万有引力和天体运动
高中物理万有引力与天体运动专题讲解
物理总复习：万有引力定律在天体运动中的应用考点一、应用万有引力定律分析天体的运动1、基本方法把天体（或人造卫星）的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．公式为 2222224(2)Mm v F G m m r mr m f r r r Tπωπ===== 解决问题时可根据情况选择公式分析、计算。
2、黄金代换式 2GM gR =要点诠释：在地球表面的物体所受重力和地球对该物体的万有引力差别很小，在一般讨论和计算时，可以认为2Mm G mg R=，且有2GM gR =。
在应用万有引力定律分析天体运动问题时，常把天体的运动近似看成是做匀速圆周运动，其所需要的向心力由万有引力提供，我们便可以应用变换式2GM gR =来分析讨论天体的运动。
如分析第一宇宙速度：22Mm v G m r r =,v == ，r R =,代入后得v =【典型例题】类型一、比较分析卫星运行的轨道参量问题例1、（2015 重庆卷）宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。
若飞船质量为，距地面高度为，地球质量为，半径为，引力常量为，则飞船所在处的重力加速度大小为 A. 0 B. 2GM R h +（） C. 2GMm R h +（） D. 2GM h【解析】对飞船受力分析知，所受到的万有引力提供匀速圆周运动的向心力，等于飞船所在位置的重力，即2()Mm G mg R h =+，可得飞船的重力加速度为2GM g R h =+（），故选B 。
【变式1】（多选）现有两颗绕地球匀速圆周运动的人造地球卫星A 和B ，它们的轨道半径分别为A r 和B r 。
如果A B r r <，则 ( ) A. 卫星A 的运动周期比卫星B 的运动周期大B. 卫星A 的线速度比卫星B 的线速度大C. 卫星A 的角速度比卫星B 的角速度大D. 卫星A 的加速度比卫星B 的加速度大【答案】BCDm h M R G【解析】由222()Mm G m r r T π=得234r T GMπ=， 轨道半径 r 越大，T 越大。
高中物理课件万有引力定律与天体运动
栏 目 开 关
相同，它们做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提
供，所以两天体与它们的圆心总是在一条直线上．
设两者的圆心为 O 点，轨道半径分别为 R1 和 R2，如图所示．对两天体， 由万有引力定律可分别列出
GmL1m2 2＝m1ω2R1
①
GmL1m2 2＝m2ω2R2
②
所以R1＝m2，所以v1＝R1ω＝R1＝m2，
发现的第2 752号小行星命名为吴健雄星，该小行
星的半径为16 km.若将此小行星和地球均看成质量
本 分布均匀的球体，小行星密度与地球相同．已知地
课 栏 目
球半径R＝6 400 km，地球表面重力加速度为g.这
个小行星表面的重力加速度为
B
开 关
(
)
A．400g
1 B.400g
C．20g
1 D.20g
关 3．适用条件
公式适用于_质__点__间的相互作用．当两物体间的距离远大于
物体本身的大小时，物体可视为质点；均匀的球体可视为
质点，r是_两__球__心__间的距离；对一个均匀球体与球外一个质
点的万有引力的求解也适用，其中r为球心到___质__点间的距
离．
课堂探究·突破考点
第5课时
考点一 天体产生的重力加速度问题
【例1 】某星球可视为球体，其自转周期为T，在它的两极
处，用弹簧秤测得某物体重为P，在它的赤道上，用弹簧秤
本 测得同一物体重为0.9P，则星球的平均密度是多少？
课 栏 目
在两极
P
GMm R2
开 关
在赤道上
P
0.9P
mR
4 2
T2
密度
M
万有引力与天体运动的关系
万有引力与天体运动的关系引力是自然界中一种基本的物理现象。
而万有引力则是描述天体之间相互作用的重要力量。
它是由于质量而产生的，是一种吸引力，使得天体之间相互靠拢。
万有引力的发现和研究对于理解天体运动以及宇宙演化有着重要的意义。
牛顿在17世纪提出了万有引力定律，他认为两个物体之间的引力与它们的质量成正比，与它们的距离的平方成反比。
这个定律可以简洁地表示为F=G*(m1*m2)/r^2，其中F是两个物体之间的引力，m1和m2是两个物体的质量，r是它们之间的距离，G是一个常数。
根据万有引力定律，天体之间的引力与它们的质量和距离有关。
质量越大，引力越大；距离越近，引力越大。
这就解释了为什么地球可以吸引住我们，而月球也可以吸引住地球。
地球质量大，所以对我们的引力很大；而月球离我们近，所以对我们的引力也很大。
万有引力还解释了为什么行星会围绕太阳运动。
太阳质量非常大，它的引力对行星的影响非常大，使得行星绕太阳运动。
行星离太阳越近，其运动速度越快；离太阳越远，其运动速度越慢。
这样，行星在太阳的引力和其自身的惯性作用下，形成了稳定的椭圆轨道。
除了行星绕太阳运动，万有引力还可以解释其他天体运动的现象。
例如，卫星绕地球运动、月球绕地球运动等。
所有这些运动都可以用万有引力定律来描述，而且都符合定律的预测。
除了描述天体运动，万有引力还可以解释天体之间的相互影响。
例如，当两个星系靠近时，它们之间的引力会使它们相互靠拢，甚至发生碰撞。
这样的引力交互作用对于理解星系演化和宇宙结构的形成有着重要的意义。
万有引力还可以解释为什么在宇宙中有星系、星云、恒星等天体的存在。
宇宙中的物质在引力的作用下逐渐聚集形成了这些天体。
而恒星的形成和演化也与引力密切相关，它们的质量和结构都受到引力的影响。
万有引力的研究不仅有助于我们理解宇宙的起源和演化，还对人类的生活产生了重要影响。
例如，卫星的轨道设计和导航系统的建立都依赖于对引力的准确理解和计算。
万有引力定律如何解释天体运动
万有引力定律如何解释天体运动在我们头顶的浩瀚宇宙中，天体们遵循着一定的规律运行，宛如一场永不停息的宏大舞蹈。
而其中起着关键作用的，便是万有引力定律。
这个定律不仅揭示了天体运动的奥秘，也为我们理解宇宙的运行机制提供了坚实的基础。
那么，什么是万有引力定律呢？简单来说，它指出任何两个物体之间都存在着相互吸引的力，这个力的大小与这两个物体的质量成正比，与它们之间距离的平方成反比。
用公式来表示就是：F ＝ G ×（m1 ×m2) ／ r²，其中 F 表示两个物体之间的引力，G 是万有引力常量，m1和 m2 分别是两个物体的质量，r 则是它们之间的距离。
我们先来看行星的运动。
以太阳系中的行星为例，比如地球围绕太阳公转。
太阳拥有巨大的质量，对地球产生了强大的引力。
根据万有引力定律，这个引力的大小决定了地球公转的轨道和速度。
如果引力过大，地球可能会被太阳吸进去；如果引力过小，地球就可能飞离太阳。
但实际情况是，地球在一个恰到好处的距离上，以适当的速度公转，从而保持了相对稳定的轨道。
再比如月球围绕地球的运动。
地球和月球之间也存在着万有引力，使得月球围绕地球旋转。
月球的轨道、速度以及它与地球的距离，都是由它们之间的引力相互作用所决定的。
除了行星和卫星，彗星的运动也可以用万有引力定律来解释。
彗星通常来自遥远的太阳系边缘，当它们靠近太阳时，太阳的引力会改变它们的运动轨迹和速度。
有些彗星会在太阳的引力作用下，形成非常狭长的轨道，可能要经过很长时间才会再次回到太阳系内部。
万有引力定律还能帮助我们理解恒星的形成。
在宇宙的早期，大量的物质分布在空间中。
由于物质之间存在着引力相互作用，它们会逐渐聚集在一起。
当物质聚集到一定程度，中心的压力和温度升高，最终引发核聚变，一颗恒星就诞生了。
