八年级初二数学下学期勾股定理单元 期末复习专项训练检测试题

八年级初二数学下学期勾股定理单元 期末复习专项训练检测试题
一、选择题
1．如图，在四边形ABCD 中，90B C ∠=∠=，DAB ∠与ADC ∠的平分线相交于BC 边上的M 点，则下列结论：①90AMD ∠=；②1
=2
ADM ABCD S S ∆梯形；③AB CD AD +=；④M 到AD 的距离等于BC 的1
3
；⑤M 为BC 的中点；其中正确的有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
2．已知：△ABC 中，BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，BQ ＝AC ，点F 在CE 的延长线上，CF ＝AB ，下列结论错误的是（ ）．
A ．AF ⊥AQ
B ．AF=AQ
C ．AF=AD
D ．F BAQ ∠=∠
3．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（ ）
A ．0.8米
B ．2米
C ．2.2米
D ．2.7米
4．如图，已知1号、4号两个正方形的面积之和为7，2号、3号两个正方形的面积之和
为4，则a 、b 、c 三个正方形的面积之和为（ ）
A ．11
B ．15
C ．10
D ．22
5．在平面直角坐标系内的机器人接受指令“[α，A]”(α≥0，0°＜A ＜180°)后的行动结果为：在原地顺时针旋转A 后，再向正前方沿直线行走α.若机器人的位置在原点，正前方为y 轴的负半轴，则它完成一次指令[4，30°]后位置的坐标为( ) A ．(－2，23)
B ．(－2，－23)
C ．(－2，－2)
D ．(－2，2)
6．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知90A ∠=︒正方形ADOF 的边长是2，4BD =，则CF 的长为（ ）
A ．6
B ．42
C ．8
D ．10
7．如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（ ）
A ．甲、乙都可以
B ．甲、乙都不可以
C ．甲不可以、乙可以
D ．甲可以、乙不可以
8．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm ，在容器内壁离容器底部4cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm 的点A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm ，则该圆柱底面周长为（ ）
A ．12cm
B ．14cm
C ．20cm
D ．24cm
9．已知M 、N 是线段AB 上的两点，AM ＝MN ＝2，NB ＝1，以点A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C ，连接AC ，BC ，则△ABC 一定是( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形 10．在下列以线段a 、b 、c 的长为边，能构成直角三角形的是（ ）
A ．a =3，b =4，c =6
B ．a =5，b =6，c =7
C ．a =6，b =8，c =9
D ．a =7，b =24，c =25
二、填空题
11．如图，∠MON ＝90°，△ABC 的顶点A 、B 分别在OM 、ON 上，当A 点从O 点出发沿着OM 向右运动时，同时点B 在ON 上运动，连接OC ．若AC ＝4，BC ＝3，AB ＝5，则OC 的长度的最大值是________．
12．如图，这是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为 1S ，2S ，3S ，若123144S S S ++=，则2S 的值是__________．
13．如图，等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，1AB DC ==，BD 平分ABC ∠，
BD CD ⊥，则AD BC +等于_________.
14．如图，四边形ABDC 中，∠ABD ＝120°，AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，AB ＝4，CD ＝43，则该四边形的面积是______．
15．在△ABC 中，若2222
25,75a b a b c -+===，，则最长边上的高为_____． 16．在△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，则ABC ∆的周长为_______________． 17．在ABC ∆中，10AB cm =，17AC cm =，BC 边上的高为8cm ，则ABC ∆的面积为______2cm ．
18．在Rt ABC 中，90,30,2C A BC ∠=∠==，以ABC 的边AC 为一边的等腰三角形，它的第三个顶点在ABC 的斜边AB 上，则这个等腰三角形的腰长为_________. 19．如图，长方形ABCD 中，∠A =∠ABC =∠BCD =∠D =90°，AB =CD =6，AD =BC =10，点E 为射线AD 上的一个动点，若△ABE 与△A ′BE 关于直线BE 对称，当△A ′BC 为直角三角形时，AE 的长为______．
20．如图的实线部分是由Rt ABC ∆经过两次折叠得到的.首先将Rt ABC ∆沿高CH 折叠，使点B 落在斜边上的点B '处，再沿CM 折叠，使点A 落在CB '的延长线上的点A '处.若图中
90ACB ∠=︒，15cm BC =，20cm AC =，则MB '的长为______.
