2023-2024学年重庆市渝高中学、城口中学联考高一(下)第二次质检数学试卷(含解析)

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2023-2024学年重庆市渝高中学、城口中学联考高一(下)第二次质
检数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z =1+2i
1−i (i 为虚数单位),则复数−
z 在复平面内对应的点在( )A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2.在△ABC 中,已知B =45°,C =75°,a =
3,则b =( )
A. 2
2
B. 2
C.
2
D. −
2
3.已知平面向量a ,b 满足|a |=
3,|b |=2,a ⋅b =−3,则|2a +b |=( )
A. 2
B. 4
C.
7
D. 2
7
4.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A ,B ,C 三点满足OC =34OA +14OB ,则|AC ||AB |
=( )
A. 1
3
B. 1
4
C. 2
3
D. 3
4
5.若要得到函数f (x )=sin(2x +π
6)的图象,只需将函数g (x )=cos(2x +π
3)的图象( )A. 向左平移π
6个单位长度 B. 向右平移π
6个单位长度C. 向左平移π3个单位长度
D. 向右平移π
3个单位长度
6.若用平行于某圆锥底面的平面去截该圆锥,得到的小圆锥与圆台的母线长相等,则该小圆锥与该圆台的侧面积的比值为( )A. 1
4
B. 1
3
C. 1
2
D. 3
4
7.镇国寺塔亦称西塔,是一座方形七层楼阁式砖塔,顶端塔刹为一青铜铸葫芦,葫芦表面刻有“风调雨顺、国泰民安”八个字,是全国重点文物保护单位、国家3A 级旅游景区,小胡同学想知道镇国寺塔的高度MN ,他在塔的正北方向找到一座建筑物AB ,高为7.5m ,在地面上点C 处(B ,C ,N 在同一水平面上且三点共线)测得建筑物顶部A ,镇国寺塔顶部M 的仰角分别为15°和60°,在A 处测得镇国寺塔顶部M 的仰角为30°,
则镇国寺塔的高度约为( )(参考数据:3≈1.73)
A. 31.42m
B. 33.26m
C. 35.48m
D. 37.52m
8.已知函数f(x)=cos2ωx−3sinωxcosωx+1
2
(ω>0)在区间[0,π]有且仅有2个零点,则ω的取值范围是( )
A. [4
3,7
3
) B. [8
3
,14
3
) C. [7
12
,13
12
) D. [17
12
,29
12
)
二、多选题:本题共3小题,共18分。

在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。

9.下面关于空间几何体叙述正确的是( )
A. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B. 有两个面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台
C. 正四棱柱都是长方体
D. 直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥
10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所
示,则下列结论正确的是( )
A. 函数f(x)的最小正周期为π
B. 函数y=f(x+π
6
)是偶函数
C. 点(5π
6
,0)是f(x)图象的一个对称中心
D. 函数f(x)在区间[−π
2
,0]上单调递增
11.△ABC中,下列说法正确的是( )
A. 若AB⋅BC<0,则△ABC为锐角三角形
B. 若AP=λAB
|AB|
AC
|AC|
λ∈[0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的内心
C. 若G为△ABC重心,则AG=1
3
(AB+AC)
D. 若点O满足|OA|=|OB|=|OC|,|AB|=2,|AC|=6,则AO⋅BC=16
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。

12.已知a=(1,2),b=(2,−3),c=(1,x),(a+b)⊥c,则|c|=______.
13.我国古代数学名著《九章算术》,将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四
棱锥称为“阳马”.如图所示,在长方体ABCD−A1B1C1D1中,已知AB=BC=2,
AA1=3.该“阳马”D1−ABCD的外接球的表面积______.
14.已知△ABC是边长为3的正三角形,点P是△ABC的外接圆上一点,则PA⋅(PB+PC)的最大值是______.
四、解答题:本题共5小题,共77分。

