关于长木板上的相对滑动问题

关于长木板上的相对滑动问题
主讲：黄冈中学教师郑成
例、质量M=4kg长木板，L=1.4m静止在光滑水平地面上，其上端右侧静置一个质量为m=1kg的小滑块，小滑块与木板间μ＝0.4，g＝10m/s2．
（1）现用恒力F作用在木板M上，为了使得m能从M上面滑落下来，问：F大小范围是什么？
（2）其它条件不变，若恒力F=22.8N，且始终作用在M上，最终使得m能从M上面滑落下来，问：m在M上面滑动的时间是多大？
（3）今用一水平力F=28N向右拉木板，要使小滑块从木板上掉下来，则此力作用时间至少要多久？
解：（1）对m最大的加速度：μmg=ma m a m=μg=4m/s2
m、M恰好不相对滑动，则F=(M＋m)a m=20N
要使m能从M上面滑下，则F>20N
（2）对M：F－μmg=Ma M a M=4.7m/s2
由
（3）分析过程：若F一直作用在M上不撤去，则对m和M，
a M==6m/s2>a m =μg=4m/s2均水平向右匀加速运动．
只要F作用时间足够长的肯定从M上掉下来，
故要使m从M上掉下来，F作用最短时间的临界条件是滑到M最左端两者具有共同速度．
解法一：设F作用时间为t，则F作用时间内
对m：a m=μg=4m/s2水平向右
v m=a m t=4t①S m=a m t2=2t2②
对M：a M==6m/s2水平向右
v M=a M t=6t③S M=a M t2=3t2④撤去力F后：a′m=μg=4m/s2向右
a′M==1m/s2水平向左
设再经时间t′达共同速度v共：
4t＋4t′=6t－t′⑤
t′=0.4t
v共=5.6t
撤去F后m、M对地向右运动位移：
滑块m从木板M上滑下来条件是：
S M＋S′m－(S m＋S′m)≥L
3t2＋2.32t2－(2t2＋1.92t2)≥L 1.4t2≥1.4t≥1.0s
解法二：相对运动法：
设F作用时间为t，在F作用过程中，M对m的运动，以m为参考系，选取向右为正方向．M相对m作初速为0的加速度为a M对m=a M－a m=6－4=2m/s2的匀加速直线运动：
S M对m=(a M－a m)t2=t2
撤去F后，M对m：v0M→m=v M－v m=a M t－a m t=2t
m对地a′m=μg=4m/s2水平向右
M对地：向左
∴a M对m=a′M－a′m＝－1－4＝－5m/s2
0.4t2＋t2≥1.4t≥1.0s。