新高考数学第一次模拟试题(带答案)

新高考数学第一次模拟试题(带答案)
一、选择题
1．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：
对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是( ) A ．22y x =-
B ．1()2
x
y =
C ．2y log x =
D ．()
2
112
y x =
- 2．已知复数z 满足()12i z +=，则复数z 的虚部为（ ） A ．1
B ．1-
C ．i
D ．i -
3．设01p <<，随机变量ξ的分布列如图，则当p 在()0,1内增大时，（ ）
A ．()D ξ减小
B ．()D ξ增大
C ．()
D ξ先减小后增大
D ．()D ξ先增大后减小
4．在ABC ∆中，60A =︒，45B =︒，BC =AC =（ ）
A ．
2
B C ．D ．5．已知向量a ，b 满足2a =，||1b =，且2b a +=，则向量a 与b 的夹角的余弦值为（ ）
A ．
2
B ．
3
C ．
8
D ．
4
6．已知P 为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>上一点，12F F ，
为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．4
3
y x =±
B ．34
y
x C ．35
y x =±
D ．53
y x =±
7．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的
正切值为 A
B
C
D
8．已知函数()25,1,,1,x ax x f x a x x
⎧---≤⎪
=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）
A ．30a -≤<
B ．0a <
C ．2a ≤-
D ．32a --≤≤
9．若奇函数()f x 在[1,3]上为增函数，且有最小值0，则它在[3,1]--上 （ ）
A ．是减函数，有最小值0
B ．是增函数，有最小值0
C ．是减函数，有最大值0
D ．是增函数，有最大值0 10．已知π
,4
αβ+=则(1tan )(1tan )αβ++的值是（ ） A ．-1
B ．1
C ．2
D ．4
11．5
22x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中4x 的系数为 A ．10
B ．20
C ．40
D ．80
12．下列说法正确的是( ) A ．22a b ac bc >⇒> B ．22a b a b >⇒> C ．33a b a b >⇒>
D ．22a b a b >⇒>
二、填空题
13．若双曲线22
221x y a b
-=()0,0a b >>两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程
是___________.
14．设函数()21
2
log ,0log (),0x x f x x x >⎧⎪
=⎨-<⎪⎩ ，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是
__________．
15．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4c =
，a A =，且C 为锐角，则ABC ∆面积的最大值为________.
16．若9
()a x x
-的展开式中3x 的系数是84-，则a = ．
17．已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ
=+-<<的图象关于直线3
x π=对称，则ϕ的值是________．
18．幂函数y=x α,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设
点A (1,0),B (0,1),连接AB ,线段AB 恰好被其中的两个幂函数y=x α,y=x β的图像三等分,即有BM=MN=NA ,那么,αβ等于_____.
19．在体积为9的斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，S —ABC 的体积为2，则三棱锥S —A 1B 1C 1的体积为___．
20．已知直线：与圆
交于两点，过分别作的垂线与
轴交于
两点.则
_________.
三、解答题
21．已知曲线C 的参数方程为32cos 12sin x y α
α=+⎧⎨=-⎩
（a 参数），以直角坐标系的原点为极点，
x 正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线l 极坐标方程为1
sin 2cos θθρ
-=，求曲线C 上的点到直线l 最大距离.
22．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，连接BD ，其中DA DP =，
BA BP =.
（1）求证：PA BD ⊥；
（2）若DA DP ⊥，060ABP ∠=，2BA BP BD ===，求二面角D PC B --的正弦值.
23．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-2ρcos(θ-)=2.
(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程. (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.
