高中数学 311不等关系与不等式的性质课件 新人教A必修5

●教法点津 1．本章教学首先应通过日常生活中的大量不等关系的实 例，使学生感受、体会不等式的实际应用．进而结合具体实例， 掌握不等式的基本性质． 2．引导学生借助二次函数的图象经历导出一元二次不等 式的解法的过程． 使学生掌握求解一元二次不等式的方法，了解三个二次之 间的关系，鼓励学生尝试设计求解一元二次不等式的程序框 图．
5．不等式的性质 4 至 8 都涉及符号讨论，用基本不等式 求最值，涉及符号成立条件的验证，都是学生学习中易错的地 方，线性规划是学生学习中的难点，对这些内容的学习、理解 应给予学生更多关注．
第三章
3．1 不等关系与不等式
第三章
第 1 课时 不等关系与不等式的性质
课前自主预习 思路方法技巧 名师辨误作答
在 3.3 节中，注意从具体的二元一次不等式解集表示的平 面区域入手推广到一般二元一次不等式表示的平面区域．重点 掌握二元一次不等式表示的平面区域的判定：进而借助几何直 观探讨简单线性规划问题的解法，重点放在如何找出约束条件 及据约束条件画出可行域，如何找出目标函数及最优解上．
对于 3.4 基本不等式，既要能从几何直观中加以抽象，又 能熟练地进行理论证明．注意感受其应用价值．通过练习掌握 其应用．
(4)a＞b，ab＞0⇒1a＜1b. 证明： aab＞＞b0⇒a1b＞0⇒aab＞abb⇒1b＞1a⇒1a＜1b. 即 y＝1x(x∈N 且 x≠0)的单调性：在(0，＋∞)单调递减， 在(－∞，0)单调递减，即若 a＞b＞0，则 0＜1a＜1b；若 a＜b＜ 0 则 0＞1a＞1b.
5．注意式子 a≥b 的含义是 a>b 或者 a＝b，两者只要有一 个正确，则 a≥b 就是正确的．
4．由不等式的性质可推出一些重要结论． (1)a＞b，c＜d⇒a－c＞b－d. 证明： ac＜＞db⇒⇒da－－cb＞＞00⇒(a－b)＋(d－c)＞0⇒a－c＞b－ d. (2)a＋c＞b⇒a＞b－c(不等式移项法则)． 证明：a＋c＞b⇒(a＋c)＋(－c)＞b＋(－c) ⇒a＞b－c.
(3)a＞b＞0,0＜c＜d⇒ac＞bd； 证明：∵0＜c＜d，∴cd＞0，∴c1d＞0. 由可乘性知 0＜c1d·c＜c1d·d，即1c＞1d＞0. 又 a＞b＞0，∴ac＞bd.
(4)掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实 际问题．
(5)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二 元一次不等式组．
(6)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题， 并能加以解决．
(7)能将实际问题转化为数学问题，建立不等式模型，求解 不等式．
2．过程与方法目标 (1)经历从实际情境中抽象出不等式模型的过程，体会不等 式、方程以及函数之间的联系． (2)探索并了解均值不等式的证明过程，体验均值不等式在 实际中的应用． (3)对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序图．
含等号的把相应不等式加上等号． 如 ab≥＞bc⇒a＞c 的证明： ab≥＞bc⇒⇒ba－－cb＞≥00⇒(a－b)＋(b －c)＞0⇒a－c＞0⇒a＞c. (3)性质 3(可加性) a＞b⇒a－b＞0⇒(a－b)＋(c－c)＞0⇒ (a＋c)－(b＋c)＞0⇒a＋c＞b＋c.
(4)性质 4(可乘性) a＞b，c＞0⇒a－b＞0，c＞0⇒(a－b)c ＞0⇒ac－bc＞0⇒ac＞bc.
3．比较数的大小，可以作差比较，也可以作商比较，还 可以应用不等式的性质先变换后比较．一般地说，作差后便于 因式分解判断符号的，对数表达式比较大小，多项式比较大小 适宜作差比较；积(幂)式、商式，有些根式等适宜作商比较， 倒数关系常用 y＝1x的性质，有些根式、含绝对值的式子适宜先 乘方等等，要据题目的特点灵活选取方法．
推广：ac＞≥db ⇒a＋c＞b＋d；ac≥≥db ⇒a＋c≥b＋d.
