河南省洛阳市新安县第一高级中学2022高二数学上学期月考试题

河南省洛阳市新安县第一高级中学2022高二数学上学期月考试题
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1.已知集合M ＝{x |－4<x <2}，N ＝{x |x 2
－x －6<0}，则M ∩N ＝( ) A ．{x |－4<x <3} B ．{x |－4<x <－2} C ．{x |－2<x <2}
D ．{x |2<x <3}
2. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+，12a =，则=5a （ ） A ．12- B ．10- C ．10 D ．12
3. 在△ABC 中, ,2,3,4
AB BC ABC π
∠==
=则sin BAC ∠ =（ ）.
A ．
1010 B ．105 C ．31010
D ．55 4. 圆2
2
4690x y x y +--+=的圆心到直线10ax y ++=的距离为2，则a =（ ）
A ．43
-
B ．34
-
C ．2
D ．2
5. 若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.
π4 B ．π2 C.3π
4
D ．π 6．等差数列{a n }的公差d ＜0，且a 2
1
＝a 211
，则数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值时的项数n 的值为( ) A ．5 B ．6 C ．5或6 D ．6或7
7. 在数列{}n a 中，10a =，11ln 1n n a a n +⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
，则{}n a 的通项公式为（ ）．
A ．ln n a n =
B ．()()1ln 1n a n n =-+
C ．ln n a n n =
D ．ln 2n a n n =+- 8. 在ABC ∆中，2,6
AB C π
==，则3AC BC +的最大值为（ ）
A ．27
B ．37
C ．47
D ．57
9．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中的第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为( ) A.176升 B ．72升 C.11366升 D ．10933
升 10. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（ ）
A .62
B .42
C .6
D .4
11. 在正三棱锥S ABC -中，M 是SC 的中点，且AM SB ⊥,底面边长22AB =则正三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（ ）
A. 6π
B.12π
C.32π
D.36π 12. 在ABC ∆中，内角A ，B ，C , 03
B π
<≤
.若对于任意实数x ，不等式
2(2sin 2)x B ++2
2sin 14t B π⎡⎤⎛
⎫+⋅+ ⎪⎢⎥⎭⎣
⎦≥⎝恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）
A ．(,1][1,)-∞-+∞
B ．(,1)
(1,)-∞-+∞
C ．(2,1]2)-⋃
D ．[2,1][1,2]- 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．函数f (x )＝3sin(2x －
π6)在区间[0，π
2
]上的值域为________． 14. 圆心在直线270x y -+=上的圆C 与x 轴交于两点(2,0)A -、(4,0)B -,则圆C 的方程为________. 15．在等腰△ABC 中，∠BAC ＝120°，AD 为边BC 上的高，点E 满足AD →＝3AE →
，若AB ＝m ，则BE 的长为________．
16. 若数列{}n a 满足：1(1)(N )n n n a a n n *
++-=∈，则12100=a a a ++
+ ________.
三、解答题（满分70分）
17．(10分)若数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ≠0，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝1
2
.
(1)求证：⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1S n 成等差数列；
(2)求数列{a n }的通项公式．
18.（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设()3cos cos a c B b C -=.
（1）求cos B 的值；
（2）若1a =，22b =πsin 3A ⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭
的值.
19．（12分）在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.
(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .
20.（12分）如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是线段AD ，BD 的中点，90ABD BCD ∠=∠=，
2EC =，2AB BD ==，直线EC 与平面ABC 所成的角等于30．
（1）证明：平面EFC ⊥平面BCD ； （2）求二面角A CE B --的余弦值．
21．（12分）已知向量31(cos 2cos )2m x x x =-，31
(1,sin cos )2
n x x =-，设函数()f x =⋅m n ． (1)求函数()f x 取得最大值时x 取值的集合；
(2)设A ，B ，C 为锐角三角形ABC 的三个内角．若3cos 5B =，1
()4
f C =-，求sin A 的值。

22.（12分）设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝4
4－a n
(n ∈N +)．
(1)求证：数列{1
a n －2
}是等差数列； (2)设b n ＝a 2n
a 2n －1
，求数列{b n }的前n 项和T n .
答案
一、选择题 1. 【答案】C
2. 【答案】B 【解析】4233S S S += ，d a d a 76)33(311+=+∴，又21=a 3-=∴d ，105-=∴a
3.【答案】C
【解析】由余弦定理可得52
132292cos 222=⨯
⨯-+=∠⋅-+=
ABC BC BA CB BA AC ，由正
弦定理可得
⇒∠=∠B
AC
BAC BC sin sin sin BAC ∠=⨯
=
5
22
3310
4. 【答案】B 【解析】圆的标准方程是2
2
(2)(3)4-+-=x y ，圆心为(2,3)，2231
21
a a ++=+，解得3
4a =-．
5. 答案C f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.当x ∈[0，a ]时，x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，a ＋π4，所以结合题意可
知，a ＋π4≤π，即a ≤3π4，故所求a 的最大值是3π
4.故选C.