三、解答题
21．如图，,90,8,6,,ABC B AB cm BC cm P Q ︒
∆∠===是边上的两点，点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 沿B C A →→运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒． （1）出发2秒后，求线段PQ 的长；
（2）求点Q 在BC 上运动时，出发几秒后，PQB 是等腰三角形； （3）点Q 在边CA 上运动时，求能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．
22．定义：有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形．（1）如图1，四边形ABCD 中，∠ABC =70°，∠BAC =40°，∠ACD =∠ADC =80°，求证：四边形ABCD 是邻和四边
形．
（2）如图2，是由50个小正三角形组成的网格，每个小正三角形的顶点称为格点，已知A 、B 、C 三点的位置如图，请在网格图中标出所有的格点．．．．．．．D ．，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为邻和四边形．
（3）如图3，△ABC 中，∠ABC =90°，AB =2，BC =23，若存在一点D ，使四边形ABCD 是邻和四边形，求邻和四边形ABCD 的面积．
23．定义：如图1，平面上两条直线AB 、CD 相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线AB 、CD 的距离分别为p 、q ，则称有序实数对(p ，q )是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为（0，0）的点有1个，即点O ． （1）“距离坐标”为(1，0)的点有 个；
（2）如图2，若点M 在过点O 且与直线AB 垂直的直线l 上时，点M 的“距离坐标”为(p ，q )，且∠BOD = 150︒，请写出p 、q 的关系式并证明；
（3）如图3，点M 的“距离坐标”为(1,3)，且∠DOB = 30︒，求OM 的长．
24．已知a ，b ，c 满足88a a -+-＝|c ﹣17|+b 2﹣30b +225，
（1）求a ，b ，c 的值；
（2）试问以a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长和面积；若不能构成三角形，请说明理由．
25．如图，点A 是射线OE ：y ＝x （x ≥0）上的一个动点，过点A 作x 轴的垂线，垂足为B ，过点B 作OA 的平行线交∠AOB 的平分线于点C ．
（1）若OA ＝2，求点B 的坐标；
（2）如图2，过点C 作CG ⊥AB 于点G ，CH ⊥OE 于点H ，求证：CG ＝CH ．
（3）①若点A 的坐标为（2，2），射线OC 与AB 交于点D ，在射线BC 上是否存在一点P 使得△ACP 与△BDC 全等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． ②在（3）①的条件下，在平面内另有三点P 1（2，2），P 2（2，22），P 3
（2+2，2﹣2），请你判断也满足△ACP 与△BDC 全等的点是 ．（写出你认为正确的点）
26．（已知：如图1，矩形OACB 的顶点A ，B 的坐标分别是（6，0）、（0，10），点D 是y 轴上一点且坐标为（0，2），点P 从点A 出发以每秒1个单位长度的速度沿线段AC ﹣CB 方向运动，到达点B 时运动停止．
（1）设点P 运动时间为t ，△BPD 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；
（2）当点P 运动到线段CB 上时（如图2），将矩形OACB 沿OP 折叠，顶点B 恰好落在边AC 上点B ′位置，求此时点P 坐标；
（3）在点P 运动过程中，是否存在△BPD 为等腰三角形的情况？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．
27．如图1，点E 是正方形ABCD 边CD 上任意一点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接BF ，点M 是线段BF 中点，射线EM 与BC 交于点H ，连接CM ． （1）请直接写出CM 和EM 的数量关系和位置关系．
（2）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转45︒，此时点F 恰好落在线段CD 上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．
（3）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转90︒，此时点E 、G 恰好分别落在线段
AD 、CD 上，连接CE ，如图3，其他条件不变，若2DG =，6AB =，直接写出CM 的长度．
28．如图1，已知△ABC 是等边三角形，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且CD ＝AE ，AD 与BE 相交于点F ．
（1）求证：∠ABE＝∠CAD；
（2）如图2，以AD为边向左作等边△ADG，连接BG．
ⅰ）试判断四边形AGBE的形状，并说明理由；
ⅱ）若设BD＝1，DC＝k（0＜k＜1），求四边形AGBE与△ABC的周长比（用含k的代数式表示）．
29．在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（m，0）在坐标轴上，点C，O关于直线AB 对称，点D在线段AB上．
（1）如图1，若m＝8，求AB的长；
（2）如图2，若m＝4，连接OD，在y轴上取一点E，使OD＝DE，求证：CE＝2DE；（3）如图3，若m＝43，在射线AO上裁取AF，使AF＝BD，当CD+CF的值最小时，请在图中画出点D的位置，并直接写出这个最小值．
30．（发现）小慧和小雯用一个平面去截正方体，得到一个三角形截面（截出的面），发现截面一定是锐角三角形．为什么呢？她们带着这个疑问请教许老师．
