高考数学压轴专题专题备战高考《推理与证明》难题汇编附答案解析

新数学高考《推理与证明》复习资料
一、选择题
1．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( ) A ．乙 B ．甲 C ．丁 D ．丙 【答案】A 【解析】 【分析】
由题意，这个问题的关键是四人中有两人说真话，另外两人说了假话，通过这一突破口，进行分析，推理即可得到结论. 【详解】
在甲、乙、丙、丁四人的供词中，可以得出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙丁两人的供词应该是同真同假（即都是真话或都是假话，不会出现一真一假的情况）；
假设乙、丁两人所得都是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话可推出丙是犯罪的结论；
由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是犯罪的结论；显然这两人是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，
由甲、丙的供词可以断定乙是犯罪的，乙、丙、丁中有一人是犯罪的， 由丁说假话，丙说真话推出乙是犯罪的，综上可得乙是犯罪的，故选A. 【点睛】
本题主要考查了推理问题的实际应用，其中解答中结合题意，进行分析，找出解决问题的突破口，然后进行推理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.
2．平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成
()f n 块区域，有(1)2f =，(2)4f =，(3)8f =，则() f n =（ ）．
A ．2n
B ．22n n -+
C ．2(1)(2)(3)n n n n ----
D ．325104n n n -+-
【答案】B 【解析】 【分析】
分析可得平面内有n 个圆时, 它们将平面分成()f n 块,再添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆.再求和即可. 【详解】
由题, 添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆. 又(1)2f =,故()()12f n f n n +-=.
即()()()()()()212,32 4...122f f f f f n f n n -=-=--=-. 累加可得()()()21222224 (2222)
2n n n n f n n -+-=++++-=-++=.
故选：B 【点睛】
本题主要考查了根据数列的递推关系求解通项公式的方法,需要画图分析进行理解.或直接计算(4),(5) f f 等利用排除法判断.属于中档题.
3．分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q ，这两个相距R 的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U .其计算式子为
212121111U kcq R R x x R x R x ⎛⎫
=+-- ⎪+-+-⎝⎭
，其中，kc 为静电常量，1x 、2x 分别表示
两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知12121x x R x x R R -⎛
⎫
+-=+
⎪⎝⎭
，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝
⎭，且()1
211x x x -+≈-+，则U 的近似值为
（ ）
A ．212
3
kcq x x R B ．212
3
kcq x x R - C ．2123
2kcq x x R D ．212
3
2kcq x x R -
【答案】D 【解析】 【分析】
将12121x x R x x R R -⎛⎫
+-=+ ⎪⎝
⎭，
111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭代入U ，结合()
1
211x x x -+≈-+化简计算可得出U 的近似值.
【详解】
221212121211111111111U kcq kcq x x x x R R x x R x R x R R R R R R R ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥=+--=+
-- ⎪-+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥
⎝⎭++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
222
2
121211221111x x x x x x x x kcq R
R R R R R R ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
212
3
2kcq x x R =-. 故选：D. 【点睛】
本题考查U 的近似计算，充分理解题中的计算方法是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
4．小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过北京时，
小赵说：我没去过；小钱说：小李去过；小孙说；小钱去过；小李说：我没去过．假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过北京的是（ ） A ．小钱 B ．小李
C ．小孙
D ．小赵
【答案】A 【解析】
由题意的，如果小赵去过长城，则小赵说谎，小钱说谎，不满足题意；
如果小钱去过长城，则小赵说真话，小钱说谎，小孙、小李说真话，满足题意，故选A.
5．数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“2212cos a sin a =-”所用的几何图形，已知点,B C 在以线段AC 为直径的圆上，D 为弧BC 的中点，点E 在线段AC 上且,AE AB =点F 为EC 的中点.设2,AC r =,DAC a ∠=那么下列结论:
2,DC rcosa =① 22,AB rcos a =②
()12,FC r cos a =-③ ()22DC r r AB =-④.
其中正确的是（ ） A ．②③ B ．②④
C ．①③④
D ．②③④
【答案】D 【解析】 【分析】
在Rt ADC ∆中，可判断①，Rt ABC ∆中，可判断②，利用ADB ∆与ADE ∆全等及
ADC ∆与DFC ∆相似即可判断③④. 【详解】
在Rt ADC ∆中，
2sin ,DC r a =故①不正确； 因为 ,BD DC =所以2,BAC a ∠=在Rt ABC ∆中，2cos2AB r a =，故②正确；
因为AE AB BD DC ==，，易知ADB ∆与ADE ∆全等，故
DE BD DC DF EC ==⊥，，所以()1cos22
AB
FC r r a =-
=-， 又
C
C AC
D FC D =，所以()2
2DC AC FC r r AB =⋅=-，故③④正确， 由2sin 2cos2DC r a AB r a ==,，()2
2DC r r AB =-，可得
()
()2
2sin 22cos2r a r r r a =-，即22sin 1cos2a a =-.
