2018年浙江省杭州市第七中学高二数学文上学期期末试卷含解析

2018年浙江省杭州市第七中学高二数学文上学期期末
试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. (本小题满分12分)已知关于的不等式的解集为，（1）求的值；
（2）解关于的不等式：
参考答案：
（1）由题意知且和3是方程的两个根------3分
------------------------------------------------------------6分
------------------------------------------------------------7分
（2）由（1）知不等式可化为 -------------------8分
即 -------------------10分
原不等式的解集为 ----------------12分
2. 求适合下列条件的抛物线的标准方程：
（1）过点M（﹣6，6）；
（2）焦点F在直线l：3x﹣2y﹣6=0上．
参考答案：
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（1）根据题意，分析可得要求抛物线开口向左或开口向上，进而分情况求出抛物线的方程，综合可得答案；
（2）根据题意，求出直线与坐标轴交点坐标，进而可得抛物线焦点的坐标，分别求出抛物线的方程，综合可得答案．
【解答】解：（1）抛物线过点M（﹣6，6），则其开口向左或开口向上，
若其开口向左，设其方程为y2=﹣2px，
将M（﹣6，6）代入方程可得：62=﹣2p×（﹣6），
解可得，p=3，
此时其标准方程为：y2=﹣6x，
若其开口向上，设其方程为x2=2py，
将M（﹣6，6）代入方程可得：（﹣6）2=2p×6，
解可得，p=3，
此时其标准方程为：x2=6y，
综合可得：抛物线的方程为：y2=﹣6x或x2=6y；
（2）根据题意，直线l：3x﹣2y﹣6=0与坐标轴交点为（2，0）和（0，﹣3）；
则要求抛物线的焦点为（2，0）或（0，﹣3），
若其焦点为（2，0），则其方程为y2=4x，
若其焦点为（0，﹣3），则其方程为x2=﹣6y，
综合可得：抛物线的方程为：y2=4x或x2=﹣6y．
3. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当S n取最小值时，n等于()
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
参考答案：
A
分析：条件已提供了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得．
解答：解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2×（-11）+8d=-6，解得d=2，
所以S n=-11n+×2=n2-12n=(n-6)2-36，所以当n=6时，S n取最小值．
故选A
点评：本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法
及计算能力．
4. “直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的（）A．充要条件 B．充分非必要条
件
C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件
参考答案：
C
5. 已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F2且倾角为45°的直线l交椭圆于
A、B两点，以下结论中：①△ABF1的周长为8；②原点到l的距离为1；③|AB|＝；
正确的结论有几
个
（）
A．3 B．2C．1 D．0
参考答案：
A
略
6. 若命题“”为假，且“”为假，则（）
A．或为假B．真C．假 D．不能判断的真假
参考答案：
C
略
7.
执行如图所示的程序框图，输出的s值为()
A．－3 B．－
C． D．2
参考答案：
D
8. 若曲线C：和直线只有一个公共点，那么的值为（）
A．0或 B.0或 C.或 D.0或或
参考答案：
D
9. 的值等于( )
A． B． C． D．
参考答案：
D
10. 设集合，，那么等于 ( )
A . B. C. D.
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在R上为减函数，则 ks5*/u
参考答案：
12. 已知非零向量a∥b，若非零向量c∥a，则c与b必定________．
参考答案：
平行(或共线)
13. 已知曲线的方程为为参数），过点作一条倾斜角为的直线交曲线于、两点，则的长度为
参考答案：
16
14. （ax﹣）8的展开式中x2的系数为70，则a= ．
参考答案：
±1
【考点】DC：二项式定理的应用．
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的x2的系数，再根据x2的系数为70，求得a的值．
【解答】解：（ax﹣）8的展开式中的通项公式为 T r+1=?（﹣1）r?a8﹣r?，
令8﹣=2，求得r=4，故x2的系数为?a4=70，则a=±1，
故答案为：±1．
15. 为椭圆上的点，是其两个焦点，若，则的面积是▲．
参考答案：
略
16. △ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知，a=2b，则b 的值为．
参考答案：
考点：解三角形．
专题：计算题．
分析：由c，cosC的值及a=2b，利用余弦定理即可列出关于b的方程，求出方程的解即可得到b的值．
解答：解：由c=3，cosC=，a=2b，
根据余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：
5b2﹣2b2=9，即b2=3，
所以b=．
故答案为：
点评：此题考查学生灵活运用余弦定理及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．
17. 已知m＞0，n＞0，向量=（m，1，﹣3）与=（1，n，2）垂直，则mn的最大值
为．
参考答案：
9
【考点】空间向量的数量积运算．
【分析】由已知得=m+n﹣6=0，从而m+n=6，由此利用均值定理能求出mn的最大值．【解答】解：∵m＞0，n＞0，向量=（m，1，﹣3）与=（1，n，2）垂直，
∴=m+n﹣6=0，即m+n=6，
∴mn≤（）2=9，
当且仅当m=n=3时，取等号，
∴mn的最大值为9．
故答案为：9．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本题满分13分）某大型商厦一年内需要购进电脑5 000台，每台电脑的价格为4 000元，每次订购电脑的其它费用为1 600元，年保管费用率为10%(例如，一年内平均库
存量为150台，一年付出的保管费用60 000元，则为年保管费用率)，求每次订购多少台电脑，才能使订购电脑的其它费用及保管费用之和最小？
参考答案：
设每次订购电脑的台数为x，则开始库存量为x台，经过一个周期的正常均匀
令y′＝0，解得x＝200(台)．
也就是当x＝200台时，每年订购电脑的其它费用及保管费用总费用达到最小值，最小值为80 000元．
19. （本小题满分13分）已知二次函数满足：，且关于的方程
的两实根是和3.