（体验）（1）从特殊入手许老师用1个铆钉把长度分别为4和3的两根窄木棒的一端连在一起（如图，）,保持不动，让从重合位置开始绕点转动，在转动的过程，观测的大小和的形状，并列出下表：
的大小的形状
…
直角三角形
…
直角三角形
…
请仔细体会其中的道理，并填空：_____，_____；
（2）猜想一般结论在中，设，，（），
①若为直角三角形，则满足；
②若为锐角三角形，则满足____________；
③若为钝角三角形，则满足_____________．
（探索）在许老师的启发下，小慧用小刀在一个长方体橡皮上切出一个三角形截面
（如图1），设，，，请帮助小慧说明为锐角三角形的道理．
（应用）在小慧的基础上，小雯又切掉一块“角”，得到一个新的三角形截面（如图2），那么的形状是（）
A．一定是锐角三角形
B．可能是锐角三角形或直角三角形，但不可能是钝角三角形
C．可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
过M 作ME AD ⊥于E ，得出12MDE CDA ∠=∠，1
2
MAD BAD ∠=∠，求出
1
()902
MDA MAD CDA BAD ∠+∠=∠+∠=︒，根据三角形内角和定理求出AMD ∠，即可判
断①；根据角平分线性质求出MC ME =，ME MB =，即可判断④和⑤；由勾股定理求出DC DE =，AB AE =，即可判断③；根据SSS 证DEM DCM ∆≅∆，推出
DEM DCM S S =三角形三角形，同理得出AEM ABM S S =三角形三角形，即可判断②． 【详解】
解：过M 作ME AD ⊥于E ，
DAB ∠与ADC ∠的平分线相交于BC 边上的M 点，
12MDE CDA ∴∠=∠，1
2
MAD BAD ∠=∠，
//DC AB ，
180CDA BAD ∴∠+∠=︒，
11
()1809022
MDA MAD CDA BAD ∴∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，
1809090AMD ∴∠=︒-︒=︒，故①正确；
DM 平分CDE ∠，90()C MC DC ∠=︒⊥，ME DA ⊥，
MC ME ，
同理ME MB =，
1
2
MC MB ME BC ∴===
，故⑤正确； M ∴到AD 的距离等于BC 的一半，故④错误；
由勾股定理得：222DC MD MC =-，222DE MD ME =-，
又
ME MC =，MD MD =， DC DE ∴=， 同理AB AE =，
AD AE DE AB DC ∴=+=+，故③正确； 在DEM ∆和DCM ∆中DE DC DM DM ME MC =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，
()DEM DCM SSS ∴∆≅∆，
DEM DCM S S ∴=三角形三角形 同理AEM ABM S S =三角形三角形，
1
2
AMD ABCD S S ∴=三角形梯形，故②正确；
故选：C ．
【点睛】
本题考查了角平分线性质，垂直定义，直角梯形，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
2．C
解析：C 【分析】
根据BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，推导出EBH DCH ∠=∠；再结合题意，可证明
FAC AQB △≌△，由此可得F BAQ ∠=∠,AF AQ =；再经90AEF ∠=得
90F FAE ∠+∠=，从而证明AF ⊥AQ ；最后由勾股定理得222
AQ AD QD =
+，从而得
到AF AD ≠，即可得到答案． 【详解】
如图，CE 和BD 相较于H
∵BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高
∴CE AB ⊥,BD AC ⊥
∴90BEC BDC AEF ADQ ∠=∠=∠=∠=
∴90EBH EHB DHC DCH ∠+∠=∠+∠=
∵EHB DHC ∠=∠
∴EBH DCH ∠=∠
又∵BQ ＝AC 且CF ＝AB
∴FAC AQB △≌△
∴F BAQ ∠=∠,AF AQ =，故B 、D 结论正确；
∵90AEF ∠=
∴90F FAE ∠+∠=
∴90BAQ FAE F FAE ∠+∠=∠+∠=
∴AF ⊥AQ 故A 结论正确；
∵90ADQ ∠=
∴222
AQ AD QD =+
∵0QD ≠
∴AQ AD ≠
∴AF AD ≠
故选：C ．
【点睛】
本题考查了全等三角形、直角三角形、勾股定理、三角形的高等知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、直角三角形、勾股定理、三角形的高的性质，从而完成求解． 3．D
解析：D
【分析】
先根据勾股定理求出梯子的长，进而根据勾股定理可得出小巷的宽度．
【详解】
解：如图，由题意可得：
AD 2=0.72+2.42=6.25，
在Rt △ABC 中，
∵∠ABC=90°，BC=1.5米，BC 2+AB 2=AC 2，AD=AC ，
∴AB 2+1.52=6.25，
∴AB=±2，
∵AB ＞0，
∴AB=2米，
∴小巷的宽度为：0.7+2=2.7（米）．
故选：D.
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
4．B
解析：B
【分析】
由直角三角形的勾股定理以及正方形的面积公式不难发现：a 的面积等于1号的面积加上2号的面积，b 的面积等于2号的面积加上3号的面积，c 的面积等于3号的面积加上4号的面积，据此可以求出三个的面积之和.
【详解】
利用勾股定理可得：
12a S S S =+ ，23b S S S =+，34c S S S =+
∴122334a b c S S S S S S S S S ++=+++++
74415=++=
故选B
【点睛】
本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握相关性质定理是解题关键.
5．B
解析：B
【解析】
根据题意，如图，∠AOB=30°，OA=4，则AB=2，OB=23，所以A(－2，－23)，故选B.
