人教版七年级上册数学教学课件：第三章《一元一次方程》本章知识解读方案

例8 某班有学生45人，选举2人作为学生会干部候选
人，结果有40人赞成甲，有37人赞成乙，对甲、乙都
不赞成的人数是都赞成人数的 1 ，那么对甲、乙都赞
成的人数是多少？
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分析：题目中所给条件之间的关系不太明显，不易找
出等量关系，若用图表示就能一目了然.
解：设对甲、乙都赞成的人数为x，都不赞成的人 数为 x ，可画出如图3-1的图示：
解：设还需要调用B型车x辆.
根据题意，得20×5+15x=300,
解得x=
.
因为x是车辆数，应为正整数，所以x的值为14.
答：至少还需调用B型车14辆.
方法点拨：首先通过题意找出题目中的数量关系，用表 格的形式把数量关系表示出来，然后根据数量关系列出 方程，最后解方程.列表格更直观，且不易出错.
方法点拨：本题考查了一元一次方程的定义和整式加减 的运用，一般情况下根据一元一次方程所满足的几个条 件列出方程，即可解出有关字母参数的值．
专题二 已知方程的解求其他字母的值 专题解读
某些一元一次方程中，未知数的系数或常数是一个含有 字母的整式，当已知这个一元一次方程的解时，把方程 的解代入方程即可得到关于字母的方程，进而求得字母 的值.
例5 李明要从学校到县城里参加运动会，如果他每 小时走4 km,那么走完预计时间他离县城还有0.5 km;如 果他每小时走5 km，那么比预计时间早半小时到达县城. 问：学校到县城的距离是多少？
分析：观察题目中的条件，发现预计时间是一个未 知量，并且这个预计时间与已知和要求的距离关系密切， 因此不妨设预计时间为未知数，然后求要求的未知量.
例6 某物流公司，要将300 t物资运往某地，现在A， B两种型号的车可供调用，已知A型车每辆可装20 t，B 型车每辆可装15 t.在每辆车不超载的条件下把300吨物 资装运完，问：在已确定调用5辆A型车的前提下至少 还需调用B型车多少辆？
分析：本题利用A，B两种型号的车辆进行运输，共 两种运输情形，每种运输情形都涉及车辆数、每辆车的 运载量、总运载量.由于这些量之间的关系复杂，因此 利用表格可使其关系明朗化，可列表如下：
x=
.
即当a≠6，b为任意实数时，方程有唯一解.
（2）当2a-12=0，且3b-2=0时，方程有无数个解.
由2a-12=0,得a=6;
由3b-2=0,得b= .
即当a=6且b= 时，方程有无数个解.
（3）当2a-12=0，且3b-2≠0时，方程无解. 由2a-12=0，得a=6; 由3b-2≠0，得b≠ . 即当a=6，且b≠23时，方程无解.
算量较大，观察原方程两边，不难发现方程左边各项变
形后都含有因式x-3，可逆用分配律.
解：（1）先去中括号，得
.
再去小括号，得
.
去分母，得24-2x+（x-2)=8x-2（x+3）.
去括号，得24-2x+x-2=8x-2x-6.
移项、合并同类项，得-7x=-28.
系数化为1，得x=4. （2）将原方程化为278（x-3)+463×2（x-3)-888×7（x3)=0. 逆用分配律，得（278+463×2-888×7)（x-3)=0， 解得x=3.
系数化为1，得x=- .
方法点拨：本题按照一般解方程的方法也可以求解，
但把
看成一个整体解方程更简单，虽然从步
骤上没有明显的减少，但是计算起来比较简单.
方法二 数形结合思想
方法解读
中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，所谓 数形结合是指利用数量关系来研究图形特征，利用图形 特征来研究数量关系，借助数与形的相互转化来研究和 解决问题.在本章中有关图形的应用题，需要借助图形 给出的信息，再结合题目文字说明列方程并求解；在解 没有图形的应用题时，也可通过画示意图分析题意，寻 找相等关系，这些都体现了数形结合思想.
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分析：本题可以按照先去分母的方法解方程，但 计算量较大，因为方程中有三项含有3x-2，所以可运用 整体思想求解.
解：将原方程变形为
.
令
=y,则将方程变形为y+15y=3y-13.
移项、合并同类项，得13y=-13.
系数化为1，得y=-1.
所以
=-1.
去分母，得3x-2=-15.
移项、合并同类项，得3x=-13.
根据题意，得（40-x)+x+37-x+ x=45， 解得x=36. 答：对甲、乙都赞成的人数是36.
方法点拨：本题通过画示意图，把一个抽象的“数” 的问题，转化为直观的“形”的问题，体现了数形结 合思想在解题中的具体运用.