解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)
已知e1,e2是夹角为π
2
的两个单位向量,a=3e1−2e2,b=2e1−3e2.
(1)求a⋅b的值;
(2)求a与a−b的夹角的余弦值.
16.(本小题15分)
用斜二测画法画一个水平放置的平面图形ABCD,其直观图如图所示,已知A′B′=3,B′C′=1,A′D′=3,且A′D′//B′C′.
(1)求原平面图形ABCD的面积;
(2)将原平面图形ABCD绕BC旋转一周,求所形成的几何体的体积.
17.(本小题15分)
已知向量a=(sin x
2
,3),b=(1,cos x
2
),函数f(x)=a⋅b
(1)若f (x )=0,且π<x <2π,求x 的值;
(2)如f (2α+π3)=1013,f (2β+4π3)=−65,α,β∈[0,π
2],求cos(α+β)的值.18.(本小题17分)
在①(sinA−sinC )sin(A +B )=sin 2A−sin 2B ,②
3sinBcosB−12cos 2B =1,③bcosC =a−
33
csinB 这三
个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答问题.已知a ,b ,c 是△ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边,且_____.(1)求B ;
(2)若b =2,求△ABC 的周长的取值范围.19.(本小题17分)
已知O 为坐标原点,对于函数f (x )=asinx +bcosx ,称向量OM =(a ,b )为函数f (x )的伴随向量,同时称函数f (x )为向量OM 的伴随函数.
(1)设函数g (x )=sin(x +2π
3)+cos(π
2−x ),试求g (x )的伴随向量OM ;
(2)记向量ON =(1, 3)的伴随函数为f (x ),求当f (x )=6
5且x ∈(−π3,π6)时,sinx 的值;
(3)已知将(2)中的函数y =f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍,再把整个图象向右平移π
3个单位长度得到ℎ(x )的图象,若存在x ∈(0,π
2),使4ℎ(x )+1=2⋅[a−ℎ2(x )]成立,求a 的取值范围.
答案和解析1.【答案】C
【解析】解:z=1+2i
1−i =(1+2i)(1+i)
(1−i)(1+i)
=−1
2
+3
2
i,
则−
z=−1
2
−3
2
i,
故复数−
z在复平面内对应的点(−1
2
,−3
2
)在第三象限.
故选:C.
根据已知条件,对z化简,再结合共轭复数的定义,以及复数的几何意义,即可求解.本题主要考查共轭复数的定义,以及复数的几何意义,属于基础题.
2.【答案】C
【解析】解:由B=45°,C=75°,得A=180°−B−C=60°,
又a=3,由正弦定理,得
a
sinA
=b
sinB

所以b=asinB
sinA =
3×2
2
3
2
=2.
故选:C.
由题意求出A,结合正弦定理计算即可求解.
本题主要考查正弦定理在求解三角形中的应用,属于基础题.
3.【答案】A
【解析】解:因为|a|=3,|b|=2,a⋅b=−3,
所以|2a+b|=4×3−4×3+4=2.故选:A.
由模的计算公式及平面向量数量积的运算律计算即可求得.
本题考查平面向量模的求法,属于基础题.
4.【答案】B
【解析】解:由OC=3
4OA+1
4
OB,得1
4
OC+3
4
OC=3
4
OA+1
4
OB,
整理得1
4OC−1
4
OB=3
4
OA−3
4
OC,即1
4
BC=3
4
CA,可得BC=3CA,
则AB=−BA=−(BC+CA)=−4CA=4AC,所以|AC|
|AB|=|AC|
|4AC|
=1
4