6．A
解析：A
【分析】
设CF=x ，则AC=x+2，再由已知条件得到AB=6，BC=6+x ，再由AB 2+AC 2=BC 2得到62+（x+2）2=（x+4）2，解方程即可．
【详解】
设CF=x，则AC=x+2，
∵正方形ADOF的边长是2，BD=4，△BDO≌△BEO，△CEO≌△CFO，
∴BD=BE，CF=CE，AD=AF=2，
∴AB=6，BC=6+x，
∵∠A=90°，
∴AB2+AC2=BC2，
∴62+（x+2）2=（x+4）2，
解得：x=6，
即CF=6，
故选：A．
【点睛】
考查正方形的性质、勾股定理，解题关键是设CF=x，则AC=x+2，利用勾股定理得到62+（x+2）2=（x+4）2．
7．A
解析：A
【解析】
试题分析：剪拼如下图：
乙
故选A
考点：剪拼，面积不变性，二次方根
8．D
解析：D
【分析】
将容器侧面展开，建立A关于EG的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【详解】
解：如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，
作A关于E的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF 的长，即AF+BF=A'B=20cm，
延长BG，过A'作A'D⊥BG于D，
∵AE=A'E=DG=4cm，
∴BD=16cm，
Rt△A'DB中，由勾股定理得：A'D=22
-=cm
201612
∴则该圆柱底面周长为24cm．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
9．B
解析：B
【分析】
依据作图即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，进而得到AC2+BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形．
【详解】
如图所示，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形就是直角三角形．
10．D
解析：D
【解析】
A 选项：32+42≠62，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
B 选项：52+62≠72，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
C 选项：62+82≠92，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
D 选项：72+242=252，故符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故正确． 故选D ．
二、填空题
11．5
【解析】
试题分析：取AB 中点E ，连接OE 、CE ，在直角三角形AOB 中，OE=AB ，利用勾股定理的逆定理可得△ACB 是直角三角形，所以CE=AB ，利用OE+CE≥OC ，所以OC 的最大值为OE+CE ，即OC 的最大值=AB=5．
考点：勾股定理的逆定理，
12．48
【分析】
用a 和b 表示直角三角形的两个直角边，然后根据勾股定理列出正方形面积的式子，求出2S 的面积．
【详解】
解：本图是由八个全等的直角三角形拼成的，设这个直角三角形两个直角边中较长的长度为a ，较短的长度为b ，即图中的AE a =，AH b =，
则()221S AB a b ==+，2222S HE a b ==+，()2
23S TM a b ==-， ∵123144S S S ++=，
∴()()22
22144a b a b a b ++++-= 22222222144a b ab a b a b ab ++++++-=
2233144a b +=
2248a b +=，
∴248S =．
故答案是：48．
【点睛】
本题考查勾股定理，解题的关键是要熟悉赵爽弦图中勾股定理的应用．
13．3
【分析】
由//AD BC ，BD 平分ABC ∠，易证得ABD ∆是等腰三角形，即可求得1AD AB ==，又由四边形ABCD 是等腰梯形，易证得2C DBC ∠=∠，然后由BD CD ⊥，根据直角三角形的两锐角互余，即可求得30DBC ∠=︒，则可求得BC 的值，继而求得AD BC +的值.
【详解】
解：∵//AD BC ，AB DC =，
∴C ABC ∠=∠，ADB DBC ∠=∠，
∵BD 平分ABC ∠，
∴2ABC DBC ∠=∠，ABD DBC ∠=∠，
∴ABD ADB ∠=∠，
∴1AD AB ==，
∴2C DBC ∠=∠，
∵BD CD ⊥，
∴90BDC ∠=︒，
∵三角形内角和为180°，
∴90DBC C ∠+∠=︒，
∴260C DBC ∠=∠=︒，
∴2212BC CD ==⨯=，
∴123AD BC +=+=.
故答案为：3．
【点睛】
本题主要考查对勾股定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰梯形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．
14．
【分析】
延长CA 、DB 交于点E ，则60C ∠=°，30E ∠=︒，在Rt ABE ∆中，利用含30角的直
角三角形的性质求出28BE AB ==，根据勾股定理求出AE =．同理，在Rt DEC ∆中
求出2CE CD ==12DE ==，然后根据CDE ABE ABDC S S S ∆∆=-四边形，计算即可求解．
【详解】
解：如图，延长CA 、DB 交于点E ，
∵四边形ABDC 中，120ABD ∠=︒，AB AC ⊥，BD CD ⊥，
∴60C ∠=°，
∴30E ∠=︒，
在Rt ABE ∆中，4AB =，30E ∠=︒，
∴28BE AB ==， 2243AE BE AB ∴=-=． 在Rt DEC ∆中，30E ∠=︒，43CD =，
283CE CD ∴==，
2212DE CE CD ∴=-=，
∴1443832
ABE S ∆=⨯⨯=， 143122432
CDE S ∆=⨯⨯=， 24383=163CDE ABE ABDC S S S ∆∆∴=-=-四边形．
故答案为：163．
【点睛】
本题考查了勾股定理，含30角的直角三角形的性质，图形的面积，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
15．125
【分析】 解方程222225,7a b a b +=-=可求得a=4，b=3，故三角形ABC 是直角三角形，在利用三角形的面积转化得到斜边上的高.