方法三 分类讨论思想 方法解读
分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研 究时，就需要把研究对象按某个标准进行分类，然后对 每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个 问题的答案.本章的分类讨论思想主要表现为以下两个 方面：一是解含字母系数的方程时，在对ax=b系数化为 1时，应根据a，b的取值讨论解的情况；二是列方程解 决分段付费、方案决策等问题时，需要对各种情况进行 讨论，得出最佳方案.
方法一 整体思想 方法解读
整体思想是一种重要的数学思想方法，即在考虑数 学问题时不是局限于它的局部特征，而是把注意力和着 眼点放在问题的整体结构上.本章在解某些特殊结构的一 元一次方程时，可以把方程中某一部分当作一个整体， 根据它们之间的关联进行整体处理，以便于更快捷地解 方程.
例7 解方程：3x 2 3x 2 2 3x 13.
解：设李明预计到县城的时间为x h.由题意，得 4x+0.5=5（x-0.5)，解得x=3. 所以4x+0.5=4×3+0.5=12.5. 答：学校到县城的距离是12.5 km.
方法点拨：当直接设未知数有困难时，可采用间接设未 知数的方法，通过所设的未知数求出要求的未知量，也 就是说所设的不是最终要求的未知量，而是通过求其他 的数量间接地求得最终要求的未知量.
例9 关于x的方程2ax+2=12x+3b,当a,b为何值时： （1）方程有唯一解？（2）方程有无数个解？（3）方 程无解？
分析：解含字母参数的方程时，先将方程化为 “ax=b”的形式，再根据方程的解的情况进行分类讨论.
解：将方程2ax+2=12x+3b变形，
得（2a-12）x=3b-2.
（1）当2a-12≠0，即a≠6时，方程只有一个解，其解为
例4 解方程： x 0.4 0.2x 1 1 . 0.2 0.05
分析：本题如果按照方程两边同乘各分母的最小公 倍数的方法去分母，由于有的分母是小数而不便于计算， 因此可先把方程中的小数化为整数，再按照方程两边同 乘各分母的最小公倍数的方法去分母.
解：将原方程化为
.
去分母，得5（10x+4）-2（20x-100)=10.
去括号，得50x+20-40x+200=10.
移项，得50x-40x=10-20-200.
合并同类项，得10x=-210.
系数化为1，得x=-21.
专题四 巧列一元一次方程解决实际问题 专题解读
列一元一次方程解应用题的一般步骤：找相等关系、 设未知数、列方程、解方程、检验、写出答案，其中设 未知数有直接设未知数和间接设未知数之分，找相等关 系需要总揽全局、理顺数量关系.
第三章 一元一次方程
本章知识解读方案
单元知识梳理
专题一 根据一元一次方程的概念求字母参数的值 专题解读
一元一次方程必须满足四个条件：（1）等号两边都是 整式；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的次数 是1；（4）未知数的系数不等于0.利用这些条件列式求 解有关字母参数的值.
例1 已知关于x的方程mx3-xn+2-2x3+1=0化简后是一元一 次方程. （1）求3m-n2的值； （2）解化简后的一元一次方程． 分析：（1）根据一元一次方程的定义得出m-2=0， n+2=1，求出m,n的值，代入式子求值即可；（2）将所
例2 李明同学在解方程 2x 1 x a 1 ，去分母时，方
3
3
程右边的-1没有乘3，因而求得方程的解为x=3,试求a的
值，并正确地解方程.
分析：由题目知，x=3是方程2x-1=x+a-1的解，我们把
x=3代入方程，得到一个关于a的一元一次方程，解方程
求得a的值，进而正确地解原方程.
解：把x=3代入方程2x-1=x+a-1中，得
例3 解方程：
（1）3 2
1(x 42
x 2) 4
1 26
13 x
13(4x 16
12)
;
（2）278（x-3)-463（6-2x)-888（7x-21)=0.
分析：（1）中既有括号又有分母，且各分母的公分母
较大，为此先去括号再去分母，为了能进行约分，在等
式的右边先去掉中括号；（2）本题若按常规解法，计
得m，n的值分别代入原方程，解关于x的方程即可．
解：（1）化简方程mx3-xn+2-2x3+1=0可得， （m-2）x3-xn+2+1=0. 因为关于x的方程mx3-xn+2-2x3+1=0化简后是一元一次方 程， 所以m-2=0，n+2=1， 解得m=2，n=-1. 所以3m-n2=3×2-（-1）2=5． （2）当m=2，n=-1时，原方程为-x+1=0， 解得x=1．
6-1=3+a-1，解得a=3.
所以原方程为
.
去分母，得2x-1=x+3-3.
移项，得2x-x=3-3+1.
合并同类项，得x=1.
方法点拨：已知方程的解求其他字母的值，将方程的解 代入原方程，得到关于其他字母的方程，是解决此类问 题的方法.
专题三 巧解一元一次方程 专题解读
解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、 移项、合并同类项、系数化为1，但对某些特殊结构的 方程可以运用一些其他技巧，能使解方程的过程简化.
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