新北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试卷(有答案解析)(3)

一、选择题
1．已知函数()()
2
log 23a f x x x =--+，若()00f <，则此函数的单调递增区间是
（ ） A ．(],1-∞-
B ．[)1,-+∞
C ．[)1,1-
D ．(]3,1--
2．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[)1,1x ∈-时，
()2f x x =，若函数()log 1a g x x =+
图象与()f x 的图象恰有10个不同的公共点，则实
数a 的取值范围为（ ） A ．()4,+∞ B ．()6,+∞ C ．()1,4
D ．()4,6
3．已知1311531log ,log ,363
a b c π
-===，则,,a b c 的大小关系是（ ）
A ．b a c <<
B ．a c b <<
C ．c b a <<
D ．b c a <<
4．已知函数 ()lg 2
x x
e e
f x --=，则f (x )是（ ）
A ．非奇非偶函数，且在(0，+∞)上单调递增
B ．奇函数，且在R 上单调递增
C ．非奇非偶函数，且在(0，+∞)上单调递减
D ．偶函数，且在R 上单调递减
5．如图是指数函数①y =x a ；②y =x b ；③y =c x ；④y =d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是（ ）
A ．a <b <1<c <d
B ．b <a <1<d <c
C ．1<a <b <c <d
D ．a <b <1<d <c
6．在数学史上，一般认为对数的发明者是苏格兰数学家——纳皮尔（Napier ，1550-1617年）．在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科．可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间．纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数．在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法．让我们来看看下面这个例子：
1 2 3 4 5 6 7 8 … 14 15 … 27 28 29 2 4 8 16 32 64 128 256 … 16384 32768 …
134217728
268435356
536870912
这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂．如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现． 比如，计算64×256的值，就可以先查第一行的对应数字:64对应6，256对应8，然后再把第一行中的对应数字加和起来：6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有：64×256＝16384,按照这样的方法计算：16384×32768=（ ） A ．134217728
B ．268435356
C ．536870912
D ．513765802
7．已知函数()sin 2f x x x =-，且()
0.3
231ln ,log ,223a f b f c f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，则以下结论正确的是 A ．c a b >>
B ．a c b >>
C ．a b c >>
D ．b a c >>
8．已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是( ) A ．52a -
B ．2a -
C ．23(1)a a -+
D ．231a a --
9．函数()log (2)a f x ax =-（0a >且1a ≠）在[]0,3上为增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2,13⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．(0,1)
C ．20,3⎛
⎫ ⎪⎝⎭
D ．[
)3,+∞ 10．已知0.22a =，0.20.4b =，0.60.4c =，则（ ）
A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．c a b >>
D ．b c a >>
11．若1a b >>，lg lg P a b =⋅，1(lg lg )2Q a b =+，lg()2
a b R +=，则（ ） A ．R P Q << B ．P Q R <<
C ．Q P R <<
D ．P R Q <<
12．函数32
ln ||
()x x f x x
-=
的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．已知正实数a 满足8(9)a a a a =，则log 3a =____________. 14．已知a b c 、、是不为1的正数，且0lga lgb lgc ++=，则 11
1111lgb lgc
lgc lga
lga lgb
a
b
c
+++⨯⨯的值为_____
15．当x >0时，
2
12
()log (32)f x x x -=-+，则y =f (x )在(,0)-∞内的单调增区间为_____. 16．已知函数2
2()log ()f x ax x a =++的值域为R ，则实数a 的取值范围是_________
17．函数
()()()2
12
log 24f x ax x a R =-+∈，若()f x 的值域为(],1-∞，则a 的值为______.
18．设函数()122,1
2log ,1
x x f x x x +⎧≤=⎨->⎩，若()()04f f x =则0x ______.
19．关于下列命题：
①若函数2x y =的定义域是{}|0x x ≤，则它的值域是{}|1y y ≤ ②若函数1
y x =的定义域是{}|2x x >，则它的值域是12y y ⎧⎫<⎨⎬⎩
⎭ ③若函数2y
x 的值域是{}|04y y ≤≤，则它的定义域可能是{}|22x x -≤≤
④若函数2log y x =的值域是{}|3y y ≤，则它的定义域是{}|8x x ≤
其中不正确的命题的序号是________.（注：把你认为不正确的命题的序号都填上）
20．函数2
2()log (2)f x x x =--的单调递增区间是_____________．
三、解答题
21．已知函数()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，当0x >时，
()232f x ax ax =-+，（a R ∈）.
