2017_2018学年高中数学课时跟踪检测二十向量数量积的物理背景与概念向量数量积的运算律新人教B版
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解析：上述三个命题中只有③正确，因为|a|＝|b|＝1，因此a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故a2＝b2.当非零向量a，b垂直时，有a·b＝0，显然①②错误．
答案：③
7．设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60°，那么(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝________.
解析：(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e ＋7e1·e2－2e ＝－6＋7×cos 60°－2＝－ .
且a·b＝－6e ＋2e ＋e1·e2＝－6＋2＋ ＝－ ，
因此cos〈a，b〉＝ ＝ ＝－ ，
因此a与b的夹角为120°.
10．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的正射影的数量为－1.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求(a－2b)·b；
(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b相互垂直？
又(a－b)·c＝0，∴(a－b)·(－a－b)＝0，即a2＝b2.
则c2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝2，
∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
法二：如图，作 ＝ ＝a，
＝b，那么 ＝c.
∵a⊥b，∴AB⊥BC，
又∵a－b＝ － ＝ ，
(a－b)⊥c，∴CD⊥CA，
因此△ABC是等腰直角三角形，
课时跟踪检测（二十） 向量数量积的物理背景与概念 向量数量积的运算律
层级一 学业水平达标
1．已知▱ABCD中∠DAB＝30°，那么 与 的夹角为( )
A．30°B．60°
C．120°D．150°
解析：选D 如图， 与 的夹角为∠ABC＝150°.
2．已知向量a，b知足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，那么a与b的夹角θ为( )
解：(1)∵|a|＝2|b|＝2，
∴|a|＝2，|b|＝1.
又a在b方向上的正射影的数量为|a|cosθ＝－1，
∴a·b＝|a||b|cosθ＝－1.
∴cosθ＝－ ，
∴θ＝ .
(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
(3)∵λa＋b与a－3b相互垂直，
∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2
A． B．
C． D．
解析：选C 由题意，知a·b＝|a||b|cosθ＝4cosθ＝2，又0≤θ≤π，因此θ＝ .
3．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，那么k的值为( )
A．－6B．6
C．3D．－3
解析：选B∵c·d＝0，
∴(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，
(3)(3a＋b)2＝9|a|2＋6a·b＋|b|2＝9＋3＋1＝13，
(3a－b)2＝9|a|2－6a·b＋|b|2＝9－3＋1＝7，因此 ＝ ＝ .
∴向量a，b的夹角为45°.
(2)∵|a－b|2＝(a－b)2
＝|a|2－2|a||b|cosθ＋|b|2＝ ，
∴|a－b|＝ .
8．设向量a，b知足|a|＝|b|＝1，且|3a－2b|＝ .
(1)求a与b夹角的大小．
(2)求a＋b与b夹角的大小．
(3)求 的值．
解：(1)设a与b的夹角为θ，(3a－2b)2＝9|a|2＋4|b|2－12a·是两个夹角为60°的单位向量，a＝2e1＋e2，b＝2e2－3e1，求a与b的夹角．
解：因为|e1|＝|e2|＝1，
因此e1·e2＝1×1×cos 60°＝ ，
|a|2＝(2e1＋e2)2＝4＋1＋4e1·e2＝7，故|a|＝ ，
|b|2＝(2e2－3e1)2＝4＋9－12e1·e2＝7，故|b|＝ ，
＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，
∴λ＝ .
层级二 应试能力达标
1．已知|a|＝2，|b|＝1，且a与b的夹角为 ，那么向量m＝a－4b的模为( )
A．2B．2
C．6D．12
解析：选B |m|2＝|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝4－8×2×1× ＋16＝12，因此|m|＝2 .
2．在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，那么 · 等于( )
又|a|＝|b|＝1，因此a·b＝ ，
因此|a||b|cosθ＝ ，即cosθ＝ .
又θ∈[0，π]，因此a与b的夹角为 .
(2)设a＋b与b的夹角为α，
因为(a＋b)·b＝b2＋a·b＝1＋ ＝ ，
|a＋b|＝ ＝ ，|b|＝1，
因此cosα＝ ＝ ＝ ，
又α∈[0，π]，因此a＋b与b的夹角为 .
∴2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0，
∴2k＝12，∴k＝6.
4．已知a，b知足|a|＝4，|b|＝3，夹角为60°，那么|a＋b|＝( )
A．37B．13
C． D．
解析：选C |a＋b|＝ ＝
＝ ＝ .
5．在四边形ABCD中， ＝ ，且 · ＝0，那么四边形ABCD是( )
A．矩形B．菱形
答案： 1
7．已知非零向量a，b，知足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝ ，且a·b＝ .
(1)求向量a，b的夹角；(2)求|a－b|.