在星系的层面上，万有引力同样起着至关重要的作用。
星系中的恒星、气体和尘埃等物质，通过相互之间的引力作用形成了特定的结构。
高中物理万有引力与天体运动
高中物理万有引力与天体运动关键信息项：1、万有引力定律的表达式及相关常量2、天体运动的基本模型3、卫星轨道类型及特点4、天体质量和密度的计算方法5、宇宙速度的概念及数值6、开普勒定律的内容11 万有引力定律万有引力定律是描述物体间相互作用的重要定律。
其表达式为：F ＝ G （m1 m2) ／ r^2 ，其中 F 表示两个物体之间的引力，G 为万有引力常量，其数值约为 667×10^（－11) N·m^2/kg^2 ，m1 和 m2 分别表示两个物体的质量，r 为两个物体质心之间的距离。
111 万有引力常量的测定卡文迪许通过扭秤实验较为精确地测定了万有引力常量，为万有引力定律的应用奠定了基础。
12 天体运动的基本模型天体运动通常可以简化为以下几种基本模型：121 匀速圆周运动模型天体围绕中心天体做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供。
即：G （M m) ／ r^2 ＝ m v^2 ／ r ，其中 M 为中心天体质量，m 为环绕天体质量，v 为环绕天体的线速度，r 为轨道半径。
122 椭圆运动模型在实际情况中，天体的运动轨道大多为椭圆，但在研究时可以近似为匀速圆周运动进行分析。
13 卫星轨道类型及特点卫星轨道主要分为以下几种类型：131 地球同步轨道卫星绕地球运行的周期与地球自转周期相同，从地面上看，卫星在天空中静止不动。
其轨道高度约为 36000 千米。
132 近地轨道轨道高度相对较低，一般在几百千米到几千千米之间。
卫星在此轨道上运行速度较大，周期较短。
133 太阳同步轨道卫星的轨道平面与太阳始终保持相对固定的取向，有利于对地球进行观测。
14 天体质量和密度的计算方法141 通过环绕天体的运动计算中心天体质量已知环绕天体的轨道半径 r 和线速度 v ，则中心天体质量 M ＝ v^2 r ／ G ；已知轨道半径 r 和周期 T ，则 M ＝4π^2 r^3 ／（G T^2) 。
142 天体密度的计算若天体为球体，且已知其半径 R ，则密度ρ ＝ M ／（4/3 π R^3) 。
高一物理万有引力定律和天体运动
－R，因G、M、ω、R均为定值，因此h一定为定值，故
B对； 因同步卫星周期T同＝24小时，月球绕地球转动周期T月＝30 天，即T同＜T月，由公式ω＝
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得，ω同＞ω月，故C对；
同步卫星与静止在赤道上的物体具有共同的角速度， 由公式a向＝rω2，可得： 其向心加速度不同，D错误． 因轨道半径不同，故
②若已知天体的半径R，则天体的密度
ρ＝
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③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为
其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝
可见，
只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估测出中 心天体的密度．
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不考虑天体自转，对任何天体表面都可以认为mg ＝G 从而得出GM＝gR2(通常称为黄金代换)，其中M为
(3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道．
一切卫星的轨道的圆心与地心重合．
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据报道，我国数据中继卫星“天链一号01 星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空，经过4 次变轨控制后，于5月1日成功定点在东经77°赤道上空的同 步轨道．关于成功定点后的“天链一号01星”， 下列说法正确的是 ( )
判断．
(12分)土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，
其绕土星的运动可视为圆周运动．其中有两个岩石颗粒A和B
与土星中心的距离分别为rA＝8.0×104 km和rB＝1.2×105 km. 忽略所有岩石颗粒间的相互作用．(结果可用根式表示)
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(1)求岩石颗粒A和B的线速度之比． (2)求岩石颗粒A和B的周期之比． (3)土星探测器上有一物体，在地球上重为10 N，推算出 它在距土星中心3.2×105 km处受到土星的引力为0.38 N．已知 地球半径为6.4×103 km，请估算土星质量是地球质量的多少 倍？
高中物理天体运动公式大全
高中物理天体运动公式大全1. 万有引力定律公式。
- F = G(Mm)/(r^2)- 其中F是两个物体间的万有引力，G = 6.67×10^-11N· m^2/kg^2（引力常量），M和m分别是两个物体的质量，r是两个物体质心之间的距离。
2. 天体做圆周运动的基本公式（以中心天体质量为M，环绕天体质量为m，轨道半径为r）- 向心力公式。
- 根据万有引力提供向心力F = F_向- G(Mm)/(r^2)=mfrac{v^2}{r}（可用于求线速度v=√(frac{GM){r}}）- G(Mm)/(r^2) = mω^2r（可用于求角速度ω=√(frac{GM){r^3}}）- G(Mm)/(r^2)=m((2π)/(T))^2r（可用于求周期T = 2π√((r^3))/(GM)）- G(Mm)/(r^2)=ma（a=(GM)/(r^2)，这里的a是向心加速度）3. 黄金代换公式。
- 在地球表面附近（r = R，R为地球半径），mg = G(Mm)/(R^2)，可得GM = gR^2。
这个公式可以将GM用gR^2替换，方便计算。
4. 第一宇宙速度公式（近地卫星速度）- 方法一：根据G(Mm)/(R^2) = mfrac{v^2}{R}，且mg = G(Mm)/(R^2)，可得v=√(frac{GM){R}}=√(gR)（R为地球半径，g为地球表面重力加速度），v≈7.9km/s。
- 第一宇宙速度是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度，也是卫星发射的最小速度。
5. 第二宇宙速度公式（脱离速度）- v_2=√(frac{2GM){R}}，v_2≈11.2km/s，当卫星的发射速度大于等于v_2时，卫星将脱离地球的引力束缚，成为绕太阳运动的人造行星。
6. 第三宇宙速度公式（逃逸速度）- v_3=√((2GM_日))/(r_{地日) + v_地^2}（其中M_日是太阳质量，r_地日是日地距离，v_地是地球绕太阳的公转速度），v_3≈16.7km/s，当卫星的发射速度大于等于v_3时，卫星将脱离太阳的引力束缚，飞出太阳系。
万有引力与天体运动
万有引力与天体运动引言：在自然界中，存在着一种无所不在的力量，即万有引力。
万有引力是负责使得天体之间相互吸引的力量，它是牛顿力学的基本法则之一。
本文将探讨万有引力的定义、原理及其与天体运动的关系。
一、万有引力的定义与原理万有引力是指任意两个物体之间存在相互吸引的力量，这种力量与物体的质量和距离有关。
