，
若则在上单调递增，……………2分
若则由得，当时，当
时，，在上单调递增，在单调递减.所以当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在单调递减.……………4分(Ⅱ),
令,
,令,
,………………6分
,
,
.……………8分
(2),
以下论证.……………10分
,
,
,
综上所述，的取值范围是………………12分
略
20. （16分）设函数f（x）=﹣x（x∈R），其中m＞0．
（1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值；
（3）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x1，x2，且x1＜x2，若对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立，求m的取值范围．
参考答案：
【考点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（1），易得函数在所求点的斜率．
（2）当f′（x）≥0，函数单增，f′（x）≤0时单减，令f′（x）=0的点为极值点．（3）由题意属于区间[x1，x2]的点的函数值均大于f（1），由此计算m的范围．
【解答】解：（1）当，
故f'（1）=﹣1+2=1，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1．
（2）f'（x）=﹣x2+2x+m2﹣1，令f'（x）=0，解得x=1﹣m或x=1+m．
∵m＞0，所以1+m＞1﹣m，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
函数f（x）在x=1﹣m处取得极小值f（1﹣m），且f（1﹣m）=，
函数f（x）在x=1+m处取得极大值f（1+m），且f（1+m）=．
（3）由题设，，
∴方程有两个相异的实根x1，x2，
故，∵m＞0
解得m，
∵x1＜x2，所以2x2＞x1+x2=3，
故x2＞．
①当x1≤1＜x2时，f（1）=﹣（1﹣x1）（1﹣x2）≥0，而f（x1）=0，不符合题意，
②当1＜x1＜x2时，对任意的x∈[x1，x2]，都有x＞0，x﹣x1≥0，x﹣x2≤0，
则，又f（x1）=0，所以f（x）在[x1，x2]上的最小值为0，
于是对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立的充要条件是f（1）=m2﹣＜0，
解得，
∵由上m，
综上，m的取值范围是（，）．（14分）
【点评】本题较为复杂，主要考查了直线的点斜式，函数的单调性及函数的极值问题，注意掌握知识点间的关系．
21. 甲、乙两人做出拳游戏（锤子、剪刀、布），求：
(1）平局的概率；
(2）甲赢的概率；
(3）乙赢的概率.
参考答案：
甲有3种不同的出拳方法，每一种出法是等可能的，乙同样有等可能的3种不同出法.一次出拳游戏共有3×3=9种不同的结果，可以认为这9种结果是等可能的.所以一次游戏（试验）是古典概型.它的基本事件总数为9.
平局的含义是两人出法相同，例如都出了锤.甲赢的含义是甲出锤且乙出剪，甲出剪且乙出布，甲出布且乙出锤这3种情况.乙赢的含义是乙出锤且甲出剪，乙出剪且甲出布，乙出布且甲出锤这3种情况.
设平局为事件A，甲赢为事件B，乙赢为事件C.
容易得到：
(1）平局含3个基本事件（图中的△）；
(2）甲赢含3个基本事件（图中的⊙）；
(3）乙赢含3个基本事件（图中的※）.
由古典概率的计算公式，可得
P（A）；P（B）； P（C）.
22. （本小题满分12分）
对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，
随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数.
根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：
（Ⅰ）求出表中及图中的值；
240人，试估
内的人数；
（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间内的概率.
参考答案：
解（Ⅰ）由分组内的频数是4，频率是0.1知，，所以
因为频数之和为，所以，.---4分因为是对应分组的频率与组距的商，所以----------6分（Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组内的频率是，
所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为人. -------------8分
（Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有人，设在区间内的人为，在区间内的人为. 则任选人共有
，
15种情况， ---------------------------10分
而两人都在内只能是一种，所以所求概率为----12分。