解：(1)∵(a－b)·(a＋b)＝ ，
∴a2－b2＝ ，
即|a|2－|b|2＝ .
又|a|＝1，
∴|b|＝ .
∵a·b＝ ，
∴|a|·|b|cosθ＝ ，
∴cosθ＝ ，
∵|a|＝1，∴|b|＝1，|c|＝ ，
∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
答案：4
6．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝4， ·(2a－3b)＝12，那么|b|＝________；b在a方向上的正射影的数量等于________．
解析： ·(2a－3b)＝a2＋ a·b－3b2＝12，即3|b|2－ |b|－4＝0，解得|b|＝ (舍负)，b在a方向上的正射影的数量是|b|cos 45°＝ × ＝1.
A．－16B．－8
C．8D．16
解析：选D 法一：因为cosA＝ ，故 · ＝| |·| |cosA＝| |2＝16，应选D.
法二： 在 上的投影为| |cosA＝| |，故 · ＝| || |cosA＝| |2＝16，应选D.
3．假设|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，那么向量a－b与b的夹角为( )
答案：－
8．假设|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，那么向量a与b的夹角为________．
解析：∵c⊥a，∴c·a＝0，
∴(a＋b)·a＝0，即a2＋a·b＝0.
∵|a|＝1，|b|＝2，∴1＋2cos〈a，b〉＝0，
∴cos〈a，b〉＝－ .
又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝120°.
A． B．
C． D．
解析：选D 由|a＋b|＝|a－b|可得a·b＝0，由|a－b|＝2|a|可得3a2＝b2，因此|b|＝ |a|，设向量a－b与b的夹角为θ，那么cosθ＝ ＝ ＝－ ＝－ ，又θ∈[0， π]，因此θ＝ .
4.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为BC的中点，那么 · ＝( )
A．－3B．0
C．－1D．1
解析：选C · ＝ ·( － )
＝ · －| |2＋ | |2
＝ ×2×2×cos 60°－22＋ ×22＝－1.
5．设向量a，b，c知足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，假设|a|＝1，那么|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．
解析：法一：由a＋b＋c＝0得c＝－a－b.
C．直角梯形D．等腰梯形
解析：选B∵ ＝ ，即一组对边平行且相等， · ＝0，即对角线相互垂直，∴四边形ABCD为菱形．
6．给出以下命题：
①若a≠0，那么对任一非零向量b都有a·b≠0；
②若a·b＝0，那么a与b中至少有一个为0；
③a与b是两个单位向量，那么a2＝b2.
其中，正确命题的序号是________．
答案：③
7．设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60°，那么(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝________.
解析：(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e ＋7e1·e2－2e ＝－6＋7×cos 60°－2＝－ .
且a·b＝－6e ＋2e ＋e1·e2＝－6＋2＋ ＝－ ，
因此cos〈a，b〉＝ ＝ ＝－ ，
因此a与b的夹角为120°.
10．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的正射影的数量为－1.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求(a－2b)·b；
(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b相互垂直？
又(a－b)·c＝0，∴(a－b)·(－a－b)＝0，即a2＝b2.
则c2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝2，
∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
法二：如图，作 ＝ ＝a，
＝b，那么 ＝c.
∵a⊥b，∴AB⊥BC，
又∵a－b＝ － ＝ ，
(a－b)⊥c，∴CD⊥CA，
因此△ABC是等腰直角三角形，
课时跟踪检测（二十） 向量数量积的物理背景与概念 向量数量积的运算律
层级一 学业水平达标
1．已知▱ABCD中∠DAB＝30°，那么 与 的夹角为( )
A．30°B．60°
C．120°D．150°
解析：选D 如图， 与 的夹角为∠ABC＝150°.
2．已知向量a，b知足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，那么a与b的夹角θ为( )
解：(1)∵|a|＝2|b|＝2，
∴|a|＝2，|b|＝1.
又a在b方向上的正射影的数量为|a|cosθ＝－1，
∴a·b＝|a||b|cosθ＝－1.
∴cosθ＝－ ，
∴θ＝ .
(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
(3)∵λa＋b与a－3b相互垂直，
∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2
A． B．
C． D．
解析：选C 由题意，知a·b＝|a||b|cosθ＝4cosθ＝2，又0≤θ≤π，因此θ＝ .
3．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，那么k的值为( )
A．－6B．6
C．3D．－3
解析：选B∵c·d＝0，
∴(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，
(3)(3a＋b)2＝9|a|2＋6a·b＋|b|2＝9＋3＋1＝13，
(3a－b)2＝9|a|2－6a·b＋|b|2＝9－3＋1＝7，因此 ＝ ＝ .
∴向量a，b的夹角为45°.
