【全国百强校】吉林省高三上月考数学理试题

吉林省实验中学2017-2018学年度上学期
高三年级第三次月考数学（理科）试题
第Ⅰ卷
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.设全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，M ＝{2,3,4,6}，N ＝{1,4,5}，则(∁U M )∩N 等于（ ） A ．{1,2,4,5,7} B ．{1,4,5} C ．{1,5} D ．{1,4}
2.已知i 是虚数单位,则复数134i
i
-++错误!未找到引用源。

的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.已知命题p ：a = π，命题q :0
sin 1a
xdx =⎰
，则p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4.若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（ ）
（第4题图） （第6题图） A ．2cm 2
B ．3cm 3
C ． cm 3
D ．3cm 3
5. 为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x ＋1的图象，可以将函数y ＝2sin 3x 的图象（ ）
A.向左平移12π个单位，向上平移1个单位
B.向左平移4π
个单位，向上平移1个单位 C.向右平移
12π个单位，向下平移1个单位 D. 向右平移4
π
个单位，向下平移1个单位 6. 运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素a ，则函数(),0,a
y x x =∈+∞是增函数的概率为（ ）
A. 37
B. 45
C. 35
D. 34
7. 高考将至，凭借在五大学科竞赛中的卓越表现，某校共有25人获得北大、清华保送及降分录取优惠政策，具体人数如下表．若随机从这25人中任选2人做经验交流，在已知恰有1人获得北大优惠政策而另1人获得清华优惠政策的条件下，至少有1人是参加数学竞赛的概率为（ ）
学科 数学 信息 物理 化学 生物 北大 4 2 5 4 1 清华
2
1
4 2
A ．
B ．
C ．
D ．
8. 函数2ln ()2
x
x x f x =
的图象大致是（ ）
9. 设F 是双曲线22
1412
x y -=的左焦点，A （1，4），P 是双曲线右支上的动点，则|PF |+|PA |
的最小值为（ ） A ．5
B ．543+
C ．7
D ．9
10.在ΔABC 中，G 是ΔABC 的重心，AB 、AC 边的长分别为2、1，∠60BAC ︒=，
则AG BG ⋅=u u u r u u u r
( )
A.89-
B. 109-
C. 53-
D. 53--
11. 已知函数f (x )的定义域是R ，且f (0)＝2，若对任意x ∈R ，f (x )＋()f x '>1恒成立，则不等式e x ·f (x ) > e x ＋1的解集为 ( )
A ．{x |x >0}
B ．{x |x <0}
C ．{x |x <－1或x >1}
D ．{x |x <－1或0<x <1}
12. 已知函数f （x ）= x+sinx （x ∈R ），且f （y 2﹣2y +3）+ f （x 2﹣4x +1）≤0， 则当y ≥1时，
1
1
x y x +++的取值范围是（ ）
A ．[0，]
B ．[，]
C ．[，]
D ．[1，]
第Ⅱ卷
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）
13. 已知函数y =f （x ）的图象在点M （1，f （1））处的切线方程是1
22
y x =
+，则 (1)f +(1)f '= .
14. 已知点P 在角
43
π
的终边上，且4OP =，则P 点的坐标为 . 15. 数列{}n a 的通项公式为*cos ,2
n n a n N π
=∈，其前n 项和为n S ，则2017S = .
16. 若存在实数a 、b 使得直线ax + by =1与线段AB （其中A （1，0），B （2，1））只有一个公共点，且不等式
221sin cos p θθ+≥20（a 2+b 2）对于任意θ∈（0，2
π）成立，则正实数p 的取值范围为 .
三、解答题：（本大题共6小题，其中17-21小题为必考题，每小题12分；第22—23题为选考题，考生根据要求做答，每题10分） 17.（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和2
n S n kn =+，其中k 为常数，1a ,4a ,13a 成等比数列.
（I ）求k 的值及数列{}n a 的通项公式； （II ）设14(1)(3)n n n b a a +=++，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：n T <5
12
.
18.（本小题满分12分）
在ΔABC 中，角,,A B C 错误!未找到引用源。

所对的边分别为,,a b c 错误!未找到引用源。

，且∠60B ︒=错误!未找到引用源。

，4c =错误!未找到引用源。

.
（I ）若6b =错误!未找到引用源。

，求角C 的正弦值及ΔABC 的面积；
（II ）若点D ，E 在线段BC 上，且BD DE EC ==，23AE BD =，求AD 的长.
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥E ABCD
-错误!未找到引用源。