故选:B.
根据题意,可得BC=3CA且AB=4AC,由此算出AB=4AC,进而求出|AC|
|AB|
的值.
本题主要考查平面向量的线性运算法则及其应用,考查概念的理解能力,属于基础题.5.【答案】D
【解析】解:函数f(x)=sin(2x+π
6
)=cos(π
2
−2x−π
6
)=cos(2x−π
3
)=cos[2(x−π
3
)+π
3
],
所以只需将函数g(x)=cos(2x+π
3
)的图象向右平移π
3
个单位长度,
即可得到函数f(x)=sin(2x+π
6
)的图象.
故选:D.
利用诱导公式化简三角函数为同名函数,然后判断函数图象平移的单位与方向.
本题考查三角函数的图象的平移以及诱导公式的应用,是基本知识的考查.
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了圆锥侧面积的计算问题,也考查了空间想象能力和运算求解能力,属于基础题.
设圆锥的底面半径为r,母线长为2l,计算该圆锥的侧面积以及截得的小圆锥的侧面积,求出圆台的侧面积,从而求出对应侧面积的比值.
【解答】
解:设圆锥的底面半径为r,母线长为2l,
则该圆锥的侧面积为S侧=1
2
×2πr×2l=2πrl,
截得的小圆锥的底面半径为1
2
r,母线长为l,
其侧面积为S′侧=1
2×πr×l=1
2
πrl,
从而圆台的侧面积为S圆台侧=S侧−S′侧=2πrl−1
2πrl=3
2
πrl,
所以两者的面积之比为S′侧
S圆台侧=
1
2
πrl
3
2
πrl
=1
3

故答案选:B.
7.【答案】C
【解析】解:由题意可得,AC=AB
sin15∘
,∠MAC=30°+15°=45°,∠ACM=180°−60°−15°=105°,∠AMC=180°−45°−105°=30°,
在△ACM中,由正弦定理可得AC
sin∠AMC =MC
sin∠MAC

可得MC=AC×2
2
1
2
=2AC,
在△MNC中,MN=MC⋅sin60°=2AC×3
2=6
2
×AB
sin15∘

又sin15°=sin(45°−30°)=sin45°cos30°−cos45°sin30°=2
2×(3
2
−1
2
)=6−2
4
,AB=7.5,
则MN=6

7.5
6−2
4
≈35.48m.
故选:C.
先表示出AC,求出∠MAC,∠ACM,∠AMC,然后在△ACM中,由正弦定理可表示出MC,在△MNC中,可表示出MN,进而得解.
本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用,考查运算求解能力,属于中档题.
8.【答案】A
【解析】解:
∵f(x)=cos2ωx−3sinωxcosωx+1
2=1+cos2ωx
2
−3
2
sin2ωx+1
2
=cos(2ωx+π
3
)+1(ω>0)在区间
[0,π]有且仅有2个零点,
∴3π≤2πω+π
3
<5π,
∴8π
3≤2πω<14π
3

∴4 3≤ω<7
3

故选:A.
化简得f(x)=cos(2ωx+π
3
)+1,利用余弦函数的性质列式计算即可求得ω的取值范围.
本题考查三角函数中的恒等变换应用,考查余弦函数的性质的应用,属于中档题.
9.【答案】CD
【解析】解:正棱锥的结构特征是:底面是正多边形,顶点在底面的射影为底面的中心,故A错误;
由棱台的定义:棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面间的部分叫做棱台,故B错误;
因为正四棱柱是底面为正方形的直棱柱,所以正四棱柱是长方体,故C正确;
直角三角形以其直角边所在直线为轴,旋转一周形成的几何体是圆锥,故D正确.
故选:CD.
由正棱锥的定义判断选项A,由棱台的定义判断选项B,由正四棱柱的定义判断选项C,由圆锥的定义即
可判断选项D.
本题考查了正四棱柱、正棱锥、棱台以及圆锥的定义,考查了逻辑推理能力与空间想象能力,属于基础题.
10.【答案】AC
【解析】解:观察函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象,可得A=2,
函数f(x)的周期T=2(7π
12−π
12
)=π=2π
ω
,解得ω=2.
又f(
π
12
)=2,
由五点作图法,得2×
π
12
+φ=π
2

解得φ=π
3
,故f(x)=2sin(2x+
π
3
),
对于A,函数f(x)的最小正周期为π,A正确;
对于B,f(x+π
6
)=2sin[2(x+π
6
)+π
3
]=2sin(2x+2π
3
),函数y=f(x+π
6
)不是偶函数,B错误;
对于C,f(5π
6)=2sin(2×5π
6

