陕西省汉中市龙岗学校2021-2022高一数学上学期期末考试试题(含解析).doc

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陕西省汉中市龙岗学校2021-2022高一数学上学期期末考试试题(含
解析)
一、选择题(每小题5分,共12小题60分)
1.已知集合{|24}A x x =<<,2
{|430}B x x x =-+≤,则A B =( )
A. {|14}x x -<≤
B. {|14}x x -≤≤
C. {|23}x x <≤
D.
{|23}x x ≤≤
【答案】C 【解析】 【分析】
解一元二次不等式求得集合B 中元素的范围,再求两个集合的交集. 【详解】由2430x x -+≤,解得13x ≤≤,故{}|23A
B x x =<≤,所以选C.
【点睛】本小题主要考查交集的概念以及运算,考查一元二次不等式的解法,属于基础题. 2.函数lg lg(53)y x x =+-的定义域是 ( ) A. [0,) B. [0,]
C. [1,)
D. [1,]
【答案】C 【解析】
要使函数有意义,需满足0530
lgx x ≥⎧⎨->⎩,解得513x ≤<,则函数的定义域为51,3⎡⎫
⎪⎢⎣⎭,故选C.
3.在平面直角坐标系中,若角α的终边经过点44sin
,cos 33P ππ⎛⎫ ⎪⎝

,则()cos πα+=( ) 3
B.
12 C. 12
-
D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】
先计算出P 点坐标,然后即可知cos α的值,利用诱导公式即可求解出()cos απ+的值.
【详解】因为角α的终边经过点12P ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭

所以cos 2α=-,所以()cos cos παα+=-=. 故选:A.
【点睛】本题考查任意角的三角函数值计算以及诱导公式的运用,难度较易.角α(非轴线角)的终边经过点(),P x y ,则
cos tan y
x
ααα=
=
=
. 4.已知向量3,12a x ⎛⎫
=+ ⎪⎝

与向量()2,2b x x =共线,则实数x 的值为( ) A. 3- B. 3-或0
C. 0
D. 3
【答案】B 【解析】 【分析】
由向量3,12a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与向量()2
,2b x x =共线,列出方程23202x x x ⎛⎫+-= ⎪⎝
⎭,即可求解.
【详解】向量3,12a x ⎛⎫
=+
⎪⎝

与向量()2,2b x x =共线, 则23202x x x ⎛
⎫+-= ⎪⎝
⎭,
即230x x +=, 解得0x =或3x =-; 所以实数x 的值为3-或0. 故选:B .
【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算及向量的共线的坐标表示,其中解答中熟记向量共线的坐标表示方法是解答本题的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题. 5.函数()11
x f x e x
-=
-的图象大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】D 【解析】 【分析】
求出函数的定义域,排除选项,利用特殊值判断求解即可.
【详解】函数f (x )11
x e x
-=-的定义域为:x ≠1,均满足,
当x =﹣1时,f (﹣1)2
1
1e -=+>0,排除A 、 C . 当x =2时,f (2)1
2
e =
->0,排除B ; 故选:D .
【点睛】本题考查函数的图象的判断,利用函数的定义域以及特殊值是判断函数的图象的常用方法.
6.为了得到函数sin 23y x π⎛

=+ ⎪⎝

的图象,只要将sin ()y x x R =∈的图象上所有的点( )
A. 向左平移3π
个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变 B. 向左平移3
π
个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
C. 向左平移

个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12
倍,纵坐标不变
D. 向左平移6
π
个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 【答案】A 【解析】 【分析】
首先向左平移

