2023-2024学年湖南省长沙市长沙县(省示范)学校高一(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年湖南省长沙市长沙县（省示范）学校高一（上）期末数学
试卷
一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．集合A＝{x|﹣1≤x≤2，x∈N}，B＝{1}A B＝（）
A．{x|﹣1≤x＜1或1＜x≤2}B．{﹣1，0，2}
C．{0，2}D．{2}
2．函数f（x）＝lgx+2x﹣5的零点所在的区间是（）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
3．“x＞1”是“（x+2）＜0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若角α终边有一点P（2，y），且（）
A．1B．﹣1C．±1D．2
5．已知正数x，y满足，则的最小值为（）
A．5B．C．4D．
6．已知不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞3}，则下列结论错误的是（）A．a＜0
B．a+b+c＞0
C．cx2﹣bx+a＜0的解集为{x|x＜﹣或x＞1}
D．c＞0
7．已知f（x）＝是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，）B．（﹣，2]C．（，+∞）D．（﹣∞，﹣2]
8．设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R（x﹣2）＝f（x+2），且当x∈[﹣2，．若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）a（x+2）＝0（a＞1）恰有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）
A．（1，2）B．（2，+∞）C．（1，+∞）D．
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．已知a∈{﹣1，1，2，3}，则使函数y＝x a的值域为R，且为奇函数的a的值为（）A．1B．﹣1C．3D．2
10．设a，b∈R，则下列结论正确的是（）
A．若a＞b＞0，则B．若a＜b＜0，则（a﹣1）2＜（b﹣1）2
C．若a+b＝2，则2a+2b≥4D．若，则a＞b
11．下列说法正确的是（）
A．命题“∀x∈R，x2＞﹣1”的否定是“∃x∈R，x2＜﹣1”
B．函数f（x）＝2log4x与g（x）＝2x的图象关于y＝x对称
C．为奇函数
D．函数f（x）＝x2﹣2|x|+5单调递增区间为[﹣1，0]，[1，+∞）
12．若函数f（x）同时满足：（1）对于定义域内的任意x（x）+f（﹣x）＝0；（2）1，x2，当x1≠x2时，有，则称函数f（x）为“理想函数”．给出下列四个函数是“理想函数”的是（）A．f（x）＝x2B．f（x）＝﹣x3
C．f（x）＝x﹣D．f（x）＝
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．cos（﹣）＝．
14．当a＞0且a≠1时，函数y＝a x﹣2+4的图象一定经过定点．
15．折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，其中，OA＝3OC＝3（曲边四边形ABDC）的面积是．
16．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）+b的图象如图（0）+f（1）+f（2）（2020）+f（2021）+f（2022）（2023）的值为．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）计算下列各式的值：
（1）；
（2）．
18．（12分）集合A＝{x||2x﹣1|≤7}，B＝{x|2k﹣2＜x＜k+3}．
（1）当k＝2时，求A∪B；
（2）问题：已知_____，求k的取值范围．
从下面给出的三个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答．
（若选择多个方案分别解答，则按第一个解答记分）
①A∪B＝A；②A∩B＝B；③A∩B＝∅．
19．（12分）已知函数（a为常数）．
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若f（x）在上有最小值1，求a的值．