根据牛顿第三定律，相互作用的两个物体之间的引力大小相等，方向相反。
万有引力的存在与质量有关，质量越大的物体，其引力也越大。
而且，两个物体之间的引力与它们之间的距离的平方成反比，即距离越近，引力越强。
二、天体运动的基本规律根据万有引力的原理，天体运动遵循以下基本规律：1. 开普勒定律约翰内斯·开普勒是天体运动领域的重要科学家之一，他总结出三个著名的运动定律。
第一定律表明天体绕太阳运动的轨道是椭圆形，而不是圆形。
这就意味着天体在其轨道上的位置不是固定的，而是变化的。
2. 第二定律开普勒的第二定律，也称为面积定律，表明天体在相同时间内扫过的面积相等。
换句话说，当天体离太阳较远时，它的速度较慢；当它距离太阳较近时，速度较快。
这个定律说明了天体在椭圆轨道上的运动速度是不均匀的。
3. 第三定律开普勒的第三定律，也称为调和定律，阐述了天体轨道周期与半长轴的关系。
具体来说，天体运动的周期的平方与它的椭圆轨道的半长轴的立方成正比。
这个定律揭示了天体运动的规律性，使得科学家们可以通过研究地球运动来推导出其他天体的运动规律。
三、天体运动和万有引力的关系天体运动与万有引力有着密不可分的关系，万有引力是驱动天体运动的根本力量。
在太阳系中，太阳是最重要的引力中心，其他行星、卫星以及小行星等都围绕太阳进行运动。
1. 行星运动行星绕太阳运动的轨道是椭圆形，行星距离太阳越近，它们的速度越快；相反，距离越远，速度越慢。
这符合开普勒定律中的第二定律。
行星的运动速度与距离有关，而这种变化正是受到万有引力的影响。
2. 月球运动月球是地球的卫星，它也受到地球的引力影响，围绕地球进行运动。
(完整版)万有引力天体运动
万有引力天体运动一、【知识梳理】考点1 开普勒行星运动定律开普勒第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，而太阳则处在椭圆的一个焦点上。
说明：不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是不同的。
开普勒第二定律(面积定律)：在相等时间内，太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都是相等的。
说明：行星在近日点的速率大于在远日点的速率。
开普勒第三定律(周期定律)：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。
应用指南：（1）开普勒三定律也适用于卫星绕行星运动。
（2考点2 万有引力定律考点3 人造地球卫星人造地球卫星的运动可看作匀速圆周运动，其向心力为地球对它的万有引力，其运动学方程：人造卫星运动学特征：半径越大，线速度越小，角速度越小，加速度越小，周期越大。
应用指南：（1）任何卫星的轨道平面一定经过地心 （2）运行中的卫星处于完全失重状态（3）同一卫星若所处高度越高，则动能越小，势能越大，机械能亦越大。
考点4 三种宇宙速度第一宇宙速度（环绕速度）s km v /9.7=，既是卫星的最小发射速度，又是卫星绕地球运行的最大环绕速度.若s km v s km /2.11/9.7<≤，物体绕地球运行。
第二宇宙速度（脱离速度）s km v /2.11=，这是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。
若s km v s km /7.16/2.11<≤，物体绕太阳运行。
第三宇宙速度（逃逸速度）s km v /7.16=，这是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。
若s km v s km /7.16/2.11<≤，物体脱离太阳系在宇宙空间运行。
应用指南：第一宇宙速度的推导方法：（1）考点5 地球同步卫星同步卫星的“七个一定”特点(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合.(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T ＝24 h ＝86 400 s. (3)角速度一定：与地球自转的角速度相同.(4)(5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致.(6)(7)向心加速度一定：等于轨道处的重力加速度应用指南：同步卫星、近地卫星和赤道上物体圆周运动的异同点考点6 人造卫星的变轨变轨原理及过程：（1）为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星在圆轨道1上。
天体运动和万有引力的公式
天体运动和万有引力的公式一．比值题型条件：两个天体围绕同一个中心天体运动。
例如火星和地球之间，土星的几个卫星之间等。
公式：r 3=kT 2 比例式：（r 1:r 2）3=（T 1:T 2）2这个公式反应的是轨道半径r 与周期T 的关系，已知r 可以求T ，或已知T 可以求r（1）如果已知r 求线速度V ，就要用线速度V 替换周期Tr 3=kT 2V =2πr T ，T =2πr V （2）如果已知r 求角速度ω，就要用ω替换周期Tr 3=kT 2ω=2πT ，T =2πω（3）如果已知周期T 求线速度V ，就要用线速度V 代替轨道半径rr 3=kT 2 V =2πr T ，r =VT 2π同步练习1．已知土星的两颗卫星，土卫十和土卫八，它们都围绕土星做匀速圆周运动。
土卫十和土卫八轨道半径比为4：1。
求它们周期之比。
2．地球和火星都围绕太阳做匀速圆周运动，火星的公转周期为2年，所以火星上每个季节有6个月。
求火星和地球的线速度比。
3．地球和水星都围绕太阳做匀速圆周运动，地球到太阳的距离是水星到太阳的距离的3倍。
求地球和水星线速度比。
r 3=k______ 化简得______r 3=k______ ______=kT 2 化简得______二．计算题（需要算出具体数值或具体表达式）1．求线速度V ，角速度ω，周期T（1）由 引力等于向心力GMm r 2=mv 2r ，得 v =√GM r(1)如果求的是角速度ω，用公式V=ωr 带入上面式子(1)，得_____________，ω=___________。
如果求的是周期T ，用公式 带入上面式子(1)，得____________，T=_____________。
用这种方法求线速度V ，角速度ω，周期T 。
题目必须已知引力常量G ，和中心天体的质量M 。
如果G,M 都不知道怎么办？（2）黄金代换式2．同步练习：V =2πr T GM =gR 2用gR 2代替上面式子中的GM 也可以得出答案。
万有引力定律和天体运动的动力学
万有引力定律和天体运动的动力学万有引力定律是牛顿力学的基石之一，揭示了天体运动的基本规律。
它准确地描述了两个物体之间的引力作用，并为解释地球绕太阳的运动、卫星绕行星的运动等提供了重要的理论基础。
本文将深入探讨万有引力定律和天体运动的动力学。
一、万有引力定律的基本原理万有引力定律是牛顿在1687年提出的，被视为自然科学的里程碑之一。
它的表述如下：两个物体之间存在相互吸引的力，这个力的大小与它们的质量成正比，与它们之间的距离成反比。
具体可以表示为：F =G * (m1 * m2) / r^2其中，F表示物体之间的引力大小，m1和m2分别表示两个物体的质量，r表示它们之间的距离，G为引力常量。
二、万有引力定律的应用1. 行星运动：万有引力定律为解释行星绕太阳的运动提供了基本框架。
根据万有引力定律，行星和太阳之间的引力使得行星沿着椭圆轨道运行，太阳位于椭圆的一个焦点上。