故选：D. 【点睛】
本题考查推理与证明，考查学生在圆中利用三角形边长证明倍角公式的背景下，判断所需的边长是否正确，是一道中档题.
6．某单位实行职工值夜班制度，己知A ，B ，C ，D ，E 5名职工每星期一到星期五都要值一次夜班，且没有两人同时值夜班，星期六和星期日不值夜班，若A 昨天值夜班，从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班，D 星期四值夜班，则今天是星期几 A ．二 B ．三
C ．四
D ．五
【答案】C 【解析】
分析：A 昨天值夜班，D 周四值夜班，得到今天不是周一也不是周五，假设今天是周二，则周二与周三B ，C 至少有一人值夜班，与已知从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周三，则周五与下周一B ，C 至少有一人值夜班，与已知从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班矛盾；由此得到今天是周四．
详解：∵A 昨天值夜班，D 周四值夜班，∴今天不是周一也不是周五，
若今天是周二，则周一A 值夜班，周四D 值夜班，则周二与周三B ，C 至少有一人值夜班，
与已知从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班矛盾；
若今天是周三，则A 周二值夜班，D 周四值夜班，则周五与下周一B ，C 至少有一人值夜班，
与已知从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班矛盾；
若今天是周四，则周三A 值夜班，周四D 值夜班，周五E 值夜班，符合题意． 故今天是周四． 故选：C ．
点睛：本题考查简单的推理，考查合情推理等基础知识，考查推理论证能力，属于中档题．
7．已知()sin cos f x x x =-，定义1()()f x f x '=，
[]'21()()f x f x =，…[]1()()n n f x f x '
+=，（*n N ∈），经计算，1()cos sin f x x x =+，
2()sin cos f x x x =-+，3()cos sin f x x x =--，…，照此规律，2019()f x =（ ）
A ．cos sin x x --
B ．cos sin x x -
C ．sin cos x x +
D ．cos sin x x -+
【答案】A 【解析】 【分析】
根据归纳推理进行求解即可． 【详解】
解：由题意知：()sin cos f x x x =-，
1()()cos sin f x f x x x '==+，
[]1'
2()()sin cos f x f x x x ==-+， []'
23()()cos sin f x f x x x ==--， []'34()()sin cos f x f x x x ==-，
L
照此规律，可知：
[]'
201923()()co )s (s in f x f x x x f x ==--=，
故选：A. 【点睛】
本题考查函数值的计算，利用归纳推理是解决本题的关键．
8．设x ，y ，z ＞0，则三个数,,y y z z x x
x z x y z y
+++ （ ） A ．都大于2
B ．至少有一个大于2
C ．至少有一个不小于2
D ．至少有一个不大于2
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
假设这三个数都小于2，则三个数之和小于6，又
y x ＋y z ＋z x ＋z y ＋x
z ＋x y ＝(y x
＋x y )＋
(
y
z ＋z y )＋(z x ＋x z
)≥2＋2＋2＝6，当且仅当x ＝y ＝z 时取等号，与假设矛盾，故这三个数至少有一个不小于2.
9．现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是( )
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
【答案】B 【解析】 【分析】
结合题意分类讨论甲乙丙丁获奖的情况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人. 【详解】
结合题意分类讨论：
若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意； 若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意； 若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意； 若丁获奖，则说假话的人为：甲乙丙丁，不合题意； 综上可得，获奖人为乙. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查数学推理的方法，分类讨论的数学思想，属于中等题.
10．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，2n 这2n 个数填入n n ⨯方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n 阶幻方．定义()f n 为n 阶幻方对角线上所有数的和，如(3)15f =，则(10)f =（ ）
A ．55
B ．500
C ．505
D ．5050
【答案】C 【解析】 【分析】
因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得2
123()n f n n
+++⋅⋅⋅+=，
即得解. 【详解】
因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，
所以n 阶幻方对角线上数的和()f n 就等于每行（或每列）的数的和， 又n 阶幻方有n 行（或n 列），
因此，2
123()n f n n
+++⋅⋅⋅+=，
于是12399100
(10)50510
f +++⋅⋅⋅++=
=．
故选：C 【点睛】
本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.
