2019-2020学年人教A版数学必修二同步作业:单元卷2 Word版含解析

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第二章测试卷
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分)
1.下列不是直线与平面的位置关系的是()
A.异面B.平行
C.相交D.在平面内
答案A
2.下列说法中正确的是()
A.三点确定一个平面
B.四边形一定是平面图形
C.梯形一定是平面图形
D.平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点
答案C
解析不共线的三点确定一个平面,所以A错误;四边形的四个顶点不一定共面,所以B错误;假设两个平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点,那么这两个平面重合,所以D错误;两条平行直线确定一个平面,梯形的一组对边平行,则梯形一定是平面图形,所以C正确.3.空间有四个点,如果其中任意三个点都不在同一直线上,那么经过其中三个点的平面( ) A.可能有3个,也可能有2个B.可能有4个,也可能有3个
C.可能有3个,也可能有1个D.可能有4个,也可能有1个
答案D
解析4个点可能在同一平面内,也可能不共面,任意两点之间连线组成四面体,所以平面个数为1个或4个.
4.对于直线m,n和平面α,β能得出α⊥β的一个条件是( )
A.m⊥n,m∥α,n∥βB.m⊥n,α∩β=m,n⊂α
C.m∥n,n⊥β,m⊂αD.m∥n,m⊥α,n⊥β
答案C
5.设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是()
A.若l⊥m,m⊂α,则l⊥αB.若l⊥α,l∥m,则m⊥α
C.若l∥α,m⊂α,则l∥m D.若l∥α,m∥α,则l∥m
答案B
解析根据定理:两条平行线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面,知B正确.6.已知a,b是不同的直线,α,β是不同的平面,在下列条件下,不能判定a⊥b的是( ) A.α⊥β,a⊥α,b⊥βB.α∥β,a⊥α,b⊂β
C.α⊥β,a∥α,b∥βD.α⊥β,a⊥α,b∥α
答案C
7.直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )
A.30°B.45°
C.60°D.90°
答案C
解析延长CA至点M,使AM=CA,则A1M∥C1A,∠MA1B或其补角为异面直线BA1
与AC1所成的角,连接BM,易知△BMA1为等边三角形,因此,异面直线BA1与AC1
所成的角为60°,选C。

8.已知S,A,B,C是球O表面上的点,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,SA=AB=1,BC
=错误!,则球O的表面积等于( )
A.4πB.3π
C.2πD.π
答案A
解析如图,以SA,AB,BC为棱长构造长方体,得体对角线长为错误!=2R,所以R=1,S=4πR2=4π.
9.正方体ABCD-A1B1C1D1,二面角C1-AB-C的平面角等于( )
A.30°B.45°
C.60°D.90°
答案B
10.将正方形ABCD沿BD折成直二面角,M为CD的中点,则∠AMD的大小是()
A.45°B.30°
C.60°D.90°
答案D
解析设正方形边长为a.
在△AMD中,AD=a,AM=错误!a,DM=错误!,
∴AD2=DM2+AM2。

∴∠AMD=90°。

11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1C1中点,则直线CE垂直于()
A.AC B.BD
C.A1D1D.A1A
答案B
解析因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,所以可证BD⊥平面ACC1A1,又CE⊂平面ACC1A1,则CE⊥BD. 12.如图,平行四边形ABCD中,AB⊥BD,沿BD将△ABD折起,使面ABD⊥面BCD,连接AC,则在四面体A-BCD的四个面中,互相垂直的平面有( )
A.1对B.2对
C.3对D.4对
答案C
解析由AB⊥BD,面ABD⊥面BCD,可知AB⊥面BCD,从而有面ABC⊥面BCD;又CD⊥BD,面ABD⊥面BCD,故CD⊥面ABD,从而可得面ABD⊥面ACD.
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知二面角α-l-β的大小为60°,若直线a⊥α,直线b⊥β,则异面直线a,b所成的角是________.
答案60°
14.已知△ABC和直线l,若l⊥AB,l⊥BC,则l和AC的关系是________.
答案垂直
解析∵l⊥AB,l⊥BC,AB∩BC=B,
∴l⊥平面ABC,又AC⊂平面ABC,∴l⊥AC.
15.如图所示,四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号).
答案①③
16.对于四面体ABCD,给出下列四个命题:
①若AB=AC,BD=CD,则BC⊥AD;②若AB=CD,AC=BD,则BC⊥AD;③若AB⊥AC,BD⊥CD,则BC⊥AD;④若AB⊥CD,BD⊥AC,则BC⊥AD.
其中真命题的序号是________(写出所有真命题序号).
答案①④
解析①中取BC中点E,连接AE,DE.
∵AB=AC,BD=CD,∴AE⊥BC,DE⊥BC.
∵AE∩DE=E,∴BC⊥平面ADE,∴BC⊥AD。

④中过A向平面BCD内作垂线,垂足为O,连接BO,CO,DO,可证O为△BCD的垂心.∴BC⊥DO。

又BC⊥AO,∴BC⊥平面ADO,又AD⊂平面ADO,
∴BC⊥AD。

三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,N是BB1的中点.
求证:平面MDB1∥平面ANC。

证明如图,连接MN.
∵M,N分别是其所在棱的中点,
∴四边形AMB1N和四边形MNCD是平行四边形.
∴MB1∥AN,CN∥MD.
又∵MB1⊂平面MDB1,MD⊂平面MDB1,MB1∩MD=M,
∴MB1∥平面ANC,MD∥平面ANC.
∴平面MDB1∥平面ANC.
18.(12分)在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EF∥DB。

(1)已知AB=BC,AE=EC.求证:AC⊥FB;
(2)已知G,H分别是EC和FB的中点.求证:GH∥平面ABC.
证明(1)因为EF∥DB,所以EF与DB确定平面BDEF.连接DE。