24．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP 软件层出不穷，现从某市使用
A 和
B 两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对它们的“平均送达时间”进行
统计，得到频率分布直方图如下：
(1)已知抽取的100个使用A 未订餐软件的商家中，甲商家的“平均送达时间”为18分钟，现从使用A 未订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家中随机抽取3个商家进行市场调研，求甲商家被抽到的概率；
(2)试估计该市使用A 款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数； (3)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A 和B 两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？
25．已知函数()3
2
f x x ax bx c =+++，过曲线()y f x =上的点()()
1,1P f 处的切线方
程为31y x =+．
（1）若函数()f x 在2x =-处有极值，求()f x 的解析式； （2）在（1）的条件下，求函数()y f x =在区间[]
3,1-上的最大值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】
根据,x y 的数值变化规律推测二者之间的关系，最贴切的是二次关系. 【详解】
根据实验数据可以得出，x 近似增加一个单位时，y 的增量近似为2.5，3.5，4.5，6，比较
接近()
2
112
y x =
-，故选D. 【点睛】
本题主要考查利用实验数据确定拟合曲线，求解关键是观察变化规律，侧重考查数据分析的核心素养.
2．B
【解析】
设,,z a bi a b R =+∈（） ，由()1i 22z z i z +=⇒=--（）2a bi i a bi ⇒+=--（）
，2a bi b a i ⇒+=-+-（） ,
2a b b a =-⎧⇒⎨
=-⎩
1b ⇒=- ，故选B. 3．D 解析：D 【解析】 【分析】
先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性. 【详解】
111
()0122222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=+，
2222111111
()(0)(1)(2)2222224
p p D p p p p p ξ-∴=--+--+--=-++，
1
(0,1)2
∈，∴()D ξ先增后减，因此选D. 【点睛】
2
221
1
1
(),()(())().n
n
n
i i i i i i i i i E x p D x E p x p E ξξξξ=====-=-∑∑∑
4．C
解析：C 【解析】 【分析】
在三角形中，利用正弦定理可得结果. 【详解】 解：在ABC ∆中， 可得
sin sin BC AC
A B
=
,
即
sin 60
sin 45
AC
，即
2，
解得AC = 故选C. 【点睛】
本题考查了利用正弦定理解三角形的问题，解题的关键是熟练运用正弦定理公式.
5．D
解析：D
【分析】
根据平方运算可求得12
a b ⋅=，利用cos ,a b a b a b ⋅<>=求得结果. 【详解】
由题意可知：2
22
2324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=，解得：12
a b ⋅=
2cos ,4
22
a b a b a b
⋅∴<>=
=
=
本题正确选项：D 【点睛】
本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
依据题意作出图象，由双曲线定义可得1122PF F F c ==，又直线PF 2与以C 的实轴为直径的圆相切，可得2MF b =，对2OF M ∠在两个三角形中分别用余弦定理及余弦定义列方程，即可求得2b a c =+，联立222c a b =+，即可求得4
3
b a =，问题得解． 【详解】
依据题意作出图象，如下：
则1122PF F F c ==，OM a =， 又直线PF 2与以C 的实轴为直径的圆相切，
所以2OM PF ⊥, 所以222MF c a b =
-=
由双曲线定义可得：212PF PF a -=，所以222PF
c a =+， 所以()()()()
222
2
2222cos 2222c a c c b OF M c c a c ++-∠==⨯⨯+ 整理得：2b a c =+，即：2b a c -= 将2c b a =-代入222c a b =+，整理得：4
3
b a =， 所以C 的渐近线方程为43
b y x x a =±=± 故选A 【点睛】
本题主要考查了双曲线的定义及圆的曲线性质，还考查了三角函数定义及余弦定理，考查计算能力及方程思想，属于难题．
7．C
解析：C 【解析】 【分析】
利用正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，将问题转化为求共面直线AB 与AE 所成角的正切值，在ABE ∆中进行计算即可. 【详解】
在正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，所以异面直线AE 与CD 所成角为EAB ∠， 设正方体边长为2a ，则由E 为棱1CC 的中点，可得CE a =，所以5BE a =，
则55
tan 22
BE a EAB AB a ∠=
==
.故选C.
【点睛】
求异面直线所成角主要有以下两种方法：
（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；
（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.