【详解】
解：∵2222
25,7a b a b +=-=，
将两个方程相加得：2232a =，
∵a ＞0，
∴a=4
代入得：22425b +=，
∵b ＞0，
∴b=3，
∵a=3，b=4，c=5满足勾股定理逆定理，
∴△ABC 是直角三角形，
如下图，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，
1122
ABC S AC BC AB CD =⋅⋅=⋅⋅ ， 即：
1134522
CD ⋅⋅=⋅⋅， 解得：CD=125
， 故答案为：125
. 【点睛】 本题考查求解三角形的高，解题关键是利用三角形的面积进行转化，在同一个三角形中，一个底乘对应高等于另一个底乘对应高.
16．32或42
【分析】
根据题意画出图形，分两种情况：△ABC 是钝角三角形或锐角三角形，分别求出边BC ，即可得到答案
【详解】
当△ABC 是钝角三角形时，
∵∠D=90°，AC=13，AD=12， ∴222213125CD AC AD -=-=,
∵∠D=90°，AB=15，AD=12， ∴222215129BD AB AD =-=-,
∴BC=BD-CD=9-5=4，
∴△ABC 的周长=4+15+13=32；
当△ABC是锐角三角形时，
∵∠ADC=90°，AC=13，AD=12，
∴2222
=-=-=，
CD AC AD
13125
∵∠ADB=90°，AB=15，AD=12，
∴2222
BD AB AD
=-=-=，
15129
∴BC=BD-CD=9+5=14，
∴△ABC的周长=14+15+13=42；
综上，△ABC的周长是32或42，
故答案为：32或42.
【点睛】
此题考查勾股定理的实际应用，能依据题意正确画出图形分类讨论是解题的关键.
17．36或84
【分析】
过点A作AD⊥BC于点D，利用勾股定理列式求出BD、CD，再分点D在边BC上和在CB的延长线上两种情况分别求出BC的长度，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【详解】
解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵BC边上的高为8cm，
∴AD=8cm，
∵AC=17cm，
由勾股定理得：
2222
=-=-=cm，
1086
BD AB AD
222217815CD AC AD =-=-=cm ，
如图1，点D 在边BC 上时，
BC=BD+CD =6+15=21cm ，
∴△ABC 的面积=
12BC AD =12
×21×8=84cm 2， 如图2，点D 在CB 的延长线上时，
BC= CD −BD =15−6=9cm ，
∴△ABC 的面积=12BC AD =12
×9×8=36 cm 2， 综上所述，△ABC 的面积为36 cm 2或84 cm 2，
故答案为：36或84．
【点睛】
本题考查了勾股定理，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键，难点是在于要分情况讨论．
18．232
【分析】
先求出AC 的长，再分两种情况：当AC 为腰时及AC 为底时，分别求出腰长即可.
【详解】
在Rt ABC 中，90,30,2C A BC ∠=∠==，
∴AB=2BC=4，
∴22224223AC AB BC =-=-=
当AC 为腰时，则该三角形的腰长为3
当AC 为底时，作AC 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如图，此时△ACD 是等腰三角形，则3
设DE=x ，则AD=2x ，
∵222AE DE AD +=,
∴222(3)(2)x x +=
∴x=1（负值舍去），
∴腰长AD=2x=2，
故答案为：23或2
【点睛】
此题考查勾股定理的运用，结合线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题时注意：“AC 为一边的等腰三角形”没有明确AC 是等腰三角形的腰或底，故应分为两种情况解题，这是此题的易错之处.
19．2或18
【分析】
分两种情况:点E 在AD 线段上,点E 为AD 延长线上的一点,进一步分析探讨得出答案即可.
【详解】
解：①如图
点E 在AD 线段上，△ABE 与△A ′B E 关于直线BE 对称，
∴△A ′BE ≌△ABE,
∴∠B A′E=∠A=90o ,AB=A ′B
∠B A′C =90o ,∴E 、A',C 三点共线,
在△ECD 与△CB A′中，{CD A B
D BA C DEC ECB
='∠=∠'∠=∠,
∴△ECD ≌△CB A′,
∴CE=BC=10,
在RT △CB A′中，A′C=22BC BA -'=22106-=8,
∴AE= A′E=CE - A′C=10-8=2;
②如图
点E 为AD 延长线上,由题意得：
∠A"BC+∠A"CB=∠DCE+∠A"CB=90o
∴∠A"BC=∠DCE,
在△A"BC 与△DCE 中，"={""A CDE
CD A B A BC DCE
∠∠=∠=∠
∴△A"BC ≌△DCE,DE= A"C,
在RT △ A"BC 中，
∴AE=AD+DE=AD+ A"C=10+8=18;
综上所知,AE=2或18.
