关于二阶曲面的代数定义和射影定义的等价性

,
, 分 别作平 面 二 丫 使 二 与 二 过a a
.
,
交线 脚 在 习上 则 由 a
证 明:
十
,
,
x
观
如 所知 任 一 常态 二 阶 曲 面 习 的方程 ( ) 2 总可通 过 自极 四 面 体 的选 取化 为 斌 + 扩
。
一
a ,
x
m 所 确定 的 面 束 a 到 a , 的映 射成 非 透视 的射 影 对 应
DOI : 10. 16169 /j . i ssn. 1008 -293x. s. 1994. 05. 011
19 4 9 年第 与 期
1 9 94年 6月
巴二
二二二 二二
绍
J O U R N A L OF
兴
师
专
学
报
N O 5
,
199 1 9)
S H A O X IN G
T E A CH E R S C J L L E CE
,
二
定义 2
,
( 二 阶 曲 面 的射影 定义 ) : 两 个 射影 面束 的对应 平 面的交线 集 合连 同 这两个 面 束
。
的轴 构成一 二 阶 曲面或 二阶射影 曲面 时 二 阶 曲面是变态 的
(一 )
、 .
: 当两束 轴异 面时 二 阶 曲面 为 常态 的 当两束 轴共 面
,
在 研 究 二 阶 曲面 的射影 分 类中可 知 无 实点 的 二 阶 曲 面
。 。 ,
令几 为 常数
。
.
,
则
,
( 5 ) 中的点 由矛 所 决定
其 轨迹 由 ( 3
。
变 动 滋 则 可得刃 上 的一族 久母 线
. ,
同理
令
,
为常 数
,
则 可 得 刃 上 的另一 族 刀 母 线
由予其 中 含
、
数` 所 以 上 一
,
,
小
态二阶
、
面刃 上
总存 在着未 必为实 的 两 族 直 母 线 不失 一 般 性
二
, {丫 }成非 透 视的射 影对 应 } 与a
。
,
则 其对
应平 面的文 线 二 证明
:
m 的集合为 通过 两束 轴的常态 二 阶 曲面
一
设 不“ 直线 为一
{ :
公
,
、
=
0 0
劣:
与
=
a
,
:
:
=
{
。
x
3
二
O
,
, 的平 面 束 方程 分 别 为 则 过“ a
=
、
.
=
,
O
`
+
兔
o
;
劣
+
几劣
O
。
因 为 成 射影对 应
一 a
,`
兄一
一
a
几
+
a
:
二
0
二 ` 否则 , 、 , 。,
“
。
一
仪 妙
a x
s ’ l a a z
, a
x
、\
/ 。
嘴
合” “ “的“ 共平 面不 存 在
。
所
以 映射
脚
引理 2
一 设 以 两不 交直 线
x 二尹 二
脚 所 确定的是 面束 a 到面束 ’ a 的非透 视 的射 影
a
、
, 为 轴的 面束 a a {
。 、
,
二 阶曲 面 共 可分为 八类
,
其 中常 态 的 可 分 三 类
(三 )
;
:
,
(二 )
:
、
有 实点但 无 实直线 的二 阶 曲面 虚 二 阶锥 面
。
,
有 两族 实直线 的
(六 )
、
二 阶曲 面
面
;
变态 的 可分 五 类
两 相异 实平 而
.
