数学之美美丽的分形几何图形课件市公开课金奖市赛课一等奖课件
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或θ=π-（α1－α2）=π+（α2－α1）
第7页
∴tanθ=tan（α2－α1）或tanθ=tan π+（α2－α1） =tan（α2－α1）
tan tan2 tan1 k2 k1 1 tan2 tan1 1 k1k2
直线L1到L2角公式：
tan k2 k1
1 k1k2
注意：k1与 k2顺序！
图一
α1 α2
0
x
L2 图二
第6页
已知两条相交直线L1：y=k1x+b1， L2： y =k2x+b2。求 直线L1到L2角为θ。
当 k1k2= －1 时，L1⊥L2 则θ=π/2。
当k1k2≠－1 时，
Y L2 θ L1
α1 α2
O
X
图一
图二
设L1，L2倾斜角分别是α1和α2， 则k1=tanα1，k2=tanα2 由图可知θ=α2－α1
来表示
C．与两条坐标轴都相交直P线1 (一x1,定y1能) 够P2 用(x2 , y2 )表示
D．经过点Q（0，(by）直y1线)(方x2程都x1能) 够(表x 示x为1 )y(=yk2x+by1 ) x y 1 ab
2．直线m(x+y-1)+(3y-4x+5)=0不能化成截距式方程，则 m值为（ ）DA．5 B．-3或4 C．-3或4或5 D．m∈ （-∞，-3）∪（4，5）∪（5，+∞）
解：设L1，L2，L3斜率分别为k1 k2、k3，L1到L2角是θ1，L2
L2
Y
L3
到L3角是θ2 ，则
θ2 L1
k1
1 2
,
k2
1
O
X
θ1
tan1
k2 k1 1 k1k2
1 1 1
1 2
1 2
3
tan 2
k3 k2 1 k3k2
k3 1 1 k3
第15页
由于L1、L2、L3所围成三角形 是等腰三角形，因此θ1=θ2
第13页
例2：已知直线L1：A1x+B1y+C1=0和L2： A2x+B2y+C2=0（B1≠0，B2≠0，A1A2+B1B2≠0）直线 L1到直线L2 角是θ，求证:
tan A1B2 A2 B1
A1 A2 B1B2
证实：设两条直线L1，L2斜率分别为k1、k2，
则
k1
A1 B1
, k2
A2 B2
第21页
1、（1998年上海高考题）设a，b，c 分别是⊿ABC 中∠A、∠B、∠C所对边边长，则
xsinA + ay + c =0 和 bx－ysinB+ sinC = 0
位置关系是（ ）.
A .平行 B. 重叠 C.垂直 D.相交但不垂直
解：
k1
sin a
A
k2
b sin B
k2 • k1 1
数学之美：美丽分形几何图形
第1页
两条直线位置关系
---------夹角
第2页
忆一忆：
两直线方程 平行
垂直
l1:y=k1x+b1 l2:y=k2x+b2
k1 k2 且b1 b2
k1k2 1
• 合用范 围
k1, k2存在
l1:A1x+B1y +C1=0
l2:A2x+B2y +C2=0
A1 B1 C1 A2 B2 C2
变式三：求过点P（－2，1）且与直线 l1：y= x－3/2夹角为π/4直线l方程
第11页
练一练：
1、求下列直线L1到L2角与L2到L1角： ⑴L1：y=1/2·x+2；L2：y=3x+7 ⑵L1：x－y=5，L2：x+2y－3=0
(L1到L2角450 L2到L1角1350 ）
（L1到L2角为π－arctan3，L2到L1角为arctan3）
第8页
二、直线L1与L2夹角：
当直线L1与L2相交但不垂直时，在θ和π－θ中 有且仅有一个角是锐角，我们把其中锐角叫两 直线夹角，记夹角为α。
直线L1与L2夹角公式：