同时，根据牛顿第二定律，行星在受到的引力作用下，会出现向心力，使得行星的轨道平衡稳定。
2. 卫星轨道：万有引力定律也可以解释卫星绕行星的运动。
同样，根据牛顿第二定律，卫星在受到引力的作用下，会出现向心力，使得卫星按照固定轨道绕行星运动。
根据万有引力定律的数学表达式，科学家们可以准确计算出卫星的轨道参数，以确保卫星在轨道上运行的稳定性。
3. 潮汐现象：万有引力定律还可以解释地球上的潮汐现象。
太阳和月亮对地球产生引力，这种引力会对海洋和陆地产生作用。
具体而言，引力会使得海洋产生潮汐现象，同时还会对地球的自转速度产生微小的影响。
三、天体运动的动力学天体运动的动力学研究着眼于解释天体运动的规律和运动轨迹。
在万有引力定律的基础上，科学家们提出了一系列的天体运动定律和理论模型。
1. 开普勒定律：开普勒是德国天文学家，他的研究成果为解释行星运动提供了重要的依据。
开普勒定律总结了行星运动的三个基本规律：行星轨道是椭圆、太阳在椭圆焦点上、行星与太阳连线的面积相等。
万有引力定律与天体运动
万有引力定律与天体运动万有引力定律是物理学中最基础、最重要的定律之一，它描述了物体之间存在的万有引力以及天体的运动规律。
该定律由英国科学家牛顿在17世纪形成，并为后来的物理学发展奠定了坚实的基础。
本文将通过介绍万有引力定律的基本概念、公式推导、应用实例等方面，深入探讨万有引力定律与天体运动之间的关系。
一、万有引力定律的基本概念万有引力定律是牛顿力学的重要组成部分，它表明任何两个物体之间都存在引力的相互作用。
根据该定律，两个物体之间的引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
其中，引力的大小用F表示，质量分别为m1和m2的两个物体之间的距离用r表示。
万有引力定律的表达式如下：F =G * m1 * m2 / r^2其中，G为万有引力常量，其值约为6.67 × 10^-11 N·m^2/kg^2。
万有引力定律是一个矢量关系，方向与两物体之间直线连接的方向相同，即引力是沿着物体之间连线的方向。
二、万有引力定律的公式推导万有引力定律的公式推导是基于牛顿第二定律和牛顿运动定律，其过程相对复杂，涉及到引力场、势能、力的合成等知识。
在这里，为了保持文章的连贯性和简洁性，略去具体的数学推导过程。
三、万有引力定律与天体运动的关系万有引力定律对于解释天体运动和宇宙中一系列现象具有重要的作用。
首先，根据牛顿的第一定律，物体将保持匀速直线运动，直到外力作用改变其状态。
在此基础上，万有引力定律解释了太阳系行星的椭圆轨道运动。
行星围绕太阳运行，其轨道可近似看作椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。
同时，根据牛顿的第三定律，行星与太阳之间的引力大小相等，方向相反。
这样，行星在引力作用下沿椭圆轨道运动。
其次，万有引力定律还解释了地球上的重力现象。
地球表面的物体受到地球吸引力的作用，不断地向地心方向运动，形成了地球上的重力。
地球的引力是万有引力定律在地球尺度上的应用，它对地球上的物体产生的作用力与物体的质量成正比。
牛顿万有引力定律与天体运动
牛顿万有引力定律与天体运动在我们的日常生活中，我们常常能够感受到地球的引力。
当我们举起一颗苹果，它会落回地面；当我们行走在地面上时，我们能够感受到地球对我们的吸引力。
这就是一个简单的例子，说明了引力的存在和作用。
引力是一个广泛存在于整个宇宙中的力量，而牛顿的万有引力定律正是揭示了这一力量背后的科学原理。
牛顿的万有引力定律是物理学中最基本的定律之一，它被广泛应用于解释天体运动。
根据这个定律，任何两个物体之间都会存在引力，而这个引力的大小与这两个物体的质量和它们之间的距离有关。
简单来说，万有引力定律可以表示为F = G * (m1 * m2) / (r^2)，其中F表示两个物体之间的引力，G是一个常数，m1和m2分别是这两个物体的质量，而r代表它们之间的距离。
应用牛顿的万有引力定律，我们可以解释许多天体运动的现象。
首先，我们可以解释为什么地球和其他行星围绕太阳运行。
根据万有引力定律，太阳对地球和其他行星产生了引力，而这个引力使它们保持在太阳的引力场中，并围绕着太阳运动。
这就是我们所熟知的行星公转。
除了行星的公转，牛顿的万有引力定律还可以解释其他许多天体运动。
例如，根据这个定律，我们可以解释为什么天体之间会产生潮汐现象。
地球和月球之间的引力使得海洋发生周期性的涨潮和退潮。
这种现象在我们的生活中非常常见，而万有引力定律能够很好地解释其中的原因。
除了潮汐现象，万有引力定律还可以解释彗星的轨道。
彗星是一种由冰、尘埃和岩石组成的天体，在它们的运动过程中，受到太阳的引力作用，使得它们围绕太阳形成椭圆轨道。
这一现象同样可以用牛顿的万有引力定律来解释。
然而，尽管牛顿的万有引力定律在解释天体运动中获得巨大成功，它在特殊的情况下并不完全准确。
例如，在极端的高速运动或强引力场下，爱因斯坦的广义相对论更准确地描述了物体的运动和引力场的性质。
但是，在大多数情况下，牛顿的万有引力定律仍然是我们理解和解释天体运动的重要工具。
牛顿的万有引力定律不仅揭示了天体运动背后的科学原理，还赋予了人类对宇宙的更深入认识。
2020高考物理第12讲万有引力与天体运动
第12讲万有引力与天体运动一、开普勒三定律1.开普勒第一定律:所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在所有椭圆的一个上.2.开普勒第二定律:对于每一个行星而言,太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的相等.3.开普勒第三定律:所有行星的轨道的的三次方跟的二次方的比值都相等.二、万有引力定律1.内容:自然界中任何两个物体都互相吸引,引力的大小与物体的质量的乘积成,与它们之间距离的二次方成.2.公式:(其中引力常量G=6.67×10-11 N·m2/ kg2).3.适用条件:公式适用于质点之间以及均匀球体之间的相互作用,对均匀球体来说,r是两球心间的距离.三、天体运动问题的分析1.运动学分析:将天体或卫星的运动看成运动.2.动力学分析:(1)由万有引力提供,即F向=G Mmr2=man=m v2r=mω2r=m(2πT)2r.(2)在星球表面附近的物体所受的万有引力近似等于,即G Mmr2=mg(g 为星球表面的重力加速度).【辨别明理】(1)牛顿利用扭秤实验装置比较准确地测出了引力常量.()(2)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的,离太阳越远,运行速率越小.()(3)近地卫星距离地球最近,环绕速度最小.()(4)地球同步卫星根据需要可以定点在北京正上空.()(5)极地卫星通过地球两极,且始终和地球某一经线平面重合.()(6)发射火星探测器的速度必须大于11.2 km/s.()考点一万有引力及其与重力的关系例1 (多选)设宇宙中某一小行星自转较快,但仍可近似看作质量分布均匀的球体,半径为R.宇航员用弹簧测力计称量一个相对自己静止的小物体的重量,第一次在极点处,弹簧测力计的读数为F1=F0;第二次在赤道处,弹簧测力计的读数为F2=F02.假设第三次在赤道平面内深度为R2的隧道底部,示数为F3;第四次在距星表高度为R处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中,示数为F4.已知均匀球壳对壳内物体的引力为零,则以下判断正确的是()A.F3=F04 B.F3=15F04C.F4=0D.F4=F04■题根分析1.