(4)性质 4(可乘性)
ac＞＞0b⇒ac＞bc；ac＜＞0b ⇒ac＜bc；
性质 6
ac＞＞db＞＞00⇒ac＞bd.
性质 7(乘方法则) a＞b＞0⇒an＞bn.(n∈N*且 n≥2)．
(5)性质 8(开方法则) a＞b＞0⇒n a＞n b.(n∈N*且 n≥2) 提示：证明要注意实数的基本理论的运用：正数的相反数 是负数，负数的相反数是正数．正数大于一切负数，两个正数 的和是正数．两个负数的和是负数． (1)性质 1(对称性) a＞b⇔a－b＞0⇔－(a－b)＜0⇔b－a ＜0⇔b＜a. (2)性质 2(传递性) a＞b，b＞c⇒a－b＞0，b－c＞0⇒(a －b)＋(b试证明不等式的下述性质：
(1)性质 1(对称性) a＞b⇔b＜a，
(2)性质 2(传递性)
ab＞＞bc⇒a＞c，
推广： ab≥＞bc⇒a＞c； ab＞≥bc⇒a＞c； ab≥≥bc⇒a≥c.
(3)性质 3(可加性) a>b⇔a＋c>b＋c，
性质 5(同向可加性)
a>b
c>d
⇒a＋c＞b＋d.
a＞b，c＜0⇒a－b＞0，－c＞0⇒(a－b)(－c)＞0⇒bc－ac ＞0⇒bc＞ac⇒ac＜bc.
性质 5(同向可加性) a＞b，c＞d⇒a－b＞0，c－d＞0⇒(a －b)＋(c－d)＝(a＋c)－(b＋d)＞0⇒a＋c＞b＋d.
或 a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋c，b＋c＞b＋d⇒a＋c＞b＋d. 含等号的只要将相应部分的不等式添上等号即可．
3．引导学生从实际情境中抽象出一次不等式组的几何意 义，尝试用二元一次不等式组表示平面区域，进而从实际情境 中抽象出一些简单的二元线性规划问题．并探究解决方法，掌 握解法，这一单元贵在引导学生体会线性规划的基本思想．
4．引导学生探究证明基本不等式，并通过大量实例．掌 握基本不等式的应用．
•1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 •5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 •6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/182022/1/182022/1/181/18/2022 •7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/182022/1/18January 18, 2022 •8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/182022/1/182022/1/182022/1/18
性质 6
ac＞＞db＞＞00，，bc＞＞00⇒⇒abcc＞＞bbcd⇒ac＞bd.
性质7乘方法则 a＞b＞0
aa＞＞bb＞＞00⇒a2＞b2＞0
⇒aa＞3＞bb＞3＞0 0⇒…⇒an－1＞bn－1＞0⇒an＞bn＞0.
a＞b＞0
(5)性质 8(开方法则) 假设n a不大于n b，则n a＝n b，或 n a＜n b，
●学法探究 本章教材首先通过一幅重迭起伏的壮观章头图，把我们带 入到“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然中，图中 熔岩喷射出的抛物线状轨迹与本章知识有密切联系，体现新课 标中强调的“通过具体情境、感受在现实世界和日常生活中存 在着大量的数量关系，了解不等式(组)的实际背景”精神，学 习本章要把握这种数学与现实世界，现实生产、生活的联系， 在感受具体情境基础上展开联想，形成知识网络．
课堂巩固训练 课后强化作业
课程目标解读
1．通过具体情境，感受和了解在现实世界和日常生活中 存在着大量的不等关系．
2．学习用不等式(组)来描述不等关系， 了解不等式(组) 是研究不等关系的数学工具，理解其意义和价值．
3．了解不等式的基本性质，能应用不等式的性质进行简 单的数(式)的大小比较．
课前自主预习
⑤若 a＞b，1a＞1b，则 a＞0，b＜0.
