万有引力和天体运动

万有引力和天体运动

一、知识点击

1．开普勒定律

第一定律（轨道定律）：所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动。太阳是在这些椭圆的一个焦点上。

第二定律（面积定律）：对每个行星来说，太阳和行星的连线（叫矢径）在相等的时间内扫过相等的面积。“面积速度”：

1

sin 2

S r t υθ∆=∆（θ为矢径r 与速度υ的夹角） 第三定律（周期定律）：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值

相等。即：2

3T a

=常量．

2．万有引力定律

⑴万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的．任何两个质点之间引力的大小跟这两个质点的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比． 2

Mm F G

r

= ， 1122

6.6710/G N m kg -=⨯⋅，称为引力常量． ⑵重力加速度的基本计算方法

设M 为地球的质量，g 为地球表面的重力加速度． 在地球表面附近（h R << ）处：2Mm G

mg R =，2

2

GM g R

==9.8m/s 在地球上空距地心r=R+h 处：2r M

g G r

=， 222()r g R R g r R h ==+ 在地球内部跟离地心r 处：3

2244

33

r r r M g G G G r r r πρπρ===，r g r g R = ， r r g g R = 3．行星运动的能量 ⑴行星的动能

当一颗质量为m 的行星以速度υ 绕着质量为M 的恒星做平径为r 的圆周运动： 2122K Mm

E m G r

υ=

=

，式中υ=

⑵行星的势能

对质量分别为M 和m 的两孤立星系，取无穷远处为万有引力势能零点，当m 与M 相距

r 时，其体系的引力势能：P Mm

E G

r

=- ⑶行星的机械能：2122K P Mm Mm

E E E m G G

r r

υ=+=-=- 4．宇宙速度和引力场 ⑴宇宙速度（相对地球）

第一宇宙速度：环绕地球运动的速度（环绕速度）．

第二宇宙速度：人造天体发射到地球引力作用以外的最小速度（脱离速度）．

第三宇宙速度：使人造天体脱离太阳引力范围的最小速度（逃逸速度）． ⑵引力场、引力半径与宇宙半径．

对于任何一个质量为M ，半径为r 的均匀球形体系都有类似于地球情况下的这两个特征

速度．如果第二宇宙速度超过光速，即c <

22GM

r c

< 在这种物体上，即使发射光也不能克服引力作用，最终一定要落回此物体上来，这就是牛顿理论的结论，近代理论有类似的结论，这种根本发不了光的物体，被称为黑洞，这个临界的r 值被称为引力半径，记为2

2g GM r c

=

用地球质量代入，得到r g ≈0.9 cm ，设想地球全部质量缩小到1 cm 以下的小球内，那么外界就得不到这个地球的任何光信息．

如果物质均匀分布于一个半径为r 的球体内，密度为ρ，则总质量为343

M r πρ=

又假设半径r 正好是引力半径，那么32

4

23g g G r r c

πρ⋅=，得1223()8g c r G πρ= 此式表示所设环境中光不可能发射到超出r g 的范围，联想起宇宙环境的质量密度平均值为10-29g/cm 3，这等于说，我们不可能把光发射到1028cm 以外的空洞，这个尺度称为宇宙半径． 二、方法演练

类型一、天体运动中一类应用开普勒定律的问题，解这类问题时一定要注意运动的轨道、面积、周期，但三者之间也是有关联的，正因为如此，解题时要特别注意“面积速度”。 例1．要发射一艘探测太阳的宇宙飞船，使其具有与地球相等的绕日运动周期，以便发射一年

后又将与地球相遇而发回探测资料。在地球发射这一艘飞船时，应使其具有多大的绕日

速度？

分析与解：如示6—1所示，圆为地球绕日轨道，椭圆为所发射飞船的绕日轨道，S 点（太阳）为此椭圆的一个焦点，因飞船与地球具有相等的绕日周期，由开普勒周期定律：

222

33

4S T T a GM R π==

可知椭圆的半长轴a=R ，两轨道的交点必为半轴顶点， 发射飞船时，绕日速度υ应沿轨道切线方向，即与椭圆 长轴平行的方向．

则飞船的“面积速度”为：12Rb S b T πυ∆=

=

椭，2R

T

πυ= 地球的“面积速度”为：2012R S R T πυ∆==圆，02R

T

πυ=

故：0υυ=

当绕日速度的方向不同时，其轨道的短轴b 不同，但长半轴R 相同，太阳为椭圆轨道的一个焦点，且发射的绕日速度大小相同．

例2．一物体A 由离地面很远处向地球下落，落至地面上时，其速度恰好等于第一宇宙速度．已

知地球半径R=6400 km.若不计物体在运动中所受到的阻力，求此物体在空中运动的时间。 分析和解：物体落至地面时其速度值为第一宇宙速度值，即：Rg υ=上式中R 为地球半径，g 为地球表面处的重力加速度。

设A 最初离地心的距离为r ，则由其下落过程中机械能守恒，应有：2

1

2

Mm Mm

m G

G

R r

υ-=- 且GM=gR 2

联立上三式可解得：r=2R

物体在中心天体引力作用下做直线运动时，其速度、加速度是变化的，可以将它看绕中心天体的椭圆轨道运动，将其短轴取无限小。这就是我们通常所说的“轨道极限化”。

物体A 下落可以看成是沿着很狭长的椭圆 轨道运行，其焦点非常接近此椭圆轨道长轴的 两端，如图6—2所示，则由开普勒第一定律， 得知地心为椭圆的一个焦点．则椭圆长半轴为 a=R