河南省洛阳市新安县第一高级中学2022高二数学上学期月考试题

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

河南省洛阳市新安县第一高级中学2022高二数学上学期月考试题
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分)
1.已知集合M ={x |-4<x <2},N ={x |x 2
-x -6<0},则M ∩N =( ) A .{x |-4<x <3} B .{x |-4<x <-2} C .{x |-2<x <2}
D .{x |2<x <3}
2. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+,12a =,则=5a ( ) A .12- B .10- C .10 D .12
3. 在△ABC 中, ,2,3,4
AB BC ABC π
∠==
=则sin BAC ∠ =( ).
A .
1010 B .105 C .31010
D .55 4. 圆2
2
4690x y x y +--+=的圆心到直线10ax y ++=的距离为2,则a =( )
A .43
-
B .34
-
C .2
D .2
5. 若f (x )=cos x -sin x 在[0,a ]是减函数,则a 的最大值是( ) A.
π4 B .π2 C.3π
4
D .π 6.等差数列{a n }的公差d <0,且a 2
1
=a 211
,则数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值时的项数n 的值为( ) A .5 B .6 C .5或6 D .6或7
7. 在数列{}n a 中,10a =,11ln 1n n a a n +⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
,则{}n a 的通项公式为( ).
A .ln n a n =
B .()()1ln 1n a n n =-+
C .ln n a n n =
D .ln 2n a n n =+- 8. 在ABC ∆中,2,6
AB C π
==,则3AC BC +的最大值为( )
A .27
B .37
C .47
D .57
9.《九章算术》是我国古代第一部数学专著,全书收集了246个问题及其解法,其中一个问题为“现有一根九节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面四节容积之和为3升,下面三节的容积之和为4升,求中间两节的容积各为多少?”该问题中的第2节,第3节,第8节竹子的容积之和为( ) A.176升 B .72升 C.11366升 D .10933
升 10. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为( )
A .62
B .42
C .6
D .4
11. 在正三棱锥S ABC -中,M 是SC 的中点,且AM SB ⊥,底面边长22AB =则正三棱锥S ABC -的外接球的表面积为( )
A. 6π
B.12π
C.32π
D.36π 12. 在ABC ∆中,内角A ,B ,C , 03
B π
<≤
.若对于任意实数x ,不等式
2(2sin 2)x B ++2
2sin 14t B π⎡⎤⎛
⎫+⋅+ ⎪⎢⎥⎭⎣
⎦≥⎝恒成立,则实数t 的取值范围为( )
A .(,1][1,)-∞-+∞
B .(,1)
(1,)-∞-+∞
C .(2,1]2)-⋃
D .[2,1][1,2]- 二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分) 13.函数f (x )=3sin(2x -
π6)在区间[0,π
2
]上的值域为________. 14. 圆心在直线270x y -+=上的圆C 与x 轴交于两点(2,0)A -、(4,0)B -,则圆C 的方程为________. 15.在等腰△ABC 中,∠BAC =120°,AD 为边BC 上的高,点E 满足AD →=3AE →
,若AB =m ,则BE 的长为________.
16. 若数列{}n a 满足:1(1)(N )n n n a a n n *
++-=∈,则12100=a a a ++
+ ________.
三、解答题(满分70分)
17.(10分)若数列{a n }的前n 项和为S n ,S n ≠0,且满足a n +2S n S n -1=0(n ≥2),a 1=1
2
.
(1)求证:⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1S n 成等差数列;
(2)求数列{a n }的通项公式.
18.(12分)在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,设()3cos cos a c B b C -=.
(1)求cos B 的值;
(2)若1a =,22b =πsin 3A ⎛