20．（12分）2013年9月7日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲并回答学生们提出的问题，在谈到环境保护问题时，也要金山银山．宁要绿水青山，不要金山银山，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基．新能源汽车环保、节能，以电代油，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向，n（n≤16且n∈N*）年内的总维修保养费用为C（n）＝kn2+40n（k∈R）万元，该项目每年可给公司带来200万元的收入．设到第n（n≤16且n∈N*），该项目的纯利润（纯利润＝累计收入﹣累计维修保养费一投资成本）为L（n），该项目的纯利润为128万元．
（1）求实数k的值，并求该项目到第几年年底纯利润第一次能达到232万元；
（2）到第几年年底，该项目年平均利润（平均利润＝纯利润÷年数）最大？并求出最大值．
21．（12分）如图，AB为半圆的直径，AB＝2，P是半圆上的一点，∠BOP＝θ，将射线OP绕O逆时针旋转90°到OQ，过P，QN⊥AB于N．
（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，用θ的三角函数表示P，Q两点的坐标；
（Ⅱ）求四边形PQNM的面积的最大值．
22．（12分）若对定义域内任意x，都有f（x+a）＞f（x）（a＞0）（x）为“隔断”增函数，a称隔断距离．（1）若f（x）＝x3﹣2x，x∈R是“隔断”增函数，求隔断距离a的取值范围；
（2）若，其中k∈R，且为“隔断”增函数，求实数k的取值范围．
2023-2024学年湖南省长沙市长沙县（省示范）学校高一（上）期末数学
试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．集合A＝{x|﹣1≤x≤2，x∈N}，B＝{1}A B＝（）
A．{x|﹣1≤x＜1或1＜x≤2}B．{﹣1，0，2}
C．{0，2}D．{2}
解：∵集合A＝{x|﹣1≤x≤2，x∈N}＝{-1，0，1}，B＝{1}，∴∁A B＝{3，2}．
故选：C．
2．函数f（x）＝lgx+2x﹣5的零点所在的区间是（）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
解：函数的定义域为（0，+∞）且函数在（0，
∵f（2）＝lg4﹣1＜0，f（3）＝lg7+1＞0，
∴函数f（x）＝log4x+x﹣3的零点一定在区间（2，5）．
故选：C．
3．“x＞1”是“（x+2）＜0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解：由（x+7）＜0得x+2＞5，
则“x＞1”是“（x+2）＜0”的充分不必要条件，
故选：A．
4．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若角α终边有一点P（2，y），且（）
A．1B．﹣1C．±1D．2
解：角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，y），且，
即，解得y＝﹣1．
故选：B．
5．已知正数x，y满足，则的最小值为（）
A．5B．C．4D．
解：因为，则，
当且仅当，即时取等号．
故选：B．
6．已知不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞3}，则下列结论错误的是（）A．a＜0
B．a+b+c＞0
C．cx2﹣bx+a＜0的解集为{x|x＜﹣或x＞1}
D．c＞0
解：由题意知，﹣1和3是方程ax7+bx+c＝0的两根，且a＜0，
∴﹣6+3＝﹣，（﹣1）×3＝，
∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∵a＜2，∴b＞0，即选项A和D正确；
∵1∉{x|x＜﹣2或x＞3}，
∴a+b+c＞0，即选项B正确；
不等式cx5﹣bx+a＜0可化为a（3x+6）（x﹣1）＞0，
∵a＜5，∴﹣，即选项C错误．
故选：C．
7．已知f（x）＝是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，）B．（﹣，2]C．（，+∞）D．（﹣∞，﹣2]
解：因为当x≥1时，y＝，且x＝1时，
又因为f（x）在R上为单调函数，
所以只能为单调递减函数，
所以，
解得a≤﹣7，
故选：D．
8．设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R（x﹣2）＝f（x+2），且当x∈[﹣2，．若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）a（x+2）＝0（a＞1）恰有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）
A．（1，2）B．（2，+∞）C．（1，+∞）D．
解：∵f（x﹣2）＝f（x+2），∴f（x）＝f（x+8），
∴f（x）周期为4，