6.解析：选C. 由a 2
1
＝a 211
，可得(a 1＋a 11)(a 1－a 11)＝0，
因为d ＜0，所以a 1－a 11≠0，所以a 1＋a 11＝0，又2a 6＝a 1＋a 11，所以a 6＝0.
因为d ＜0，所以{a n }是递减数列，所以a 1＞a 2＞…＞a 5＞a 6＝0＞a 7＞a 8＞…，显然前5项和或前6项和最大，故选C.
7. 【答案】A 【解析】由已知得()11ln ln 1ln n n n a a n n n ++⎛⎫
-==+-
⎪⎝⎭
， 所以()1ln ln 1n n a a n n --=--；()()12ln 1ln 2n n a a n n ---=---；
；32ln 3ln 2a a -=-
21ln 2ln1a a -=-将上述1n -个式子相加，整理的1ln ln1ln n a a n n -=-=，又因为10a =，所以ln n a n =．
8. 【答案】C 【解析】由题：在△ABC 中，设,,AB c BC a AC b ===，三角形△ABC 外接圆半径为R ，
2,,246
c C R π
==
=，
5(0,)6A π
∈54(sin )4(sin())6AC b B A A A π
==+=-+
14(cos sin )2cos )22
A A A A A A ϕ=+=+=+，
其中tan (0,)
2
π
ϕϕ=
∈，当2A πϕ=-时，取得最大值. 9.解析：选A.自上而下依次设各节竹子的容积分别为a 1，a 2，…，a 9，依题意有⎩⎪⎨⎪
⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 7＋a 8＋a 9＝4
，因为a 2
＋a 3＝a 1＋a 4，a 7＋a 9＝2a 8，故a 2＋a 3＋a 8＝32＋43＝17
6
.选A.
10. 【答案】C 【解析】如图所示，原几何体为三棱锥D ABC -
，其中
4,AB BC AC DB DC =====
6DA =
=，故最长的棱的长度为6DA =
11. 【答案】B 【解析】因为三棱锥S ABC -为正三棱锥，所以SB AC ⊥，又AM SB ⊥，所以SB ⊥平面SAC ，所以,SB SA ⊥SB SC ⊥，即,,SA
SB SC 三线两两垂直，且AB =2SA SB SC ===，所以
22
(2)3212R =⨯=所以球的表面积2
412S R ππ==.
12. 【答案】A 【解析】在ABC 中，03
B π
<≤，
记4m B π⎛
⎫=
+ ⎪⎝⎭
，则2sin 21B m =-.因为03B π<≤，所以74412B π
ππ<+≤，从而1m
<≤
所以2
2(2sin 2)sin 14x B B π⎤⎛
⎫+++⋅+ ⎪⎥⎭⎦≥⎝可化为()2221()1x m tm +++≥，
即，()222224
2120x m x m t m m +++++≥恒成立，所以依题有()()2
2222441420m m t m m +-++≤，
化简得221t m ≥，即得2
2
1t m ≥恒成立，又由2
2111212m m
<⇒≤<≤，得211t t ≥⇒≥或1t ≤-. 二、填空题
13、解析：当x ∈[0，π2]时，2x －π6∈[－π6，5π
6]，
所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈[－12，1]，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈[－32，3]，
所以函数f (x )在区间[0，π2]上的值域是[－3
2
，3]．
14.【答案】2
2
(3)(2)5x y ++-=【解析】先由条件求得圆心C 的坐标，再求出半径r=|AC|，从而得到圆C
的方程．因为直线AB 的中垂线方程为x=-3，代入直线x-2y+7=0，得y=2， 故圆心的坐标为C （-3，2），再由两点间的距离公式求得半径r=|AC|=5 ∴圆C 的方程为2
2
(3)(2)5x y ++-=.故答案为2
2
(3)(2)5x y ++-=.
15. 因为△ABC 是等腰三角形，∠BAC ＝120°，AD ⊥BC ，所以∠ABC ＝30°，∠BAD ＝60°，又因为AB ＝m ，所
以AD ＝12 m ，由AD →＝3 AE →，得AE ＝16m ，在△ABE 中，AB ＝m ，AE ＝16m ，∠BAE ＝60°，所以由余弦定理，得BE
2
＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE ·cos∠BAE ＝m 2
＋136m 2－2m ×16m ×cos 60°＝3136
m 2，所以
BE ＝
31
6
m .
答案：316
m
16.【答案】2550【解析】因为1(1)(N )n n n a a n n *
++-=∈,
故211,a a -=322,a a +=433,a a -=544,a a +=655,a a -=766,a a +=877,a a -=… 可得31751a a a a +=+=
=,所以13579799...25a a a a a a +++++=.
4223,a a +=+8667,a a +=+12111011,a a +=+…
所以2468981002524
(525825252)
a a a a a a ⨯+++++=⨯+⨯=.故12100=2550a a a +++.
三、解答题
17、解：(1)证明：当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1
a 1
＝2，
故⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)由(1)可得1S n ＝2n ，所以S n ＝1
2n .
