舒尔不等式在解题中的应用_唐录义

舒尔不 等 式 还 有 几 种 常 见 的 变 式，证 明 的 过
程留给读者．
变式一：ｘ３ ＋ｙ３ ＋ｚ３ ＋３ｘｙｚ ≥ ｘ２（ｙ＋ｚ）＋
ｙ２（ｘ＋ｚ）＋ｚ２（ｘ＋ｙ）．
变 式二：ｘｙｚ ≥ （ｘ＋ｙ－ｚ）（ｘ＋ｚ－ｙ）（ｚ＋ｙ －ｘ）．
变式三：（ｘ＋ｙ＋ｚ）３ ＋９ｘｙｚ ≥４（ｘｙ ＋ｙｚ＋ ｚｘ）（ｘ＋ｙ＋ｚ）．
注 意 到 ａ＋ｂ＋ｃ ＝ ３，所 证 的 式 子 等 价 于 ：
２（ａ２ｂ２ ＋ｂ２ｃ２ ＋ｃ２ａ ２）－ａ４ －ｂ４ －ｃ４ ａｂｃ（ａ＋ｂ＋ｃ）
≤
３ 槡３ａ２ｂ２ｃ２
ａ２ ＋ｂ２ ＋ｃ２
２（ａ２ｂ２ ＋ｂ２ｃ２ ＋ｃ２ａ ２）－ａ４ －ｂ４ －ｃ４
≤
９ａｂｃ 槡３ａ２ｂ２ｃ２
ａ２ ＋ｂ２ ＋ｃ２
ｃ（ａ２ ＋ｂ２）＋ｂ（ａ２＋ｃ２）＋ａ（ｂ２＋ｃ２）≥９－（ａ３ ＋ｂ３ ＋ｃ３）
ｃ（ａ２ ＋ｂ２ ＋ｃ２）＋ｂ（ａ２ ＋ｃ２ ＋ｂ２）＋ａ（ａ２ ＋ ｂ２ ＋ｃ２）≥９
（ａ２ ＋ｂ２ ＋ｃ２）（ａ＋ｂ＋ｃ）≥９．
槡 由
ａ２ ＋ｂ２ ＋ｃ２ ３
≥
ａ＋ｂ＋ｃ ３
＝
１，所
以
ａ２ ＋ｂ３ ＋ｃ３）＋３ａｂｃ ≥９， 当且仅当ａ ＝ｂ＝ｃ＝１时等号成立． 例３ （《数 学 通 讯 》２０１８ 年 第 ７ 期 问 题 征 解
变
式
四
： ｘ
９ｘｙｚ ＋ｙ＋ｚ
≥２（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）－
（ｘ２
＋
ｙ２ ＋ｚ２）．
变式五：（ｘ２＋ｙ２＋ｚ２）＋３ 槡３ｘ２ ｙ２ｚ２ ≥２（ｘｙ＋
ｙｚ ＋ｚｘ）．
二 ．舒 尔 不 等 式 在 解 题 中 的 应 用
例２ （《数 学 通 讯 》２０１０年 第３期 问 题 征 解２７
题 ）设 ａ，ｂ，ｃ ＞ ０ 满 足 ａ＋ｂ＋ｃ ＝ ３，求 证 ： ２（ａ３ ＋ｂ３ ＋ｃ３）＋３ａｂｃ ≥９．
（ａ＋ａｂ＋ｃ－２）（ａ＋ｂｂ＋ｃ－２）（ａ＋ｃｂ＋ｃ－２）＝
（ａ＋ｂ－ｃ）（ａ－ｂ＋ｃ）（－ａ＋ｂ＋ｃ） ａｂｃ
＝
（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂａｂｃ－（ｃａ）＋（ａｂ－＋ｂｃ＋）ｃ）（－ａ＋ｂ＋ｃ）． 由恒等式：
（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ－ｃ）（ａ－ｂ＋ｃ）（－ａ＋ｂ＋ｃ）
＝２（ａ２ｂ２ ＋ｂ２ｃ２ ＋ｃ２ａ ２）－ａ４ －ｂ４ －ｃ４，
－２）≤
３ 槡３ａ２ｂ２ｃ２
ａ２ ＋ｂ２ ＋ｃ２
，
当且仅当ａ ＝ｂ＝ｃ＝１时等号成立．
解题中所用的舒尔不等式是 数 学 家 舒 尔 在
１９３４ 年 左 右 建 立 的 ，具 体 内 容 如 下 ：
设ｘ，ｙ，ｚ ≥０，ｒ∈ Ｒ，则 ｘｒ（ｘ －ｙ）（ｘ－ｚ）＋ｙｒ（ｙ－ｘ）（ｙ－ｚ）＋ｚｒ（ｚ
－ｘ）（ｚ－ｙ）≥ ０． 我 们经常用到的是它的特殊形式，即ｒ＝１时
·课外园地· 数学通讯 ———２０１９年第４期（上半月）
４１
舒尔不等式在解题中的应用
唐录义 江保兵
（安 徽 省 枞 阳 县 浮 山 中 学 ，２４６７３６） （安 徽 省 枞 阳 县 宏 实 中 学 ，２４６７００）
一 、一 道 征 解 试 题 和 舒 尔 不 等 式
等号．
例４ （《数 学 通 讯 》２０１３年 第１、２期 问 题 征 解 １２４ 题 ）设ａ，ｂ，ｃ＞０，满 足 ：ａｂｃ ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋２，求
证 ：ａ＋ｂ＋ｃ
≥