故答案为:2或18.
【点睛】
此题考查翻折的性质,三角形全等的判定与性质,勾股定理,掌握翻折的性质,分类探讨的思想方法是解决问题的关键.
20．3
【分析】
根据题意利用折叠后图形全等，并利用等量替换和等腰三角形的性质进行综合分析求解.
【详解】
解：由题意可知','ACM A CM BCH B CH ≅≅,
∵15cm BC =，20cm AC =，
∴'15,'20,BC B C cm AC A C cm ====''20155A B cm =-=，
∵90ACB ∠=︒，
∴'A M AB ⊥(等量替换)，CH AB ⊥（三线合一），
∴25,AB cm = 利用勾股定理假设MB '的长为m ，'257AM AM m ==-，则有222(257)5m m +-=，
解得3m =，
所以MB '的长为3.
【点睛】
本题考查几何的翻折问题，熟练掌握并综合利用等量替换和等腰三角形的性质以及勾股定理分析是解题的关键.
三、解答题
21．（1）出发2秒后，线段PQ
的长为2）当点Q 在边BC 上运动时，出发
83
秒后，△PQB 是等腰三角形；（3）当t 为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ 为等腰三角形.
【分析】
（1）由题意可以求出出发2秒后，BQ 和PB 的长度，再由勾股定理可以求得PQ 的长度； （2）设所求时间为t ，则可由题意得到关于t 的方程，解方程可以得到解答； （3）点Q 在边CA 上运动时，ΔBCQ 为等腰三角形有三种情况存在，对每种情况进行讨论可以得到解答．
【详解】
(1)BQ=2×2=4cm ，BP=AB−AP=8−2×1=6cm ，
∵∠B=90°，
由勾股定理得：PQ=22224652213BQ BP +=+==
∴出发2秒后，线段PQ 的长为213；
(2)BQ=2t ，BP=8−t
由题意得：2t=8−t
解得：t=83 ∴当点Q 在边BC 上运动时，出发
83秒后，△PQB 是等腰三角形； (3) ∵∠ABC=90°，BC=6，AB=8，∴AC=2268+=10.
①当CQ=BQ 时(图1)，则∠C=∠CBQ ，
∵∠ABC=90°，∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠ABQ ，∴BQ=AQ ，∴CQ=AQ=5，
∴BC+CQ=11，∴t=11÷2=5.5秒；
②当CQ=BC 时(如图2)，则BC+CQ=12
∴t=12÷2=6秒
③当BC=BQ 时(如图3)，过B 点作BE ⊥AC 于点E ，
∴BE=6824105
AB BC AC ⋅⨯==， 所以22BC BE -=
185
=3.6， 故CQ=2CE=7.2，
所以BC+CQ=13.2，
∴t=13.2÷2=6.6秒.
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形.
【点睛】
本题考查三角形的动点问题，利用分类讨论思想和方程方法、综合力学的运动知识和三角形边角的有关知识求解是解题关键．
22．（1）见解析；（2）见解析；（3）43或63
【分析】
（1）先由三角形的内角和为180°求得∠ACB的度数，从而根据等腰三角形的判定证得AB=AC=AD，按照邻和四边形的定义即可得出结论．
（2）以点A为圆心，AB长为半径画圆，与网格的交点，以及△ABC外侧与点B和点C组成等边三角形的网格点即为所求．
（3）先根据勾股定理求得AC的长，再分类计算即可：①当DA=DC=AC时；②当
CD=CB=BD时；③当DA=DC=DB或AB=AD=BD时．
【详解】
（1）∵∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，
∴∠ACB=∠ABC，
∴AB=AC．
∵∠ACD=∠ADC，
∴AC=AD，
∴AB=AC=AD．
∴四边形ABCD是邻和四边形；
（2）如图，格点D、D'、D''即为所求作的点；
（3）∵在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =2，BC =23， ∴AC =()22222234AB BC +=+=，
显然AB ，BC ，AC 互不相等．
分两种情况讨论： ①当DA =DC =AC=4时，如图所示：
∴△ADC 为等边三角形，
过D 作DG ⊥AC 于G ，则∠ADG =
