陕西省汉中市龙岗学校2021-2022高一数学上学期期末考试试题(含解析).doc

陕西省汉中市龙岗学校2021-2022高一数学上学期期末考试试题（含
解析）
一、选择题（每小题5分，共12小题60分）
1.已知集合{|24}A x x =<<，2
{|430}B x x x =-+≤，则A B =（ ）
A. {|14}x x -<≤
B. {|14}x x -≤≤
C. {|23}x x <≤
D.
{|23}x x ≤≤
【答案】C 【解析】 【分析】
解一元二次不等式求得集合B 中元素的范围，再求两个集合的交集. 【详解】由2430x x -+≤，解得13x ≤≤，故{}|23A
B x x =<≤，所以选C.
【点睛】本小题主要考查交集的概念以及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 2.函数lg lg(53)y x x =+-的定义域是 ( ) A. [0，) B. [0，]
C. [1，)
D. [1，]
【答案】C 【解析】
要使函数有意义，需满足0530
lgx x ≥⎧⎨->⎩,解得513x ≤<,则函数的定义域为51,3⎡⎫
⎪⎢⎣⎭，故选C.
3.在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点44sin
,cos 33P ππ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
，则()cos πα+=（ ） 3
B.
12 C. 12
-
D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】
先计算出P 点坐标，然后即可知cos α的值，利用诱导公式即可求解出()cos απ+的值.
【详解】因为角α的终边经过点12P ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
，
所以cos 2α=-，所以()cos cos παα+=-=. 故选：A.
【点睛】本题考查任意角的三角函数值计算以及诱导公式的运用，难度较易.角α(非轴线角)的终边经过点(),P x y ，则
cos tan y
x
ααα=
=
=
. 4.已知向量3,12a x ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
与向量()2,2b x x =共线，则实数x 的值为（ ） A. 3- B. 3-或0
C. 0
D. 3
【答案】B 【解析】 【分析】
由向量3,12a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与向量()2
,2b x x =共线，列出方程23202x x x ⎛⎫+-= ⎪⎝
⎭，即可求解.
【详解】向量3,12a x ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
与向量()2,2b x x =共线， 则23202x x x ⎛
⎫+-= ⎪⎝
⎭，
即230x x +=， 解得0x =或3x =-； 所以实数x 的值为3-或0． 故选：B ．
【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算及向量的共线的坐标表示，其中解答中熟记向量共线的坐标表示方法是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5.函数()11
x f x e x
-=
-的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D 【解析】 【分析】
求出函数的定义域，排除选项，利用特殊值判断求解即可．
【详解】函数f （x ）11
x e x
-=-的定义域为：x ≠1，均满足，
当x ＝﹣1时，f （﹣1）2
1
1e -=+＞0，排除A 、 C ． 当x ＝2时，f （2）1
2
e =
-＞0，排除B ； 故选：D ．
【点睛】本题考查函数的图象的判断，利用函数的定义域以及特殊值是判断函数的图象的常用方法．
6.为了得到函数sin 23y x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象，只要将sin ()y x x R =∈的图象上所有的点（ ）
A. 向左平移3π
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 B. 向左平移3
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C. 向左平移
6π
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12
倍，纵坐标不变
D. 向左平移6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【答案】A 【解析】 【分析】
首先向左平移
3π
，可得sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，再横坐标缩小原来的12倍，即可确定选项. 【详解】将函数sin y x =图象向左平移
3
π
个单位后所得到的函数图象对应的解析式为sin 3y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，
所得到的函数图象对应的解析式为sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭．
故选：A ．
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数性质，属于基础题；图象的伸缩变换的规律：（1）把函数()y f
x ω=的图像向左平移(0)h h >个单位长度，则所得图像对应
的解析式为()y f x h ω⎡⎤=+⎣⎦，遵循“左加右减”；（2）把函数()y f x =图像上点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的ω倍（0>ω），那么所得图像对应的解析式为1
y f x ω⎛⎫=
⎪⎝⎭
. 7.下列函数()f x 中，满足“对任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <都有()()12f x f x >”的是（ ）
A. ()f x =
B. ()2x
f x -=
C. ()ln f x x =
D.