+ ⎪⎝

的值.
19.(12分)在平面四边形ABCD 中,∠ADC =90°,∠A =45°,AB =2,BD =5.
(1)求cos ∠ADB ; (2)若DC =22,求BC .
20.(12分)如图,在四面体ABCD 中,E ,F 分别是线段AD ,BD 的中点,90ABD BCD ∠=∠=,
2EC =,2AB BD ==,直线EC 与平面ABC 所成的角等于30.
(1)证明:平面EFC ⊥平面BCD ; (2)求二面角A CE B --的余弦值.
21.(12分)已知向量31(cos 2cos )2m x x x =-,31
(1,sin cos )2
n x x =-,设函数()f x =⋅m n . (1)求函数()f x 取得最大值时x 取值的集合;
(2)设A ,B ,C 为锐角三角形ABC 的三个内角.若3cos 5B =,1
()4
f C =-,求sin A 的值。

22.(12分)设数列{a n }满足a 1=1,a n +1=4
4-a n
(n ∈N +).
(1)求证:数列{1
a n -2
}是等差数列; (2)设b n =a 2n
a 2n -1
,求数列{b n }的前n 项和T n .
答案
一、选择题 1. 【答案】C
2. 【答案】B 【解析】4233S S S += ,d a d a 76)33(311+=+∴,又21=a 3-=∴d ,105-=∴a
3.【答案】C
【解析】由余弦定理可得52
132292cos 222=⨯
⨯-+=∠⋅-+=
ABC BC BA CB BA AC ,由正
弦定理可得
⇒∠=∠B
AC
BAC BC sin sin sin BAC ∠=⨯
=
5
22
3310
4. 【答案】B 【解析】圆的标准方程是2
2
(2)(3)4-+-=x y ,圆心为(2,3),2231
21
a a ++=+,解得3
4a =-.
5. 答案C f (x )=cos x -sin x =2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4.当x ∈[0,a ]时,x +π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4,a +π4,所以结合题意可
知,a +π4≤π,即a ≤3π4,故所求a 的最大值是3π
4.故选C.
6.解析:选C. 由a 2
1
=a 211
,可得(a 1+a 11)(a 1-a 11)=0,
因为d <0,所以a 1-a 11≠0,所以a 1+a 11=0,又2a 6=a 1+a 11,所以a 6=0.
因为d <0,所以{a n }是递减数列,所以a 1>a 2>…>a 5>a 6=0>a 7>a 8>…,显然前5项和或前6项和最大,故选C.
7. 【答案】A 【解析】由已知得()11ln ln 1ln n n n a a n n n ++⎛⎫
-==+-
⎪⎝⎭
, 所以()1ln ln 1n n a a n n --=--;()()12ln 1ln 2n n a a n n ---=---;
;32ln 3ln 2a a -=-
21ln 2ln1a a -=-将上述1n -个式子相加,整理的1ln ln1ln n a a n n -=-=,又因为10a =,所以ln n a n =.
8. 【答案】C 【解析】由题:在△ABC 中,设,,AB c BC a AC b ===,三角形△ABC 外接圆半径为R ,
2,,246
c C R π
==
=,
5(0,)6A π
∈54(sin )4(sin())6AC b B A A A π
==+=-+
14(cos sin )2cos )22
A A A A A A ϕ=+=+=+,
其中tan (0,)
2
π
ϕϕ=
∈,当2A πϕ=-时,取得最大值. 9.解析:选A.自上而下依次设各节竹子的容积分别为a 1,a 2,…,a 9,依题意有⎩⎪⎨⎪
⎧a 1+a 2+a 3+a 4=3a 7+a 8+a 9=4
,因为a 2
+a 3=a 1+a 4,a 7+a 9=2a 8,故a 2+a 3+a 8=32+43=17
6
.选A.
10. 【答案】C 【解析】如图所示,原几何体为三棱锥D ABC -
,其中
4,AB BC AC DB DC =====
6DA =
=,故最长的棱的长度为6DA =
11. 【答案】B 【解析】因为三棱锥S ABC -为正三棱锥,所以SB AC ⊥,又AM SB ⊥,所以SB ⊥平面SAC ,所以,SB SA ⊥SB SC ⊥,即,,SA
SB SC 三线两两垂直,且AB =2SA SB SC ===,所以
22
(2)3212R =⨯=所以球的表面积2
412S R ππ==.
12. 【答案】A 【解析】在ABC 中,03
B π
<≤,
记4m B π⎛
⎫=
+ ⎪⎝⎭
,则2sin 21B m =-.因为03B π<≤,所以74412B π
ππ<+≤,从而1m
<≤
所以2
2(2sin 2)sin 14x B B π⎤⎛
⎫+++⋅+ ⎪⎥⎭⎦≥⎝可化为()2221()1x m tm +++≥,
即,()222224
2120x m x m t m m +++++≥恒成立,所以依题有()()2
2222441420m m t m m +-++≤,
化简得221t m ≥,即得2
2
1t m ≥恒成立,又由2
2111212m m
<⇒≤<≤,得211t t ≥⇒≥或1t ≤-. 二、填空题
13、解析:当x ∈[0,π2]时,2x -π6∈[-π6,5π