（1）求()f x 的函数解析式：
（2）当1a =时，求满足不等式()21log f x >的实数x 的取值范围. 22．已知函数()()()ln 1ln 1f x x k x =++-，0k ≠. （1）当()f x 分别为奇函数和偶函数时，求k 的值；
（2）若()f x 为奇函数，证明：对任意的m 、()1,1n ∈-，()()1m n f m f n f mn +⎛⎫
+= ⎪+⎝⎭
. 23．求下列各式的值.
（1
）7log 23
log lg 25lg 47++. （2
）
()146
2
3
0.2516248201249-
⎛⎫⨯
+
-⨯+- ⎪
⎝⎭
.
24．（1）求函数(
)
2
2log 32y x x =-+的定义域； （2）求函数221y x x =-+-，[]2,2x ∈-的值域； （3）求函数2
23y x x =--的单调递增区间. 25．已知函数()()2
1log 01
+=>-ax
f x a x 是奇函数 （1）求a 的值与函数()f x 的定义域；
（2）若()232log g x x =-对于任意[]1,4x ∈都有(
)2
2
log
>⋅g x g k x ，求k 的取值
范围.
26．设函数()log (0,1)a f x x a a =>≠. （1）解不等式(26)(5)f a f a +； （2）已知对任意的实数(
)
2
3,14m f m m f ⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
恒成立，是否存在实数k ，使得对任意的[1,0]x ∈-，不等式(
)()1
42240x x x
f f k ++--⋅>恒成立，若存在，求出k 的范围；
若不存在，请说明理由.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
由()00f <求得01a <<，求出函数()f x 的定义域，利用复合函数法可求得函数()f x 的单调递增区间. 【详解】
由题意可得()0log 30log 1a a f =<=，01a ∴<<.
对于函数()()
2
log 23a f x x x =--+，2230x x --+>，可得2230x x +-<，解得
31x -<<.
所以，函数()f x 的定义域为()3,1-.
由于内层函数223u x x =--+在区间(]3,1--单调递增，在区间[
)1,1-单调递减. 外层函数log a y u =单调递减，
由复合函数法可知，函数()f x 的单调递增区间为[
)1,1-. 故选：C. 【点睛】
方法点睛：函数单调性的判定方法与策略：
（1）定义法：一般步骤：设元→作差→变形→判断符号→得出结论；
（2）图象法：如果函数()f x 是以图象的形式给出或者函数()f x 的图象易作出，结合图象可得出函数的单调区间；
（3）导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间； （4）复合函数法：先将函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦分解为内层函数()u g x =和外层函数
()y f u =，再讨论这两个函数的单调性，然后根据复合函数法“同增异减”的规则进行判定. 2．D
解析：D 【分析】
转化条件为函数()f x 是周期为2的周期函数，且函数()g x 、()f x 的图象均关于1x =-对称，由函数的对称性可得两图象在1x =-右侧有5个交点，画出图象后，数形结合即可得解. 【详解】
因为函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数， 又函数()log 1a g x x =+的图象可由函数log a y x =的图象向左平移一个单位可得， 所以函数()log 1a g x x =+的图象的对称轴为1x =-，
当[)1,1x ∈-时，()2
f x x =，所以函数()f x 的图象也关于1x =-对称，
在平面直角坐标系中作出函数()y f x =与()y g x =在1x =-右侧的图象，
数形结合可得，若函数()log 1a g x x =+图象与()f x 的图象恰有10个不同的公共点， 则由函数图象的对称性可得两图象在1x =-右侧有5个交点，
则()()13log 415log 61
a a a g g ⎧>⎪
=<⎨⎪=>⎩
，解得()4,6a ∈. 故选：D. 【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是函数的周期性、对称性及数形结合思想的应用.
3．D
解析：D 【分析】
根据指数函数和对数函数性质，借助0和1进行比较． 【详解】
由对数函数性质知1
5
1log 16>，13
log 03π<，由指数函数性质知1
3
031-<<，∴b c a <<． 故选：D ． 【点睛】
方法点睛：本题考查指数式、对数式的大小比较，
比较指数式大小时，常常化为同底数的幂，利用指数函数性质比较，或化为同指数的幂，利用幂函数性质比较，比较对数式大小，常常化为同底数的对数，利用对数函数性质比较，如果不能化为同底数或同指数，或不同类型的数常常借助中间值如0或1比较大小．
4．A
解析：A 【分析】
本题考查函数的奇偶性和和单调性的概念及简单复合函数单调性的判定. 【详解】
要使函数有意义，需使0,2
x x e e -->即21,1,x x
x e e e >∴>解得0;x >
所以函数()f x 的为(0,);+∞定义域不关于原点对称，所以函数()f x 是非奇非偶函数； 因为1,x
x
x y e y e
e
-==-=-是增函数，所以2x x
e e y --=是增函数，
又lg y x =是增函数，所以函数()lg 2
x x
e e
f x --=在定义域(0,)+∞上单调递增.