3()f x x =
【答案】B 【解析】 【分析】
对任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <都有()()12f x f x >”，可知函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，结合选项即可判断．
【详解】解：“对任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <都有()()12f x f x >”， ∴函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，
结合选项可知，()f x =
(0,)+∞单调递增，不符合题意，
1()2
2x
x
f x -⎛⎫
== ⎪⎝⎭
在(0,)+∞单调递减，符合题意， ()ln f x x =在(0,)+∞单调递增，不符合题意，
3()f x x =在(0,)+∞单调递增，不符合题意，
故选：B ．
【点睛】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题．
8.已知函数()()1,0
22,0x
x f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩
，则
21log 5f ⎛
⎫= ⎪⎝
⎭（）
A.
5
16
B.
54
C.
52
D. 5
【答案】A 【解析】 【
分析】
先判断自变量的范围是分段函数的某一段，再代入相应的解析式中求函数的值. 【详解】
2
2221
114log 0,log log 2log 5
555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<∴=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，
2
2224
4416log 0,log log 2log 5
555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫<∴=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，
()
2
2216
log 516
log 5
log 1165
2216
1615log 0,log 2
2
5
5216
f
⎛⎫ ⎪
-⎝⎭
⎛⎫⎛⎫>∴====
⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭， 故选A.
【点睛】本题考查分段函数和对数运算，属于基础题.
9.如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点403，π⎛⎫
⎪⎝⎭
中心对称，那么|φ|的最小值为( )
A.
6
π B. 4
π
C.
3
π D.
2
π 【答案】A 【解析】 【分析】
利用函数的对称中心，求出ϕ的表达式，然后确定|
ϕ |的最小值． 【详解】∵函数y ＝3cos （2x + ϕ）的图象关于点403，π⎛⎫
⎪⎝⎭
中心对称， ∴4232k ππϕπ⋅
+=+，得136k πϕπ=-，k ∈Z ，由此得||6
min πϕ=． 故选A.
【点睛】本题是基础题，考查三角函数中余弦函数的对称性，考查计算能力，对于k 的取值，
确定|
ϕ |的最小值，是基本方法． 10.已知函数||2
()x f x e x =+，若(21)()f x f x -≥，则实数x 的取值范围为（ ）
A. 1,[1,)3
⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝
⎦
B. 1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C. 1,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
D.
1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
函数()f x 为偶函数，由(21)()f x f x -≥，可得(|21|)(||)f x f x -≥，再结合单调性，解不等式|21|||x x -≥，即可求出x 的取值范围.
【详解】()f x 是R 上的偶函数，当0x ≥时，()f x 在[0,)+∞上是增函数， ∴由(21)()f x f x -≥得，(|21|)(||)f x f x -≥， ∴|21|||x x -≥， ∴()2
221x x -≥，解得1
3
x
或1x ≥，
∴实数x 的取值范围为1,[1,)3
⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝
⎦
．
故选：A ．
【点睛】本题考查函数的奇偶性以及单调性，若函数()y f x =为偶函数，则常用的技巧为
()()f x f x =，再结合函数在[)0,+∞上的单调性，解不等式即可求出参数的值或者范围，
考查了运算求解能力. 11.若函数1
()ln f x x a x
=-
+在区间(1)e ，上存在零点，则常数a 的取值范围为（ ） A. 01a <<
B.
1
1a e
<< C.
1
11a e
-<< D.
1
11a e
+<< 【答案】C 【解析】 【分析】
函数f(x)在定义域内单调递增，由零点存在性定理可知()()10,0f f e <>，解不等式即可求得a 的取值范围. 【详解】函数1
()ln f x x a x
=-
+在区间()1,e 上为增函数， ∵(1)ln110f a =-+<，1
()ln 0f e e a e
=-
+>， 可得
1
11a e
-<< 故选：C ．
【点睛】本题主要考查了导数在函数零点存在性问题中的应用，对于零点存在性问题，有两种思考方向：（1）直接利用导数研究函数单调性，结合零点存在性定理，讨论函数零点的情况；（2）先将函数零点问题等价转化为两个函数图像的交点问题，再利用导数，并结合函数图像讨论两函数交点情况，从而确定函数零点的情况.
12.将函数sin 26y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象向右平移
3
π
个单位，在向上平移一个单位，得到g （x ）的图象．若g （x 1）g （x 2）＝4，且x 1，x 2∈[﹣2π，2π]，则x 1﹣2x 2的最大值为（ ） A.
92
π B.
72
π C.
52
π
D.