,可得sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭,再横坐标缩小原来的12倍,即可确定选项. 【详解】将函数sin y x =图象向左平移
3
π
个单位后所得到的函数图象对应的解析式为sin 3y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍,
所得到的函数图象对应的解析式为sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
故选:A .
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数性质,属于基础题;图象的伸缩变换的规律:(1)把函数()y f
x ω=的图像向左平移(0)h h >个单位长度,则所得图像对应
的解析式为()y f x h ω⎡⎤=+⎣⎦,遵循“左加右减”;(2)把函数()y f x =图像上点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的ω倍(0>ω),那么所得图像对应的解析式为1
y f x ω⎛⎫=
⎪⎝⎭
. 7.下列函数()f x 中,满足“对任意12,(0,)x x ∈+∞,且12x x <都有()()12f x f x >”的是( )
A. ()f x =
B. ()2x
f x -=
C. ()ln f x x =
D.
3()f x x =
【答案】B 【解析】 【分析】
对任意12,(0,)x x ∈+∞,且12x x <都有()()12f x f x >”,可知函数()f x 在(0,)+∞上单调递减,结合选项即可判断.
【详解】解:“对任意12,(0,)x x ∈+∞,且12x x <都有()()12f x f x >”, ∴函数()f x 在(0,)+∞上单调递减,
结合选项可知,()f x =
(0,)+∞单调递增,不符合题意,
1()2
2x
x
f x -⎛⎫
== ⎪⎝⎭
在(0,)+∞单调递减,符合题意, ()ln f x x =在(0,)+∞单调递增,不符合题意,
3()f x x =在(0,)+∞单调递增,不符合题意,
故选:B .
【点睛】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断,属于基础试题.
8.已知函数()()1,0
22,0x
x f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩
,则
21log 5f ⎛
⎫= ⎪⎝
⎭()
A.
5
16
B.
54
C.
52
D. 5
【答案】A 【解析】 【
分析】
先判断自变量的范围是分段函数的某一段,再代入相应的解析式中求函数的值. 【详解】
2
2221
114log 0,log log 2log 5
555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<∴=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭,
2
2224
4416log 0,log log 2log 5
555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫<∴=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭,
()
2
2216
log 516
log 5
log 1165
2216
1615log 0,log 2
2
5
5216
f
⎛⎫ ⎪
-⎝⎭
⎛⎫⎛⎫>∴====
⎪ ⎪

⎭⎝⎭, 故选A.
【点睛】本题考查分段函数和对数运算,属于基础题.
9.如果函数y =3cos(2x +φ)的图象关于点403,π⎛⎫
⎪⎝⎭
中心对称,那么|φ|的最小值为( )
A.
6
π B. 4
π
C.
3
π D.
2
π 【答案】A 【解析】 【分析】
利用函数的对称中心,求出ϕ的表达式,然后确定|
ϕ |的最小值. 【详解】∵函数y =3cos (2x + ϕ)的图象关于点403,π⎛⎫
⎪⎝⎭
中心对称, ∴4232k ππϕπ⋅
+=+,得136k πϕπ=-,k ∈Z ,由此得||6
min πϕ=. 故选A.
【点睛】本题是基础题,考查三角函数中余弦函数的对称性,考查计算能力,对于k 的取值,
确定|
ϕ |的最小值,是基本方法. 10.已知函数||2
()x f x e x =+,若(21)()f x f x -≥,则实数x 的取值范围为( )
A. 1,[1,)3
⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝

B. 1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C. 1,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝

D.
1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
函数()f x 为偶函数,由(21)()f x f x -≥,可得(|21|)(||)f x f x -≥,再结合单调性,解不等式|21|||x x -≥,即可求出x 的取值范围.
【详解】()f x 是R 上的偶函数,当0x ≥时,()f x 在[0,)+∞上是增函数, ∴由(21)()f x f x -≥得,(|21|)(||)f x f x -≥, ∴|21|||x x -≥, ∴()2
221x x -≥,解得1
3
x
或1x ≥,
∴实数x 的取值范围为1,[1,)3
⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝


故选:A .
【点睛】本题考查函数的奇偶性以及单调性,若函数()y f x =为偶函数,则常用的技巧为
()()f x f x =,再结合函数在[)0,+∞上的单调性,解不等式即可求出参数的值或者范围,
考查了运算求解能力. 11.若函数1
()ln f x x a x
=-
+在区间(1)e ,上存在零点,则常数a 的取值范围为( ) A. 01a <<
B.
1
1a e
<< C.
1
11a e
-<< D.
1
11a e
+<< 【答案】C 【解析】 【分析】
函数f(x)在定义域内单调递增,由零点存在性定理可知()()10,0f f e <>,解不等式即可求得a 的取值范围. 【详解】函数1
()ln f x x a x
=-
+在区间()1,e 上为增函数, ∵(1)ln110f a =-+<,1
()ln 0f e e a e
=-
+>, 可得
1
11a e
-<< 故选:C .
【点睛】本题主要考查了导数在函数零点存在性问题中的应用,对于零点存在性问题,有两种思考方向:(1)直接利用导数研究函数单调性,结合零点存在性定理,讨论函数零点的情况;(2)先将函数零点问题等价转化为两个函数图像的交点问题,再利用导数,并结合函数图像讨论两函数交点情况,从而确定函数零点的情况.
12.将函数sin 26y x π⎛⎫
=+
⎪⎝