(四)
、
;
(五 )
、
实 二 阶锥 面
两 共扼 虚平
(七 )
端+ 毗 = 叭 川 + 嵘 + 州一 对 = 山 斌 + 端 一 端 一 代二
+
三 种标 准 形 式
。
例如 化 为 形 式
对
端
+
端
+
端
=
o
,
通过 分 解 可 得
劣 劣
1
十 十
1士 ,劣
,
ù 截 气
ù 一
刃 男
二
。
4
久
( 3 )
收 稿日 期
:
扣J
3 一 0 6一 0
8
一
一
绍 兴 师 专学报
劣 劣 一 劣
;
( /又 )
两 重合平 而
欲 证 关于 立 阶 曲面的两 种 定 义 的等 价 性
,
只 须 证 明上 述 八 类曲 面均 可 由两 射影面 束 的
,
对 应 平 面交 线 构成 即 可 类
。 ,
反之
,
凡是 由两 射影 面 束 的 对应 平面交 线 所 生 成 的曲 面 仅 此 八 反 之 由二 阶 曲面 的射 影 定 义 可 推
J
u n o
二=
二 艺二
二
二 :
之
二
二
`
认
`
二
关 于 二 阶 曲 面 的 代 数 定 义 和 射影 定 义 的 等 价性
裘 肖 庚
( 数 学 系) 摘
要
。
数 定 义 和 射影 定 义之 间 的等价性 定 理 木文给出 了关 于 二 阶 曲 面 的 }凭
关 键词
:
二 阶 曲面 代 数定义 射影 定 义 , 等价性
=
;
;
定义
1
( 二 阶 曲 面 的 代数 定义 ) : 满 足 二 次方程 艺 入 , 气 二 ,
`
.
o
,
a
`
,
=
a
,
`
歹
一 :
(1 )
。、 `
的点集 称
O时 二 阶 曲
,
为 二 阶曲 面 或 二 阶代数 曲面 面 为变态 的
。
。
当 } 风,!
`
、
`
斧 佣寸 二 阶曲 面 为 常态 的 ;
,
当 !久 !
, 的任 一 平 面 方 程分 别 可 写 为 过a a
汀
l :
劣
,
+
劣 之
:
=
0 ,
汀
,
:
劣
。
+
几劣
,
`=Βιβλιοθήκη o因为 交 线 拼
:
{
、
’
二 一
公 之
:
。
不
=
一
凡劣 (
a
,
`
也 在刃 上 代 入( 6 ) 得
,。
,
几 几
:
:
,
一 a
`
,
.
几一
;
a
:
s
孟
厂
+
a
,
;
)劣
:
劣`
=
0
.
从 而必 有
a
: 。
` 完 几 =
,
这 就是 说 由 二 阶 曲面 的 代 数 定 义 可 推 出射 影 定 义
。
出 代数 定 义 引理 1
一 个 常态 二 阶 曲 面 刃 :
.
公
分
。
a
i
` ,
气二,
二
。
.
’ a ,
二 a
,`
,
!。
、
` ,
l
`
、
.
今 。( 2 )
上总 存 在 着
、
J一
两 族 未 必 为 实的 直 母 线
, 若 在 同 族 中任 取 两直 母线 么 a
三 式 联 立 可 解得
,
所 以 参数 之 矛 满 足 一 线 性 函 数式
刀
=
a
孟+
刀
,
下 注+ d
a
d
一
y 刀今 0
。
么 一
3
: 二
一
=
~ 牛心
加 劣
占
:
一 一
:
郎 劣
,
,
1’
即
, 劣 ,劣 : +
a 劣 : 劣` 一
劣 占
2
公。 一
加
吕
自然科 学 版
二
年
J
卫扭土 些
劣 一
公劣
刀
从 中 可 解出
劣
, :
劣:
、
:
劣:
:
劣`
=
,
, 1 + 几 元
:
(l
一
久 之 )i
,
:
二 几 几
,
(兄 十 几, ) i
。
(5 )
若 以 久 刀 为 参数
,
,
则
,
( 5 )是 关 于 二 阶 曲面 刃上 的点 的坐标 的参数 表 示 ) 知 为一 直 线
,
l
鼠 定 直 母 线为 实
r
。
因为 a
a , 同 族 而不 交 故 可 设
。
劣一
二
0 0
;
劣。
=
0 O
劣:
=
劣 a
,
4
=
由
a
、
a
`
〔万 得
a
工,
二 a
:
:
=
13
a
3 3
二
a
; 4
=
l ;
:
=
4
a
3;
=
o
,
( 2 ) 式 可写为
+ a
: 一
a
、
劣 1劣
3
+
a
男 x必
+
a
。,
牛:劣
3
劣
2劣 `
=
0
( 6)