3
)=0,因此点(5π
6
,0)是f(x)图象的一个对称中心,C正确;
对于D,当x∈[−π
2
,0]时,2x+π
3
∈[−2π
3

3
],而当x=−5π
12
时,函数f(x)取得最小值,
因此函数f(x)在区间[−π
2
,0]上不单调,D错误.
故选:AC.
根据给定的函数图象,求出f(x)的解析式,再逐项判断得解.
本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,考查正弦函数性质的应用,属于中档题.11.【答案】BCD
【解析】解:若AB⋅BC<0,则BA⋅BC>0,因此角B为锐角,但△ABC不一定为锐角三角形,故A错误;
因为AB
|AB|
AC
|AC|
分别表示AB,AC方向上的单位向量,所以AB
|AB|
+AC
|AC|
的方向与∠BAC的角平分线一致.
若AP=λAB
|AB|+AC
|AC|
λ∈[0,+∞),则AP的方向与∠BAC的角平分线一致,所以点P的轨迹一定通过
△ABC的内心,故B正确;
若G为△ABC的重心,设边BC的中点为M,
则AG=2
3AM=2
3
×1
2
(AB+AC)=1
3
(AB+AC),故C正确;
设BC的中点为D,若点O满足|OA|=|OB|=|OC|,则点O为△ABC外心,于是有OD⊥BC.又|AB|=2,|AC|=6,
则AO⋅BC=(DO−DA)⋅BC=DO⋅BC−DA⋅BC=AD⋅BC
=1
2(AC+AB)⋅(AC−AB)=1
2
(AC2−AB2)=1
2
×(62−22)=16,故D正确.
故选:BCD.
根据BA⋅BC>0可确定角B为锐角,但△ABC不一定为锐角三角形,可判定A;根据单位向量、共线向量的概念可判断B;根据向量的加法运算可确定C;根据向量的数量积以及向量模的运算可确定D.
本题考查了平面向量数量积的运算,重点考查了平面向量的线性运算及投影的定义,属中档题.
12.【答案】10
【解析】解:a=(1,2),b=(2,−3),得a+b=(3,−1),而c=(1,x),且(a+b)⊥c,
因此3−x=0,解得x=3,即c=(1,3),所以|c|=12+32=10.
故答案为:10.
根据给定条件,利用向量线性运算的坐标表示,垂直关系的坐标表示求解即得.
本题主要考查向量垂直的性质,属于基础题.
13.【答案】17π
【解析】解:长方体的外接球即为四棱锥D1−ABCD的外接球,
因为AB=BC=2,AA1=3,
所以长方体的对角线长为22+22+32=17,
则长方体的外接球的半径R=17
2

即该“阳马”外接球的表面积为S=4πR2=4π×(17
2
)2=17π.
故答案为:17π.
根据长方体的外接球即为四棱锥D1−ABCD的外接球,长方体的对角线就是外接球的直径,结合球体的表面积公式求解.
本题考查几何体外接球表面积的计算,属于中档题.
14.【答案】2
【解析】解:以△ABC外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系,如图,
因为等边△ABC的边长为3,则BC
sinA
=2r⇒r=1,
设A(1,0),B(−1
2,3
2
),C(−1
2
,−3
2
),P(cosα,sinα),
则PA=(1−cosα,−sinα),PB=(−1
2−cosα,3
2
−sinα),PC=(−1
2
−cosα,−3
2
−sinα),
所以PC+PB=(−1−2cosα,−2sinα),
PA⋅(PB+PC)=(1−cosα,−sinα)⋅(−1−2cosα,−2sinα)=1−cosα,
因为−1≤cosα≤1,所以0≤1−cosα≤2;
所以PA⋅(PB+PC)的最大值为2.
故答案为:2.
建立平面直角坐标系,设点A,B,C,P的坐标,求出PA,PB,PC的坐标,利用数量积的坐标表示和辅助角公式求得PA⋅(PB+PC)为关于α的三角函数,结合正弦函数的性质即可求解.
本题主要考查平面向量的数量积运算,属于中档题.
15.【答案】解:(1)由题意知,e1,e2是夹角为π
2
的单位向量,
故e1⋅e2=|e1||e2|cos π
2
=0,
所以a⋅b=(3e1−2e2)⋅(2e1−3e2)=6e12−13e1⋅e2+6e22=12;
(2)由题意得,
|a|===13,
|a−b|==2,
所以a⋅(a−b)=a 2
−a⋅b=13−12=1,
所以cos〈a,a−b〉=a(a−b)
|a||a−b|
=
1
13×2
=26
26