(Ⅰ)求的解析式；
（Ⅱ）设，且在区间上是单调函数，求实数的取值范围.参考答案：
（Ⅰ）设，则.设的两根为，则
解得，
（Ⅱ），依题意有，
20. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），以坐标原点
为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
(1)求直线l与曲线C1公共点的极坐标；
(2)设过点的直线交曲线C1于A，B两点，且AB的中点为P，求直线的斜率．
参考答案：
(1) 直线与曲线C1公共点的极坐标为，(2)-1
【分析】
(1)写出直线l和曲线的直角坐标方程，然后联立求交点坐标，化成极坐标即可;(2)写出直线的参数方程代入曲线中，利用弦中点参数的几何意义即可求解.
【详解】（1）曲线的普通方程为，
直线的普通方程为
联立方程，解得或
所以，直线与曲线公共点的极坐标为，
（2）依题意，设直线的参数方程为（为倾斜角，为参数），
代入，整理得：.
因为的中点为，则.
所以，即.
直线的斜率为-1.
【点睛】本题考查直线和圆的参数方程，考查参数的几何意义的应用，属于基础题型. 21. 已知方程x2+y2﹣2mx﹣4y+5m=0的曲线是圆C
（1）求m的取值范围；
（2）当m=﹣2时，求圆C截直线l：2x﹣y+1=0所得弦长．
参考答案：
【考点】直线与圆相交的性质；二元二次方程表示圆的条件．
【分析】（1）化简方程为圆的标准形式，然后求解m的取值范围；
（2）当m=﹣2时，求出圆的圆心与半径利用圆心到直线的距离，半径，半弦长满足的勾股定理，求圆C截直线l：2x﹣y+1=0所得弦长．
【解答】解：（1）（x﹣m）2+（y﹣2）2=m2﹣5m+4，
方程x2+y2﹣2mx﹣4y+5m=0的曲线是圆，∴m2﹣5m+4＞0．
m＜1或m＞4．
（2）设m=﹣2时，圆心C（﹣2，2），半径，
圆心到直线的距离为，
圆C截直线l：2x﹣y+1=0所得弦长为：．
22. 已知椭圆G：+ =1（b＞0）的上、下顶点和右焦点分别为M、N和F，且△MFN 的面积为4 ．
(1)求椭圆G的方程；
(2)若斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点．以AB为底作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2），求△PAB的面积．
参考答案：
（1）解：∵椭圆G：+ =1（b＞0），c2=3b2﹣b2=2b2，即c= b，
由△MFN的面积为4 ，则×2b×c=4 ，即bc=4 ，
则b=2，a2=3b2=12，
∴椭圆G的方程为：
（2）解：设直线l的方程为y=x+m，由，整理得4x2+6mx+3m2﹣12=0．①
设A（x1， y1），B（x2， y2）（x1＜x2），AB的中点为E（x0， y0），
则x0= =﹣，y0=x0+m= ，
因为AB是等腰△PAB的底边，则PE⊥AB．
∴PE的斜率k= =﹣1，解得m=﹣2，
此时方程①为4x2+12x=0，解得x1=﹣3，x2=0，
∴y1=﹣1，y2=2．
∴|AB|= =33 ．
此时，点P（﹣3，2）到直线AB：x﹣y+2=0的距离d= = ，
∴△PAB的面积S= |AB|?d= ，
△PAB的面积
【考点】椭圆的简单性质，椭圆的应用
【分析】（1）由题意方程，求得c= b，根据三角形的面积公式，求得bc=4 ，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，求得m的值，代入求得A和B的坐标，利用两点之间坐标公式及三角形的面积公式，即可求得△PAB的面积．。