中考数学模拟试题分类汇编 36相似形 试题

相似形
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日
一、选择题
1〔2021中考模拟〕．在直角坐标系中，O(0,0),A(2,0),B(0,4),C(0,3)，D 为x 轴上一点．假设以D 、O 、C 为顶点的三角形与△AOB 相似，这样的D 点有〔 〕 A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 答案：C
2、如图1，△ABC 和△GAF 是两个全等的等腰直角三角形，图中相似三角形(不包括全等)一共有
( )
A ．1对
B ．2对
C ．3对
D ．4对 答案：C
3、〔2021年中考数学模拟〕如图，在Rt ABC ∆中，,AB AC =D E 、是斜边BC 上两点，且45,DAE ∠=将ADC ∆绕点A 顺时针旋转90°后，得到,AFB ∆连接,EF 以下结论：
①;AED AEF ∆≅∆ ②;AE AD BE CD
=
③ABC ∆的面积等于四边形AFBD 的面积； ④2
2
2
;BE DC DE += ⑤BE DC DE += 其中正确的选项是〔 〕 A ．①②④ B ．③④⑤ C ．①③④
D ．①③⑤
答案：C
E A
B
D F
G C
〔图1〕
A
B
C
D
E F
(10题图)
4、如图，在⊿ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，AD =3,DB =2,DE ∥BC ，那么DE :BC 的值是
〔A 〕23； 〔B 〕32
； 〔C 〕49； 〔D 〕5
3.
答案：D
二、填空题
1、〔2021四模〕如图,△ABC, △DCE,△GEF 都是正三角形,且B,C,E,F 在同一直线上,A,D,G 也在同一直线上, 设△ABC, △DCE,△GEF 的面积分别为123,,S S S .当
124,6S S ==时,3S = _____________
答案：9
3、〔2021奉贤区调研试题〕△ABC 中，点G 是△ABC 的重心，过点G 作DE ∥BC ，与
AB 相交于点D ，与AC 相交于点E ，假如△ABC 的面积为9．那么△ADE 的面积是
． 答案：4
4、2021〕长为1，宽为a 的矩形纸片〔
12
1
<<a 〕
，如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形〔称为第一次操作〕；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形〔称为第二次操作〕；如此反复操作下去．假设在第n 此操作后，剩下的矩形为正方形，那么操作终止．当n =3时，a 的值是_____________． 答案：
S3
S2
S1
G
F
E
D
C
B
A
第一次操作
第二次操作
E D C
B
A
第5题图
C
5、〔2021年，模考〕如图，ABC △中，AB AC >，D E ，两点分别在边AC AB ，上，且
DE 与BC 不平行．请填上一．个．你认为适宜的条件： ，使
ADE ABC △∽△．〔不再添加其他的字母和线段〕 答案： 1B ∠=∠或者2C ∠=∠或者
AE AD
AC AB =
6、(2021学年度九年级第二学期普陀区期终调研)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，假如DE=1，
BC =4，那么△ADE 与△ABC 面积的比是 ．
答案：1:16
7HY2021中考一模〕．如图，△ABC 中，CD ⊥A B 于D ，由以下条件中的某一个就能推出△ABC 是直角三角形的是__________________．〔把所有正确答案的序号都填写上在横线上〕一定能确定ABC △
① ACD ＝∠B ； ②∠A ∶∠B ∶∠C ＝4∶3∶5； ② ③AC ·BC ＝AB ·CD ； ④CD
DB
AD CD =
．
1
D
C
E 2 B
A
D
N
C 图4
M 答案：①③④
8〔2021年金山区中考模拟〕假如线段AB =4cm ，点P 是线段AB 的黄金分割点，那么较长的线段BP= cm .
