2019-2020学年人教A版数学必修二同步作业：单元卷2 Word版含解析

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第二章测试卷
第Ⅰ卷（选择题，共60分)
一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分)
1．下列不是直线与平面的位置关系的是（）
A．异面B．平行
C．相交D．在平面内
答案A
2．下列说法中正确的是（）
A．三点确定一个平面
B．四边形一定是平面图形
C．梯形一定是平面图形
D．平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点
答案C
解析不共线的三点确定一个平面，所以A错误;四边形的四个顶点不一定共面,所以B错误;假设两个平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点，那么这两个平面重合，所以D错误;两条平行直线确定一个平面，梯形的一组对边平行，则梯形一定是平面图形，所以C正确．3．空间有四个点,如果其中任意三个点都不在同一直线上，那么经过其中三个点的平面( ) A．可能有3个，也可能有2个B．可能有4个，也可能有3个
C．可能有3个，也可能有1个D．可能有4个，也可能有1个
答案D
解析4个点可能在同一平面内，也可能不共面，任意两点之间连线组成四面体，所以平面个数为1个或4个．
4．对于直线m,n和平面α,β能得出α⊥β的一个条件是( )
A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n,α∩β＝m，n⊂α
C．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α,n⊥β
答案C
5．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（)
A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m⊂α,则l∥m D．若l∥α，m∥α,则l∥m
答案B
解析根据定理：两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面，知B正确．6．已知a,b是不同的直线，α，β是不同的平面，在下列条件下,不能判定a⊥b的是( ) A．α⊥β，a⊥α，b⊥βB．α∥β,a⊥α，b⊂β
C．α⊥β，a∥α，b∥βD．α⊥β,a⊥α，b∥α
答案C
7．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( ）
A．30°B．45°
C．60°D．90°
答案C
解析延长CA至点M，使AM＝CA,则A1M∥C1A，∠MA1B或其补角为异面直线BA1
与AC1所成的角，连接BM，易知△BMA1为等边三角形，因此,异面直线BA1与AC1
所成的角为60°，选C。

8．已知S，A,B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1,BC
＝错误!,则球O的表面积等于( )
A．4πB．3π
C．2πD．π
答案A
解析如图,以SA，AB,BC为棱长构造长方体，得体对角线长为错误!＝2R，所以R＝1，S＝4πR2＝4π.
9．正方体ABCD－A1B1C1D1，二面角C1－AB－C的平面角等于( )
A．30°B．45°
C．60°D．90°
答案B
10．将正方形ABCD沿BD折成直二面角,M为CD的中点，则∠AMD的大小是（）
A．45°B．30°
C．60°D．90°
答案D
解析设正方形边长为a.
在△AMD中,AD＝a，AM＝错误!a，DM＝错误!，
∴AD2＝DM2＋AM2。

∴∠AMD＝90°。

11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1C1中点，则直线CE垂直于（)
A．AC B．BD
C．A1D1D．A1A
答案B
解析因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，所以可证BD⊥平面ACC1A1，又CE⊂平面ACC1A1，则CE⊥BD. 12．如图，平行四边形ABCD中,AB⊥BD,沿BD将△ABD折起，使面ABD⊥面BCD,连接AC,则在四面体A－BCD的四个面中，互相垂直的平面有( )
A．1对B．2对
C．3对D．4对
答案C
解析由AB⊥BD,面ABD⊥面BCD,可知AB⊥面BCD,从而有面ABC⊥面BCD;又CD⊥BD，面ABD⊥面BCD，故CD⊥面ABD，从而可得面ABD⊥面ACD.
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分)
13．已知二面角α－l－β的大小为60°，若直线a⊥α，直线b⊥β，则异面直线a,b所成的角是________．
答案60°
14．已知△ABC和直线l，若l⊥AB，l⊥BC,则l和AC的关系是________．
答案垂直
解析∵l⊥AB,l⊥BC，AB∩BC＝B，
∴l⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC,∴l⊥AC.
15．如图所示,四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号）．
答案①③
16．对于四面体ABCD,给出下列四个命题：
①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD;③若AB⊥AC,BD⊥CD,则BC⊥AD；④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD.
其中真命题的序号是________（写出所有真命题序号）．
答案①④
解析①中取BC中点E，连接AE，DE.
∵AB＝AC，BD＝CD，∴AE⊥BC，DE⊥BC.
∵AE∩DE＝E，∴BC⊥平面ADE，∴BC⊥AD。

④中过A向平面BCD内作垂线,垂足为O，连接BO,CO，DO，可证O为△BCD的垂心．∴BC⊥DO。

又BC⊥AO，∴BC⊥平面ADO,又AD⊂平面ADO,
∴BC⊥AD。

三、解答题(本大题共6小题，共70分）
17．(10分)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，N是BB1的中点．
求证：平面MDB1∥平面ANC。

证明如图，连接MN.
∵M,N分别是其所在棱的中点,
∴四边形AMB1N和四边形MNCD是平行四边形．
∴MB1∥AN，CN∥MD.
又∵MB1⊂平面MDB1，MD⊂平面MDB1，MB1∩MD＝M，
∴MB1∥平面ANC，MD∥平面ANC.
∴平面MDB1∥平面ANC.
18．(12分)在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB。

（1）已知AB＝BC，AE＝EC.求证：AC⊥FB；
(2）已知G，H分别是EC和FB的中点．求证:GH∥平面ABC.
证明(1）因为EF∥DB，所以EF与DB确定平面BDEF.连接DE。