万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F表现为两个效果:一是重力mg,二是提供物体随地球自转的向心力F向,如图12-1所示.图12-1(1)在赤道处:G MmR2=mg1+mω2R.(2)在两极处:G MmR2=mg2.(3)在一般位置:万有引力G MmR2等于重力mg与向心力F向的矢量和.越靠近南、北两极,g值越大.由于物体随地球自转所需的向心力较小,常认为万有引力近似等于重力,即G MmR2=mg.2.星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转):mg=G MmR2,得g=GMR2.(2)在地球上空距离地心r=R+h处的重力加速度g':mg'=G Mm(R+ℎ)2,得g'=GM(R+ℎ)2,所以gg'=(R+ℎ)2R2.■变式网络变式题1 (多选)火箭载着宇宙探测器飞向某行星,火箭内平台上还放有测试仪器,如图12-2所示.火箭从地面起飞时,以加速度g02竖直向上做匀加速直线运动(g0为地面附近的重力加速度),已知地球半径为R,升到某一高度时,测试仪器对平台的压力刚好是起飞时压力的1727,此时火箭离地面的高度为h,所在位置重力加速度为g,则()图12-2A.g=2g03B.g=4g09C.h=RD.h=R2变式题2 假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体,一矿井深度为d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零,则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为()A.1-dR B.1+dRC.(R-dR )2D.(RR-d)2变式题3 假设地球可视为质量均匀分布的球体.已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0,在赤道的大小为g,地球自转的周期为T,引力常量为G,则地球的密度为()A.3π(g0-g)GT2g0B.3πg0GT2(g0-g)C.3πGT2D.3πg0GT2g考点二天体质量及密度的计算(1)利用卫(行)星绕中心天体做匀速圆周运动求中心天体的质量计算天体的质量和密度问题的关键是明确中心天体对它的卫星(或行星)的引力就是卫星(或行星)绕中心天体做匀速圆周运动的向心力.由G Mmr2=m4π2T2r,解得M=4π2r3GT2;ρ=MV=M43πR3=3πr3GT2R3,R为中心天体的半径,若为近地卫星,则R=r,有ρ=3πGT2.由上式可知,只要用实验方法测出卫星(或行星)做圆周运动的半径r及运行周期T,就可以算出中心天体的质量M.若再知道中心天体的半径,则可算出中心天体的密度.(2)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R,可得天体质量M=gR2G,天体密度ρ=MV =M43πR3=3g4πGR.例2[2017·北京卷]利用引力常量G和下列某一组数据,不能计算出地球质量的是()A.地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)B.人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期C.月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离D.地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离变式题1 我国成功地进行了“嫦娥三号”的发射和落月任务,进一步获取月球的相关数据.该卫星在月球上空绕月球做匀速圆周运动时,经过时间t,卫星的路程为s,卫星与月球中心连线扫过的角度是θ弧度,引力常量为G,月球半径为R,则可推知月球密度的表达式是()A.3t 2θ4πGs3R3B.4θπR3Gt23s3C.3s 34θπGt2R3D.4πR3Gs33θt2变式题2 已知“慧眼”卫星绕地球做匀速圆周运动,其轨道半径为r,运动周期为T,地球半径为R,引力常量为G,则下列说法正确的是()A.“慧眼”卫星的向心加速度大小为4π2rT2B.地球的质量大小为4π2R3GT2C.地球表面的重力加速度大小为4π2RT2D.地球的平均密度大小为3πGT2■要点总结天体质量和密度的估算问题是高考命题热点,解答此类问题时,首先要掌握基本方法(两个等式:①由万有引力提供向心力;②天体表面物体受到的重力近似等于万有引力),其次是记住常见问题的结论,主要分两种情况:(1)利用卫星的轨道半径r和周期T,可得中心天体的质量M=4π2r3GT2,并据此进一步得到该天体的密度ρ=MV =M43πR3=3πr3GT2R3(R为中心天体的半径),尤其注意当r=R时,ρ=3πGT2.(2)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R,可得天体质量M=gR2G ,天体密度ρ=MV=M43πR3=3g4πGR.考点三黑洞与多星系统1.双星系统系统可视天体绕黑洞做圆周运动黑洞与可视天体构成的双星系统两颗可视天体构成的双星系统图示向心力的来源黑洞对可视天体的万有引力彼此给对方的万有引力彼此给对方的万有引力2.多星系统系统 三星系统(正三角形排列)三星系统(直线等间距排列)四星系统图示向心力 的来源 另外两星球对其万有引力的合力 另外两星球对其万有引力的合力 另外三星球对其万有引力的合力例3 天文学家们推测,超大质量黑洞由另外两个超大质量黑洞融合时产生的引力波推射出该星系核心区域.在变化过程中的某一阶段,两个黑洞逐渐融入到新合并的星系中央并绕对方旋转,这种富含能量的运动产生了引力波.假设在合并前,两个黑洞互相绕转形成一个双星系统,如图12-3所示,若黑洞A 、B 的总质量为1.3×1032 kg ,球心间的距离为2×105 m ,产生的引力波周期和黑洞做圆周运动的周期相当,则估算该引力波周期的数量级为(G=6.67×10-11 N ·m 2/kg 2) ( )图12-3A .10-1sB .10-2sC .10-3sD .10-4s变式题 [2018·江西新余二模] 天文观测中观测到有三颗星位于边长为l 的等边三角形三个顶点上,并沿等边三角形的外接圆做周期为T 的匀速圆周运动.已知引力常量为G ,不计其他星体对它们的影响,关于这个三星系统,下列说法正确的是 ( )图12-4A.它们两两之间的万有引力大小为16π4l49GT4B.其中一颗星的质量为3GT 24π2l3C.三颗星的质量可能不相等D.它们的线速度大小均为2√3πlT■要点总结多星问题的解题技巧(1)挖掘一个隐含条件:在圆周上运动的天体的角速度(或周期)相等.(2)重视向心力来源分析:双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供,三星或多星做圆周运动的向心力往往是由多个星的万有引力的合力提供. (3)区别两个长度关系:圆周运动的轨道半径和万有引力公式中两天体的距离是不同的,不能误认为一样.完成课时作业(十二)。
万有引力、天体运动
§2.6万有引力、天体运动 姓名1. 万有引力定律 ——万有引力定律是由牛顿发现的，而引力常量是由卡文迪许测定的 F= GmM/r 2 适用于质点或均匀球体。
