开封市2020届高三第一次模拟考试 文数

（文科）·1·
开封市2020届高三第一次模拟考试
数学（文科）试题参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）题号12345
6789101112答案D A B D A
D C C C A A B 二、填空题（每小题5分，共20分）
13.114.215.211
16.⎪⎭
⎫ ⎝⎛
∞-21，三、解答题（共70分）
17.（本小题满分12分）
解：(1)由已知{}n a 为等差数列，记其公差为d .
①当n ≥2时，⎩⎨⎧+=-++=+-+1
211211n n n n a n a a n a ，所以d =1，…………2分
②当n =1时，12112+=+a a ，所以11=a .…………4分
所以，n a n =.…………5分
(2)()21+=n n S n ，…………7分()⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=+=1112121n n n n S n ，…………9分所以121112111413131212112+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⋯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=n n n n n T n ……12分18.（本小题满分12分）
解：(1)根据抛物线的定义，知动点Q 的轨迹的一部分是以F 为焦点，以x =-1为准线的抛物线，所以动点Q 的轨迹方程E 为：()2
400y x y x ==<或.…………4分(2)①当l 的斜率不存在时，可知48FA FB =-≠-uur uur g ，不符合条件；…………5分
②当l 的斜率存在且不为0时，设l ：(1)y k x =-，…………6分
则2(1)4y k x y x
=-⎧⎨=⎩，联立可得()2222240k x k x k -++=，设()()1122,,,A x y B x y ，则21212224, 1.k x x x x k ++=⋅=…………8分因为向量FA FB uur uur ，方向相反，所以()()()121212*********FA FB FA FB x x x x x x k ⎛⎫⋅=-=-++=-+++=
-+=- ⎪⎝⎭
uur uur uur uur LL 分所以21,k =即1k =±，所以直线l 的方程为1y x =-或1+-=x y .…………12分
（文科）·2·
19.（本小题满分12分）(1)证明：连接AC ，由AE ∥CG 可知四边形AEGC 为平行四边形，所以EG ∥AC .………1分由题意易知AC ⊥BD ，AC ⊥BF ，所以EG ⊥BD ，EG ⊥BF ，
因为BD ∩BF ＝B ，所以EG ⊥平面BDHF ，…………3分
又DF ⊂平面BDHF ，所以EG ⊥DF ．…………5分
(2)设AC ∩BD ＝O ，EG ∩HF ＝P ，
由已知可得：平面ADHE ∥平面BCGF ，
所以EH ∥FG ，同理可得：EF ∥HG ，
所以四边形EFGH 为平行四边形，…………6分
所以P 为EG 的中点，O 为AC 的中点，所以OP ∥AE ，
且OP =3，DH ＝4，由平面几何知识，得BF ＝2．……8分
所以S ∆BFG =12
×BF×BC =4.…………10分
因为EA//FB ，FB ⊂平面BCGF ，EA ⊄平面BCGF ，所以EA //平面BCGF ，
所以点A 到平面BCGF 的距离等于点E 到平面BCGF 的距离，为2 3.