32
π 【答案】A 【解析】 【分析】
由题意利用函数()y Asin ωx φ=+的图象变换规律，得到()g x 的解析式，再利用余弦函数的图象的值域，求出1x ，2x 的值，可得12x 2x -的最大值． 【详解】将函数sin 26y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭的图象向右平移3
π
个单位，再向上平移一个单位， 得到g （x ）＝sin （2x ﹣
23π+6
π
）+1＝﹣cos2x+1 的图象， 故g （x ）的最大值为2，最小值为0，
若g （1x ）g （2x ）＝4，则g （1x ）＝g （2x ）＝2，或g （1x ）＝g （2x ）＝﹣2（舍去）． 故有 g （1x ）＝g （2x ）＝2，即 cos21x ＝cos22x ＝﹣1，
又1x ，x 2∈[﹣2π，2π]，∴21x ，22x ∈[﹣4π，4π]，要使1x ﹣22x 取得最大值， 则应有 21x ＝3π，22x ＝﹣3π， 故 1x ﹣22x 取得最大值为32π+3π＝92
π
． 故选A ．
【点睛】本题主要考查函数()y Asin ωx φ=+的图象变换规律，余弦函数的图象的值域，属于中档题．
二、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13.已知向量(2,),(4,2)a m b ==-，且()()a b a b +⊥-，则实数m =______． 【答案】4± 【解析】 【分析】
由已知可得()()0a b a b +⋅-=，带入坐标即可求出实数m 的值. 【详解】∵()()a b a b +⊥-，
∴2()()41640a b a b a b m +⋅-=-=+--=，解得4m =±．
【点睛】本题考查向量的垂直，若向量1122(,),(,),a x y b x y a b ==⊥，则可得
12120x x y y +=，解方程即可求解，掌握向量的平行、垂直的等价形式是解题的关键.
14.若扇形的周长是8cm ，面积24cm ，则扇形圆心角的弧度数的绝对值为__________rad ． 【答案】2 【解析】 【分析】
设半径为cm r ，弧长cm l ，可得面积S 和周长的表达式，解方程组即可求解. 【详解】设扇形的半径为cm r ，弧长cm l ，面积为2cm S ，则
1
(82)42
S r r =-=，2440r r -+=，2r
，4l
，||2l
r
α=
=． 【点睛】本题考查扇形的弧度数，掌握扇形的周长与面积公式是关键，属于基础题.
15.已知幂函数n
y mx =(,)m n R ∈的图象经过点(4,2)，则m n -=_______．
【答案】
12
【解析】 【分析】
利用幂函数的定义可得1m =，再利用幂函数的图象过点(4,2)可求得n 的值，则答案可得. 【详解】由n
y mx =是幂函数，可得1m =. 由n
y x =的图象经过点(4,2)，可得2=4n ，解得12
n =. 所以11122
m n -=-=. 故答案为
12
. 【点睛】本题考查幂函数，利用定义求解即可，是一道基础题.
16.在ABC ∆中，角A 为
3
π
，角A 的
平分线AD 交BC 于点D ，已知23AD =，且1()3
AB AD AC R λλ=-∈，则AB 在AD 方向上的投影是_____．
【答案】
33
【解析】 【分析】
先根据1
()3
AB AD AC R λλ=-
∈得出四边形AFDE 为菱形，从而可得3AB =,进而可求AB 在AD 方向上的投影.
【详解】由13AB AD AC λ=-
可得：1
3
AD AB AC λ=+， ∵B ，C ，D 三点共线，故1
13
λ+=，即23λ=．
∴21
33
AD AB AC =
+． 以A 为原点，以AB 为x 轴建立平面直角坐标系如图所示，则(3,3)D ，
设(,0)B m ，(3)C n n ，
由2133AD AB AC =+得：2133333n π⎧
=+⎪⎪
⎪=⎪⎩
，解得3m =，3n =．
故(3,0)B ，
∴AB 在AD 上的投影为33
|cos30AB ︒=
33
．
【点睛】本题主要考查平面向量的应用，明确向量的运算规则是求解的关键，数形结合能简化运算过程，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.计算（1）14
1lg 2lg 2016-⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
；
（2）解方程：1
12
28
x x +-=
【答案】（1）3（2）3x =- 【解析】 【分析】
（1）根据对数运算公式和法则即可求出结果. （2）先将原式化简成()32
212x
--=，再根据指数函数的性质即可求出结果.
【详解】（1）原式20
2lg
2lg1032
=+=+= （2）1
1
2
26
x x +-=
32(21)2x --=
322x -=
∴3x =-
【点睛】本题考查了指数幂运算及对数运算，熟练掌握指数幂运算及对数运算公式是解题关键，属于基础题．
18.已知向量(sin ,1),(1,cos )a b αα== （1）若34
π
α=
，求||a b +的值； （2）若1
5
a b ⋅=-，(0,)απ∈，求sin()2sin 2ππαα⎛⎫
+++ ⎪⎝⎭
的值．
【答案】（12）11
5
【解析】 【分析】
（1）运用坐标求出a b +，再由向量的模长公式即可求出||a b +的值； （2）由已知可求得1
sin cos 5
αα+=-，再由22sin cos 1αα+=，可求得sin α，cos α的值，再运用诱导公式即可求值.