8．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据分段函数的单调性特点，两段函数在各自的定义域内均单调递增，同时要考虑端点处的函数值. 【详解】
要使函数在R 上为增函数，须有()f x 在(,1]-∞上递增，在(1,)+∞上递增，
所以21,20,115,
1a a a a ⎧-≥⎪⎪
<⎨⎪⎪--⨯-≤⎩
，解得32a --≤≤.
故选D. 【点睛】
本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查数形结合思想、函数与方程思想的灵活运用，求解时不漏掉端点处函数值的考虑.
9．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
因为()f x 为奇函数，且在[1,3]上为增函数，且有最小值0， 所以()f x 在[3,1]--上为增函数，且有最大值0，选D.
10．C
解析：C 【解析】 【分析】 由4
π
αβ+=
，得到1tan
αβ+=（），利用两角和的正切函数公式化简1tan αβ+=（），即可得到所求式子的值． 【详解】 由由4
π
αβ+=
，得到1tan
αβ+=（）， 所以11tan tan tan
tan tan αβ
αβαβ
++==-（） ，即1tan tan tan tan αβαβ+=-，
则
1112tan tan tan tan tan tan αβαβαβ++=+++=（）（） ． 故选C ． 【点睛】
本题考查学生灵活运用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题.
11．C
解析：C 【解析】
分析：写出10315
2r r
r r T C x -+=，然后可得结果
详解：由题可得()
52
10315
522r
r
r r r r
r T C x C x
x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭
令103r 4-=,则r 2= 所以225
52240r
r C C =⨯=
故选C.
点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题。

12．C
解析：C 【解析】 【分析】
由不等式的性质，对各个选项逐一验证即可得，其中错误的可举反例． 【详解】
选项A ，当c ＝0时，由a ＞b ，不能推出ac 2
＞bc 2
，故错误； 选项B ，当a ＝﹣1，b ＝﹣2时，显然有a ＞b ，但a 2＜b 2，故错误； 选项C ，当a ＞b 时，必有a 3＞b 3，故正确；
选项D ，当a ＝﹣2，b ＝﹣1时，显然有a 2＞b 2，但却有a ＜b ，故错误． 故选：C ． 【点睛】
本题考查命题真假的判断，涉及不等式的性质，属基础题．
二、填空题
13．【解析】【分析】由题意知渐近线方程是再据得出与的关系代入渐近线方程即可【详解】∵双曲线的两个顶点三等分焦距∴又∴∴渐近线方程是故答案为【点睛】本题考查双曲线的几何性质即双曲线的渐近线方程为属于基础题
解析：y =±
【解析】 【分析】
由题意知，渐近线方程是b y x a =±，1
223
a c =⨯，再据222c a
b =+，得出 b 与a 的关系，代入渐近线方程即可． 【详解】
∵双曲线22
221x y a b
-= (0,0)a b >>的两个顶点三等分焦距，
∴1
223
a c =
⨯，3c a =，又222c a b =+
，∴b =
∴渐近线方程是b
y x a
=±=±
，故答案为y =±． 【点睛】
本题考查双曲线的几何性质即双曲线22
221x y a b
-= (0,0)a b >>的渐近线方程为b y x
a =±属于基础题．
14．【解析】【分析】【详解】由题意或或或则实数的取值范围是故答案为 解析：(1,0)(1,
)
【解析】 【分析】 【详解】
由题意()()f a f a >-⇒2120 log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或()()1220
log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩01a a a >⎧⎪
⇒⎨>⎪⎩或
11
a a a a
<⎧⎪⇒>⎨->-⎪⎩或10a -<<，则实数a 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故答案为()()1,01,-⋃+∞.
15．【解析】【分析】由利用正弦定理求得再由余弦定理可得利用基本不等式可得从而利用三角形面积公式可得结果【详解】因为又所以又为锐角可得因为所以当且仅当时等号成立即即当时面积的最大值为故答案为【点睛】本题主
解析：4+
【解析】 【分析】
由4c =
，a A =，利用正弦定理求得4
C π
=
.