中，底面ABCD为直角梯形，其中CD∥AB，BC⊥AB，侧面ABE⊥平面ABCD错误!未找到引用源。

，且
AB=AE=BE=2BC=2CD=2，动点F在棱AE上，且EF=λFA.
（I）试探究λ的值，使CE∥平面BDF，
并给予证明；
（II）当λ=1时，求直线CE与平面BDF
所成的角的正弦值.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆C：
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>，圆Q：()()2
2
22
x y
-+-=2的圆心Q在椭圆C
上，点P（0，2）到椭圆C的右焦点的距离为6．（I）求椭圆C的方程；
（II ）过点P 作互相垂直的两条直线l 1，l 2，且l 1交椭圆C 于A ，B 两点，直线l 2交圆Q 于
C ，
D 两点，且M 为CD 的中点，求△MAB 的面积的取值范围．
21.（本小题满分12分） 已知函数2
()(1)ln ,.f x a x x a R =-+∈
（Ⅰ）当1
4
a =-
时，求函数()y f x =的单调区间； （Ⅱ）12a =时，令1
()()3ln 2
h x f x x x =-+-.求()h x 在[1,]e 上的最大值和最小值；
(Ⅲ) 若函数f （x ）≥ x –1对∀),1[+∞∈x 恒成立，求实数a 的取值范围.
请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分. 22．（本小题满分10分） 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 错误!未找到引用源。

中，以O 为极点，x 错误!未找到引用源。

轴
的正半轴为极轴建立极坐标系.若直线l cos()204
π
θ-
-=错误!未找
到引用源。

，曲线C 错误!未找到引用源。

的极坐标方程为：2
sin cos ρθθ=错误!未找到引用源。

，将曲线C 错误!未找到引用源。

上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线1C .
（I ）求曲线1C 错误!未找到引用源。

的直角坐标方程；
（II ）已知直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，点(2,0)P 错误!未找到引用源。

，求PA PB +错误!未找到引用源。

的值.
23．（本小题满分10分） 选修4—5：不等式选讲 已知()11f x x x =-++． （I ）求f （x ）≤ x + 2的解集； （II ）若33
()()22g x x x x R =++-∈，求证：121a a a
+--≤()g x 对∀a ∈R ，且a ≠0都成立．
高三年级第三次月考数学（理科）试题 参考答案
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.C
2.D
3.D
4. C
5. A
6.C
7.A
8. D
9. D 10.A 11. A 12. B 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）
13. 3； 14. ( ； 15. 0； 16. [)1,+∞.
三、解答题：（本大题共6小题，其中17-21小题为必考题，每小题12分；第22—23
题为选考题，考生根据要求做答，每题10分） 17.解(1) 21n a n =+ k =2 (2) 5111()12223
n T n n =-+++ 18.
【答案】(Ⅰ)错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

， 在△错误!未找到引用源。

中，由正弦定理错误!未找到引用源。

， 得错误!未找到引用源。

，
又错误!未找到引用源。

，所以错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

为锐角，所以错误!未找到引用源。

， 则错误!未找到引用源。

，
所以△错误!未找到引用源。

的面积错误!未找到引用源。

.
(Ⅱ)设错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，又错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，
在△错误!未找到引用源。

中，由余弦定理得错误!未找到引用源。

， 即错误!未找到引用源。

，解得错误!未找到引用源。

， 则错误!未找到引用源。

，所以错误!未找到引用源。

， 在直角△错误!未找到引用源。

中，错误!未找到引用源。

. 19. 解析：（1）当λ=
2
1
时，CE ∥平面BDF ，证明如下： 连接AC 交BD 于点G ，连接GF ，
∵CD ∥AB ，AB=2CD ，∴
2
1
==AB CD GA CG ， ∵FA EF 21=
，∴2
1==GA CG FA EF ，∴GF ∥CE ， 又∵CE ⊄平面BDF ，∵GF ⊂平面BDF ，∴CE ∥平面BDF.
（2）取AB 中点O ，连接EO ，则EO ⊥AB ，
∵侧面ABE ⊥平面ABCD 错误!未找到引用源。