即a与a−b的夹角的余弦值为26
26

【解析】(1)由题意,根据平面向量数量积的定义可得e1⋅e2=0,结合数量积的运算律计算即可求解;(2)根据数量积的运算律和向量的几何意义计算求出|a|,|a−b|,a⋅(a−b),结合数量积的定义计算即可求解.
本题考查平面向量数量积的性质及运算,属中档题.
16.【答案】解:(1)根据题意,还原平面图形ABCD,如图,
因为A′B′=3,B′C′=1,A′D′=3,且A′D′//B′C′,
所以AB=3,BC=2,AD=6,且AD//BC,AB⊥AD,
原平面图形ABCD为直角梯形,故S ABCD=(2+6)×3
2
=12;
(2)将原平面图形ABCD绕BC旋转一周,所得几何体是一个圆柱挖去一个圆锥,如图,
其中圆柱的底面半径为3,高为6,圆锥的底面半径为3,高为4,母线长为5,
所以几何体的体积为V=π×32×6−1
3
π×32×4=42π.
【解析】(1)根据直观图还原平面图形ABCD为一个直角梯形,再利用直角梯形的面积公式求解;
(2)将原平面图形ABCD绕BC旋转一周,所得几何体是一个圆柱挖去一个圆锥,再结合圆柱和圆锥的体积公式求解.
本题考查旋转体的体积计算,涉及平面图形的直观图,属于基础题.
17.【答案】解:(1)因为a=(sin1
2x,3),b=(1,cos1
2
x),
所以f(x)=a⋅b sin1
2x+3cos1
2
x,
因为f(x)=0,所以sin1
2x+3cos1
2
x=0,所以tan x
2
=−3,
又因为π<x<2π,则π
2
<x
2
<π,所以1
2
x=2π
3
,所以x=4π
3

(2)由f(x)=sin1
2x+3cos1
2
x=2(1
2
sin1
2
x+3
2
cos1
2
x)=2sin(1
2
x+π
3
),
因为f(2α+π
3
)=2sin(α+π
2
)=2cosα=10
13
,所以cosα=5
13

又因为f(2β+4π
3)=2sin(β+π)=−2sinβ=−6
5
,所以sinβ=3
5

因为α,β∈[0,π
2 ],
可得sinα=1−cos2α=1−(5
13)2=12
13
,cosβ=1−sin2β=1−(3
5
)2=4
5

所以cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=5
13×4
5
−12
13
×3
5
=−16
65

【解析】(1)由f(x)=0及数量积的坐标运算得到sin1
2x+3cos1
2
x=0,从而得到tan x
2
=−3,即可求
解;
(2)由数量积的坐标运算及三角恒等变换化简得到f(x)=2sin(1
2x+π
3
),由题意求得cosα=5
13

sinβ=3
5
,利用基本关系式,求得sinα,cosβ的值,结合两角和的余弦公式,即可求解.本题考查平面向量数量积的坐标运算及三角恒等变换的应用,属于中档题.
18.【答案】解:(1)选①,由(sinA−sinC)sin(A+B)=sin2A−sin2B,
可得(sinA−sinC)sin(A+B)=(sinA−sinB)(sinA+sinB),
因为A+B+C=π及正弦定理,可得(a−c)sinC=(a−b)(sinA+sinB),
所以(a−c)c=(a−b)(a+b),整理得a2+c2−b2=ac,
则cosB=a2+c2−b2
2ac =1
2
,因为0<B<π,所以B=
π
3

选②,由3sinBcosB−1
2cos2B=1,可得3sin2B−cos2B=2,即sin(2B−π
6
)=1,
因为0<B<π,可得−π
6
<2B−π
6
<11
6
π,所以2B−π
6