tan k2 k1
1 k1k2
当直线L1⊥L2时，直线L1和L2夹角是π/2。
夹角范围：
00＜α≤900
第9页
三、应用：
例1：已知直线L1：y= －2x+3，L2：y=x－3/2 求L1到L2角和L1、L2夹角（用角 度制表示）
∴tanθ2=tanθ1= －3 k3 1 3
1 k3
解得 k3 =2 y=2 [ x－（－2）]
即2x－y+4 = 0
∴L3方程是：2x－y+4 = 0
第16页
练习： 1、若直线l1，l2斜率分别是方程6x2+x-1=0两 根，则l1与l2夹角等于_______ 2、B（0，6）、C（0，2），A为x轴负半轴 上一点，问A在何处时，∠BAC有最大值？
A1A2 B1B2 0
平行时 A1B1C1 0 A2B2C2 0
第3页
忆一忆：
平行
点线、线线之间距离
重叠
相交
线线所成角 （垂直）
第4页
一、直线L1到L2角：
直线L1按逆时针方向旋转到与L2重叠时所转角,
叫做L1 到 L2角。
图中θ1是L1到L2角， θ2是L2到L1角。
1 2
到角范围：
解：由两条直线斜率k1=－2，k2=1，得
tan k2 k1 1 2 3
1 k1k2 11 2
tan k2 k1
1 k1k2
1 2 11 2
3
利用计算器或查表可得：θ≈ 108026′ α≈71034′
第10页
变式一： 求直线L1：y= －2x+3到L2：x－1＝0角 变式二：求过点P（－2，1）且与直线 l1：y= －2x+3夹角为π/4直线l方程
第22页
例2：已知直线L1：y 3x 2 ，
L2：y 3x 1 0
求（1） 直线L1 到直线L2 角 （2）直线L2 到直线L1 角 （3）直线L1 与直线L2 夹角
第23页
0,
注 意
到角含有方向性！
θ2 θ1
L2 L1
第5页
练一练：
依据下列直线方程，在同一坐标系中作出直线L1，L2； 并标出L1到L2和L2到L1角；同时探求两角大小。
1、L1：y=x+1 L2:x=1
2、L1: y=x+1 L2: y= 3 x
L2
y
θ2 θ1
L1
y θ2
θ1
L1
α11
α2
0
1
x
tan
k2 k1 1 k1k2
A2
B2 A2
1 B2
A1 B1
A1 B1
A1B2 A2 B1 A1 A2 B1B2
第14页
例3：等腰三角形一腰所在直线L1方程是x－2y－2=0，底 边所在直线L2方程是x+y－1=0，点（－2，0）在另一腰上 求这条腰所在直线L3方程。（以下图）
2、求下列两条直线夹角：
⑴y=3x－1，y=－1/3 ·x+4（900）
⑵x－y=5；y=4，
（450）
⑶y=2x+1 ; x=2
(π/2-arctan2)
第12页
注意！！
求两条直线到角和夹角环节：
1、看两直线斜率是否都存在； 2、若都存在，看两直线是否垂直； 3、若两直线斜率都存在且不垂直
用公式求。
第17页
小 结：
1、L1到L2角和L1与L2夹角定义； “到角有序，夹角无序”
2、两条直线到角和夹角公式推导； 3、应用公式求两条直线到角和夹角。
第18页
1．以下四个命题中，真命题是（ ） B
AB．．经经过过两定个点不同P(点x0直, y线0 )都能够用方，程直线都能表够示y用方y0程：k(x x0 )
第19页
3．直线xcosα-y+1=0倾斜角范围是（ ）
A． B C．[0,[40]， [3π4 ,] ]
B．
D．[0,
4
[0,
][
]
3
4
,
)
4
第20页
例1：已知两直线L1：x+a2y+6=0，L2:（a-2） x+3ay+2a=0，问a为何值时L1与L2（1）平行（2） 重叠（3）相交
（1）当a=3时L1、L2重叠 （2）当a=-1或0时，L1、L2平行 （3）当a≠3，a≠-1，a≠0时，L1、L2相交