的图象向右平移
3
π
个单位,在向上平移一个单位,得到g (x )的图象.若g (x 1)g (x 2)=4,且x 1,x 2∈[﹣2π,2π],则x 1﹣2x 2的最大值为( ) A.
92
π B.
72
π C.
52
π
D.
32
π 【答案】A 【解析】 【分析】
由题意利用函数()y Asin ωx φ=+的图象变换规律,得到()g x 的解析式,再利用余弦函数的图象的值域,求出1x ,2x 的值,可得12x 2x -的最大值. 【详解】将函数sin 26y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭的图象向右平移3
π
个单位,再向上平移一个单位, 得到g (x )=sin (2x ﹣
23π+6
π
)+1=﹣cos2x+1 的图象, 故g (x )的最大值为2,最小值为0,
若g (1x )g (2x )=4,则g (1x )=g (2x )=2,或g (1x )=g (2x )=﹣2(舍去). 故有 g (1x )=g (2x )=2,即 cos21x =cos22x =﹣1,
又1x ,x 2∈[﹣2π,2π],∴21x ,22x ∈[﹣4π,4π],要使1x ﹣22x 取得最大值, 则应有 21x =3π,22x =﹣3π, 故 1x ﹣22x 取得最大值为32π+3π=92
π
. 故选A .
【点睛】本题主要考查函数()y Asin ωx φ=+的图象变换规律,余弦函数的图象的值域,属于中档题.
二、填空题(每小题5分,共4小题20分)
13.已知向量(2,),(4,2)a m b ==-,且()()a b a b +⊥-,则实数m =______. 【答案】4± 【解析】 【分析】
由已知可得()()0a b a b +⋅-=,带入坐标即可求出实数m 的值. 【详解】∵()()a b a b +⊥-,
∴2()()41640a b a b a b m +⋅-=-=+--=,解得4m =±.
【点睛】本题考查向量的垂直,若向量1122(,),(,),a x y b x y a b ==⊥,则可得
12120x x y y +=,解方程即可求解,掌握向量的平行、垂直的等价形式是解题的关键.
14.若扇形的周长是8cm ,面积24cm ,则扇形圆心角的弧度数的绝对值为__________rad . 【答案】2 【解析】 【分析】
设半径为cm r ,弧长cm l ,可得面积S 和周长的表达式,解方程组即可求解. 【详解】设扇形的半径为cm r ,弧长cm l ,面积为2cm S ,则
1
(82)42
S r r =-=,2440r r -+=,2r
,4l
,||2l
r
α=
=. 【点睛】本题考查扇形的弧度数,掌握扇形的周长与面积公式是关键,属于基础题.
15.已知幂函数n
y mx =(,)m n R ∈的图象经过点(4,2),则m n -=_______.
【答案】
12
【解析】 【分析】
利用幂函数的定义可得1m =,再利用幂函数的图象过点(4,2)可求得n 的值,则答案可得. 【详解】由n
y mx =是幂函数,可得1m =. 由n
y x =的图象经过点(4,2),可得2=4n ,解得12
n =. 所以11122
m n -=-=. 故答案为
12
. 【点睛】本题考查幂函数,利用定义求解即可,是一道基础题.
16.在ABC ∆中,角A 为
3
π
,角A 的
平分线AD 交BC 于点D ,已知23AD =,且1()3
AB AD AC R λλ=-∈,则AB 在AD 方向上的投影是_____.
【答案】
33
【解析】 【分析】
先根据1
()3
AB AD AC R λλ=-
∈得出四边形AFDE 为菱形,从而可得3AB =,进而可求AB 在AD 方向上的投影.
【详解】由13AB AD AC λ=-
可得:1
3
AD AB AC λ=+, ∵B ,C ,D 三点共线,故1
13
λ+=,即23λ=.
∴21
33
AD AB AC =
+. 以A 为原点,以AB 为x 轴建立平面直角坐标系如图所示,则(3,3)D ,
设(,0)B m ,(3)C n n ,
由2133AD AB AC =+得:2133333n π⎧
=+⎪⎪
⎪=⎪⎩
,解得3m =,3n =.
故(3,0)B ,
∴AB 在AD 上的投影为33
|cos30AB ︒=
33

【点睛】本题主要考查平面向量的应用,明确向量的运算规则是求解的关键,数形结合能简化运算过程,侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.计算(1)14
1lg 2lg 2016-⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭

(2)解方程:1
12
28
x x +-=
【答案】(1)3(2)3x =- 【解析】 【分析】
(1)根据对数运算公式和法则即可求出结果. (2)先将原式化简成()32
212x
--=,再根据指数函数的性质即可求出结果.
【详解】(1)原式20
2lg
2lg1032
=+=+= (2)1
1
2
26
x x +-=
32(21)2x --=
322x -=
∴3x =-
【点睛】本题考查了指数幂运算及对数运算,熟练掌握指数幂运算及对数运算公式是解题关键,属于基础题.
18.已知向量(sin ,1),(1,cos )a b αα== (1)若34
π
α=
,求||a b +的值; (2)若1
5
a b ⋅=-,(0,)απ∈,求sin()2sin 2ππαα⎛⎫
+++ ⎪⎝⎭
的值.
【答案】(12)11
5
【解析】 【分析】
(1)运用坐标求出a b +,再由向量的模长公式即可求出||a b +的值; (2)由已知可求得1
sin cos 5
αα+=-,再由22sin cos 1αα+=,可求得sin α,cos α的值,再运用诱导公式即可求值.
【详解】解:(1)34π
α=时,2,1a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,21,b ⎛=- ⎝⎭

∴21a b ⎛+=+
- ⎝⎭

∴||1a b ⎛+=+=
(2)∵15
a b ⋅=-, ∴1sin cos 5
αα+=-, ∴1cos sin 5
αα=--
, ∴2
21sin sin 15αα⎛
⎫++= ⎪⎝
⎭,且(0,)απ∈,∴sin 0α>,
∴解得3
sin 5α=
,4cos 5
α=-, ∴3811sin()2sin sin 2cos 2555ππαααα⎛⎫
+++=-+=--=-
⎪⎝⎭

【点睛】本题考查了向量的模的运算、向量的数量积运算及三角函数的诱导公式,属中档题. 19.已知函数()2
21f x x ax =-+在区间[]2,3上的最小值为1.
(1)求a 的值; (2)若存在0x 使得不等式
()333x x x
f k <⋅在[]1,1x ∈-成立,求实数k 的取值范围.
【答案】(1)1;(2)()0,∞+. 【解析】
【分析】
(1)二次函数写出对称轴,分2a <,23a ≤≤,3a >三种情况讨论即可求出最小值,根据最小值
1,写出a (2)分离参数可得2
111233x x k ⎛⎫+-⋅< ⎪⎝⎭
,令13x t =,换元后求最小值,只需k 大于最小值即可.

详解】(1)()()2
21f x x a a =-+-.
当2a <时,()()min 2541f x f a ==-=,解得1a =;
当23a ≤≤时,()()2
min 11f x f a a ==-=,解得0a =不符合题意;
当3a >时,()()min 31061f x f a ==-=,解得3
2
a =
,不符合题意. 综上所述,1a =. (2)因为
()2332313
3
33x x x x
x x
x
f k k -⋅+<⋅⇒<⋅, 可化为2
111233x x k ⎛⎫+-⋅< ⎪⎝⎭
, 令1
3
x t =
,则221k t t >-+. 因[]1,1x ∈-,故1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣

.故不等式221k t t >-+在1
,33
t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
上有解.
记()()2
2
211h t t t t =-+=-,1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
,故()()min 10h t h ==, 所以k 的取值范围是()0,∞+.
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值,分类讨论,分离参数,不等式有解问题,属于中档题.
20.已知函数(
)24f x x π⎛
⎫=
- ⎪⎝
⎭,x ∈R .
(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间;
(2)求函数()f x 在区间,82ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最小值和最大值,并求出取得最值时x 的值.
【答案】(1)最小正周期为π,单调递增区间为()3,88k k k Z ππ
ππ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦

(2)函数()f x 在区间,82ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
,此时8x π=;最小值为1-,此时2x π
=.
【解析】 【分析】
(1)由余弦型函数的周期公式可计算出函数()y f x =的最小正周期,解不等式
()2224
k x k k Z π
πππ-+≤-
≤∈,可得出函数()y f x =的单调递增区间;
(2)由,82x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
,计算出24x π-的取值范围,然后利用余弦函数的性质可得出函数
()y f x =的最大值和最小值,并可求出对应的x 的值.
【详解】(1)
()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
,所以,该函数的最小正周期为22T π
π==.
解不等式()2224
k x k k Z π
πππ-+≤-
≤∈,得()388
k x k k Z ππ
ππ-
+≤≤+∈. 因此,函数()y f x =最小正周期为π,单调递增区间为()3,88k k k Z π
π
ππ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
; (2)
,82x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦,32244x πππ∴-≤-≤.
当204
x π
-=时,即当8
x π=
时,函数()y f x =取得最大值,即()max f x =
当3244
x π
π-
=
时,即当2x π
=时,函数()y f x =取得最小值,即
()
min 314
f x π
==-.
【点睛】本题考查余弦型函数周期、单调区间以及最值的计算,解题时要充分利用余弦函数的图象与性质进行计算,考查运算求解能力,属于基础题.
21.已知某帆船中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y (米)可看作时间(024)t t ≤≤(单位:小时)的函数,记作()y f t =,经过长期观测,()y f t =的曲线可近似地看成是函数
cos y A t b ω=+,下列是某日各时的浪高数据.
(1)根据以上数据,求出()y f t =的解析式; (2)为保证安全,比赛时的浪高不能高于
5
4
米,则在一天中的哪些时间可以进行比赛. 【答案】(1)1()cos 1(024)26
f t t t π
=+≤≤(2)比赛安全进行的时间段为[2,10][14,22] 【解析】 【分析】
(1)由浪高的最大值为
32,最小值为1
2
,可得A,b 的值,再由周期为12,可求得ω的值,即可求得函数的解析式; (2)由已知可得1
cos
6
2
t π