其中正确结论的个数是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
[答案] C
[分析] 判断不等关系的真假，要紧扣不等式的性质，应 注意条件与结论之间的联系．
[解析] ①c 的正、负或是否为零未知，因而判断 ac 与 bc 的大小缺乏依据，故该结论错误．
②由 ac2＞bc2 知 c≠0，又 c2＞0，∴a＞b，∴②是正确的．
第三章
不等式
本章概述
●课程目标 1．知识与技能目标 (1)通过具体情境，了解不等式(组)的实际背景，借助数轴， 能从“形”和“数”两个方面来认识不等式． (2)理解不等式的性质，能运用不等式的性质证明简单的不 等式以及解不等式． (3)理解均值不等式，能用均值不等式解决简单的最大(小) 值问题．
难点：用不等式(组)正确表示出不等关系．
学习要点点拨
1．不等式的性质是研究不等关系、求解不等式和证明不 等式的理论依据，要切实弄清其原理．
2．应用不等式的性质时，一定要辨清各性质的特点及适 用条件，如
①传递性要注意有无等号． ②可加性要注意方向，可乘性、乘方、开方法则要注意符 号． 这是最容易出错的地方，要特别重视．
⑤由已知条件知：a＞b⇒a－b＞0， 1a＞1b⇒1a－1b＞0⇒b－aba＞0. ∵a－b＞0，∴b－a＜0.∴ab＜0. 又 a＞b，∴a＞0，b＜0. 故⑤正确． 综上可知，命题②、③、④、⑤都正确．
[点评] 通过本题的练习，可以使我们熟悉不等式的基本 性质，更好地掌握各性质的条件和结论．在各性质中，乘法性 质的应用最易出错，即在不等式的两边同乘(除)以一个数时， 必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定．
在 3.1 节中要注意：①感受不等关系是普遍存在的．②不 等关系可用不等式(组)来表示．③解不等式在解决不等式问题 中有重要地位．④不等式性质是解不等式和证明不等式的理论 基础，是不等关系大厦的基石．
在 3.2 节中要注意：①经历从实际情境中抽象一元二次不 等式模型的过程．②借助二次函数图象探究一元二次不等式的 解法，理顺三个二次(二次不等式、二次方程、二次函数)之间 关系，并从中体会知识的联系．③尝试设计程序框图．用程序 语句描述一元二次不等式的解法．
若n a＝n b，则 a＝b，这与 a＞b 矛盾． 若n a＜n b，则(n a)n＜(n b)n，即 a＜b，这与 a＞b 矛盾．所 以，假设不成立，故n a＞n b.
重点难点展示
重点：用不等式(组)表示实际问题中的不等关系，研究解 决含有不等关系的实际问题，理解不等式(组)刻画不等关系的 意义和价值，理解不等式的性质．
6．用作商法比较数的大小时，一般要先判明符号，再由ab >1(或ab<1)得出 a 与 b 的大小关系．
思路方法技巧
命题方向 不等式性质的应用
[例 1] 对于实数 a、b、c，有下列结论： ①若 a＞b，则 ac＜bc； ②若 ac2＞bc2，则 a＞b； ③若 a＜b＜0，则 a2＞ab＞b2； ④若 c＞a＞b＞0，则c－a a＞c－b b；
1．实数运算性质与大小顺序关系是比较两实数大小的依
据， 21aa＝＞bb⇔⇔aa－－bb＝＞00是“作差法”比较两实数大小的理论 3a＜b⇔a－b＜0
基础．
2．用比较法判断 a 与 b 的大小，常归结为两种基本形式： (1)作差比较：作差―→因式分解等变形―→判断符号． (2)作商比较：作商―→约分、分解等变形―→判断ab与 1 的大小关系(在 a、b 同号时)． 3．函数的图象、性质，也经常作为判断和证明不等式的 工具．
③ aa＜＜b0＜0⇒a2＞ab， ab＜＜b0⇒ab＞b2，
a2>ab ab>b2
⇒a2＞ab＞b2.
故③正确．
④a＞b＞0⇒－a＜－b⇒c－a＜c－b. ∵c＞a，∴c－a＞0.∴0＜c－a＜c－b. 两边同乘以c－a1c－b，得c－1 a＞c－1 b＞0. 又 a＞b＞0，∴c－a a＞c－b b. 故④正确．
3．情感、态度与价值观目标 (1)通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大 量的不等关系，体会不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价 值． (2)体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单 的线性规划问题． (3)通过实例，体验数学与日常生活的联系，感受数学的实 用价值，增强应用意识，提高实践能力．