分式的混合运算-课件
分式的混合运算
通分
例2 3 x 2 2 y y 3y y 计算：( 2 y ) x x x x 2
分式混合运算的原则：
(1)先算乘方，再算乘除，再算加减，
有括号的先算括号内的. (2)同级运算，按运算顺序进行. (3)将结果化为最简分式或整式.
例2
计算 ：
x 1 x x x 2 ( ) 2 ( ) x x 1 x 1 x 1
计算 ：
a b (1) (a b) 2 2 ba a b
1 1 1 (2) ( 1) 2 m 1 m 1 m 1
2 2
例3
计算 ：
x3 5 ( x 2) 2x 4 x 2
例4
先化简，再求值
1 a 1 ，其中a=2 1 a 1 a 2
义务教育课程标准实验教科书沪科版
(1)分式的乘除
分式乘以分式,用分子的积作为 积的分子,分母的积作为积的分母; 分式除以分式,把除式的分子、 分母颠倒位置后，与被除式相乘。
(1)分式的乘除
约分
(2)分式的加减
异分母 相加减 同分母 转化为 相加减 转化为
通分
分母不变 分子（整式）
相加减
(2)分式的加减
2
先பைடு நூலகம்简：
x2 x 1 x4 ( 2 2 ) x x 2x x 4x 4
再选取一个合适的整数x代入求值.
x3 A B 已知 ( x 2) 2 x 2 ( x 2) 2 求A、B
x3 A( x 2) B 解： 2 2 2 ( x 2) ( x 2) ( x 2) x3 Ax 2 A B 2 2 ( x 2) ( x 2)
A=1 -2A+B=3
分式的混合运算
分式的混合运算分式是数学中常见的一种表达方式，它可以表示两个数之间的比值关系。
而混合运算则是指在一个算式中混合使用了不同的运算符号，如加减乘除等。
在本文中，我们将探讨分式的混合运算及其应用。
一、基本概念在进行分式的混合运算之前，我们需要先了解几个基本概念。
1. 分子与分母：分数由分子和分母组成，分子表示被分成的份数，分母表示总的份数。
例如，分数2/3中，2是分子，3是分母。
2. 真分数和假分数：当分子小于分母时，我们称该分数为真分数；当分子大于等于分母时，我们称该分数为假分数。
例如，分数2/3是一个真分数，而分数8/5是一个假分数。
3. 分式与整数：分式是由一个整数和一个分数组成的数学表达式，其中整数部分表示整体的数量，分数部分则表达整体中的一部分。
例如，分式3 1/4中，3是整数部分，1/4是分数部分。
二、分式的加减乘除运算分式的加减乘除运算与整数的运算类似，只需注意分子和分母的相应运算。
1. 加法运算：对于两个分式的加法运算，我们需要先求出它们的通分，然后将分子相加，分母保持不变。
例如，计算1/2 + 1/3：通分后得到3/6 + 2/6 = 5/6。
2. 减法运算：对于两个分式的减法运算，我们同样需要先求出它们的通分，然后将分子相减，分母保持不变。
例如，计算2/3 - 1/4：通分后得到8/12 - 3/12 = 5/12。
3. 乘法运算：对于两个分式的乘法运算，我们只需将分子相乘，分母相乘。
例如，计算2/3 * 3/4：得到6/12，可以化简为1/2。
4. 除法运算：对于两个分式的除法运算，我们将除数的分子与被除数的分母相乘，除数的分母与被除数的分子相乘。
例如，计算2/3 ÷ 1/4：得到8/3，可以化简为2 2/3。
三、应用举例分式的混合运算在实际问题中有广泛的应用。
下面，我们通过一些实例来说明其具体应用场景。
1. 销售折扣：商场在促销活动中常常会提供折扣，以吸引顾客。
假设某商品原价为150元，现享受7折优惠，请计算折后价格。
《15.2.1.2 分式的混合运算》课件
学生板演、纠错并及时总结做题方法及应注意的地 方：①对于乘、除和乘方的混合运算，应注意运算顺序，
但在做乘方运算的同时，可将除变乘；②做乘方运算要先 确定符号．
例 3 计算： (1)ba3n2－n＋1c1 2·ba23nn－－12； (2)(xy－x2)÷x2－2xxyy＋y2·x－x2 y； (3)(a2－abb2)2÷(a－a b)2.