所以V F-BEG =V E-BGF =V A-BGF =13S ∆BFG ×23=833
.…………12分20.（本小题满分12分）
解：(1)由题易知，若按照系统抽样的方法，抽出的编号可以组成以25为首项，以90为公差的等差数列，故样本编号之和即为该数列的前10项之和，…………2分
所以4300902
910251010=⨯⨯+⨯=S .…………4分(2)（i ）由题易知，若按照分层抽样的方法，抽出的样本中A 题目的成绩有6个，按分值降序分别记为621x x x ，，
，⋯；B 题目的成绩有4个，按分值降序分别记为4321y y y y ，，，.记样本的平均数为x ，样本的方差为2s .由题意可知，()()126123456 5.54 5.210
10x x x y y y y x ++⋯+++++⨯+⨯===，…………6分()()()()()()()()22
2222225.250.2520.250.21,2,,65.2-5.50.3 5.520.3 5.50.31,2,,4i i i i i i i i x x x x i y y y y i -=--=--⨯-+=⋯⎡⎤⎣⎦-=+=-+⨯-+=⋯⎡⎤⎣⎦
，，()()()()()222221
26142225.2 5.2 5.2 5.2 5.210
2600.260.25400.3413.6 1.361010
x x x y y s -+-+⋯+-+-+⋯+-=⨯-+⨯+⨯++⨯===所以，估计该校900名考生选做题得分的平均数为5.2，方差为1.36.…………8分
（ii ）本选做题阅卷分值都为整数，且选取的样本中，A 题目成绩的中位数和B 题目成绩的中位数都是5.5，易知样本中A 题目的成绩大于样本平均值的成绩有3个，分别为321x x x ，，，B 题目的成绩大于样本平均值的成绩有2个，分别为21y y ，.…………9分
从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据共有种10方法，为：
()()()()()()()()()()，
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，23222113121121323121y x y x y x y x y x y x y y x x x x x x
（文科）·3·
其中取到的两个成绩来自不同题目的取法共有6种，为：
()()()()()()，，，，，，，，，，，，232221131211y x y x y x y x y x y x …………11分
记“从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据，取到的两个成绩来自不同题目”为事件A ，所以()53106==
A P .…………12分21.（本小题满分12分）解：(1)当1a =时，1()sin x f x x e =
+，则1()cos x f x x e
-'=+，…………1分当(],0x ∈-∞时，01,x e <≤则11x e
-≤-，又因为cos 1x ≤，所以当(],0x ∈-∞时，1()cos 0x f x x e
-'=+≤，仅x =0时，()0'=x f ，…………3分所以()f x 在(],0-∞上是单调递减，所以()(0)1f x f ≥=，即()1f x ≥.…………5分(2)()cos x a f x x e -'=+，因为,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
，所以cos 0,0x x e >>，…………6分①当0a ≤时，()0f x '>恒成立，所以()f x 在,02π⎛⎫-
⎪⎝⎭
上单调递增，没有极值点.…8分②当0a >时，()cos x a f x x e -'=+在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭
上单调递增，因为202f a e ππ⎛⎫'-=-⋅< ⎪⎝⎭
，(0)1f a '=-+.当1a ≥时，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
时，()(0)10f x f a ''≤=-+≤，所以()f x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭
上单调递减，没有极值点.…………10分当01a <<时，(0)10f a '=-+>，所以存在0,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
，使0()0f x '=，当0,2x x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
时，()0f x '<，()0,0x x ∈时，()0f x '>，所以()f x 在0x x =处取得极小值，0x 为极小值点.综上可知，若函数()f x 在,02π⎛⎫-
⎪⎝⎭
上存在极值点，则实数()0,1a ∈…………12分22.（本小题满分10分）解：(1)由已知可得：12
:22
1=+y x C ，则极坐标方程为2)sin 1(22=+θρ…………3分2:222=+y x C …………5分
（文科）·4·(2)设点Q 的横坐标为Q x ，则由已知可得：||||2
1Q OTQ x OT S ⋅=
∆，且直角坐标2
1,1(P ，极坐标),26(θP ，其中32cos ,31sin ==θθ，…………7分极坐标)32(πθ+Q ，则有21313cos(2-=+=πθQ x ，
所以11||||12246OTQ Q S OT x ∆=
⋅=⨯⨯=-.…………10分23.（本小题满分10分）
解：(1)由已知可得：333=⋅⋅≥++c
a b c a b c a b c a b ，所以得证.…………5分(2)由于c b a ,,为一个三角形的三边长，则有：
a bc c
b
c b >++=+2)(2，即a c b >+所以a c b a ac ab >+=+)(，同理b bc ab >+，c bc ac >+，…………7分相加得：c b a ab bc ac ++>++222，左右两边同加c b a ++
)(2)(2
c b a c b a ++>++，所以2)(2
>++++c b a c b a 得证.…………10分。