答案：2；
9、〔2021年金山区中考模拟如图，AD 为△ABC 的角平分线，//DE AB 交AC 于E ，假如
23
AE EC =，那么AB
AC = ． 答案：23
10、〔亭湖区2021年第一次调研考试〕如图4，正方形ABCD 的边长为2，AE ＝EB ，MN 的两端在CB 、CD 上滑动，当CM ＝ 时，△AED 与以M 、N 、C 案CM ＝5
52或者CM ＝
5
5；
三、解答题
1、〔2021广西〕〔此题满分是12分〕
如下图，在平面直角坐标系中，顶点为〔4，1-〕的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，
C 两点〔点B 在点C 的左侧〕， A 点坐标为〔0，3〕．
〔1〕求此抛物线的解析式；
〔2〕过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ，
假如以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物 线的对称轴与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；
〔3〕点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，
C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC ∆的
x
A
B
C D
E
第17题图
面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ∆的最大面积.
答案：解：〔1〕设抛物线为2
(4)1y a x =--.……………1分
∵抛物线经过点A 〔0，3〕，∴23(04)1a =--.∴1
4
a =
.……………2分 ∴抛物线为2211
(4)12344
y x x x =
--=-+. ……………………………3分 (2) 答：与⊙C 相交 …………………………………………………………………4分
证明：当
21
(4)104
x --=时，12x =，26x =. ∴B 为〔2，0〕，C 为〔6，0〕.∴AB ==…………………5分 设⊙C 与BD 相切于点E ，连接CE ，那么90BEC AOB ∠=︒=∠. ∵90ABD ∠=︒，∴90CBE ABO ∠=︒-∠.
又∵90BAO ABO ∠=︒-∠，∴BAO CBE ∠=∠.∴AOB ∆∽BEC ∆.……6分
∴
CE BC OB AB =.∴2CE =.∴2CE =>.…………………………7分 ∵抛物线的对称轴为4x =，∴C 点到的间隔 为2.
∴抛物线的对称轴与⊙C 相交. ……………………………………………8分 (3) 解：如图，过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点Q 。

可求出AC 的解析式为1
32
y x =-+.…………………………………………9分 设P 点的坐标为〔m ，2
1234
m m -+〕，那么Q 点的坐标为〔m ，132m -+〕.
∴221113
3(23)2442
PQ m m m m m =-+--+=-+.……………10分
∵22
113327()6(3)24244
PAC PAQ PCQ S S S m m m ∆∆∆=+=⨯-+⨯=--+,
∴当3m =时，PAC ∆的面积最大为27
4
. ……………11分
此时，P 点的坐标为〔3，3
4
-〕. (12)
2、〔2021年黄浦二模〕如图9，ABC ∆中，90C ∠=︒，AC BC =，6AB =，O 是BC 边上的中点，N 是AB 边上的点〔不与端点重合〕，M 是OB 边上的点，且MN ∥AO ，延长CA 与直线MN 相交于点D ，G 点是AB 延长线上的点，且BG AN =，联结MG ，设
AN x =，BM y =.
〔1〕求y 关于x 的函数关系式及其定义域； 〔2〕联结CN ，当以DN 为半径的D 和以MG 为半径
的
M 外切时，求ACN ∠的正切值；
〔3〕当ADN ∆与MBG ∆相似时，求AN 的长.