，再由余弦定理可得
2
2
16a b =+
，利用基本不等式可得(82ab ≤
=+，从而利用三角形
面积公式可得结果.
【详解】
因为4c =，又sin sin c a C A
==
所以sin C =
C 为锐角，可得4C π=.
因为(2
2
2
2
162cos 2a b ab C a b ab =+-=+≥，
所以(82
ab ≤
=+，
当且仅当a b =时等号成立，
即1sin 424
ABC S ab C ab ∆=
=≤+
即当a b ==时，ABC ∆面积的最大值为4+. 故答案为4+. 【点睛】
本题主要考查余弦定理、正弦定理以及基本不等式的应用，属于简单题. 对余弦定理一定要
熟记两种形式：（1）2
2
2
2cos a b c bc A =+-；（2）222
cos 2b c a A bc
+-=，同时还要熟
练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住
30,45,60o o o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
16．1【解析】【分析】先求出二项式的展开式的通项公式令的指数等于求出的值即可求得展开式中的项的系数再根据的系数是列方程求解即可【详解】展开式的的通项为令的展开式中的系数为故答案为1【点睛】本题主要考查二
解析：1 【解析】 【分析】
先求出二项式9
()a x x
-的展开式的通项公式，令x 的指数等于4，求出r 的值，即可求得
展开式中3x 的项的系数，再根据3x 的系数是84-列方程求解即可. 【详解】
9()a x x -展开式的的通项为()992199r
r r r r r
r a T C x C x a x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
， 令9233r r -=⇒=，
9()a x x
-的展开式中3x 的系数为()339841C a a -=-⇒=，
故答案为1. 【点睛】
本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考
命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考
查二项展开式的通项公式1C r n r r
r n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）
（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
17．【解析】分析：由对称轴得再根据限制范围求结果详解：由题意可得所以因为所以点睛：函数（A>0ω>0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间;由求减区间
解析：6
π-
. 【解析】
分析：由对称轴得π
π()6
k k Z ϕ=-+∈，再根据限制范围求结果. 详解：由题意可得2sin π13ϕ⎛⎫
+=± ⎪⎝⎭
，所以2πππππ()326k k k Z ϕϕ+=+=-+∈，，因
为ππ22ϕ-
<<，所以π
0,.6
k ϕ==- 点睛：函数sin()y A x B ωϕ=++（A >0,ω>0）的性质：(1)max min ,y A B y A B =+=-+； (2)最小正周期2π
T ω
=
；(3)由π
π()2
x k k ωϕ+=
+∈Z 求对称轴；(4)由ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间; 由π3π2π2π()22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 求减区间.
18．【解析】【分析】由条件得MN 则结合对数的运算法则可得αβ=1【详解】由条件得MN 可得即α=loβ=lo 所以αβ=lo·lo=1【点睛】本题主要考查幂函数的性质对数的运算法则及其应用等知识意在考查学生
解析：【解析】 【分析】
由条件,得M 12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,N 21,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,则1221,3333αβ
⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,结合对数的运算法则可得αβ=1.
【详解】 由条件,得M 12,
33⎛⎫ ⎪⎝⎭,N 21,33⎛⎫
⎪⎝⎭
, 可得1221,3333α
β
⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,
即α=lo 2
3
13g ,β=lo 13
2
3g .