11．用数学归纳法证明“l+2+3+…+n 3
=63
2
n n +，n ∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k 时对应
的等式左边加上（ ） A ．k 3+1 B ．（k 3+1）+（k 3+2）+…+（k+1）3
C ．（k+1）3
D ．63
(1)(1)2
k k +++
【答案】B 【解析】
分析：当项数从n k =到1n k =+时，等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。

详解：当n k = 时，等式左边3123....k =+++
当1n k =+时，等式左边3
3
3
3
3
123....(1)(2)(3)...(1)k k k k k =+++++++++ 所以增加的项为3
3
3
3
(1)(2)(3)...(1)k k k k +++++ 所以选B
点睛：本题考查了数学归纳法的应用，当项数变化时分析出增加的项，属于简单题。

12．新课程改革后，某校的甲、乙、丙三位同学都选了A 、B 、C 三门课中的两门，且任何两位同学选修的课程有且仅有一门相同.其中甲、乙共同选修的课不是B ，乙、丙共同选修的课不是A ，B 和C 两门课程有一个丙没有选，则甲选修的两门课程是（ ） A ．A 和B B ．B 和C
C ．A 和C
D ．无法判断
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意可知丙一定选了A 课程，结合题意进行推理，可得出甲所选修的两门课程，由此可得出结论. 【详解】
B 和
C 两门课程有一个丙没有选，所以丙肯定选了A ，
乙、丙共同选修的课不是A ，则乙选择了B 、C 两门课程，
由于甲、乙共同选修的课不是B ，则甲、乙共同选修的是C ，但甲不能选择B 课程. 因此，甲选修是A 、C 两门课程. 故选：C. 【点睛】
本题考查简单的合情推理问题，考查推理能力，属于中等题.
13．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）
A ．高二年级有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人
B ．猜想数列
111
,,122334
⋯⋯⨯⨯⨯的通项公式为()1(1)n a n N n n +=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π= D ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质 【答案】C 【解析】 【分析】
根据归纳推理，类比推理和演绎推理的定义分别进行判断即可. 【详解】
对于A ，高二年级有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人，是归纳推理；
对于B ，归纳出{}n a 的通项公式，是归纳推理；
对于C ，半径为r 的圆的面积2πS r =，则单位圆的面积πS =，演绎推理； 对于D ，由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，为类比推理.故选C ． 【点睛】
该题考查的是有关演绎推理的判断，涉及到的知识点有判断一个推理是合情推理还是演绎推理，关键是要明确合情推理和演绎推理的定义，属于简单题目.
14．观察下列各式：5678953125,515625,578125,5390625,51953125,=====L ，则20205的末四位数字为（ ） A ．3125 B ．5625 C ．0625 D ．8125
【答案】C 【解析】 【分析】
根据5
6
7
8
9
53125,515625,578125,5390625,51953125,=====L ，分析次数与末四位数字的关系，归纳其变化规律求解. 【详解】
因为5
6
7
8
9
53125,515625,578125,5390625,51953125,=====L ， 观察可知415k +的末四位数字3125，
425k +的末四位数字5625， 435k +的末四位数字8125， 445k +的末四位数字0625，
又202045044=⨯+，则20205的末四位数字为0625. 故选：C 【点睛】
本题主要考查数列中的归纳推理，还考查了理解辨析推理的能力，属于中档题.
15．已知()()()212
f x f x f x +=+， ()11f =（*x N ∈），猜想()f x 的表达式为（ ）
A ．()21f x x =+
B ．()422x f x =+
C ．()11f x x =+
D ．()221
f x x =+ 【答案】A
【解析】因为
()()()212
f x f x f x +=
+,所以
()()111
12
f x f x =++ ,因此
()()()()()11112
111221
x x f x f x f x =+-=+⇒=+,选A.