(2)∵|a－b|2＝(a－b)2
＝|a|2－2|a||b|cosθ＋|b|2＝ ，
∴|a－b|＝ .
8．设向量a，b知足|a|＝|b|＝1，且|3a－2b|＝ .
(1)求a与b夹角的大小．
(2)求a＋b与b夹角的大小．
(3)求 的值．
解：(1)设a与b的夹角为θ，(3a－2b)2＝9|a|2＋4|b|2－12a·是两个夹角为60°的单位向量，a＝2e1＋e2，b＝2e2－3e1，求a与b的夹角．
解：因为|e1|＝|e2|＝1，
因此e1·e2＝1×1×cos 60°＝ ，
|a|2＝(2e1＋e2)2＝4＋1＋4e1·e2＝7，故|a|＝ ，
|b|2＝(2e2－3e1)2＝4＋9－12e1·e2＝7，故|b|＝ ，
＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，
∴λ＝ .
层级二 应试能力达标
1．已知|a|＝2，|b|＝1，且a与b的夹角为 ，那么向量m＝a－4b的模为( )
A．2B．2
C．6D．12
解析：选B |m|2＝|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝4－8×2×1× ＋16＝12，因此|m|＝2 .
2．在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，那么 · 等于( )
又|a|＝|b|＝1，因此a·b＝ ，
因此|a||b|cosθ＝ ，即cosθ＝ .
又θ∈[0，π]，因此a与b的夹角为 .
(2)设a＋b与b的夹角为α，
因为(a＋b)·b＝b2＋a·b＝1＋ ＝ ，
|a＋b|＝ ＝ ，|b|＝1，
因此cosα＝ ＝ ＝ ，
又α∈[0，π]，因此a＋b与b的夹角为 .
∴2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0，
∴2k＝12，∴k＝6.
4．已知a，b知足|a|＝4，|b|＝3，夹角为60°，那么|a＋b|＝( )
A．37B．13
C． D．
解析：选C |a＋b|＝ ＝
＝ ＝ .
5．在四边形ABCD中， ＝ ，且 · ＝0，那么四边形ABCD是( )
A．矩形B．菱形
答案： 1
7．已知非零向量a，b，知足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝ ，且a·b＝ .
(1)求向量a，b的夹角；(2)求|a－b|.
解：(1)∵(a－b)·(a＋b)＝ ，
∴a2－b2＝ ，
即|a|2－|b|2＝ .
又|a|＝1，
∴|b|＝ .
∵a·b＝ ，
∴|a|·|b|cosθ＝ ，
∴cosθ＝ ，
∵|a|＝1，∴|b|＝1，|c|＝ ，
∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
答案：4
6．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝4， ·(2a－3b)＝12，那么|b|＝________；b在a方向上的正射影的数量等于________．
解析： ·(2a－3b)＝a2＋ a·b－3b2＝12，即3|b|2－ |b|－4＝0，解得|b|＝ (舍负)，b在a方向上的正射影的数量是|b|cos 45°＝ × ＝1.
A．－16B．－8
C．8D．16
解析：选D 法一：因为cosA＝ ，故 · ＝| |·| |cosA＝| |2＝16，应选D.
法二： 在 上的投影为| |cosA＝| |，故 · ＝| || |cosA＝| |2＝16，应选D.
3．假设|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，那么向量a－b与b的夹角为( )
答案：－
8．假设|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，那么向量a与b的夹角为________．
解析：∵c⊥a，∴c·a＝0，
∴(a＋b)·a＝0，即a2＋a·b＝0.
∵|a|＝1，|b|＝2，∴1＋2cos〈a，b〉＝0，
∴cos〈a，b〉＝－ .
又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝120°.
A． B．
C． D．
解析：选D 由|a＋b|＝|a－b|可得a·b＝0，由|a－b|＝2|a|可得3a2＝b2，因此|b|＝ |a|，设向量a－b与b的夹角为θ，那么cosθ＝ ＝ ＝－ ＝－ ，又θ∈[0， π]，因此θ＝ .
4.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为BC的中点，那么 · ＝( )
A．－3B．0
C．－1D．1
解析：选C · ＝ ·( － )
＝ · －| |2＋ | |2
＝ ×2×2×cos 60°－22＋ ×22＝－1.
5．设向量a，b，c知足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，假设|a|＝1，那么|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．
解析：法一：由a＋b＋c＝0得c＝－a－b.
C．直角梯形D．等腰梯形
解析：选B∵ ＝ ，即一组对边平行且相等， · ＝0，即对角线相互垂直，∴四边形ABCD为菱形．
6．给出以下命题：
①若a≠0，那么对任一非零向量b都有a·b≠0；
②若a·b＝0，那么a与b中至少有一个为0；
③a与b是两个单位向量，那么a2＝b2.
其中，正确命题的序号是________．