重力是物体在地球表面附近所受到的地球对它的引力2. 天体做匀速圆周运动的向心力就是它受到的万有引力GmM/r 2 =m a =mv 2 / r =m ω2 r=m · 4π2 · r/T 2一个重要的关系式：由GmM 地/R 地2 =mg ∴ GM 地 =gR 地 23.开普勒第三定律 T 2/R 3=k （R 为行星轨道的半长轴）4. 第一宇宙速度——注意发射速度和环绕速度的区别 v 1=7.9km/s第二宇宙速度——脱离地球引力的束缚，成为绕太阳运动的人造行星， v 2=11.2km/s 第三宇宙速度 ——脱离太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间去 v 3=16.7km/s5. 人造卫星的运行速度：11.2km ／s ＞v 发射≥7.9km ／s ＞v 运行6．同步卫星⑴、所谓地球同步卫星，是指相对于地面静止且和地球具有相同周期的卫星．T ＝24h ． ⑵、同步卫星必位于赤道正上方h 高处,且h 是一定的．1、某行星绕太阳C 沿椭圆轨道运行，它的近日点A 到太阳的距离为r ，远日点B 到太阳的距离为R.若行星经过近日点时的速率为v A ，则该行星经过远日点B 时的速率v B =_ ___ .2、土星外层上有一个环。
为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v 与该层到土星中心的距离R 之间的关系来判断： ( )A ．若v ∝R ，则该层是土星的一部分；B ．若v 2∝R ，则该层是土星的卫星群C ．若v ∝1／R ，则该层是土星的一部分D ．若v 2∝1／R ，则该层是土星的卫星群3、组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率，如果超过了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动.由此能得到半径为R 、密度为ρ、质量为M 且均匀分布的星球的最小自转周期T.下列表达式中正确的是( )4、一宇宙飞船在离地面h 的轨道上做匀速圆周运动，质量为m 的物块用弹簧秤挂起，相对于飞船静止，则此物块所受的合外力的大小为 .（已知地球半径为R ，地面的重力加速度为g ）GM R T /2.A 3π=GMR T /32.B 3π=ρπG T /.C =ρπG T /3.D =5、 如图所示，某次发射同步卫星时，先进入一个近地的圆轨道，然后在P 点点火加速，进入椭圆形转移轨道（该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P ，远地点为同步轨道上的Q ），到达远地点时再次自动点火加速，进入同步轨道。
高二物理天体运动与万有引力
开普勒行星运动定律同样适用于 其他星体围绕中心天体的运动 （如卫星围绕地球的运动），比 值仅与该中心天体质量有关。
二、天体运动与万有引力的关系
示），则两颗星体m和n运动的半径之比为______，它们运动的周期之比是______．
所以行星在近日点的速率最大，在远日点的速率最小；
计算中心天体的密度
1．开普勒第一定律说明了不同行星的运动轨迹都是椭圆，太阳在不同行星椭圆轨道的一个焦点上；
若将星体的椭圆轨道运动简化为圆周运动。
N
B.
2．线速度与轨道半径的关系
量，仅与中心天体——太阳的质量有关。
应用：计算中心天体的质量
应用：计算中心天体的质量
7、如图，半径为R的铅球球心为O，在与球面相切处挖去半径为R/2的一个小球，球心在O1，余下月牙形部分质量为M，在OO1连线
外放在另一质量为m的小球，球心为O2，OO2距离为d，试求M，m间的万有引力.
B．与行星轨道半径的3/2次方成正比 二、天体运动与万有引力的关系
B．与行星轨道半径的3/2次方成正比
D．与恒星质量M的平方根成反比
3. 质量为m和n的两颗星体，由于相互吸 引而分别在以O为圆心的同心圆周上作 匀速率圆周运动，已知它们之间的距离 保持不变（如图所示），则两颗星体m 和n运动的半径之比为______，它们运 动的周期之比是______．
4、对于万有引力定律的表述式，下面说 法中正确的是（ ）
2．质量为m的某行星绕质量为M的恒星做圆周运动，则它的周期 ( )
D．与恒星质量M的平方根成反比
万有引力定律与天体运动知识总结
万有引力定律与天体运动知识总结一、开普勒行星运动定律1） 轨道定律：近圆，太阳处在圆心（焦点）上 2） 面积定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。
K= k 取决于中心天体3） 周期定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值相等。
k= ，[r 为轨道半径]二、万有引力定律F 引=2rMm G G=6.67×10-11Nm 2/kg 2 卡文迪许扭秤 测量出来 三、重力加速度1. 星体表面：F 引≈G =mg 所以：g = GM/ R 2（R 星体体积半径）2. 距离星体某高度处：F ’引 ≈G’ =mg ’3. 其它星体与地球重力加速度的比值四、星体（行星 卫星等）匀速圆周运动 状态描述1. 假设星体轨道近似为圆.2. 万有引力F 引提供星体圆周运动的向心力FnF n =r mv 2F n=22T mr 4π F n = m ω²r Fn=F 引 r mv 2=2r Mm G =22Tmr 4π = m ω²rr GM v =，r 越大，ν越小； 3r GM =ω，r 越大，ω越小 23T a 23T rGM r T 324π=，r 越大，T 越大。
3. 计算中心星体质量M1) 根据 g 求天体质量 mg= M= M 为地球质量，R 为物体到地心的距离2）根据环绕星体的圆周运动状态量，F 引=Fn 2r MmG =22T mr 4π M= （M 为中心天体质量，m 为行星（绕行天体）质量4. 根据环绕星体的圆周运动状态量(已知绕行天体周期T ，环绕半径≈星体半径)， 计算中心星体密度ρρ=v m =323R G T r 3π [v=3r 34π] 若r≈R ，则ρ=2GT3π 5. 计算卫星最低发射速度 （第一宇宙速度VI = （近地）= (r 为地球半径 黄金代换公式)第一宇宙速度（环绕速度）：s km v /9.7=；第二宇宙速度（脱离速度，飞出地月系）：s km v /2.11=；第三宇宙速度（逃逸速度，飞出太阳系）：s km v /7.16=。
万有引力和天体运动
二、人造卫星
• 2. 近地卫星 （r≈R）．
• 周期 T 4 2 R3 ≈84 mi，n 为全部地球卫星
GM
旳最小周期。
• 线速度 v gR≈7.9km / s ，为全部地球卫星
旳最大绕行速度。 第一宇宙速度
二、人造卫星
• 3. 同步卫星（通讯卫星）
• （1）周期T=24h • （2）离地球表面高度
表D.接面1近沿. 地圆 34球轨M表道R3 面运沿营圆旳轨航道天运器营旳旳周航期天之器比线约速8：度9与接近月球 表面2沿.G圆MR轨m2 道m运g 营旳航天器线速度之比约为81：4
3.F
G
Mm r2
ma
m v2 r
m 2r
m
4 2
T2
r
需要了解旳常识
• 地球自转周期二十四小时 • 月球地球转动周期27.3天 • 月球质量为地球质量旳1/81 • 月球间距为地球半径旳60倍 • 月球表面重力加速度为地球表面重力加速度旳1/6 • 日地间距r=8min×c
GT 2
总结求星球质量 旳其他措施
中心天体密度： M M 3r3
V 4 R3 GT 2R3
3
当r=R时
3
GT 2
估算天体旳质量和密度
例、已知地球旳半径R,自转周期T,地球表面 旳重力加速度g, 围绕地球表面做圆周运动旳 卫星旳速度v,求地球旳质量和密度.