,进而解不等式即可求出t 的范围. 【详解】(1)由表中数据可以看到浪高最大值为
32,最小值为12
, ∴312212b +==,
31
12222
A -
==
, 又∵相隔12小时达到一次最大值,说明周期为12, ∴212T ω
π
=
=,6
π
=
ω, 即1()cos 1(024)26
f t t t π
=
+≤≤. (2)由题意知,当5()4f t ≤
时,比赛才能进行,即15
cos 1264
t π+≤, ∴1cos
6
2t π

,522()363
k t k k Z πππ
ππ+≤≤
+∈, 解得2121012()k t k k Z +≤≤+∈,
又∵[0,24]t ∈,∴当0k =时,210t ≤≤;当1k =时,1422t ≤≤,
故比赛安全进行的时间段为[2,10][14,22]
【点睛】本题考查三角函数的实际应用,若三角函数的解析式为
()()sin ,0y A x B A ϖϕ=++>,最大值为M,最小值为m,则,A B M A B m +=-+=,再由周期求得ϖ的值,由初相求得ϕ的值,考查了运算求解和建模能力,属于中档题. 22.已知函数(
)
9()log 91x
f x kx =++是偶函数. (1)求k 的值; (2)若方程1
()2
f x x b =
+有实数根,求b 的取值范围; (3)设94
()log (3)3
x
h x a a =⋅-,若函数()f x 与()h x 的图象有且只有一个公共点,求实数a 的取值范围. 【答案】(1)1
2
k =-(2)(0,)+∞(3){3}(1,)-+∞ 【解析】 【分析】
(1)根据函数的奇偶性得,()()x f x f x ∀∈-=-R , 代入函数的解析式中,利用对数的运算法则得到12
k =-
;(2)将函数代入方程,将方程转化为两个函数交点的问题;通过判断函数9()log (91)x
g x x =+- 的单调性,得到其最小值,从而求得b 的取值范围为(0,)+∞ ;(3)由题意,两个函数图像有且只有一个公共点即方程有且只有一个实数根;通过讨论方程根的情况来求得参数的取值范围. 【详解】(1)∵()
f x 偶函数,∴x R ∀∈,有()()f x f x -=,
∴99log (91)log (91)x x kx kx -+-=++对x ∈R 恒成立.
∴()()()9999912log 91log 91log log 919
x x
x
x x
kx x -+=+-+=-+=-对x ∈R 恒成立, ∴(21)0k x +=
对x ∈R 恒成立,∴12
k =-

(2)由题意知,911
log (91)22
x
x x b +-
=+有实数根,即9log (91)x x b +-=有解. 令9()log (91)x
g x x =+-,则函数()y g x =的图象与直线y b =有交点,
()999911()log 91log log 199x x
x x g x x +⎛
⎫=+-==+ ⎪⎝⎭

∵1119x
+
>,∴91()log 109x g x ⎛
⎫=+> ⎪⎝⎭
, ∴b 的取值范围是(0,)+∞.
(3)由(1)知,(
)
()999911()log 91log 91log 3log 323x
x x x x f x x ⎛
⎫=+-
=+-=+ ⎪⎝
⎭, ∴由题意知14
3333
x x x a a +=⋅-有且只有一个实数根.
令3x t =,则0t >,则关于t 的方程2
4
(1)103
a t at ---=(*)有且只有一个正根. 若1a =,则3
4
t =-
,不合题意,舍去; 若1a ≠,则方程(*)的两根异号或方程有两相等正根.
方程(*)有两相等正根等价于0101a ∆=⎧⎪
-⎨>⎪-⎩,可解得3a =-.
方程(*)的两根异号等价于0
101
a ∆>⎧⎪
-⎨<⎪-⎩,可解得1a >.
综上所述,实数a 的取值范围是{3}
(1,)-+∞.
【点睛】本题考查了函数的奇偶性,考查了对数运算法则,考查了函数和方程之间的关系,以及由方程的根求参数的范围,属于综合题.。

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