知识点 1：分式的乘除混合运算 1．计算：－mn2÷mn22·mn2＝( A ) A．－mn22 B．－nm3 C．－mn4 D．－n 2．计算 1÷11＋－mm·(m2－1)的结果是( B ) A．－m2－2m－1 B．－m2＋2m－1 C．m2－2m－1 D．m2－1
3．计算： (1)x÷1y÷y·1y＝____xy________； (2)（a4a－－ab2）b2 2÷a（ab＋2 b）·ba2＝__a_－b_4_b__________．
易错提示： 1．弄错乘方的意义． 2．乘、除和乘方混合运算时顺序出错．
(2)同理： (ba)3＝ba·ba·ba＝ba33； (ba)n＝ba·ba·…·ban 个＝ba··ba··……··bann个个 ＝bann.
2．分式乘方法则： 分式：(ba)n＝bann.(n 为正整数) 文字叙述：分式乘方是把分子、分母分别乘方．
3．目前为止，正整数指数幂的运算法则都有什么？
解：由x2－3xx＋1＝15知
x2－3x＋1
x≠0，∴ x ＝5，即
x－3＋1x＝5，∴x
＋1x＝8，∴x4＋xx22＋1＝x2＋1＋x12＝(x＋1x)2－1＝82－1＝63，∴x4＋xx22＋1＝
1 63
方法技能： 1．分式的乘除混合运算，先统一为乘法，再按从左到右的顺序 依次运算，有括号的先算括号里的，能约分的先约分． 2．分式乘方时，要把分式加上括号，把分子、分母分别乘方， 注意分子、分母的系数和分式本身的符号也要同时乘方． 3．分式的乘除、乘方混合运算，应先算乘方，再算乘除．
精ppt分式的混合运算
解：原式＝－xx－＋22
(2)a＋a 1·(a＋2a1)2－(a－1 1－a＋1 1)． 解：原式＝4a2a－2－4a1－2
精ppt分式的混合运算（PPT优秀课件 ）
精ppt分式的混合运算（PPT优秀课件 ）
12．(2016·巴中)先化简：x2－x2＋2xx＋1÷(x－2 1－1x)，然后再从－2<x≤2 的 范围内选取一个合适的 x 的整数值代入求值．
(2)(3ba)2·3a＋1 b－ba÷b3； 解：原式＝－3ab3＋a b2
精ppt分式的混合运算（PPT优秀课件 ）
精ppt分式的混合运算（PPT优秀课件 ）
(3)(2016·成都)(a＋a 2＋a2－1 4)÷aa－ ＋12； 解：原式＝aa－－12
(4)(2016·重庆)x2x＋2＋4x2＋x 4÷(2x－4＋xx2)． 解：原式＝x－1 2
精ppt分式的混合运算（PPT优秀课件 ）
精ppt分式的混合运算（PPT优秀课件 ） 精ppt分式的混合运算（PPT优秀课件 ）
精ppt分式的混合运算（PPT优秀课件 ）
9．(2016·北京)如果 a＋b＝2，那么代数(a－ba2)·a－a b的值是( A )
A．2
B．－2
1 C.2
D．－12
10．李明同学从家到学校的速度是 a 千米/小时，沿原路从学校返回家的速
2ab 度是 b 千米/小时，则李明同学来回的平均速度是 a＋b
(用含 a，b 的式子表示)
千米/小时．
精ppt分式的混合运算（PPT优秀课件 ）
精ppt分式的混合运算（PPT优秀课件 ）
11．(习题 6 变式)计算： (1)(2016·聊城)(xx2＋－84－x－2 2)÷x2－x－4x4＋4；
分式混合运算
分式混合运算分式混合运算是指在一个数学问题中同时涉及到整数、分数和运算符的一种计算方法。
这种运算需要我们熟练掌握分数的加减乘除运算规则，并能够根据问题的要求进行适当的运算操作。
在本文中，我们将介绍分式混合运算的基本概念和常见的运算方法。
1. 加减混合运算在加减混合运算中，我们需要将整数与分数进行相加或相减。
下面是一些例子来帮助我们理解这个概念：例子1：计算：2 + 1/4解答：首先，我们需要将2转换成分数形式，即2可以表示为8/4。
然后，进行分数相加运算，得到： 2 + 1/4 = 8/4 + 1/4 = 9/4例子2：计算：3 - 2/5解答：首先，我们需要将3转换成分数形式，即3可以表示为15/5。