G
Mm R2
mg
M
Mm v2
G
R2
m M R
G
Mm R2
m
4 2
T2
R
M
（错）
扩展：赤道处物体旳向心加速度。围绕卫星旳向心 加速度。围绕卫星旳周期。
万有引力与天体运动
专题：万有引力和天体运动[要点提示]1、万有引力定律的应用：○1讨论重力加速度g 随离地面高度h 的变化情况： 物体的重力近似为地球对物体的引力，即mg=G 2)(h R Mm +。
所以重力加速度g= G 2)(h R M +，可见，g 随h 的增大而减小。
○2求天体的质量：通过观天体卫星运动的周期T 和轨道半径r 或天体表面的重力加速度g 和天体的半径R ，就可以求出天体的质量M 。
○3求解卫星的有关问题：根据万有引力等于卫星做圆周运动的向心力可求卫星的速度、周期、动能等状态量。
由G 2rMm =m r V 2 得V=r GM ，由G 2r Mm = mr(2π/T)2 得T=2πGM r 3。
由G 2r Mm = mr ω2 得ω=3r GM ，由E k =21mv 2=21G r Mm 。
2、第一宇宙速度V 1=7.9Km/s,人造卫星的最小发射速度；最大的运行速度[课前小练]1．人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为R ，线速度为V ，周期为T 。
若要使卫星的周期变为2T ，可以采取的办法是：A 、R 不变，使线速度变为V/2；B 、V 不变，使轨道半径变为2R ；C 、使轨道半径变为R 34；D 、使卫星的高度增加R 。
2．地球赤道上的物体重力加速度为g ，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a ，要使赤道上的物体“飘”起来，则地球的转速应为原来的A.g/a 倍。
B.a a g /)(+ 倍。
C.a a g /)(- 倍。
D. a g /倍3．同步卫星离地距离r ，运行速率为V 1，加速度为a 1,地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a 2,第一宇宙速度为V 2，地球半径为R ，则A 、a 1/a 2=r/R; B.a 1/a 2=R 2/r 2; C.V 1/V 2=R 2/r 2; D.V 1/V 2=r R /. 4、设地球表面的重力加速度为g,物体在距地心4R （R 是地球半径）处，由于地球的引力作用而产生的重力加速度g ,，则g/g ,为A 、1；B 、1/9；C 、1/4；D 、1/16。
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万有引力和天体运动一、知识点击1．开普勒定律第一定律（轨道定律）：所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动。
太阳是在这些椭圆的一个焦点上。
第二定律（面积定律）：对每个行星来说，太阳和行星的连线（叫矢径）在相等的时间内扫过相等的面积。
“面积速度”：1sin 2S r t υθ∆=∆（θ为矢径r 与速度υ的夹角） 第三定律（周期定律）：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值相等。
即：23T a=常量．2．万有引力定律⑴万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的．任何两个质点之间引力的大小跟这两个质点的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比． 2Mm F Gr= ， 11226.6710/G N m kg -=⨯⋅，称为引力常量． ⑵重力加速度的基本计算方法设M 为地球的质量，g 为地球表面的重力加速度． 在地球表面附近（h R << ）处：2Mm Gmg R =，22GM g R==9.8m/s 在地球上空距地心r=R+h 处：2r Mg G r=， 222()r g R R g r R h ==+ 在地球内部跟离地心r 处：3224433r r r M g G G G r r r πρπρ===，r g r g R = ， r r g g R = 3．行星运动的能量 ⑴行星的动能当一颗质量为m 的行星以速度υ 绕着质量为M 的恒星做平径为r 的圆周运动： 2122K MmE m G rυ==，式中υ=⑵行星的势能对质量分别为M 和m 的两孤立星系，取无穷远处为万有引力势能零点，当m 与M 相距r 时，其体系的引力势能：P MmE Gr=- ⑶行星的机械能：2122K P Mm MmE E E m G Gr rυ=+=-=- 4．宇宙速度和引力场 ⑴宇宙速度（相对地球）第一宇宙速度：环绕地球运动的速度（环绕速度）．第二宇宙速度：人造天体发射到地球引力作用以外的最小速度（脱离速度）．第三宇宙速度：使人造天体脱离太阳引力范围的最小速度（逃逸速度）． ⑵引力场、引力半径与宇宙半径．对于任何一个质量为M ，半径为r 的均匀球形体系都有类似于地球情况下的这两个特征速度．如果第二宇宙速度超过光速，即c <22GMr c< 在这种物体上，即使发射光也不能克服引力作用，最终一定要落回此物体上来，这就是牛顿理论的结论，近代理论有类似的结论，这种根本发不了光的物体，被称为黑洞，这个临界的r 值被称为引力半径，记为22g GM r c=用地球质量代入，得到r g ≈0.9 cm ，设想地球全部质量缩小到1 cm 以下的小球内，那么外界就得不到这个地球的任何光信息．如果物质均匀分布于一个半径为r 的球体内，密度为ρ，则总质量为343M r πρ=又假设半径r 正好是引力半径，那么32423g g G r r cπρ⋅=，得1223()8g c r G πρ= 此式表示所设环境中光不可能发射到超出r g 的范围，联想起宇宙环境的质量密度平均值为10-29g/cm 3，这等于说，我们不可能把光发射到1028cm 以外的空洞，这个尺度称为宇宙半径． 二、方法演练类型一、天体运动中一类应用开普勒定律的问题，解这类问题时一定要注意运动的轨道、面积、周期，但三者之间也是有关联的，正因为如此，解题时要特别注意“面积速度”。
例1．要发射一艘探测太阳的宇宙飞船，使其具有与地球相等的绕日运动周期，以便发射一年后又将与地球相遇而发回探测资料。
在地球发射这一艘飞船时，应使其具有多大的绕日速度？分析与解：如示6—1所示，圆为地球绕日轨道，椭圆为所发射飞船的绕日轨道，S 点（太阳）为此椭圆的一个焦点，因飞船与地球具有相等的绕日周期，由开普勒周期定律：222334S T T a GM R π==可知椭圆的半长轴a=R ，两轨道的交点必为半轴顶点， 发射飞船时，绕日速度υ应沿轨道切线方向，即与椭圆 长轴平行的方向．则飞船的“面积速度”为：12Rb S b T πυ∆==椭，2RTπυ= 地球的“面积速度”为：2012R S R T πυ∆==圆，02RTπυ=故：0υυ=当绕日速度的方向不同时，其轨道的短轴b 不同，但长半轴R 相同，太阳为椭圆轨道的一个焦点，且发射的绕日速度大小相同．例2．一物体A 由离地面很远处向地球下落，落至地面上时，其速度恰好等于第一宇宙速度．已知地球半径R=6400 km.若不计物体在运动中所受到的阻力，求此物体在空中运动的时间。