所以αβ=lo 2313g ·
lo 13
12233·21333
lg
lg g lg lg ==1. 【点睛】
本题主要考查幂函数的性质，对数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19．【解析】【分析】由已知棱柱体积与棱锥体积可得S 到下底面距离与棱柱高的关系进一步得到S 到上底面距离与棱锥高的关系则答案可求【详解】设三棱柱的底面积为高为则再设到底面的距离为则得所以则到上底面的距离为所 解析：1
【解析】 【分析】
由已知棱柱体积与棱锥体积可得S 到下底面距离与棱柱高的关系，进一步得到S 到上底面距离与棱锥高的关系，则答案可求． 【详解】
设三棱柱111ABC A B C -的底面积为'S ，高为h ， 则9'9'S h S h
==
，， 再设S 到底面ABC 的距离为'h ，则1''23S h =，得19
'23h h
⋅⋅=， 所以
'2
3
h h =， 则S 到上底面111A B C 的距离为13
h ， 所以三棱锥111S A B C -的体积为111
'91339
S h ⋅=⋅=． 故答案为1． 【点睛】
本题考查棱柱、棱锥体积的求法，考查空间想象能力、思维能力与计算能力，考查数形结合思想，三棱锥体积为1
V 3
S h =
底，本题是中档题． 20．4【解析】试题分析：由x-3y+6=0得x=3y-6代入圆的方程整理得y2-33y+6=0解得y1=23y2=3所以x1=0x2=-3所以|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=23又直线l 的
解析：4 【解析】 试题分析：由
，得
，代入圆的方程，整理得
，解得，所以
，所以
．又直线的倾斜角为
，由平面几何知识知在梯
形中，
．
【考点】直线与圆的位置关系
【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系的非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．
三、解答题
21．（1）2
6cos 2sin 60ρρθρθ--+=（26
525
【解析】 【分析】
（1）利用平方和为1消去参数α得到曲线C 的直角坐标方程，再利用y sin x cos ρθ
ρθ=⎧⎨=⎩
，整理
即可得到答案；（2）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，加上半径即可得到最大距离. 【详解】
（1）由3212x cos y sin αα=+⎧⎨=-⎩，得3212x cos y sin α
α-=⎧⎨-=-⎩
，
两式两边平方并相加，得()()2
2
314x y -+-=， 所以曲线C 表示以()3,1为圆心，2为半径的圆. 将y sin x cos ρθρθ
=⎧⎨
=⎩代入得()()22
cos 3sin 14ρθρθ-+-=，化简得
26cos 2sin 60ρρθρθ--+=
所以曲线C 的极坐标方程为2
6cos 2sin 60ρρθρθ--+= （2）由1
sin 2cos θθρ
-=
，得sin 2cos 1ρθρθ-=，即21y x -=，得210x y -+=
所以直线l 的直角坐标方程为210x y -+= 因为圆心()3,1C 到直线:l 210x y -+=的距离()23111
65
5
d ⨯+-⨯+==
， 所以曲线C 上的点到直线l 的最大距离为65
2d r +=+. 【点睛】
本题考查直角坐标方程，参数方程及极坐标方程之间的互化，考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题.
22．(1)见解析；(2)
43 sin
7
α=
【解析】
试题分析：.（1）取AP中点M，易证PA⊥面DMB，所以PA BD
⊥，（2）以,,
MP MB MD所在直线分别为,,
x y z轴建立空间直角坐标系，平面DPC的法向量
()
1
3,1,3
n=--，设平面PCB的法向量
2
n=()
3,1,3
-，12
12
12
•1
cos,
7
n n
n n
n n
==，即
43
sinα=.
试题解析：
（1）证明：取AP中点M，连,
DM BM，
∵DA DP
=，BA BP
=
∴PA DM
⊥，PA BM
⊥，∵DM BM M
⋂=
∴PA⊥面DMB，又∵BD⊂面DMB，∴PA BD
⊥
（2）∵DA DP
=，BA BP
=，DA DP
⊥，0
60
ABP
∠=
∴DAP
∆是等腰三角形，ABP
∆是等边三角形，∵2
AB PB BD
===，∴1
DM=，3
BM=.