因为AE＝EC，D是AC的中点,
所以DE⊥AC.
同理可得BD⊥AC。

又BD∩DE＝D,
所以AC⊥平面BDEF，
因为FB⊂平面BDEF,
所以AC⊥FB.
(2)设FC的中点为I，连接GI,HI.
在△CEF中，因为G是CE的中点,所以GI∥EF.
又EF∥DB,所以GI∥DB.
在△CFB中,因为H是FB的中点，所以HI∥BC,
又HI∩GI＝I，DB与BC是平面ABC内的两条相交线，
所以平面GHI∥平面ABC.
因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.
19．(12分)如图,在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC1的中点．求直线DE与平面ABCD 所成角的正切值．
解析过E作EF⊥BC，交BC于F,连接DF。

∵EF⊥平面ABCD，
∴∠EDF是直线DE与平面ABCD所成的角．
由题意，得EF＝错误!CC1＝1。

∵CF＝错误!CB＝1，∴DF＝错误!.
∵EF⊥DF，∴tan∠EDF＝错误!＝错误!.
20．(12分)如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝错误!,AA′
＝1,点M，N分别为A′B和B′C′的中点．
（1）证明:MN∥平面A′ACC′;
(2）求三棱锥A′－MNC的体积．
解析(1)证明：方法一：连接AB′，AC′，因为∠BAC＝90°，AB＝AC,所以三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱,所以M为AB′的中点．
又因为N为B′C′的中点,所以MN∥AC′。

又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，
因此MN∥平面A′ACC′。

方法二:取A′B′的中点P,连接MP,NP，AB′。

因为M，N分别为AB′与B′C′的中点,
所以MP∥AA′，PN∥A′C′。

所以MP∥平面A′ACC′，
PN∥平面A′ACC′.又MP∩NP＝P,
因此平面MPN∥平面A′ACC′.
又因MN⊂平面MPN，因此MN∥平面A′ACC′。

（2)方法一：连接BN,由题意A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B′BCC′＝B′C′，所以A′N⊥平面NBC。

又A′N＝错误!B′C′＝1，
故V A′－MNC＝V N－A′MC＝错误!V N－A′BC＝错误!V A′－NBC＝错误!.
方法二：V A′－MNC＝V A′－NBC－V M－NBC＝错误!V A′－NBC＝错误!.
21。

（12分)如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝
60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD，PA＝错误!.
（1）证明：平面PBE⊥平面PAB；
(2)求二面角A－BE－P的大小．
解析（1）证明：如右图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知,△BCD
是等边三角形．因为E是CD的中点,所以BE⊥CD.∵CD∥AB，∴BE⊥AB。

∵PA⊥平
面ABCD，∴PA⊥BE。

∵PA∩AB＝A，∴BE⊥平面PAB.
又∵BE⊂平面PBE，∴平面PBE⊥平面PAB。

（2）∵BE⊥平面PAB，∴BE⊥PB。

∴∠ABP是二面角A－BE－P的平面角．
在Rt△PAB中，AB＝1，PA＝错误!，tan∠ABP＝错误!,
∴∠ABP＝60°.
∴二面角A－BE－P的大小是60°.
22．（12分)一个多面体的直观图及三视图如图所示（其中M，N分别是AF，BC的中点)．
（1）求证：MN∥平面CDEF;
(2)求多面体A－CDEF的体积．
解析由三视图知该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE－BCF，且AB＝BC＝BF＝2，DE ＝CF＝2错误!，∠CBF＝90°。

(1）证明：取BF的中点G，连接MG，NG,由M，N分别为AF，BC中点,可得NG∥CF，
MG∥EF，∴面MNG∥面CDEF，∴MN∥面CDEF。

（2)取DE中点为H，连接AH，
∵AD＝AE,∴AH⊥DE。

在直三棱柱ADE－BCF中，平面ADE⊥平面CDEF,面ADE∩面CDEF＝DE，
∴AH⊥平面CDEF。

∴多面体A－CDEF是以AH为高，以矩形CDEF为底面的棱锥．
在△ADE中,AH＝错误!,S矩形CDEF＝DE·EF＝4错误!，
∴棱锥A－CDEF的体积V＝错误!S矩·AH＝错误!.
1.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB,BP
＝BC＝2,E，F分别是PB，PC的中点．
（1）证明：EF∥平面PAD;
(2)求三棱锥E－ABC的体积V.
解析(1）证明：∵在△PBC中,E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.
又BC∥AD，∴EF∥AD。

又∵AD⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，
∴EF∥平面PAD。

(2）连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G，则EG⊥平面ABCD，且EG＝错误!PA。

在△PAB中，AP＝AB，∠PAB＝90°，BP＝2，
∴AP＝AB＝错误!,EG＝错误!.
∴S△ABC＝1
2
AB·BC＝错误!×错误!×2＝错误!.
∴V E－ABC＝错误!S△ABC·EG＝错误!×错误!×错误!＝错误!。

2．已知过球面上三点A,B，C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB＝18 cm,BC＝24 cm，AC＝30 cm，求球的体积和表面积．
解析∵AB2＋BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°。

∴过A，B，C三点的截面圆的半径为错误!AC＝15(cm)．
设球的半径为R，则R2＝（错误!）2＋152.
∴R2＝300,∴R＝103(cm）．
∴V球＝错误!πR3＝4 000错误!π(cm3),
S球＝4πR2＝1 200π（cm2）．。