然后，进行分数相减运算，得到： 3 - 2/5 = 15/5 - 2/5 = 13/52. 乘除混合运算在乘除混合运算中，我们需要将整数与分数进行相乘或相除。
下面是一些例子来帮助我们理解这个概念：例子3：计算：4 * 1/3解答：首先，我们将4转换成分数形式，即4可以表示为12/3。
然后，进行分数相乘运算，得到： 4 * 1/3 = 12/3 *1/3 = 12/9 = 4/3例子4：计算：5 ÷ 2/5解答：首先，我们将5转换成分数形式，即5可以表示为25/5。
然后，进行分数相除运算，得到： 5 ÷ 2/5 = 25/5 ÷2/5 = 25/5 * 5/2 = 125/10 = 12.53. 混合运算的综合应用在实际应用中，我们经常会遇到更复杂的混合运算问题，需要我们根据实际情况进行适当的运算操作。
下面是一个综合应用的例子：例子5：计算：3 + 1/2 - 2/3 * 4解答：首先，我们需要按照运算优先级进行计算。
根据乘除优先于加减的原则，我们需要先进行乘法运算，然后再进行加减运算。
具体步骤如下：1.计算乘法部分：2/3 * 4 = 8/32.计算加减部分：3 + 1/2 - 8/33.首先，我们需要将3和1/2转换成相同的分母。
分式混合运算
分式混合运算分式混合运算是一种算术技能，可以让学生解决复杂的算术问题。
它包括两种基本类型的算术运算：小数和分数。
本文将探讨什么是分式混合运算，它的基本原理，以及如何在学习和教学中使用分式混合运算。
什么是分式混合运算分式混合运算是指使用小数和分式（或者其他类型的分数）进行算术运算，包括加减乘除和乘幂。
在教学或学习过程中，学生需要学习如何运用这种技能，以解决复杂的算术问题。
运用这种技能，学生可以学习如何解决复杂的算术题目，这可能会有助于提高他们的思维能力，也可能会帮助他们更好地理解数学概念。
基本原理在分式混合运算的过程中，学生需要学习和理解多种算术概念，这些概念可能需要一些时间才能加以掌握，如基数，指数和小数点等。
此外，学生还需要学习一些数学术语，如除法，约分，线性等，以及一些基本的分式，如混合分式，分子分母，以及分数的加减乘除运算。
如何使用分式混合运算要使用分式混合运算，学生需要学习如何计算小数和分数之间的关系，如何计算不同分数的乘法，以及如何计算混合数字的除法。
此外，学生还需要学习如何使用指数来计算某些数字的乘方，如平方和立方。
学生还可以学习如何使用线性方程来解决算术问题，这是一种非常有用的技能，可用于解决很多具体的数学问题。
在学习和教学中使用当学生学习分式混合运算时，他们应该结合实际例子，比如说电费计算，日常消费等等，来理解分式混合运算的概念。
教师可以在课堂上设计分析性的问题来帮助学生解决算术问题，也可以使用实际的例子来提高学生的理解力。
此外，教师还可以使用软件程序，如电子框架或图形化模式，来帮助学生理解分式混合运算的概念，使学生对这些难以理解的概念有更好的理解。
结论分式混合运算是一种有用的数学技能，可以帮助学生学习如何解决复杂的算术问题。
在学习和教学分式混合运算时，学生需要学习基本的算术概念和数学术语，以及如何使用指数和线性方程来解决算术问题。
教师可以利用实际的例子和软件程序来指导学生的学习，使学生更好地理解并掌握分式混合运算技能。
分式及其运算(完整版)ppt课件
（1）x2
x 2x
(
x2
)
（分子分母都乘以 x）
（2）3x2 3xy xy
6x2
(
)
（分子分母都除以 3x）
例3（补充）判断下列变形是否正确.
（1）
a b
a2 b2
(
)
（2） b bc a ac
(c≠0)
(
)
（3） b b 1 ( )
a a 1
（4）
2x 2x 1
x x 1
(
)
（四）课堂练习
无意
-1 义 -1 0
思考：
1、第2个分式在什么情况下无意义？ 2、 这三个分式在什么情况下有意义？ 3、这三个分式在什么情况下值为零？
练习3：
A
1、归纳：对于分式 B
（1） 分式无意义的条件是 B=0 。
（2）分式有意义的条件是 B≠0
。
（3）分式的值为零的条件是 B≠0且A=0 。
2、当x ≠2 时，分式 x 有意义。 x2
5a2b2
4ab3cd
2bd .