答案：解：〔1〕∵MN ∥AO ，∴MB BN
BO AB
=
，……………………………………〔2分〕 ∵90C ∠=︒，AC BC =，6AB =
，∴BC =， ∵O 是BC
边上的中点，∴BO =
1分〕 ∵AN x =，BM y =
66x
-=
，∴
)06y x =<<.………〔2分〕 〔2〕∵以DN 为半径的D 和以MG 为半径的M 外切，
∴DN MG DM +=，又DN MN DM +=，∴MG MN =，…………………〔1分〕 ∴MNG G ∠=∠， 又MNG AND ∠=∠，∴AND G ∠=∠，
A B
C
O
N
M D
G
图9
备用图a
A
B
C
O
备用图b
A
B
C
O
∵AC BC =，∴CAB CBA ∠=∠，∴DAN MBG ∠=∠，
又AN BG =，∴AND ∆≌BGM ∆， ∴DN MG MN ==，…………………〔1分〕 ∵90ACB ∠=︒，∴CN DN =，∴ACN D ∠=∠， …………………………〔1分〕
∵90ACB ∠=︒，AC BC =，O 是BC 边上的中点，∴1
tan 2CO CAO AC ∠==，
〔1分〕 ∵MN ∥AO ，∴CAO D ∠=∠，∴CAO ACN ∠=∠，∴1
tan 2
ACN ∠=，…〔1分〕
〔3〕∵DAN MBG ∠=∠，当ADN ∆与MBG ∆相似时， ①假设D BMG ∠=∠时，过点G 作GE CB ⊥，垂足为点E . ∴1tan 2GE BMG ME ∠=
=，∴BM BE =
，∴y x =，………………………〔1分〕 又
y =
，∴2x =.………………………………………………………〔1分〕
②假设D G ∠=∠时，过点M 作MF AB ⊥，垂足为点F . ∴1tan 2G ∠=
，∴BF BG =
，∴x ，……………………………………〔1分〕 又
y =
，∴6
5
x =
.………………………………………………………〔1分〕 综上所述，当ADN ∆与MBG ∆相似时，AN 的长为2或者
65
. 〔以上各题，假设有其他解法，请参照评分HY 酌情给分〕
3、〔2021年浦东新区中考预测〕：如图，点D 、E 分别在线段
AC 、AB 上，AB AE AC AD ⋅=⋅.
〔1〕求证：⊿AEC ∽⊿ADB ；
〔2〕AB =4，DB =5，sin C =
3
1
,求ABD S ∆. 答案：证明：〔1〕∵AB AE AC AD ⋅=⋅
∴
AC
AE
AB AD = ……………………………………〔2分〕 又∵∠DAB =∠EAC ，
E
D
C
B
A
第21题图
D
A
∴⊿AEC ∽⊿ADB . ……………………………………〔2分〕 解 〔2〕∵⊿AEC ∽⊿ADB ，
∴∠B =∠C .…………………………………………〔2分〕 过点A 作BD 的垂线，垂足为F , 那么3
4
314sin =⋅=⋅=B AB AF ………………………〔2分〕 ∴3
10
3452121=⨯⨯=⋅⋅=∆AF DB S ABD ……………〔2分〕
4、(2021学年度九年级第二学期普陀区期终调研)如图，四边形ABCD 中，BC AD //，点E 在CB 的延长线上，联结DE ，交AB 于点F ，联结DB ，AFD DBE ∠=∠，且
2DE BE CE =⋅.
(1) 求证：DBE CDE ∠=∠；
〔2〕当BD 平分ABC ∠时，求证：四边形ABCD 是菱形. 答案：〔1〕证明：∵CE BE DE ⋅=2，
∴
DE
BE
CE DE =
． …………………………………………〔2分〕 ∵E E ∠=∠， …………………………………………〔1分〕 ∴DBE ∆∽CDE ∆．……………………………………… 〔1分〕 ∴CDE DBE ∠=∠． ……………………………………………〔1分〕
〔2〕 ∵CDE DBE ∠=∠，
又∵AFD DBE ∠=∠，
∴=∠CDE AFD ∠．………………………………………………〔1分〕 ∴DC AB //． ………………………………………………〔1分〕 又∵BC AD //，
∴四边形ABCD 是平行四边形 ………………………………………〔1分〕 ∵BC AD //，
∴1∠=∠ADB ． ……………………………………………〔1分〕 ∵DB 平分ABC ∠，
∴21∠=∠． …………………………………………〔1分〕 ∴2∠=∠ADB ．
∴AD AB =． ……………………………………………〔1分〕