6],
所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6∈[-12,1],故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6∈[-32,3],
所以函数f (x )在区间[0,π2]上的值域是[-3
2
,3].
14.【答案】2
2
(3)(2)5x y ++-=【解析】先由条件求得圆心C 的坐标,再求出半径r=|AC|,从而得到圆C
的方程.因为直线AB 的中垂线方程为x=-3,代入直线x-2y+7=0,得y=2, 故圆心的坐标为C (-3,2),再由两点间的距离公式求得半径r=|AC|=5 ∴圆C 的方程为2
2
(3)(2)5x y ++-=.故答案为2
2
(3)(2)5x y ++-=.
15. 因为△ABC 是等腰三角形,∠BAC =120°,AD ⊥BC ,所以∠ABC =30°,∠BAD =60°,又因为AB =m ,所
以AD =12 m ,由AD →=3 AE →,得AE =16m ,在△ABE 中,AB =m ,AE =16m ,∠BAE =60°,所以由余弦定理,得BE
2
=AB 2+AE 2-2AB ·AE ·cos∠BAE =m 2
+136m 2-2m ×16m ×cos 60°=3136
m 2,所以
BE =
31
6
m .
答案:316
m
16.【答案】2550【解析】因为1(1)(N )n n n a a n n *
++-=∈,
故211,a a -=322,a a +=433,a a -=544,a a +=655,a a -=766,a a +=877,a a -=… 可得31751a a a a +=+=
=,所以13579799...25a a a a a a +++++=.
4223,a a +=+8667,a a +=+12111011,a a +=+…
所以2468981002524
(525825252)
a a a a a a ⨯+++++=⨯+⨯=.故12100=2550a a a +++.
三、解答题
17、解:(1)证明:当n ≥2时,由a n +2S n S n -1=0, 得S n -S n -1=-2S n S n -1,所以1S n -1S n -1=2,又1S 1=1
a 1
=2,
故⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1S n 是首项为2,公差为2的等差数列. (2)由(1)可得1S n =2n ,所以S n =1
2n .
当n ≥2时,
a n =S n -S n -1=12n -12(n -1)=n -1-n 2n (n -1)=-1
2n (n -1).
当n =1时,a 1=1
2
不适合上式.
故a n
=⎩⎪⎨⎪
⎧1
2
,n =1,-1
2n (n -1),n ≥2.
18. 【答案】(1)1cos 3B =
;(2
【解析】(1)由正弦定理得3sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=,即
()3sin cos sin cos sin cos sin sin A B C B B C B C A =+=+=,∴1
cos 3
B =;
(2
)易知sin 3
B =,由正弦定理sin sin a b A B =
,则1sin 1sin 3a B A b ===, 又a b <,∴A B <,即A
为锐角,则cos 3A =.
∴π11sin sin 3226A A A +⎛
⎫+=+= ⎪⎝
⎭.
19.解:(1)在△ABD 中,由正弦定理得BD
sin ∠A =AB
sin ∠ADB
.
由题设知,5sin 45°=2sin ∠ADB ,所以sin ∠ADB =2
5
.由题设知,∠ADB <90°,
所以cos ∠ADB =
1-225=235
.
(2)由题设及(1)知,cos ∠BDC =sin ∠ADB =2
5
. 在△BCD 中,由余弦定理得
BC 2=BD 2+DC 2-2·BD ·DC ·cos∠BDC
=25+8-2×5×22×2
5
=25.所以BC =5.
20.【答案】(Ⅰ)见证明; (Ⅱ)
13
. 【解析】(Ⅰ)在t R BCD ∆中,F 是斜边BD 的中点,所以1
12
FC BD ==.因为,E F 是,AD BD 的中点,所以1
12
EF AB =
=
,且EC =222EF FC EC +=,所以EF FC ⊥. 又因为,//AB BD EF AB ⊥,所以EF BD ⊥,又BD FC F ⋂=,所以EF ⊥平面BCD ,因为EF ⊂平面EFC , 所以平面EFC ⊥平面BCD .
(Ⅱ)取AC 中点M ,连ME ,则//ME CD ,
因为1
2
CE AD =
=CD AC ⊥.又因为CD BC ⊥,AC BC C ⋂=, 所以CD ⊥平面ABC ,所以ME ⊥平面ABC .因此ECM ∠是直线EC 与平面ABC 所成的角. 故22cos306AC MC EC ==⋅
=
所以CD BC ==过点B 作BN AC ⊥于N ,则BN ⊥
平面ACD ,且3
AB BC BN AC ⋅=
=
.过点B 作BH EC ⊥于H ,连接HN , 则BHN ∠为二面角A
CE B --的平面角.因为BE BC EC ===
所以BH BE HN
====
1
cos
3
HN
BHN
BH
∠==,
因此二面角A CE B
--的余弦值为
1
3