10a2b2c2
5ac
课堂练习
练习1 计算：
（ 1 ） b a ； （ 2 ） 2b； （ 3 ） n y m y. ac a2 a m x n x
课堂练习
练习2 计算：
（1）3a 4b
196ab2 ； （2）
3xy
2y2 3x
；
（3）12xy 8x2y；（4）x y y x．
解： 即2011年与2010年相比，森林面积增长率提 高了 S 1 S 3 - S 2 2 ． S1S 2
八年级 上册
15.2 分式的运算
分式的乘方及分式乘除、乘方混合运算
初二【数学(人教版)】分式的混合运算
a b
n
=
an bn
.
初中数学
例
计算
x 2
2
y
4x y . x y 2x
计算步骤： 1.观察运算类型： 乘方、乘法、减法、除法；
2.确定运算顺序： 先乘方，再乘除，最后加减；
3.书写计算过程： 书写清晰，不跳步.
初中数学
例
计算
x 2
2
y
4x y . x y 2x
解：原式
x2 4y2
x
2x 4x
=
4x
x 2x 2
2x 4x
=
1. x2
初中数学
练习
计算
x x2
x
x
2
4x . 2x
解法2
解：原式
x
x
2
x
x
2
2x 4x
= x 2x x 2x x 2 4x x 2 4x
=
1 4
4
2x
x 2
x 22 x = 4x 2
初中数学
=
x2
4x
2
2
x
=
4
4 x
2
= 1 . x2
4a
=
a
a4
a 2
aa 2
4a
= 1.
初中数学
除法变乘法后， 能否先约分？
例
计算
a
a
2
a a
1 2
4 a2
a 2a
.
解法2
解：原式
a
2 a
a 1 a 2
a2 2a 4a
= a 2 a2 2a a 1 a2 2a a 4a a2 4a
15.《分式的混合运算》PPT课件_人教版八年级上册
.
(3b
a)(3b-a)
（2020·黄冈中考）计算：
的结果是____.
∴原式=
.
- a-3b .
a 2 3ab
课堂小结
先算乘方，再算乘除，最
分
分式的混 合运算
后算加减；若有括号，则 先算括号里面的；同级运 算，按从左到右的顺序进
式
行计算.
的
运
算 熟练运用分式的混合运算法则进行计算
拓展提升
1.先化简，再求值：
2-m 3-m
(2)
x2 x2 -2x
-
x-1 x2 -4x
4
x-4 x
.
解：(1)原式 (m 2)(2-m) 5 2m-4
2-m
3-m
9-m2 2m-4
2-m 3-m
(3-m)(3 m) 2(m-2)
2-m
3-m
(3-m)(3 m) -2(2-m) -2(3 m) -6-2m.
，其中∣x∣=2.
x 1
（2020·黄冈中考）计算：
的结果是____.
计算：
.
先算乘方，再算乘除，最后算加减；
计算：
.
解：原式
，
若有括号，则先算括号里面的；
解析：将待化简的式子按照分式的混合运算法则进行计算，然后解不等式组得到x的取值范围，在选取整数解时要注意满足分式有意义
的条解件，析否则不：能选将取该待整数.化简的式子按照分式的混合运算法则进行
在运算时，乘除是同一级运算，若没有其他附加条件（如括号等），则应按照从左到右的顺序进行计算，若有括号，则先算括号里面
的.
加减. （2）分式运算与分数运算一样，结果必须化为最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式.
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15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年2月2021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/2/272021/2/27Februar y 27, 2021
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12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/2/272021/2/272021/2/27Satur day, February 27, 2021
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第十五章 分 式
15.2 分式的运算
第5课时 分式的加减——分 式的混合运算
分式的混合运算 分式混合运算的应用
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
甲、乙两人两次在同一家粮店购买粮食（两次单 价不相同）．甲每次购粮100千克，乙每次用100元购 粮．假定甲、乙两人第一次购买粮食的单价为每千克 x元，第二次购买粮食的单价为每千克y元．若规定， 谁两次购买粮食的单价低，谁购粮方式就合算，请你 判断甲、乙两人购粮方式哪一个合算些，并说明理 由．
（来自《典中点》）
1.分式混合运算的步骤：先乘方，再乘除，最后加减， 有括号先算括号里面的．
2.分式混合运算常出现的错误：(1)运算顺序易错；(2)符 号变换易错；(3)错用分配律，只有乘法才有分配律； (4)忽视分数线的括号作用；(5)运算的结果不是最简分 式或整式．
（来自《典中点》）
3.有关分式化简求值的方法：一般是先运用分式运算 法则把分式化简为最简分式或整式，然后将已知的 数值代入求值．技巧：(1)如果所给的字母的取值比 较复杂或是以条件等式的形式给出时，一般考虑用 整体代入法；(2)当给的是几个量的比值时，采用设 参数法或倒数法．
（来自《点拨》）
解：(1)原 式 =(x1)2 x1 x x2 (x1)(x1) x2
x 1 x x1x 1 ; x 2 x 2 x2 x2
知1－讲
(2)原 式 =a a((a a 3 3))aa 3(a4 a3 2)2aa 33a4a33a33a;
(3 )原 式 = ( 11)(x4 )(x4 ) x4 x4 2
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17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/2/272021/2/272021/2/272021/2/27
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
C.a－2(a≠2)
D.－a－2(a≠±2)
知2－练
3 (2015·安徽)已知实数a，b，c满足a＋b＝ab＝c，有下 列结论： ①若c≠0，则 1 1 1; ②若a＝3，则b＋c＝9；③ ab 若a＝b＝c，则abc＝0；④若a，b，c中只有两个数相 等，则a＋b＋c＝8. 其中正确的是__________(把所有正确结论的序号都选 上)．
知识点 2 分式的混合运算的应用
知2－讲
【例3】〈四川资阳〉先化简，再求值：(a 1 )(a2 3 ),
a2
a2
其中，a满足a－2＝0.