∴四边形ABCD 是菱形． ……………………………………………………〔1分〕 5、(202142中二模)操作：如图，在正方形ABCD 中，P 是CD 上一动点〔与C 、D 不重合〕，使三角板的直角顶点与点P 重合，并且一条直角边始终经过点B ，另一直角边与正方形的某一边所在直线交于点E ．
探究：①观察操作结果，哪一个三角形与△BPC相似，写出你的结论，〔找出两对即可〕；并选择其中一组说明理由；
②当点P位于CD的中点时，直接写出① 中找到的两对相似三角形的相似比和面积比．
答案：分两种情况：
①如图〔1〕，
∵∠BPE=90°，
∴∠BPC+∠DPE=90°，又∠BPC+∠PBC=90°，
∴∠PBC=∠DPE，又∠C=∠D=90°，
∴△BPC∽△PED．
如图〔2〕，同理可证△BPC∽△BEP∽△PCE．
②如图〔1〕，∵△BPC∽△PED，
∴△PED与△BPC的周长比等于对应边的比，即PD与BC的比，
∵点P位于CD的中点，
∴PD与BC的比为1：2，
∴△PED与△BPC的周长比1：2，
△PED与△BPC的面积比1:4
如图〔2〕，
∵△BPC∽△BEP，
∴△BEP与△BPC的周长比等于对应边的比，即BP与BC的比，
∵点P位于CD的中点，
设BC=2k，那么PC=k，BP=5k，
∴BP与BC的比为5：2，
△BEP与△BPC的周长比为5：2，△BEP与△BPC的面积比为5：4．
同理：△PCE∽△BPC，周长比1：2，面积比1：4．
66、〔2021年十五校联考〕如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2；
〔1〕先作△ABC关于直线成轴对称的图形，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1；
〔2〕以图中的O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2．
答案：解：如图：〔1〕…………………2分 〔2〕……………………………4分
7、〔2021年黄浦二模〕〔此题满分是14分〕
如图，△ABC 中，90C ∠=︒，AC BC =，6AB =，O 是BC 边上的中点，N 是AB 边上的点〔不与端点重合〕，M 是OB 边上的点，且MN ∥AO ，延长CA 与直线MN 相交于点D ，G 点是AB 延长线上的点，且BG AN =，联结MG ，设AN x =，BM y =. 〔1〕求y 关于x 的函数关系式及其定义域； 〔2〕联结CN ，当以DN 为半径的
D 和以MG 为半径的M 外切时，求ACN ∠的正切值；
〔3〕当ADN ∆与MBG ∆相似时，求AN 的长．
答案：解：〔1〕∵MN ∥AO ，
∴
MB BN
BO AB
=
， 〔2分〕 ∵90C ∠=︒，AC BC =，6AB =，
∴BC =，
∵O 是BC 边上的中点，
∴2
BO =
， 〔1分〕 ∵AN x =，BM y =，
66
x
-=
，
∴)()6064
x y x -=
<<
〔2分〕 解：〔2〕∵以DN 为半径的D 和以MG 为半径的M 外切，
∴DN MG DM +=，又DN MN DM +=，
∴MG MN =， 〔1分〕 ∴MNG G ∠=∠， 又MNG AND ∠=∠， ∴AND G ∠=∠，
A B
C
O
N
M D
G
备用图a
A
B
C
O
备用图b
A
B
C
O
∵AC BC =， ∴CAB CBA ∠=∠， ∴DAN MBG ∠=∠， 又AN BG =， ∴AND ∆≌BGM ∆，
∴DN MG MN ==， 〔1分〕 ∵90ACB ∠=︒， ∴CN DN =，
∴ACN D ∠=∠， 〔1分〕 ∵90ACB ∠=︒，AC BC =，O 是BC 边上的中点， ∴1
tan 2
CO CAO AC ∠=
=， 〔1分〕
∵MN ∥AO ， ∴CAO D ∠=∠， ∴CAO ACN ∠=∠， ∴1
tan 2
ACN ∠=
， 〔1分〕 〔3〕∵DAN MBG ∠=∠，当ADN ∆与MBG ∆相似时，
①假设D BMG ∠=∠时，过点G 作GE CB ⊥，垂足为点E ． ∴1
tan 2
GE BMG ME ∠=
=， ∴BM BE =，
∴y x =
， 〔1分〕
又)64
x y -=
，
∴2x = 〔1分〕
②假设D G ∠=∠时，过点M 作MF AB ⊥，垂足为点F ． ∴1tan 2
G ∠=
， ∴BF BG =，
∴x =
， 〔1分〕
又)64
x y -=，
∴6
5
x =
〔1分〕 综上所述，当ADN ∆与MBG ∆相似时，AN 的长为2或者6
5
.