，平面ABE ⋂平面ABCD=AB ，且EO ⊥AB ，
∴EO ⊥平面ABCD ，
∵BO ∥CD ，且BO=CD=1，∴四边形BODC 为平行四边形，所以BC ∥DO ， 又BC ⊥AB ，所以AB ⊥OD.
由OA ，OD ，OE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz .
则O （0,0,0），A （0,1,0），B （0,-1,0），D （1,0,0），C （1,-1,0），E （0,0,3）.
当λ=1时，有EF FA =u u u r u u u r ，∴可得F （0,21,2
3
），∴(1,1,0),(BD CE ==-u u u r u u u r
3(0,,)22
BF =u u u r .设平面BDF 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，
则有00
n BD n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r
，即0302x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩
，令z =y = -1，x =1
，(1,n =-r ， 设CE 与平面BDF 所成的角为θ，
则sin θ><=n CE os c ,=51，所以直线CE 与平面BDF 所成角的正弦值为5
1.
20. 解：（1）圆Q ：（x ﹣2）2+（y ﹣）2=2的圆心为（2，），
代入椭圆方程可得+
=1，
由点P （0，）到椭圆C 的右焦点的距离为，即有=，
解得c=2，即a 2﹣b 2=4，
解得a=2
，b=2，
即有椭圆的方程为+
=1；
（2）当直线l 2：y=
，代入圆的方程可得x=2±，
可得M 的坐标为（2，
），又|AB|=4，
可得△MAB 的面积为×2×4=4； 设直线y=kx+，代入圆Q 的方程可得，（1+k 2）x 2﹣4x+2=0， 可得中点M （，
）， |MP|=
=
，
设直线AB 的方程为y=﹣x+，代入椭圆方程，可得：
（2+k 2）x 2﹣4
kx ﹣4k 2=0，
设（x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得x 1+x 2=，x 1x 2=
，
则|AB|=•
=
•
，
可得△MAB 的面积为S=••
•
=4
，
设t=4+k 2（5＞t ＞4），可得==＜=1，
可得S ＜4， 且S ＞4
=
综上可得，△MAB 的面积的取值范围是（
，4]．
21. 【解析】（Ⅰ）41-=a ,x x x f ln )1(41)(2+--=,(x>0) f ＇(x)x x x x x x x x 2)1)(2(22121212+--=++-=++-=， ① 当0< x < 2时，f ＇(x )>0，f(x )在（0,2）单调递增；
② 当x >2时，f ＇(x )<0，f(x )在),2(+∞单调递减；
所以函数的单调递增区间是（0,2），单调递减区间是),2(+∞.
（Ⅱ）
2()h x x x '=-，令()h x '=0得2x =, 当1,2x ⎡⎤∈⎣⎦时()h x '<0， 当2,x e ⎡⎤∈⎣⎦时()h x '>0，
故2x =是函数()h x 在[]1，e 上唯一的极小值点，
故min ()(2)1ln 2h x h ==- 又1(1)2h =
, 211()222h e e =->, 所以max
()h x =2122e -=242e -. ( III ) a ≥
12
22．
【答案】(Ⅰ)曲线错误!未找到引用源。

的直角坐标方程为错误!未找到引用源。

， 错误!未找到引用源。

的直角坐标方程为错误!未找到引用源。

.
(Ⅱ)由直线错误!未找到引用源。

的极坐标方程：错误!未找到引用源。

，得错误!未找到引用源。

所以直线错误!未找到引用源。

的直角坐标方程为:错误!未找到引用源。

，又点错误!未找到引用源。

在直线错误!未找到引用源。

上，
所以直线错误!未找到引用源。

的参数方程为：错误!未找到引用源。

，
代入错误!未找到引用源。

的直角坐标方程得错误!未找到引用源。

，
设A ，B 对应的参数分别为错误!未找到引用源。

，
错误!未找到引用源。

，
∴错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

.
23．
（1）解：当x≤﹣1时，不等式f（x）≤x+2为：1﹣x﹣x﹣1≤x+2，解得x≥﹣（舍）；当﹣1＜x≤1时，不等式f（x）≤x+2为：1﹣x+x+1≤x+2，解得x≥0，∴0≤x≤1；
当x＞1时，不等式f（x）≤x+2为：x﹣1+x+1≤x+2，解得x≤2，∴1＜x≤2．
综上，f（x）≤x+2的解集为{x|0≤x≤2}
（2）解：∵g（x）=|x+ |+|x﹣|≥|x+ ﹣x+ |=3，而≤
≤|1+ +2﹣|=3，
∴对∀a∈R，且a≠0成立。