160302⨯︒=︒， ∴122
AG AD ==， 22224223DG AD AG =-=-=，
∴S △ADC =1423432
⨯⨯=，S △ABC =12AB×BC =23， ∴S 四边形ABCD =S △ADC +S △ABC =63；
②当CD =CB =BD =23时，如图所示：
∴△BDC 为等边三角形，
过D 作DE ⊥BC 于E ，则∠BDE =
160302⨯︒=︒， ∴132
BE BD == ()()22222333DE BD BE =-=
-=， ∴S △BDC =1233332
⨯= 过D 作DF ⊥AB 交AB 延长线于F ，
∵∠FBD=∠FBC -∠DBC =90︒-60︒=30︒，
∴DF=12BD=3， S △ADB =12332
⨯⨯=， ∴S 四边形ABCD =S △BDC +S △ADB =43；
③当DA =DC =DB 或AB =AD =BD 时，邻和四边形ABCD 不存在．
∴邻和四边形ABCD 的面积是63或43．
【点睛】
本题属于四边形的新定义综合题，考查了等腰三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积计算等知识点，数形结合并读懂定义是解题的关键．
23．(1)2；(2)3q p =
；(3)27OM = 【分析】
（1）根据“距离坐标”的定义结合图形判断即可；
（2）过M 作MN ⊥CD 于N ，根据已知得出MN q =，OM p =，求出∠MON ＝60°，根据含30度直角三角形的性质和勾股定理求出2232MN MO NO p =
-=即可解决问题；
（3）分别作点M 关于AB 、CD 的对称点F 、E ，连接EF 、OE 、OF ，连接MF 、ME 分别交AB 、CD 于P 点、Q 点，首先证明OM OE OF EF ===，求出2MF =，23ME =，然后过F 作FG QM ⊥，交QM 延长线于G ，根据含30度直角三角形的性质求出1FG =，3MG =，再利用勾股定理求出EF 即可．
【详解】
解：（1）由题意可知，在直线CD 上，且在点O 的两侧各有一个，共2个，
故答案为：2；
（2）过M 作MN CD ⊥于N ，
∵直线l AB ⊥于O ，150BOD ∠=︒，
∴60MON ∠=︒，
∵MN q =，OM p =，
∴1122
NO MO p ==，
∴2232MN MO NO p =-=， ∴32
q p =； （3）分别作点M 关于AB 、CD 的对称点F 、E ，连接EF 、OE 、OF ，连接MF 、ME 分别交AB 、CD 于P 点、Q 点．
∴OFP OMP △≌△，OEQ OMQ △≌△，
∴FOP MOP ∠=∠，EOQ MOQ ∠=∠，OM OE OF ==，
∴260EOF BOD ∠=∠=︒，
∴△OEF 是等边三角形，
∴OM OE OF EF ===，
∵1MP =，3MQ =，
∴2MF =，23ME =，
∵30BOD ∠=︒，
∴150PMQ ∠=︒，
过F 作FG QM ⊥，交QM 延长线于G ，
∴30FMG ∠=︒，
在Rt FMG △中，112FG MF ==，则3MG =，
在Rt EGF 中，1FG =，33EG ME MG =+=，
∴22(33)127EF =+=，
∴27OM =．
【点睛】
本题考查了轴对称的应用，含30度直角三角形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定和性质等，正确理解题目中的新定义是解答本题的关键．
24．（1）a ＝8，b ＝15，c ＝17；（2）能，60
【分析】
（1）根据算术平方根，绝对值，平方的非负性即可求出a 、b 、c 的值；
（2）根据勾股定理的逆定理即可求出此三角形是直角三角形，由此得到面积和周长
【详解】
解：（1）∵a ，b ，c |c ﹣17|+b 2﹣30b +225，
21||7(15)c b +-﹣，
∴a ﹣8＝0，b ﹣15＝0，c ﹣17＝0，
∴a ＝8，b ＝15，c ＝17；
（2）能．
∵由（1）知a ＝8，b ＝15，c ＝17，
∴82+152＝172．
∴a 2+c 2＝b 2，
∴此三角形是直角三角形，
∴三角形的周长＝8+15+17＝40； 三角形的面积＝
12
×8×15＝60． 【点睛】
此题考查算术平方根，绝对值，平方的非负性，勾股定理的逆定理判断三角形的形状.