因为AE=EC,D是AC的中点,
所以DE⊥AC.
同理可得BD⊥AC。

又BD∩DE=D,
所以AC⊥平面BDEF,
因为FB⊂平面BDEF,
所以AC⊥FB.
(2)设FC的中点为I,连接GI,HI.
在△CEF中,因为G是CE的中点,所以GI∥EF.
又EF∥DB,所以GI∥DB.
在△CFB中,因为H是FB的中点,所以HI∥BC,
又HI∩GI=I,DB与BC是平面ABC内的两条相交线,
所以平面GHI∥平面ABC.
因为GH⊂平面GHI,所以GH∥平面ABC.
19.(12分)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BC1的中点.求直线DE与平面ABCD 所成角的正切值.
解析过E作EF⊥BC,交BC于F,连接DF。

∵EF⊥平面ABCD,
∴∠EDF是直线DE与平面ABCD所成的角.
由题意,得EF=错误!CC1=1。

∵CF=错误!CB=1,∴DF=错误!.
∵EF⊥DF,∴tan∠EDF=错误!=错误!.
20.(12分)如图,直三棱柱ABC-A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=错误!,AA′
=1,点M,N分别为A′B和B′C′的中点.
(1)证明:MN∥平面A′ACC′;
(2)求三棱锥A′-MNC的体积.
解析(1)证明:方法一:连接AB′,AC′,因为∠BAC=90°,AB=AC,所以三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱,所以M为AB′的中点.
又因为N为B′C′的中点,所以MN∥AC′。

又MN⊄平面A′ACC′,AC′⊂平面A′ACC′,
因此MN∥平面A′ACC′。

方法二:取A′B′的中点P,连接MP,NP,AB′。

因为M,N分别为AB′与B′C′的中点,
所以MP∥AA′,PN∥A′C′。

所以MP∥平面A′ACC′,
PN∥平面A′ACC′.又MP∩NP=P,
因此平面MPN∥平面A′ACC′.
又因MN⊂平面MPN,因此MN∥平面A′ACC′。

(2)方法一:连接BN,由题意A′N⊥B′C′,平面A′B′C′∩平面B′BCC′=B′C′,所以A′N⊥平面NBC。

又A′N=错误!B′C′=1,
故V A′-MNC=V N-A′MC=错误!V N-A′BC=错误!V A′-NBC=错误!.
方法二:V A′-MNC=V A′-NBC-V M-NBC=错误!V A′-NBC=错误!.
21。

(12分)如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=
60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=错误!.
(1)证明:平面PBE⊥平面PAB;
(2)求二面角A-BE-P的大小.
解析(1)证明:如右图所示,连接BD,由ABCD是菱形且∠BCD=60°知,△BCD
是等边三角形.因为E是CD的中点,所以BE⊥CD.∵CD∥AB,∴BE⊥AB。

∵PA⊥平
面ABCD,∴PA⊥BE。

∵PA∩AB=A,∴BE⊥平面PAB.
又∵BE⊂平面PBE,∴平面PBE⊥平面PAB。

(2)∵BE⊥平面PAB,∴BE⊥PB。

∴∠ABP是二面角A-BE-P的平面角.
在Rt△PAB中,AB=1,PA=错误!,tan∠ABP=错误!,
∴∠ABP=60°.
∴二面角A-BE-P的大小是60°.
22.(12分)一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中M,N分别是AF,BC的中点).
(1)求证:MN∥平面CDEF;
(2)求多面体A-CDEF的体积.
解析由三视图知该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF,且AB=BC=BF=2,DE =CF=2错误!,∠CBF=90°。

(1)证明:取BF的中点G,连接MG,NG,由M,N分别为AF,BC中点,可得NG∥CF,
MG∥EF,∴面MNG∥面CDEF,∴MN∥面CDEF。

(2)取DE中点为H,连接AH,
∵AD=AE,∴AH⊥DE。

在直三棱柱ADE-BCF中,平面ADE⊥平面CDEF,面ADE∩面CDEF=DE,
∴AH⊥平面CDEF。

∴多面体A-CDEF是以AH为高,以矩形CDEF为底面的棱锥.
在△ADE中,AH=错误!,S矩形CDEF=DE·EF=4错误!,
∴棱锥A-CDEF的体积V=错误!S矩·AH=错误!.
1.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB,BP
=BC=2,E,F分别是PB,PC的中点.
(1)证明:EF∥平面PAD;
(2)求三棱锥E-ABC的体积V.
解析(1)证明:∵在△PBC中,E,F分别是PB,PC的中点,∴EF∥BC.
又BC∥AD,∴EF∥AD。

又∵AD⊂平面PAD,EF⊄平面PAD,
∴EF∥平面PAD。

(2)连接AE,AC,EC,过E作EG∥PA交AB于点G,则EG⊥平面ABCD,且EG=错误!PA。

在△PAB中,AP=AB,∠PAB=90°,BP=2,
∴AP=AB=错误!,EG=错误!.
∴S△ABC=1
2
AB·BC=错误!×错误!×2=错误!.
∴V E-ABC=错误!S△ABC·EG=错误!×错误!×错误!=错误!。

2.已知过球面上三点A,B,C的截面到球心O的距离等于球半径的一半,且AB=18 cm,BC=24 cm,AC=30 cm,求球的体积和表面积.
解析∵AB2+BC2=AC2,
∴△ABC是直角三角形,∠ABC=90°。

∴过A,B,C三点的截面圆的半径为错误!AC=15(cm).
设球的半径为R,则R2=(错误!)2+152.
∴R2=300,∴R=103(cm).
∴V球=错误!πR3=4 000错误!π(cm3),
S球=4πR2=1 200π(cm2).。

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