〔以上各题，假设有其他解法，请参照评分HY 酌情给分〕
8〔2021四模〕在直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为〔2，2〕，点C 是线段OA 上的一个动点〔不运动至O ，A 两点〕，过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，以CD 为边在右侧作正方形CDEF. 连接AF 并延长交x 轴的正半轴于点B ，连接OF,设OD ＝t.
⑴ 求tan ∠FOB 的值；
⑵用含t 的代数式表示△OAB 的面积S ；
⑶是否存在点C, 使以B ，E ，F 为顶点的三角形与△OFE 相似，假设存在，恳求出所有
满足要求的B
答案：解：(1)∵A(2,2) ∴∠AOB=45° ∴CD=OD=DE=EF=t ∴1
tan 22
t FOB t ∠=
=……………………〔2分〕
(2)由△ACF ～△AOB
t
OB = ∴22t OB t =
- ∴2(02)2OAB t
S t t
∆=<<-……………………〔4分〕 (3)要使△BEF 与△OFE 相似,∵∠FEO=∠FEB=90° ∴只要
OE EF EB EF =或者OE EF
EF EB
=
即:2BE t =或者1
2
EB t =
① 当2BE t =时, 4BO t =,
∴
242t
t t
=- ∴0t =(舍去)或者32t = ∴B(6,0) …………………〔2分〕
② 当1
2
EB t =
时, (ⅰ)当B 在E 的左侧时,32
OB OE EB t =-=
, ∴
23
22
t t t =- ∴0t =(舍去)或者23t = ∴B(1,0) ……………〔2分〕
(ⅱ)当B 在E 的右侧时,52
OB OE EB t =+=
, ∴
25
22
t t t =- ∴0t =(舍去)或者65t = ∴B(3,0) ……………〔2分〕
9、〔2021四模〕如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC =90°，AB =8，CD =6，BC = 4，AB 边上有一动点P (不与A 、B 重合)，连结DP ，作PQ ⊥DP ，使得PQ 交射线BC 于点E ，设AP =x ．
⑴当x 为何值时，△APD 是等腰三角形？ ⑵假设设BE =y ，求y 关于x 的函数关系式；
⑶假设BC 的长可以变化，在如今的条件下，是否存在点P ，使得PQ 经过点C ？假设存在，求出相应的AP 的长；假设不存在，请说明理由，并直接写出当BC 的长在什么范围内时，
可以存在这样的点P ，使得PQ 经过点C ．
答案：解：〔1〕过D 点作DH ⊥AB 于H ，那么四边形DHBC 为矩形，
∴DH =BC =4，HB =CD =6 ∴AH =2，AD =25…………………1分 ∵AP =x ， ∴PH =x －2，
情况①：当AP =AD 时，即x =25……………………………2分 情况②：当AD =PD 时，那么AH =PH
∴2=x －2，解得x = 4………………………………………………………·3分
情况③：当AP =PD 时，
那么Rt △DPH 中，x 2
=42
+(x －2)2
，解得x =5…………………………………4分
∵2<x <8，∴当x 为25、4、5时，△APD 是等腰三角形…………………………5分 ⑵易证：△DPH ∽△PEB ………………………………………………………………7分
∴EB
PB PH DH =，∴y x x -=-824 整理得：y =14(x －2)(8－x )=－14x 2
+52x －4………8分 ⑶假设存在，那么此时BE =BC =4，即y =－14x 2+52
x －4=4，整理得： x 2
－10x +32=0
∵△=(－10)2
－4×32<0，∴原方程无解，……………………………………………9分 ∴不存在点P ，使得PQ 经过点C ……………………………………………………10分 当BC 满足0＜BC ≤3时，存在点P ，使得PQ 经过点C ……………………………12分
A B C
D
P
Q
E
A B C D 〔备用图1〕 A B
C
D
〔备用图2〕
A B
C
D
Q
E
H
P
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日。