江西省吉安市第七中学2020年高二数学理下学期期末试卷含解析

江西省吉安市第七中学2020年高二数学理下学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知α、β是不重合的两个平面，m、n是直线，下列命题中不正确的是
A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α B．若m⊥α，m⎧β，则α⊥β
C．若m⊥α，α∥β，则m⊥β D．若α⊥β，m⎧α，则m⊥β
参考答案：
D
2. 在数列中，，，则( )
A、19
B、21
C、
D、
参考答案：
A
略
3. 已知x与y之间的一组数据
则y与x的线性回归方程=bx+必过点（）
A．（2，2）B．（1.5，4）C．（1.5，0）D．（1，2）
参考答案：
B
【考点】BK：线性回归方程．
【分析】先分别计算平均数，可得样本中心点，利用线性回归方程必过样本中心点，即可得到结论．
【解答】解：由题意， =（0+1+2+3）=1.5， =（1+3+5+7）=4
∴x与y组成的线性回归方程必过点（1.5，4）
故选：B．4. 已知向量，满足，，且，则与的夹角为（）.
A． B． C． D．
参考答案：
C
5. 设P是椭圆上的点．若F1、F2是椭圆的两个焦点，则等
于
A．4 B．5 C．8 D．10
参考答案：
D
略
6. 以原点O引圆（x﹣m）2+（y﹣2）2=m2+1的切线y=kx，当m变化时切点P的轨迹方程是（）A．x2+y2=3 B．（x﹣1）2+y2=3 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=3 D．x2+y2=2
参考答案：
A
【考点】轨迹方程．
【分析】本题宜借助图形，由图知|OP|2=|OC|2﹣|PC|2，设P（x ，y ），表示出三个线段的长度，代入等式整理即得．
【解答】解：根据题意画出示意图，设圆心为C ，
切点P 的坐标为P （x，y），则发现图中隐含
条件．|OP|2=|OC|2﹣|PC|2
∵|OP|2=x2+y2，|OC|2=m2+4，|PC|2=r2=m2+1，
故点P的轨迹方程为x2+y2=3
故选A
7. 直线l：x+y﹣4=0与圆C：x2+y2=4的位置关系是（）
A．相离B．相切C．相交不过圆心D．相交且过圆心
参考答案：
B
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】由圆C的方程求出圆心坐标和半径，由条件和点到直线的距离公式，求出圆C到直线l的距离，可得到答案．
【解答】解：由题意得，
圆C：x2+y2=4的圆心C（0，0），半径r=2，
则圆心C到直线l：x+y﹣4=0的距离：
d==2=r，
所以直线l与圆C相切，
故选：B．
8. 在中，、、所对的边长分别是、、，则的值为参考答案：
B
由余弦定理得：，故选.
9. 过（2，0）点作圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的切线，所得切线方程为（）
A．y=0 B．x=1和y=0 C．x=2和y=0 D．不存在
参考答案：
C
【考点】圆的切线方程．
【分析】由题意得圆心为C（1，1），半径r=1．讨论当l过点（2，0）与x轴垂直时，直线l与x 轴不垂直，可设切线l的方程为y=k（x﹣2），根据直线l与圆相切，利用点到直线的距离公式建立关于k的等式，解出k，即可得所求切线方程．
【解答】解：圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的圆心为C（1，1），半径r=1．
①当直线l经过点P（2，0）与x轴垂直时，方程为x=2，
∵圆心到直线x=2的距离等于1，∴直线l与圆相切，即x=2符合题意；
②当直线l经过点P（2，0）与x轴不垂直时，设方程为y=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k=0．
∵直线l与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，
∴圆心到直线l的距离等于半径，即d==1，解之得k=0，
因此直线l的方程为y=0，
综上所述，可得所求切线方程为x=2或y=0．
故选C．
10. 在二项式的展开式中，含的项的系数是（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设集合，若，则实数的取值范围
是。

参考答案：略
12. 已知直线和平面，若，则与的位置关系是．
参考答案：
13. 已知点，分别为双曲线的焦点和虚轴端点，若线段的中点在双曲
线上，则双曲线的渐近线方程为___________．
参考答案：
设，，则线段的中点是，
代入双曲线方程得：，解得：，
∴，∴，
故双曲线的渐近线方程为．
14. 若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，则其离心率为。