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∴tanθ=tan（α2－α1）或tanθ=tan π+（α2－α1） =tan（α2－α1）
tan tan2 tan1 k2 k1 1 tan2 tan1 1 k1k2
直线L1到L2角公式：
tan k2 k1
1 k1k2
注意：k1与 k2顺序！
图一
α1 α2
0
x
L2 图二
第6页
已知两条相交直线L1：y=k1x+b1， L2： y =k2x+b2。求 直线L1到L2角为θ。
当 k1k2= －1 时，L1⊥L2 则θ=π/2。
当k1k2≠－1 时，
Y L2 θ L1
α1 α2
O
X
图一
图二
设L1，L2倾斜角分别是α1和α2， 则k1=tanα1，k2=tanα2 由图可知θ=α2－α1
来表示
C．与两条坐标轴都相交直P线1 (一x1,定y1能) 够P2 用(x2 , y2 )表示
D．经过点Q（0，(by）直y1线)(方x2程都x1能) 够(表x 示x为1 )y(=yk2x+by1 ) x y 1 ab
2．直线m(x+y-1)+(3y-4x+5)=0不能化成截距式方程，则 m值为（ ）DA．5 B．-3或4 C．-3或4或5 D．m∈ （-∞，-3）∪（4，5）∪（5，+∞）
解：设L1，L2，L3斜率分别为k1 k2、k3，L1到L2角是θ1，L2
L2
Y
L3
到L3角是θ2 ，则
θ2 L1
k1
1 2
,
k2
1
O
X
θ1
tan1
k2 k1 1 k1k2
1 1 1
1 2
1 2
3
tan 2
k3 k2 1 k3k2
k3 1 1 k3
第15页
由于L1、L2、L3所围成三角形 是等腰三角形，因此θ1=θ2
第13页
例2：已知直线L1：A1x+B1y+C1=0和L2： A2x+B2y+C2=0（B1≠0，B2≠0，A1A2+B1B2≠0）直线 L1到直线L2 角是θ，求证:
tan A1B2 A2 B1
A1 A2 B1B2
证实：设两条直线L1，L2斜率分别为k1、k2，
则
k1
A1 B1
, k2
A2 B2
第21页
1、（1998年上海高考题）设a，b，c 分别是⊿ABC 中∠A、∠B、∠C所对边边长，则
xsinA + ay + c =0 和 bx－ysinB+ sinC = 0
位置关系是（ ）.
A .平行 B. 重叠 C.垂直 D.相交但不垂直
解：
k1
sin a
A
k2
b sin B
k2 • k1 1
数学之美：美丽分形几何图形
第1页
两条直线位置关系
---------夹角
第2页
忆一忆：
两直线方程 平行
垂直
l1:y=k1x+b1 l2:y=k2x+b2
k1 k2 且b1 b2
k1k2 1
• 合用范 围
k1, k2存在
l1:A1x+B1y +C1=0
l2:A2x+B2y +C2=0
A1 B1 C1 A2 B2 C2
变式三：求过点P（－2，1）且与直线 l1：y= x－3/2夹角为π/4直线l方程
第11页
练一练：
1、求下列直线L1到L2角与L2到L1角： ⑴L1：y=1/2·x+2；L2：y=3x+7 ⑵L1：x－y=5，L2：x+2y－3=0
(L1到L2角450 L2到L1角1350 ）
（L1到L2角为π－arctan3，L2到L1角为arctan3）
第8页
二、直线L1与L2夹角：
当直线L1与L2相交但不垂直时，在θ和π－θ中 有且仅有一个角是锐角，我们把其中锐角叫两 直线夹角，记夹角为α。
直线L1与L2夹角公式：
tan k2 k1
1 k1k2
当直线L1⊥L2时，直线L1和L2夹角是π/2。