∴222
BD MB MD
=+，∴MD MB
⊥
以,,
MP MB MD所在直线分别为,,
x y z轴建立空间直角坐标系，
则()
1,0,0
A-，()3,0
B，()
1,0,0
P，()
0,0,1
D
从而得()
1,0,1
DP=-，()
1,3,0
DC AB
==，()
1,3,0
BP=-，()
1,0,1
BC AD
==
设平面DPC的法向量()
1111
,,
n x y z
=
则1
1
•0
•0
n DP
n DC
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
，即11
11
30
x z
x y
-=
⎧⎪
⎨
+=
⎪⎩
，∴()
1
3,1,3
n=--，
设平面PCB的法向量()
2212
,,
n x y z
=，
由22•0•0n BC n BP ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得2222030
x z x y +=⎧⎪
⎨-=⎪⎩，∴(
)
23,1,3n =-
∴121212
•1
cos ,7n n n n n n =
=
设二面角D PC B --为α，∴21243
sin 1cos ,n n α=-=
点睛：利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 23．(1) x 2+y 2-2x-2y-2=0 (2) ρsin(θ+)= 【解析】
(1)∵ρ=2,∴ρ2=4,即x 2+y 2=4. ∵ρ2-2ρcos(θ-)=2,
∴ρ2-2
ρ (cosθcos +sinθsin )=2.
∴x 2+y 2-2x-2y-2=0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1,即ρsin(θ+)=. 24．（1）1
2
； （2）40； （3）选B 款订餐软件. 【解析】 【分析】
⑴运用列举法给出所有情况，求出结果 ⑵由众数结合题意求出平均数
⑶分别计算出使用A 款订餐、使用B 款订餐的平均数进行比较，从而判定 【详解】
（1）使用A 款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家共有
1000.006106⨯⨯=个，分别记为甲，,,,,,a b c d e
从中随机抽取3个商家的情况如下：共20种.
{},a b 甲，,{},a c 甲，,{},a d 甲，,{},a e 甲，,{},b c 甲，,{},b d 甲，,{},b e 甲，,{}{},,c d c e 甲，甲，,{},d e 甲，,{},,a b c ,{},,a b d ,{},,a b e ,{},,a c d ,{},,a c e ,{},,a d e ,{},,b c d ,{},,b c e ,{},,b d e ,{},,c d e .
甲商家被抽到的情况如下：共10种．
{},a b 甲，,{},a c 甲，,{},a d 甲，,{},a e 甲，,{},b c 甲，,{},b d 甲，,{},b e 甲，,{},c d 甲，,{},c e 甲，,{},d e 甲，
记事件A 为甲商家被抽到，则()101202
P A =
=. （2）依题意可得，使用A 款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数为55，平均数为
150.06250.34350.12450.04550.4650.0440⨯+⨯++⨯+⨯+⨯=. （3）使用B 款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为
150.04250.2350.56450.14550.04650.023540⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=< 所以选B 款订餐软件． 【点睛】
本题主要考查了频率分布直方图，平均数和众数，古典概率等基础知识，考查了数据处理能力以及运算求解能力和应用意识，属于基础题． 25．（1）()3
2
245f x x x x =+-+；（2）13。

【解析】 【分析】
（1）由f （x ）=x 3+ax 2+bx+c 求导数，利用导数几何意义结合切线方程及函数f （x ）在x=-2时有极值即可列出关于a ，b ，c 的方程，求得a ，b ，c 的值，从而得到f （x ）的表达式．
（2）先求函数的导数f′（x ），通过f′（x ）＞0，及f′（x ）＜0，得出函数的单调性，进一步得出函数的最值即可． 【详解】
（1）依题意，()2
32f x x ax b =++'，且()14f =，()13f '=，()20f '-=，
∴143231240a b c a b a b +++=⎧⎪
++=⎨⎪-+=⎩
，解得2a =，4b =-，5c =． ∴()3
2
245f x x x x =+-+．
（2）由（1）知()2
344f x x x '=+-，
令()0f x '=，得2
3
x =或2x =-． ∴当2x <-或23x >
时，()f x 为增函数；当2
23
x -<<时，()f x 为减函数． ∴()f x 在2x =-时取极大值，()213f -=． 又∵()14f =，
∴函数()f x 在区间[]
3,1-上的最大值为13． 【点睛】
本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性等基本知识，考查计算能力，属于中档题．。