做出y＝f（x）在（﹣2，5]上的函数图象如图所示：
∵关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）＝0（a＞6）恰有3个不同的实数根，
∴y＝f（x）与y＝log a（x+2）（a＞7）的函数图象在（﹣2，6]上有2个交点，
∴，解得：．
故选：D．
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．已知a∈{﹣1，1，2，3}，则使函数y＝x a的值域为R，且为奇函数的a的值为（）A．1B．﹣1C．3D．2
解：因为y＝x a的值域为R，所以a＝1，2，2，
又因为y＝x a为奇函数，所以a＝1，3．
故选：AC．
10．设a，b∈R，则下列结论正确的是（）
A．若a＞b＞0，则B．若a＜b＜0，则（a﹣1）2＜（b﹣1）2
C．若a+b＝2，则2a+2b≥4D．若，则a＞b
解：A．若a＞b＞0，则＜；
B．若a＜b＜22＞（b﹣1）7，因此不正确；
C．若a+b＝2a+2b≥2＝5＝4；
D．设函数f（x）＝2x﹣，在（﹣∞，（0，ab＞0时，若，成立，b＞0时，若，因此不正确．
故选：AC．
11．下列说法正确的是（）
A．命题“∀x∈R，x2＞﹣1”的否定是“∃x∈R，x2＜﹣1”
B．函数f（x）＝2log4x与g（x）＝2x的图象关于y＝x对称
C．为奇函数
D．函数f（x）＝x2﹣2|x|+5单调递增区间为[﹣1，0]，[1，+∞）
解：因为命题“∀x∈R，x2＞﹣1”的否定是“∃x∈R，x3≤﹣1”，故A错误；
函数f（x）＝2log4x＝log2x与g（x）＝2x互为反函数，
故其图象关于y＝x对称，故B正确；
因为，可求得定义域为（﹣1，
又，故函数为奇函数；
因为，
所以函数的单调递增区间为[﹣7，0]，+∞）．
故选：BCD．
12．若函数f（x）同时满足：（1）对于定义域内的任意x（x）+f（﹣x）＝0；（2）1，x2，当x1≠x2时，有，则称函数f（x）为“理想函数”．给出下列四个函数是“理想函数”的是（）A．f（x）＝x2B．f（x）＝﹣x3
C．f（x）＝x﹣D．f（x）＝
解：根据题意，若f（x）满足对于定义域内的任意x，则f（x）为奇函数，
若对于定义域内的任意x1，x2，当x3≠x2时，有，则f（x）在其定义域上为减函数，
若函数f（x）为“理想函数”，则f（x）在其定义域上为奇函数，
依次分析选项：
对于A，f（x）＝x2，为偶函数，不是奇函数，
对于B，f（x）＝﹣x3，在其定义域上为奇函数，同时在其定义域上为减函数，
对于C，f（x）＝x﹣，不符合题意，
对于D，f（x）＝，同时在其定义域上为减函数，
故选：BD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．cos（﹣）＝．
解：cos（﹣）＝cos）＝cos＝．
故答案为：．
14．当a＞0且a≠1时，函数y＝a x﹣2+4的图象一定经过定点（2，5）．
解：令x﹣2＝0得，x＝20+4＝3+4＝5，
∴函数y＝a x﹣6+4的图象一定经过定点（2，8），
故答案为：（2，5）．
15．折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，其中
，OA＝3OC＝3（曲边四边形ABDC）的面积是．
解：扇形AOB的面积，
扇形COD的面积；
故扇面（曲边四边形ABDC）的面积．
故答案为：．
16．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）+b的图象如图（0）+f（1）+f（2）（2020）+f（2021）+f（2022）（2023）的值为2024．
解：由函数f（x）＝A sin（ωx+φ）+b的图象可知：f（x）最小正周期T＝4，
f（0）+f（1）+f（2）+f（3）＝4，
∴S＝f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2020）+f（2021）+f（2022）+f（2023）
＝506×[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）]＝506×2＝2024．
故答案为：2024．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）计算下列各式的值：
（1）；
（2）．
解：（1）原式＝﹣4﹣1+×＝﹣4﹣3+．
（2）原式＝﹣+﹣7＝3﹣2＝﹣49+64﹣8＝﹣6﹣
49+64﹣2＝4．
18．（12分）集合A＝{x||2x﹣1|≤7}，B＝{x|2k﹣2＜x＜k+3}．
（1）当k＝2时，求A∪B；
（2）问题：已知_____，求k的取值范围．
从下面给出的三个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答．