25．（1）（5，0）；（2）见解析；（3）①P （4，2），②满足△ACP 与△BDC 全等的点是P 1、P 2，P 3．
理由见解析
【分析】
（1）由题意可以假设A （a ，a ）（a ＞0），根据AB 2+OB 2=OA 2，构建方程即可解决问题； （2）由角平分线的性质定理证明CH=CF ，CG=CF 即可解决问题；
（3）①如图3中，在BC 的延长线上取点P ，使得CP=DB ，连接AP ．只要证明
△ACP ≌△CDB （SAS ），△ABP 是等腰直角三角形即可解决问题；
②根据SAS 即可判断满足△ACP 与△BDC 全等的点是P 1、P 2，P 3；
【详解】
解：（1）∵点A 在射线y ＝x （x ≥0）上，故可以假设A （a ，a ）（a ＞0），
∵AB ⊥x 轴，
∴AB ＝OB ＝a ，即△ABO 是等腰直角三角形，
∴AB 2+OB 2＝OA 2，
∴a 2+a 2＝（）2，
解得a ＝5，
∴点B 坐标为（5，0）．
（2）如图2中，作CF ⊥x 轴于F ．
∵OC平分∠AOB，CH⊥OE，
∴CH＝CF，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AOB＝45°，
∵BC∥OE，
∴∠CBG＝∠AOB＝45°，得到BC平分∠ABF，
∵CG⊥BA，CF⊥BF，
∴CG＝CF，
∴CG＝CH．
（3）①如图3中，在BC的延长线上取点P，使得CP＝DB，连接AP．
由（2）可知AC平分∠DAE，
∴∠DAC＝1
2
∠DAE＝
1
2
（180°﹣45°）＝67.5°，
由OC平分∠AOB得到∠DOB＝1
2
∠AOB＝22.5°，
∴∠ADC＝∠ODB＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠ADC＝∠DAC＝67.5°，
∴AC＝DC，
∠BDC＝∠OBD+∠DOB＝90°+22.5°＝112.5°，
∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠ADC＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，∠OCB＝45°﹣22.5°＝22.5°，
∠ACP＝180°﹣∠ACD﹣∠OCB＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，
在△ACP和△CDB中，
AC AD
ACP DB CP DB
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ACP≌△CDB（SAS），
∴∠CAP＝∠DCB＝22.5°，
∴∠BAP＝∠CAP+∠DAC＝22.5°+67.5°＝90°，
∴△ABP是等腰直角三角形，
∴AP＝AB＝OB＝2，
∴P（4，2）．
②满足△ACP与△BDC全等的点是P1、P2，P3．
理由：如图4中，
由题意：AP1＝BD，AC＝CD，∠CAP1＝∠CDB，根据SAS可得△CAP1≌△CDB；
AP2＝BD，AC＝CD，∠CAP2＝∠CDB，根据SAS可得△CAP2≌△CDB；
AC＝CD，∠ACP3＝∠BDC，BD＝CP3根据SAS可得△CAP3≌△DCB；
故答案为P1、P2，P3．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
26．（1）S=
24(06)
464(616)
t
t t
<
⎧
⎨
-+<<
⎩
（2）
10
,10
3
⎛⎫
⎪
⎝⎭
（3）存在，(6,6)或(6,1027)
-，
(6,272)
【解析】
【分析】
（1）当P在AC段时，△BPD的底BD与高为固定值，求出此时面积；当P在BC段时，底边BD为固定值，用t表示出高，即可列出S与t的关系式；
（2）当点B的对应点B′恰好落在AC边上时，设P（m，10），则PB=PB′=m，由勾股定理得m2=22+（6-m）2，即可求出此时P坐标；
（3）存在，分别以BD，DP，BP为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P坐标即可．
【详解】
解：（1）∵A，B的坐标分别是（6，0）、（0，10），
∴OA=6，OB=10，
当点P在线段AC上时，OD=2，BD=OB-OD=10-2=8，高为6，
∴
S=1
2
×8×6=24；
当点P在线段BC上时，BD=8，高为6+10-t=16-t，
∴S=
1
2
×8×（16-t）=-4t+64；
∴S与t之间的函数关系式为：
240t6
S
4t64(6t16)
<≤
⎧
=⎨
-+<<
⎩
（）
；（2）设P（m，10），则PB=PB′=m，如图1，
∵OB′=OB=10，OA=6，
∴AB′=22
OB OA
-
＇=8，
∴B′C=10-8=2，
∵PC=6-m，
∴m2=22+（6-m）2，
解得m=
10
3
则此时点P的坐标是（
10
3
，10）；
（3）存在，理由为：
若△BDP为等腰三角形，分三种情况考虑：如图2，
①当BD=BP1=OB-OD=10-2=8，
在Rt △BCP 1中，BP 1=8，BC=6，
根据勾股定理得：CP 1
=
∴AP 1＝10
−，
即P 1（6，
10-
②当BP 2=DP 2时，此时P 2（6，6）；
③当DB=DP 3=8时，
在Rt △DEP 3中，DE=6，
根据勾股定理得：P 3
=，
∴AP 3=AE+EP 3
=+2，
即P 3（6
，），
综上，满足题意的P 坐标为（6，6）或（6，
10-6
，+2）．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，注意分类讨论思想和方程思想的运用．
27．（1）,CM ME CM EM =⊥；（2）见解析；（3
）CM =
【解析】
【分析】
(1)证明ΔFME ≌ΔAMH ，得到HM=EM ，根据等腰直角三角形的性质可得结论. （2）根据正方形的性质得到点A 、E 、C 在同一条直线上,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知. （3）如图3中，连接EC ，EM ，由（1）（2）可知，△CME 是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质解决问题即可．
【详解】
解：（1）结论：CM ＝ME ，CM ⊥EM ．
理由：∵AD ∥EF ，AD ∥BC ，
∴BC ∥EF ，
∴∠EFM ＝∠HBM ，
在△FME 和△BMH 中，
EFM MBH FM BM
FME BMH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△FME ≌△BMH （ASA ），
∴HM ＝EM ，EF ＝BH ，
∵CD ＝BC ，
∴CE ＝CH ，∵∠HCE ＝90°，HM ＝EM ，
∴CM ＝ME ，CM ⊥EM ．
（2）如图2，连接BD ，。