当n ≥2时，
a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝n －1－n 2n （n －1）＝－1
2n （n －1）.
当n ＝1时，a 1＝1
2
不适合上式．
故a n
＝⎩⎪⎨⎪
⎧1
2
，n ＝1，－1
2n （n －1），n ≥2.
18. 【答案】（1）1cos 3B =
；（2
【解析】（1）由正弦定理得3sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=，即
()3sin cos sin cos sin cos sin sin A B C B B C B C A =+=+=，∴1
cos 3
B =；
（2
）易知sin 3
B =，由正弦定理sin sin a b A B =
，则1sin 1sin 3a B A b ===， 又a b <，∴A B <，即A
为锐角，则cos 3A =.
∴π11sin sin 3226A A A +⎛
⎫+=+= ⎪⎝
⎭.
19.解：(1)在△ABD 中，由正弦定理得BD
sin ∠A ＝AB
sin ∠ADB
.
由题设知，5sin 45°＝2sin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝2
5
.由题设知，∠ADB <90°，
所以cos ∠ADB ＝
1－225＝235
.
(2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝2
5
. 在△BCD 中，由余弦定理得
BC 2＝BD 2＋DC 2－2·BD ·DC ·cos∠BDC
＝25＋8－2×5×22×2
5
＝25.所以BC ＝5.
20.【答案】(Ⅰ)见证明； (Ⅱ)
13
． 【解析】（Ⅰ）在t R BCD ∆中，F 是斜边BD 的中点，所以1
12
FC BD ==.因为,E F 是,AD BD 的中点，所以1
12
EF AB =
=
，且EC =222EF FC EC +=，所以EF FC ⊥. 又因为,//AB BD EF AB ⊥，所以EF BD ⊥，又BD FC F ⋂=，所以EF ⊥平面BCD ，因为EF ⊂平面EFC ， 所以平面EFC ⊥平面BCD ．
（Ⅱ）取AC 中点M ，连ME ，则//ME CD ，
因为1
2
CE AD =
=CD AC ⊥.又因为CD BC ⊥，AC BC C ⋂=， 所以CD ⊥平面ABC ，所以ME ⊥平面ABC ．因此ECM ∠是直线EC 与平面ABC 所成的角． 故22cos306AC MC EC ==⋅
=
所以CD BC ==过点B 作BN AC ⊥于N ，则BN ⊥
平面ACD ，且3
AB BC BN AC ⋅=
=
．过点B 作BH EC ⊥于H ，连接HN ， 则BHN ∠为二面角A
CE B --的平面角．因为BE BC EC ===
所以BH BE HN
====
1
cos
3
HN
BHN
BH
∠==，
因此二面角A CE B
--的余弦值为
1
3
．
21、解析:
（Ⅰ）2
1
()cos2(cos)
22
f x x x x
=+-
22
31
cos2(sin cos cos)
44
x x x x x
=++-
13
(cos22)
24
x x
=--+
1
).
23
x
π
=--
要使()
f x取得最大值，须满足sin(2)
3
x
π
-取得最小值．
∴22,
32
x k k
ππ
-=π-∈Z.∴,
12
x k k
π
=π-∈Z.
∴当()
f x取得最大值时，x取值的集合为{|,}.
12
x x k k
π
=π-∈Z
（Ⅱ）由题意，得sin(2)
3
C
π
-=
(0,),
2
C
π
∈
2
2(,).
333
C
πππ
∴-∈-
3
C
π
∴=．
(0,)
2
B
π
∈，
4
sin.
5
B
∴=
sin sin()sin cos cos sin
A B C B C B C
∴=+=+
413
525
=⨯+=
22. (1)证明：因为a n＋1＝
4
4－a n
，所以
1
a n＋1－2
－
1
a n－2
＝
1
4
4－a n
－2
－
1
a n－2
＝
4－a n
2a n－4
－
1
a n－2
＝
2－a n
2a n－4
＝－
1
2
，
为常数．
因为a1＝1，所以
1
a1－2
＝－1，所以数列{
1
a n－2
}是以－1为首项，－
1
2
为公差的等差数列．
(2)由(1)知
1
a n－2
＝－1＋(n－1)(－
1
2
)＝－
n＋1
2
，
所以a n＝2－
2
n＋1
＝
2n
n＋1
，
所以b n＝
a2n
a2n－1
＝
4n
2n＋1
2（2n－1）
2n
＝
4n2
（2n－1）（2n＋1）
＝1＋
1
（2n－1）（2n＋1）
＝1＋
1
2
(
1
2n－1
－
1
2n＋1
)，
所以T n＝b1＋b2＋b3＋…＋b n
＝n＋
1
2
(1－
1
3
＋
1
3
－
1
5
＋
1
5
－
1
7
＋…＋
1
2n－1
－
1
2n＋1
)
＝n＋
1
2
(1－
1
2n＋1
)
＝n＋
n
2n＋1
，
所以数列{b n}的前n项和T n＝n＋
n
2n＋1
.。