【详解】解：（1）34π
α=时，2,1a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21,b ⎛=- ⎝⎭
，
∴21a b ⎛+=+
- ⎝⎭
，
∴||1a b ⎛+=+=
（2）∵15
a b ⋅=-， ∴1sin cos 5
αα+=-， ∴1cos sin 5
αα=--
， ∴2
21sin sin 15αα⎛
⎫++= ⎪⎝
⎭，且(0,)απ∈，∴sin 0α>，
∴解得3
sin 5α=
，4cos 5
α=-， ∴3811sin()2sin sin 2cos 2555ππαααα⎛⎫
+++=-+=--=-
⎪⎝⎭
．
【点睛】本题考查了向量的模的运算、向量的数量积运算及三角函数的诱导公式，属中档题. 19.已知函数()2
21f x x ax =-+在区间[]2,3上的最小值为1.
（1）求a 的值； （2）若存在0x 使得不等式
()333x x x
f k <⋅在[]1,1x ∈-成立，求实数k 的取值范围.
【答案】（1）1；（2）()0,∞+. 【解析】
【分析】
（1）二次函数写出对称轴，分2a <，23a ≤≤，3a >三种情况讨论即可求出最小值，根据最小值
1，写出a （2）分离参数可得2
111233x x k ⎛⎫+-⋅< ⎪⎝⎭
，令13x t =，换元后求最小值，只需k 大于最小值即可.
【
详解】（1）()()2
21f x x a a =-+-.
当2a <时，()()min 2541f x f a ==-=，解得1a =；
当23a ≤≤时，()()2
min 11f x f a a ==-=，解得0a =不符合题意；
当3a >时，()()min 31061f x f a ==-=，解得3
2
a =
，不符合题意. 综上所述，1a =. （2）因为
()2332313
3
33x x x x
x x
x
f k k -⋅+<⋅⇒<⋅， 可化为2
111233x x k ⎛⎫+-⋅< ⎪⎝⎭
， 令1
3
x t =
，则221k t t >-+. 因[]1,1x ∈-，故1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣
⎦
.故不等式221k t t >-+在1
,33
t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
上有解.
记()()2
2
211h t t t t =-+=-，1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，故()()min 10h t h ==， 所以k 的取值范围是()0,∞+.
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，分类讨论，分离参数，不等式有解问题，属于中档题.
20.已知函数(
)24f x x π⎛
⎫=
- ⎪⎝
⎭，x ∈R ．
（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数()f x 在区间,82ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值.
【答案】（1）最小正周期为π，单调递增区间为()3,88k k k Z ππ
ππ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
；
（2）函数()f x 在区间,82ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，此时8x π=；最小值为1-，此时2x π
=.
【解析】 【分析】
（1）由余弦型函数的周期公式可计算出函数()y f x =的最小正周期，解不等式
()2224
k x k k Z π
πππ-+≤-
≤∈，可得出函数()y f x =的单调递增区间；
（2）由,82x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
，计算出24x π-的取值范围，然后利用余弦函数的性质可得出函数
()y f x =的最大值和最小值，并可求出对应的x 的值.
【详解】（1）
()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，所以，该函数的最小正周期为22T π
π==.
解不等式()2224
k x k k Z π
πππ-+≤-
≤∈，得()388
k x k k Z ππ
ππ-
+≤≤+∈. 因此，函数()y f x =最小正周期为π，单调递增区间为()3,88k k k Z π
π
ππ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
； （2）
,82x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦，32244x πππ∴-≤-≤.
当204
x π
-=时，即当8
x π=
时，函数()y f x =取得最大值，即()max f x =
当3244
x π
π-
=
时，即当2x π
=时，函数()y f x =取得最小值，即
()
min 314
f x π
==-.
【点睛】本题考查余弦型函数周期、单调区间以及最值的计算，解题时要充分利用余弦函数的图象与性质进行计算，考查运算求解能力，属于基础题.