４（ａ１
＋
１ ｂ
＋
ｃ１）．
证明
ａ＋ｂ＋ｃ ≥ ４（ａ１
＋
１ ｂ
＋
１） ｃ
（ａ＋ｂ＋ｃ）ａｂｃ ≥４（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ） （ａ＋ｂ＋ｃ）２ａｂｃ ≥４（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）（ａ＋ｂ＋ｃ）． 由舒尔不等式可得：
的情形：
设ｘ，ｙ，ｚ ≥０，则 ｘ（ｘ－ｙ）（ｘ－ｚ）＋ｙ（ｙ－ ｘ）（ｙ－ｚ）＋ｚ（ｚ－ｘ）（ｚ－ｙ）≥ ０．
简证 不妨设ｘ ≥ｙ ≥ｚ ≥０，则 ｘ （ｘ－ｙ）（ｘ－ｚ）＋ｙ（ｙ－ｘ）（ｙ－ｚ）＋ｚ（ｚ－
ｘ）（ｚ－ｙ）
≥ ｘ（ｘ －ｙ）（ｘ －ｚ）＋ｙ（ｙ－ｘ）（ｙ－ｚ） ≥ｙ（ｘ－ｙ）（ｘ－ｚ）－ｙ（ｘ－ｙ）（ｙ－ｚ） ＝ｙ（ｘ－ｙ）２ ≥０．
９ａｂｃ （ａ＋ｂ＋ｃ）２
≥ ４．
又 因为（ａ＋ｂ＋ｃ）２ ≥３（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ），ａｂ＋ｂｃ
＋ｃａ ＝ａ＋ｂ＋ｃ＞０，所以ａ＋ｂ＋ｃ≥３，所以
ａ＋ｂ＋ｃ＋５ａｂｃ ≥ａ＋ｂ＋ｃ＋ａｂｃ
≥ａ＋ｂ＋ｃ＋
９ａｂｃ （ａ＋ｂ＋ｃ）２
≥ ４，
即１１＋ａ＋１１＋ｂ＋１１＋ｃ
≤
５， ３
当且仅当ａ，ｂ，ｃ中二个数为 ２，一 个 为 ０ 时 取
（ａ＋ｂ＋ｃ）３ ＋９ａｂｃ ≥４（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）（ａ＋ｂ＋ｃ）． 故只需证：
（ａ＋ｂ＋ｃ）２ａ ｂｃ ≥ （ａ＋ｂ＋ｃ）３ ＋９ａｂｃ．
例１ 已知正数ａ，ｂ，ｃ满足ａ＋ｂ＋ｃ＝３，求
证
：（３ ａ
－２）（ｂ３
－２）（ｃ３
－２）≤
３ 槡３ａ２ｂ２ｃ２
ａ２ ＋ｂ２ ＋ｃ２
．
这 是 ２０１８ 年 第 １１ 期 《数 学 通 讯 》（上 半 月 ）问
题 征 解 的 第３７５题 ，试 题 小 巧 轻 灵 ，结 构 简 约 ，内 涵
深刻．
证 明 （ａ３ － ２）（ｂ３ － ２）（ｃ３ － ２） ＝
３５４题）已知ａ，ｂ，ｃ为非负实数，且ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ ＝
ａ＋ｂ＋ｃ＞０，求证：１１＋ａ＋１１＋ｂ＋１１＋ｃ ≤
５ ３
．
证明
１１＋ａ＋１１＋ｂ＋１１＋ｃ
≤
５ ３
ａ＋ｂ＋ｃ＋５ａｂｃ ≥４． 由舒尔不等式可得：
（ａ＋ｂ＋ｃ）３ ＋９ａｂｃ ≥４（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）（ａ＋ｂ＋ｃ）．
结合题设得
（ａ＋ｂ＋ｃ）＋
证明 ２（ａ３ ＋ｂ３ ＋ｃ３）＋３ａｂｃ ≥９ ａ３ ＋ｂ３ ＋ｃ３ ＋３ａｂｃ ≥９－ （ａ３ ＋ｂ３ ＋ｃ３）． 由舒尔不等式可得：
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数学通讯 ———２０１９年第４期（上半月） ·课外园地·
ａ３ ＋ｂ３ ＋ｃ３ ＋３ａｂｃ ≥ｃ（ａ２ ＋ｂ２）＋ｂ（ａ２ ＋ｃ２）＋ａ（ｂ２ ＋ｃ２）． 故只需证：
．
由舒尔不等式可得：
２（ａ２ｂ２ ＋ｂ２ｃ２ ＋ｃ２ａ ２）－ａ４ －ｂ４ －ｃ４
≤
９ａ２ｂ２ｃ２ ａ２ ＋ｂ２ ＋ｃ２
，
故
只
须
证
：９ａｂｃ 槡３ａ２ｂ２ｃ２
ａ２ ＋ｂ２ ＋ｃ２
≥
９ａ２ｂ２ｃ２ ａ２ ＋ｂ２ ＋ｃ２
ａｂｃ
≤１，而ａ＋３ｂ＋ｃ ≥ 槡３ａｂｃ，显然．
即
（３ ａ
－２）（ｂ３
－２）（ｃ３