21、解析:
(Ⅰ)2
1
()cos2(cos)
22
f x x x x
=+-
22
31
cos2(sin cos cos)
44
x x x x x
=++-
13
(cos22)
24
x x
=--+
1
).
23
x
π
=--
要使()
f x取得最大值,须满足sin(2)
3
x
π
-取得最小值.
∴22,
32
x k k
ππ
-=π-∈Z.∴,
12
x k k
π
=π-∈Z.
∴当()
f x取得最大值时,x取值的集合为{|,}.
12
x x k k
π
=π-∈Z
(Ⅱ)由题意,得sin(2)
3
C
π
-=
(0,),
2
C
π

2
2(,).
333
C
πππ
∴-∈-
3
C
π
∴=.
(0,)
2
B
π
∈,
4
sin.
5
B
∴=
sin sin()sin cos cos sin
A B C B C B C
∴=+=+
413
525
=⨯+=
22. (1)证明:因为a n+1=
4
4-a n
,所以
1
a n+1-2

1
a n-2

1
4
4-a n
-2

1
a n-2

4-a n
2a n-4

1
a n-2

2-a n
2a n-4
=-
1
2

为常数.
因为a1=1,所以
1
a1-2
=-1,所以数列{
1
a n-2
}是以-1为首项,-
1
2
为公差的等差数列.
(2)由(1)知
1
a n-2
=-1+(n-1)(-
1
2
)=-
n+1
2

所以a n=2-
2
n+1

2n
n+1

所以b n=
a2n
a2n-1

4n
2n+1
2(2n-1)
2n

4n2
(2n-1)(2n+1)
=1+
1
(2n-1)(2n+1)
=1+
1
2
(
1
2n-1

1
2n+1
),
所以T n=b1+b2+b3+…+b n
=n+
1
2
(1-
1
3

1
3

1
5

1
5

1
7
+…+
1
2n-1

1
2n+1
)
=n+
1
2
(1-
1
2n+1
)
=n+
n
2n+1

所以数列{b n}的前n项和T n=n+
n
2n+1
.。

相关文档
最新文档