（若选择多个方案分别解答，则按第一个解答记分）
①A∪B＝A；②A∩B＝B；③A∩B＝∅．
解：（1）A＝{x||2x﹣1|≤7}＝{x|﹣3≤x≤4}，
当k＝4时，B＝{x|2k﹣2＜x＜k+2}＝{x|2＜x＜5}，
故A∪B＝{x|﹣3≤x＜5}；
（2）选①A∪B＝A，
则B⊆A，
当B＝∅时，2k﹣2≥k+3，符合题意，
当B≠∅时，，解得，
故k的取值范围为{k|k≥5或}；
选②A∩B＝B，
则B⊆A，
当B＝∅时，2k﹣5≥k+3，符合题意，
当B≠∅时，，解得，
故k的取值范围为{k|k≥5或}；
选③A∩B＝∅，
当B＝∅时，2k﹣4≥k+3，符合题意，
当B≠∅时，或，解得7≤k＜5或k≤﹣6，
综上所述，k的取值范围为{k|2≤k＜5或k≤﹣6}．
19．（12分）已知函数（a为常数）．
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若f（x）在上有最小值1，求a的值．
解：（1）函数＝sin2x+cos2x+a＝6sin（2x+）+a，
所以f（x）的最小正周期为T＝＝π；
令﹣+6kπ≤2x+≤，k∈Z；
解得﹣+kπ≤x≤，k∈Z；
所以f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，，k∈Z；
（2）x∈[0，]时∈[，]）的最小值是7sin，
所以f（x）在上有最小值1时，解得a＝2．
20．（12分）2013年9月7日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲并回答学生们提出的问题，在谈到环境保护问题时，也要金山银山．宁要绿水青山，不要金山银山，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基．新能源汽车环保、节能，以电代油，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向，n（n≤16且n∈N*）年内的总维修保养费用为C（n）＝kn2+40n（k∈R）万元，该项目每年可给公司带来200万元的收入．设到第n（n≤16且n∈N*），该项目的纯利润（纯利润＝累计收入﹣累计维修保养费一投资成本）为L（n），该项目的纯利润为128万元．
（1）求实数k的值，并求该项目到第几年年底纯利润第一次能达到232万元；
（2）到第几年年底，该项目年平均利润（平均利润＝纯利润÷年数）最大？并求出最大值．
解：（1）由题意可知L（n）＝200n﹣280﹣kn2﹣40n＝﹣kn2+160n﹣280，
∵L（3）＝128，
∴﹣5k+160×3﹣280＝128，
∴k＝8．
∴L（n）＝﹣2n2+160n﹣280，
∴﹣8n8+160n﹣280＝232，
∴n2﹣20n+64＝0，
∴n＝5或n＝16；
答：该项目到第4年年底纯利润第一次能达到232万元；
（2）年平均利润为：＝﹣8n﹣）+160≤﹣16+160，
当且仅当n＝，即n＝，又因为n为正整数，
所以当n＝6时，取得最大值为﹣4×．
故当n＝6时年平均利润最大，此时最大值为．
21．（12分）如图，AB为半圆的直径，AB＝2，P是半圆上的一点，∠BOP＝θ，将射线OP绕O逆时针旋转90°到OQ，过P，QN⊥AB于N．
（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，用θ的三角函数表示P，Q两点的坐标；
（Ⅱ）求四边形PQNM的面积的最大值．
解：（Ⅰ）以AB所在直线为x轴，O为原点建立直角坐标系xOy，
∵∠BOP＝θ，圆的半径为1，sinθ）．
∵将射线OP绕O逆时针旋转90°到OQ，点Q的坐标为，cosθ）．（Ⅱ）由题意，MN＝OM+ON＝cosθ+sinθ，QN＝cosθ，
四边形PQNM的面积S＝×MN×（PM+QN）＝（1+sin2θ），
∵6°＜θ＜90°，∴0°＜2θ＜180°，
∴当4θ＝90°时，即θ＝45°时，S max＝1，
∴四边形PQNM的面积的最大值为1．
22．（12分）若对定义域内任意x，都有f（x+a）＞f（x）（a＞0）（x）为“隔断”增函数，a称隔断距离．（1）若f（x）＝x3﹣2x，x∈R是“隔断”增函数，求隔断距离a的取值范围；
（2）若，其中k∈R，且为“隔断”增函数，求实数k的取值范围．解：（1）f（x+a）﹣f（x）＝3ax2+8a2x+a3﹣6a，
因为f（x）是“隔断”增函数，
所以3ax2+8a2x+a3﹣4a＞0恒成立，
由a＞0，
所以，
所以隔断距离a的取值范围是；
（2）因为，其中k∈R，隔断距离为2，
即x＞﹣1时，恒成立，
所以（x+2）2+k|x+4|＞x2+k|x|，
当x≥0时，即2x+4+2k＞2⇒k＞﹣2，
当﹣1＜x＜7时，（x+2）2+k（x+3）＞x2﹣kx，所以（x+1）（k+8）＞0⇒k＞﹣8，
综上所述，实数k的取值范围是（﹣8，+∞）．。