导引：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法 则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简 结果，将a的值代入计算即可求出值．
（来自《点拨》）
解：原 式 =a(a2)1a243
a2
a2
(a1)2 a2
a2 (a1)(a1)
a1 .
a1
当a-2=0,即a=2时，原式=3.
知2－讲
（来自《点拨》）
知2－练
1
(甘肃白银)先化简，再求值：(1 其中 x 3 .
1 ) x1
x x2 1
2
2
(2014·杭州)若
41
(a2
)W1, 4 2a
则W＝(
)
A.a＋2(a≠－2)
B.－a＋2(a≠2)
知识点 1 分式的混合运算
知1－讲
1.分式的混合运算：
分式的混合运算顺序是：先乘方，后乘除，再
加减；若有括号，先算括号里面的；同级运算按从 左到右的顺序进行计算．
（来自《点拨》）
知1－讲
要点精析：
(1)注意运算顺序和解题步骤，把好符号关．
(2)进行分式混合运算时，可以根据需要合理地运用运算律 来简化运算，此时先将分式的乘除法统一成乘法，分式
a ab
B. 2 1
2a b a b
D. a a
ab ab
知1－练
3 计算 1 x211(x1) 的结果是（
）
x2
A.
x1
B. x 2
x1
C. x 2
x1
D. 1
x1
4
(中考·泰安)
计算
2
21
x1(x2
) 1 x1
的结果
是（ ）
A. 2
2
B. x 1
2
C.
x1
D. －2
（来自《典中点》）
4a2 1 a 4
b2
ab b b
b2(4 a a 2b)4 ba 2b2(4 a a 2b)4 ba 2((a a b b))
4a2 4a2 4ab b2(a b)
4ab b2(a b)
4a ab b2
.
（来自教材）
知1－讲
式与数有相同的混合运算顺序：先乘 方，再乘除，然后加减.
x4x4x. 22
（来自《点拨》）
知1－讲
在进行分式的混合运算时，应先算乘 方，再算乘除，最后算加减，有括号的要 先算括号里面的．
（来自《点拨》）
知1－练
1 写出第15.2.2节中问题3和问题4的计算结果.
2 (2015·益阳) 下列等Fra bibliotek成立的是（ ）
A. 1 2 3
a b ab
C.
ab ab b2
（来自《典中点》）
必做：
1.完成教材P142练习T2，完成教材P146 习题 15.2T6
2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题
•
9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/2/272021/2/27Saturday, February 27, 2021
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021 7:57:21 PM
的加减法统一成加法，才能使用乘法运算律、加法运算
律简化运算．
(3)运算过程中及时约分化简，有时可使解题过程简单．
(4)运算结果是最简分式或整式．
2．易错警示：在分式除法运算中套用乘法分配律而出现
错误．
（来自《点拨》）
知1－讲
【例1】 计算：(2a)2
1
ab .
b ab b 4
解：(2a)2 1 ab b ab b 4
【例2】 计算：
x22x1 x21
(1)
x
;
x2 x1 x2
知1－讲
(2)a a2 2 3 3a aaa 3(a2a3)2;(3)(x1 4x1 4)x22 16.
导引：对于(1)先计算除法，再计算减法；对于(2) 先计算乘方，再计算乘法，最后计算减法； 对于(3)把除法转化为乘法后，可运用分配 律计算，也可以先将括号内的分式通分， 再把分式除法转化为乘法进行计算．