夹角范围：
00＜α≤900
第9页
三、应用：
例1：已知直线L1：y= －2x+3，L2：y=x－3/2 求L1到L2角和L1、L2夹角（用角 度制表示）
∴tanθ2=tanθ1= －3 k3 1 3
1 k3
解得 k3 =2 y=2 [ x－（－2）]
即2x－y+4 = 0
∴L3方程是：2x－y+4 = 0
第16页
练习： 1、若直线l1，l2斜率分别是方程6x2+x-1=0两 根，则l1与l2夹角等于_______ 2、B（0，6）、C（0，2），A为x轴负半轴 上一点，问A在何处时，∠BAC有最大值？
A1A2 B1B2 0
平行时 A1B1C1 0 A2B2C2 0
第3页
忆一忆：
平行
点线、线线之间距离
重叠
相交
线线所成角 （垂直）
第4页
一、直线L1到L2角：
直线L1按逆时针方向旋转到与L2重叠时所转角,
叫做L1 到 L2角。
图中θ1是L1到L2角， θ2是L2到L1角。
1 2
到角范围：
解：由两条直线斜率k1=－2，k2=1，得
tan k2 k1 1 2 3
1 k1k2 11 2
tan k2 k1
1 k1k2
1 2 11 2
3
利用计算器或查表可得：θ≈ 108026′ α≈71034′
第10页
变式一： 求直线L1：y= －2x+3到L2：x－1＝0角 变式二：求过点P（－2，1）且与直线 l1：y= －2x+3夹角为π/4直线l方程
第22页
例2：已知直线L1：y 3x 2 ，
L2：y 3x 1 0
求（1） 直线L1 到直线L2 角 （2）直线L2 到直线L1 角 （3）直线L1 与直线L2 夹角
第23页
0,
注 意
到角含有方向性！
θ2 θ1
L2 L1
第5页
练一练：
依据下列直线方程，在同一坐标系中作出直线L1，L2； 并标出L1到L2和L2到L1角；同时探求两角大小。
1、L1：y=x+1 L2:x=1
2、L1: y=x+1 L2: y= 3 x
L2
y
θ2 θ1
L1
y θ2
θ1
L1
α11
α2
0
1
x
tan
k2 k1 1 k1k2
A2
B2 A2
1 B2
A1 B1
A1 B1
A1B2 A2 B1 A1 A2 B1B2
第14页
例3：等腰三角形一腰所在直线L1方程是x－2y－2=0，底 边所在直线L2方程是x+y－1=0，点（－2，0）在另一腰上 求这条腰所在直线L3方程。（以下图）
2、求下列两条直线夹角：
⑴y=3x－1，y=－1/3 ·x+4（900）
⑵x－y=5；y=4，
（450）
⑶y=2x+1 ; x=2
(π/2-arctan2)
第12页
注意！！
求两条直线到角和夹角环节：
1、看两直线斜率是否都存在； 2、若都存在，看两直线是否垂直； 3、若两直线斜率都存在且不垂直
用公式求。
第17页
小 结：
1、L1到L2角和L1与L2夹角定义； “到角有序，夹角无序”
2、两条直线到角和夹角公式推导； 3、应用公式求两条直线到角和夹角。
第18页
1．以下四个命题中，真命题是（ ） B
AB．．经经过过两定个点不同P(点x0直, y线0 )都能够用方，程直线都能表够示y用方y0程：k(x x0 )
第19页
3．直线xcosα-y+1=0倾斜角范围是（ ）
A． B C．[0,[40]， [3π4 ,] ]
B．
D．[0,
4
[0,
][
]
3
4
,
)
4
第20页
例1：已知两直线L1：x+a2y+6=0，L2:（a-2） x+3ay+2a=0，问a为何值时L1与L2（1）平行（2） 重叠（3）相交
（1）当a=3时L1、L2重叠 （2）当a=-1或0时，L1、L2平行 （3）当a≠3，a≠-1，a≠0时，L1、L2相交