参考答案：
15. 对于曲线C：+=1，给出下面四个命题：
（1）曲线C不可能表示椭圆；
（2）若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜k＜；
（3）若曲线C表示双曲线，则k＜1或k＞4；
（4）当1＜k＜4时曲线C表示椭圆，
其中正确的是( )
A．（2）（3）B．（1）（3）C．（2）（4）D．（3）（4）
参考答案：
A
【考点】圆锥曲线的共同特征．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据曲线方程的特点，结合椭圆、双曲线的标准方程分别判断即可．
【解答】解：（1）当，即k∈（1，）∪（，4）时，曲线C表示椭圆，∴（1）错
误；
（2）若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则4﹣k＞k﹣1＞0，解得1＜k＜，∴（2）正确；
（3）若曲线C表示双曲线，则（4﹣k）（k﹣1）＜0，解得k＞4或k＜1，∴（3）正确；
（4）当k=时，4﹣k=k﹣1，此时曲线表示为圆，∴（4）错误．
故选A．
【点评】本题主要考查圆锥曲线的方程，根据椭圆、双曲线的标准方程和定义是解决本题的关键．
16. 某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质
量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽
取，，辆.
参考答案：
6 ，30 ，10
略
17. 定义运算，则函数的图象在点处的切线方程是
______________.
参考答案：
6x-3y-5=0
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知数列满足，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和。

参考答案：
解：（Ⅰ）（Ⅱ）
19. （12分）已知命题：不等式有非空解集，命题：函数
是增函数.若“”为真，“”为假，求实数的取值范围.
参考答案：
解：：，即：或：；∵“”为真，“”为假，∴与一真一假；∴或.
20. 已知函数（）.
（1）讨论函数极值点的个数，并说明理由；
（2）若，恒成立，求的最大整数值.
参考答案：
（1）的定义域为，且.
当时，在上恒成立，函数在上单调递减.
∴在上没有极值点；
当时，令得；
列表所以当时，取得极小值.
综上，当时，在上没有极值点；
当时，在上有一个极值点.
（2）对，恒成立等价于对恒成立，
设函数（），则（），
令函数，则（），
当时，，所以在上是增函数，
又，，
所以存在，使得，即，
且当时，，即，故在在上单调递减；
当时，，即，故在上单调递增；
所以当时，有最小值，
由得，即，
所以，
所以，又，所以实数的最大整数值为3.
21. 已知f（x）=aln（x﹣1），g（x）=x2+bx，F（x）=f（x+1）﹣g（x），其中a，b∈R．（1）若y=f（x）与y=g（x）的图象在交点（2，k）处的切线互相垂直，求a，b的值；
（2）若x=2是函数F（x）的一个极值点，x0和1是F（x）的两个零点，且x0∈（n，n+1）n∈N，求n．
参考答案：
【考点】6D：利用导数研究函数的极值．
【分析】（1）根据导数的几何意义建立切线斜率之间的关系建立方程，求a，b的值；
（2）根据导数和函数极值之间的关系建立方程，即可求n；
【解答】解：（1）f′（x）=，g′（x）=2x+b，
由题知，即，解得…
（2）F（x）=f（x+1）﹣g（x）=alnx﹣x2﹣bx，F．
由题知，即，解得a=6，b=﹣1，…
∴F（x）=6lnx﹣x2+x，F=，
∵x＞0，由F′（x）＞0，解得0＜x＜2；由F′（x）＜0，解得x＞2，
∴F（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）单调递减，
故F（x）至多有两个零点，其中x1∈（0，2），x2∈（2，+∞），…
又F（2）＞F（1）=0，F（3）=6（ln3﹣1）＞0，F（4）=6（ln4﹣2）＜0，
∴x0∈（3，4），故n=3．…
22. （本小题满分12分）已知数列的前项和为，且，，数列满足
，.
(1)求; (2)求数列的前项和.
参考答案：
(1)由S n＝2n2＋n，可得
当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(2n2＋n)－[2(n－1)2＋(n－1)]＝4n－1，
当n＝1时，a1＝3符合上式，所以a n＝4n－1(n∈N*)．
由a n＝4log2b n＋3，(4分) ;可得4n－1＝4log2b n＋3，解得b n＝2n－1(n∈N*)．(6分)
(2)a n b n＝(4n－1)·2n－1，
∴T n＝3＋7×21＋11×22＋15×23＋…＋(4n－1)×2n－1，①2T n＝3×21＋7×22＋11×23＋15×24＋…＋(4n－1)×2n.②①－②可得
－T n＝3＋4(21＋22＋23＋24＋…＋2n－1)－(4n－1)×2n
∴T n＝5＋(4n－5)×2n.(12分)。