2
,即B=
π
3

选③,由bcosC=a−3
3csinB,由正弦定理得sinBcosC=sinA−3
3
sinCsinB,
即sinBcosC=sin(B+C)−3
3
sinCsinB,
即sinBcosC =sinBcosC +cosBsinC
33sinCsinB ,整理得sinC (cosB− 33
sinB )=0,因为0<C <π,sinC >0,可得cosB−
33sinB =0,即tanB = 3,因为0<B <π,所以B =π3.(2)由B =π3,b =2,可得b sinB =4 3
3
=2R ,所以周长L △ABC =a +b +c =2+4 3
3
(sinA +sinC ),又由A +B +C =π,可得A +C =2π
3,
l △ABC =2+4 33(sinA +sinC )=2+4 33(sinA +sin(2π3−A )) =2+4 3
3( 3sin(A +π6))=2+4sin (A +π6),
又因为0<A <2π3,可得π6<A +π6<5π6,所以12<sin(A +π6)≤1,
所以4<2+4sin (A +π6)≤6,所以△ABC 的周长的取值范围为(4,6].
【解析】(1)选①,根据题意,利用正弦定理得到a 2+c 2−b 2=ac ,利用余弦定理求得cosB =12,即可求解;选②,根据题意,化简得到sin(2B−π6)=1,结合三角函数的性质,即可求解;
选③,根据题意和正弦定理得到sinC (cosB−
33sinB )=0,求得tanB = 3,即可求解;(2)由题意,得到b
sinB =4 33=2R ,求得周长L △ABC =a +b +c =2+4 33
(sinA +sinC ),化简得到l △ABC =2+4sin (A +π6),结合三角函数的性质,即可求解.
本题主要考查解三角形,正余弦定理的应用,考查运算求解能力,属于中档题.
19.【答案】解(1)g (x )=−12sinx + 32cosx +sinx =12sinx + 32cosx ,
由伴随向量的定义可知,函数g (x )的OM =(12,
32);(2)依题意f (x )=sinx + 3cosx =2sin (x +π3),
当f (x )=65时,2sin (x +π3)=65,sin(x +π3)=3
5,又x ∈(−π3,π6),x +π3∈(0,π2),
所以cos(x +π3)=45,
所以sinx =sin[(x +π3)−π3]=12sin(x +π3)− 32cos(x +π3)=3−4 310;(3)由题意,可得ℎ(x )=2sin (2x−π3),
若x ∈(0,π2),则2x−π3∈(−π3,2π3),
所以ℎ(x )=2sin (2x−π3)∈(− 3,2],
令t =ℎ(x )∈(− 3,2],则4ℎ(x )+1=2⋅[a−ℎ2(x )]可化为4t +1=2⋅(a−t 2),即a =t 2+2t +1
2,
因为函数y =t 2+2t +12是开口向上,对称轴为t =−1的二次函数,
所以t ∈(− 3,−1]时,函数y =t 2+2t +12单调递减;t ∈(−1,2]时,函数y =t 2+2t +12单调递增,所以y min =(−1)2−2+12=−12,
又当t =− 3,时,y =72−2 3;当t =2时,y =172,所以y =t 2+2t +12∈[−12,17
2];
因为存在x ∈(0,π2),使4ℎ(x )+1=2⋅[a−ℎ2(x )]成立,
所以存在t ∈(− 3,2],使a =t 2+2t +12成立,因此只需a ∈[−12,17
2]. 【解析】(1)化简函数g (x ),再根据定义即可求得伴随向量OM ;
(2)根据已知条件可知sin(x +π3)=35,cos(x +π3)=45,再利用正弦的差角公式即可得解;
(3)易知ℎ(x )=2sin (2x−π3),令t ∈(− 3,2],则原问题可化为4t +1=2⋅(a−t 2),即a =t 2+2t +12,然后研究二次函数y =t 2+2t +1
2的性质即可得到答案.
本题以新定义为载体,考查了三角恒等变换,三角函数的图象及性质以及三角函数的图象变换,考查运算求解能力,属于中档题.。

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