16．对大于1的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：
33313
73152{3{94{517
11
19
L ，，,仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是73，则m 的值为（ ） A ．8 B ．9
C ．10
D ．11
【答案】B 【解析】
由题意可得3m 的“分裂数”为m 个连续奇数，设3m 的“分裂数”中第一个数为m a ，则由题意可得：3273422a a -=-==⨯，43137623a a -=-==⨯，…，
12(1)m m a a m --=-，将以上2m -个式子叠加可得
2(422)(2)
(1)(2)2
m m m a a m m +---=
=+-
∴2
2(1)(2)1m a m m a m m =+-+=-+
∴当9m =时，73m a =，即73是39的“分裂数”中第一个数 故选B
17．已知甲、乙、丙、丁四人各自去过阿勒泰、伊宁、喀什、库尔勒中的某一城市，且每个城市只有一人去过，四人分别给出了以下说法： 甲说：我去过阿勒泰； 乙说：丙去过阿勒泰； 丙说：乙、丁均未去过阿勒泰； 丁说：我和甲中有一人去过阿勒泰．
若这四人中有且只有两人说的话是对的，则去过阿勒泰的是（ ） A ．甲 B ．乙
C ．丙
D ．丁
【答案】C
【解析】
【分析】
先假设一人说真话，推出正确，即可，推出矛盾，则说的假话．
【详解】
解：如果甲说的是真话，则甲，丙，丁说的是真话，则矛盾，甲未去过；
如果乙说的是真话，则甲，丁说谎，丙说的真话，符合题意，丙去过．
故选：C．
【点睛】
本题考查演绎推理的简单应用，难度一般.解答此类问题的关键是先进行假设，然后再逐个分析.
18．一场考试之后，甲、乙、丙三位同学被问及语文、数学、英语三个科目是否达到优秀时，甲说：有一个科目我们三个人都达到了优秀；乙说：我的英语没有达到优秀；丙说：乙达到优秀的科目比我多.则可以完全确定的是（）
A．甲同学三个科目都达到优秀B．乙同学只有一个科目达到优秀
C．丙同学只有一个科目达到优秀D．三位同学都达到优秀的科目是数学
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意推断出乙有两科达到优秀，丙有一科达到优秀，甲至少有一科优秀，从而得出答案.
【详解】
甲说有一个科目每个人都达到优秀，说明甲乙丙三个人每个人优秀的科目至少是一科，乙说英语没有达到优秀，说明他至多有两科达到优秀，而丙优秀的科目不如乙多，说明只能是乙有两科达到优秀，丙有一科达到优秀，故B错误，C正确；
至于甲有几个科目优秀，以及三人都优秀的科目到底是语文还是数学，都无法确定
故选：C
【点睛】
本题主要考查了学生的推理能力，属于中档题.
19．用数学归纳法证明“
11
12
n n
++
++
…
111
()
24
n N
n n+
≥∈
+
”时，由n k
=到1
n k
=+
时，不等试左边应添加的项是( )
A．
1
2(1)
k+
B．
11
2122
k k
+
++
C．
111
21221
k k k
+-
+++
D．
1111
212212
k k k k
+--
++++
【答案】C 【解析】
【分析】
分别代入,1n k n k ==+，两式作差可得左边应添加项。

【详解】
由n=k 时，左边为11112k k k k +++++L ， 当n=k+1时，左边为11111231(1)(1)
k k k k k k k k +++++++++++++L 所以增加项为两式作差得：
11121221k k k +-+++，选C. 【点睛】
运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n 0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可．
20．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级．某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为A 的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A 的学生，其另外一科等级为B ，则该班（ ）
A ．物理化学等级都是
B 的学生至多有12人
B ．物理化学等级都是B 的学生至少有5人
C ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至多有18人
D ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至少有1人
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意分别计算出物理等级为A ，化学等级为B 的学生人数以及物理等级为B ，化学等级为A 的学生人数，结合表格中的数据进行分析，可得出合适的选项.
【详解】
根据题意可知，36名学生减去5名全A 和一科为A 另一科为B 的学生105858-+-=人
（其中物理A化学B的有5人，物理B化学A的有3人），
表格变为：
对于A选项，物理化学等级都是B的学生至多有13人，A选项错误；
对于B选项，当物理C和D，化学都是B时，或化学C和D，物理都是B时，物理、化
--=（人），B选项错误；
学都是B的人数最少，至少为13724
对于C选项，在表格中，除去物理化学都是B的学生，剩下的都是一科为B且最高等级为B的学生，
因为都是B的学生最少4人，所以一科为B且最高等级为B的学生最多为++-=（人），
1391419
C选项错误；
对于D选项，物理化学都是B的最多13人，所以两科只有一科等级为B且最高等级为B -=（人），D选项正确.
的学生最少14131
故选：D.
【点睛】
本题考查合情推理，考查推理能力，属于中等题.。