21.已知某帆船中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y （米）可看作时间(024)t t ≤≤（单位：小时）的函数，记作()y f t =，经过长期观测，()y f t =的曲线可近似地看成是函数
cos y A t b ω=+，下列是某日各时的浪高数据．
（1）根据以上数据，求出()y f t =的解析式； （2）为保证安全，比赛时的浪高不能高于
5
4
米，则在一天中的哪些时间可以进行比赛． 【答案】（1）1()cos 1(024)26
f t t t π
=+≤≤（2）比赛安全进行的时间段为[2,10][14,22] 【解析】 【分析】
（1）由浪高的最大值为
32，最小值为1
2
，可得A,b 的值，再由周期为12，可求得ω的值，即可求得函数的解析式； （2）由已知可得1
cos
6
2
t π
≤
，进而解不等式即可求出t 的范围. 【详解】（1）由表中数据可以看到浪高最大值为
32，最小值为12
， ∴312212b +==，
31
12222
A -
==
， 又∵相隔12小时达到一次最大值，说明周期为12， ∴212T ω
π
=
=，6
π
=
ω， 即1()cos 1(024)26
f t t t π
=
+≤≤． （2）由题意知，当5()4f t ≤
时，比赛才能进行，即15
cos 1264
t π+≤， ∴1cos
6
2t π
≤
，522()363
k t k k Z πππ
ππ+≤≤
+∈， 解得2121012()k t k k Z +≤≤+∈，
又∵[0,24]t ∈，∴当0k =时，210t ≤≤；当1k =时，1422t ≤≤，
故比赛安全进行的时间段为[2,10][14,22]
【点睛】本题考查三角函数的实际应用，若三角函数的解析式为
()()sin ,0y A x B A ϖϕ=++>,最大值为M,最小值为m,则,A B M A B m +=-+=，再由周期求得ϖ的值，由初相求得ϕ的值，考查了运算求解和建模能力，属于中档题. 22.已知函数(
)
9()log 91x
f x kx =++是偶函数． （1）求k 的值； （2）若方程1
()2
f x x b =
+有实数根，求b 的取值范围； （3）设94
()log (3)3
x
h x a a =⋅-，若函数()f x 与()h x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）1
2
k =-（2）(0,)+∞（3）{3}(1,)-+∞ 【解析】 【分析】
（1）根据函数的奇偶性得,()()x f x f x ∀∈-=-R ， 代入函数的解析式中，利用对数的运算法则得到12
k =-
；（2）将函数代入方程，将方程转化为两个函数交点的问题；通过判断函数9()log (91)x
g x x =+- 的单调性，得到其最小值，从而求得b 的取值范围为(0,)+∞ ；（3）由题意，两个函数图像有且只有一个公共点即方程有且只有一个实数根；通过讨论方程根的情况来求得参数的取值范围. 【详解】（1）∵()
f x 偶函数，∴x R ∀∈，有()()f x f x -=，
∴99log (91)log (91)x x kx kx -+-=++对x ∈R 恒成立．
∴()()()9999912log 91log 91log log 919
x x
x
x x
kx x -+=+-+=-+=-对x ∈R 恒成立， ∴(21)0k x +=
对x ∈R 恒成立，∴12
k =-
．
（2）由题意知，911
log (91)22
x
x x b +-
=+有实数根，即9log (91)x x b +-=有解． 令9()log (91)x
g x x =+-，则函数()y g x =的图象与直线y b =有交点，
()999911()log 91log log 199x x
x x g x x +⎛
⎫=+-==+ ⎪⎝⎭
．
∵1119x
+
>，∴91()log 109x g x ⎛
⎫=+> ⎪⎝⎭
， ∴b 的取值范围是(0,)+∞．
（3）由（1）知，(
)
()999911()log 91log 91log 3log 323x
x x x x f x x ⎛
⎫=+-
=+-=+ ⎪⎝
⎭， ∴由题意知14
3333
x x x a a +=⋅-有且只有一个实数根．
令3x t =，则0t >，则关于t 的方程2
4
(1)103
a t at ---=（*）有且只有一个正根． 若1a =，则3
4
t =-
，不合题意，舍去； 若1a ≠，则方程（*）的两根异号或方程有两相等正根．
方程（*）有两相等正根等价于0101a ∆=⎧⎪
-⎨>⎪-⎩，可解得3a =-．
方程（*）的两根异号等价于0
101
a ∆>⎧⎪
-⎨<⎪-⎩，可解得1a >．
综上所述，实数a 的取值范围是{3}
(1,)-+∞．
【点睛】本题考查了函数的奇偶性，考查了对数运算法则，考查了函数和方程之间的关系，以及由方程的根求参数的范围，属于综合题.。