分析和解：物体落至地面时其速度值为第一宇宙速度值，即：Rg υ=上式中R 为地球半径，g 为地球表面处的重力加速度。
设A 最初离地心的距离为r ，则由其下落过程中机械能守恒，应有：212Mm Mmm GGR rυ-=- 且GM=gR 2联立上三式可解得：r=2R物体在中心天体引力作用下做直线运动时，其速度、加速度是变化的，可以将它看绕中心天体的椭圆轨道运动，将其短轴取无限小。
这就是我们通常所说的“轨道极限化”。
物体A 下落可以看成是沿着很狭长的椭圆 轨道运行，其焦点非常接近此椭圆轨道长轴的 两端，如图6—2所示，则由开普勒第一定律， 得知地心为椭圆的一个焦点．则椭圆长半轴为 a=R又由开普勒第三定律，物体沿椭圆轨道运行的周期和沿绕地心（轨道不计为R ）的圆轨道运行的周期相等．其周期为：22RT πυ==再由开普勒第二定律得：0S t S T= 1142S ab ab π=+，0S ab π=011422(2ab abS t T S ab ππππ+==⋅=+33.14( 2.06102s =+=⨯类型二、天体质量（密度）的计算问题往往是由万有引力定律和向心力公式建立天体计算的基本方程，解题时一般要注意中心天体与运动卫星关系的建立，同时还要注意忽略微小量（次要因数）的问题，这是解决这类问题的两个非常重要的因数。
例3．新发现一行星，其星球半径为6400 km ，且由通常的水形成的海洋覆盖它所有的表面，海洋的深度为10 km ，学者们对该行星进行探查时发现，当把试验样品浸入行星海洋的不同深度时，各处的自由落体加速度以相当高的精确度保持不变．试求此行星表面处的自由落体加速度．已知万有引力常量G=6. 67×10-11N m 2/ kg 2。
分析和解：解本题的关键就在于首先要建立中心天体和运动卫星，才能运用基本方程式求行星表面处的自由落体加速度，若把水视为运动卫星群，则关键是如何求中心天体的质量。
以R 表示此星球的半径，M 表示其质量，h 表示其表面层海洋的深度，R 0表示除海洋外星球内层的半径，r 表示海洋内任一点到星球中心的距离．则：0R r R >>，且0R R h =+，以ρ水表示水的密度．则此星球表面海洋水的总质量为3322300044433333m R R R h R h h πρπρπρ=-=++水水水（）因R>>h ，略去h 高次项，得24m R h πρ=水 由2Mm Gmg R =表，2GMg R =表，020M m G mg R -=（）m ，020G M m g R -=（）依题意：0g g =表，即：2220M M m M m R R R h --==-（）（）（），222mM Rh h=-R 则32422R g G R R hπρπρ⨯==⋅水表水G h将G ＝6. 67×10-11N m 2/kg 2，ρ水＝1．0×103kg/m 3，R ＝6.4 ×106 m 代入得：g 表=2. 7 m/s 2。
类型三、天体运动的能量问题要注意在轨运行的卫星的机械能，然后利用机械能的改变及功能原理来解题，这是因为卫星的运行轨道变化既要注意其变轨机理，又要符合能量原理。
例4．质量为m 的人造地球卫星，在圆形轨道上运行．运行中受到大小恒为f 的微弱阻力作用，以r 表示卫星轨道的平均半径，M 表示地球质量，求卫星在旋转一周的过程中： （1）轨道半径的改变量Δr=？ （2）卫星动能的改变量ΔE k =？分析和解：因卫星沿圆形轨道运动，则22Mm G m r r υ=，则2122K GMm E m rυ==，则卫星的机械能为22GMm GMm GMmE r r r=-=-（1） 设卫星旋转一周轨道半径改变量为△r ，则对应机械能改变量为11222GMm GMm GMm E r r r r r r ∆=-+=-+∆+∆（）（），211r rr r r r r ∆∆-≈+∆+∆=r （）r22GMm E r r ∆=∆根据功能原理：W=ΔE ，即222GMmrf r r π-=∆，34r f r GMm π∆=-，负号表示轨道半径减小。
（2）卫星动能的改变量为：322114222222K GMm GMm GMm GMm GMm r fE r rfr r r r r r GMmππ∆=-=-≈∆=-⨯-=+∆+∆（）（）（）r r 类型四、天体运动的宇宙速度问题实质上就是两个问题：一个是摆脱引力场所需要的能量的问题；一个是能量的来源问题。
而能量要么来源于燃料，要么来源于碰撞。
例5．宇宙飞行器和小行星都绕太阳在同一平面内做圆周运动，飞行器的质量比小行星的质量小很多，飞行器的速率为0υ，小行星的轨道半径为飞行器轨道半径的6倍。
有人企图借助飞行器与小行星的碰撞使飞行器飞出太阳系，于是他便设计了如下方案：Ⅰ．当飞行器在其圆周轨道的适当位置时，突然点燃飞行器上的喷气发动机，经过极短时间后立即关闭发动机，以使飞行器获得所需的速度，沿圆周轨道的切线方向离开圆轨道；Ⅱ．飞行器到达小行星的轨道时正好位于小行星的前缘，速度的方向和小行星在该处速度的方向相同，正好可被小行星碰撞；Ⅲ．小行星与飞行器的碰撞是弹性正碰。
不计燃烧的燃料质量．（1）试通过计算证明按上述方案能使飞行器飞出太阳系．（2）设在上述方案中，飞行器从发动机取得的能量为E 1．如果不采取上述方案而令飞行器在圆轨道上突然点燃喷气发动机，经过极短时间后立即关闭发动机，以使飞行器获得足够的速度沿圆轨道切线方向离开圆轨道后能直接飞出太阳系．采用这种办法时飞行器从发动机取得的能量的最小值用E 2表示．问12E E 为多少？ 分析和解：(1)设太阳的质量为M 0，飞行器的质量为m ，飞行器绕太阳做圆周运动的轨道半径为R 。
根据所设计的方案，可知飞行器是从其原来的圆轨道上某处出发，沿着半个椭圆轨道到达小行星轨道上的．该椭圆既与飞行器原来的圆轨道相切，又与小行星的圆轨道相切．要使飞行器沿此椭圆轨道运动，应点燃发动机使飞行器的速度在极短时间内，由0υ变为某一值u 0．设飞行器沿椭圆轨道到达小行星轨道时的速度为u,因为大小为u 0和u 的这两个速度的方向都与椭圆的长轴垂直，由开普勒第二定律可得u 0 R= 6 Ur （1） 由能量关系，有2200011226M m M m mu G mu G R R-=- （2） 由万有引力定律，有2002M m G m R Rυ=，或0υ= （3） 解（1）（2）（3）三式得00u =（4），0u = （5） 设小行星绕太阳运动的速度为V ，小行星的质量为M ，由万有引力定律20266M M V G M R R=（），得0V == （6） 可以看出V>u （7）由此可见，只要选择好飞行器在圆轨道上合适的位置离开圆轨道，使得它到达小行星轨道处时，小行星的前缘也正好运动到该处，则飞行器就能被小行星撞击。