故选：A 【点睛】
本题考查对数型复合函数的奇偶性和单调性，属于中档题.
5．B
解析：B 【分析】
根据指数函数的图象与性质可求解. 【详解】
根据函数图象可知函数①y =x a ；②y =x b 为减函数，且1x =时，②y =1b <①y =1a ， 所以1b a <<，
根据函数图象可知函数③y =c x ；④y =d x 为增函数，且1x =时，③y =c 1>④y =d 1， 所以1c d >> 故选：B 【点睛】
本题主要考查了指数函数的单调性，指数函数的图象，数形结合的思想，属于中档题.
6．C
解析：C 【分析】
先找到16384与32768在第一行中的对应数字，进行相加运算，再找和对应第二行中的数字即可. 【详解】
由已知可知，要计算16384×32768，先查第一行的对应数字: 16384对应14，32768对应15，然后再把第一行中的对应数字加起来：14＋15＝29，对应第二行中的536870912， 所以有：16384×32768＝536870912, 故选C. 【点睛】
本题考查了指数运算的另外一种算法，关键是认真审题，理解题意，属于简单题.
7．D
解析：D 【解析】
因为()cos 20f x x '=-<，所以函数()sin 2f x x x =-的单调递减函数，又因为
0.32
13log 0,ln ln 1,12232e <<=<<，即0.3213
log ln 232
<<，所以由函数的单调性可
得：0.3
213(log )(ln )(2)32
f f f >>，应选答案D ．
8．B
解析：B 【解析】
试题分析：3
3333333log 82log 6log 22log 233log 22(log 2log 3)-=-⨯=-+
3log 222a =-=-,所以答案选B .
考点：指数对数的计算
9．C
解析：C 【分析】
根据对数函数性质与复合函数的单调性求解． 【详解】
因为0a >且1a ≠，令2t ax =-，所以函数2t ax =-在[]0,3上为减函数， 所以函数log a y t =应是减函数，()f x 才可能是增函数， ∴01a <<，
因为函数()f x 在[]0,3上为增函数， 由对数函数性质知230a ->，即23
<a ， 综上023
a <<． 故选：C ． 【点睛】
本题考查复合函数的单调性，掌握对数函数性质是解题关键，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题．
10．A
解析：A 【解析】
分析：0.20.4b =， 0.60.4c =的底数相同，故可用函数()0.4x
f x =在R 上为减函数，可得
0.60.200.40.40.41<<=．用指数函数的性质可得0.20221a =>=，进而可得0.20.20.620.40.4>>．
详解：因为函数()0.4x
f x =在R 上为减函数，且0.2<0.4 所以0.60.200.40.40.41<<= 因为0.20221a =>=． 所以0.20.20.620.40.4>>． 故选A ．
点睛：本题考查指数大小的比较，意在考查学生的转化能力．比较指数式的大小，同底数的可利用指数函数的单调性判断大小，底数不同的找中间量1，比较和1的大小．
11．B
解析：B 【分析】
利用对数函数lg y x =，结合基本不等式即可确定P 、Q 、R 的大小关系 【详解】
由于函数lg y x =在(0,)+∞上是增函数
1a b >>，则lg lg 0a b >>
由基本不等式可得
11
(lg lg )lg()lg 222
a b
P a b ab R +=<+==<=
因此，P Q R <<
故选：B 【点睛】
本题考查了利用对数函数的单调性比较大小，应用函数思想构造对数函数，并利用其单调性和基本不等式比较大小
12．A
解析：A 【分析】
判断奇偶性可排除两个选项，再确定函数值的变化趋势排除一个，得出正确选项． 【详解】
解：函数的定义域为{0}x
x ≠∣， 因为332
2
()ln ||
ln ||
()()()
x x x x f x f x x x
-----=
=
=-，
所以()f x 为偶函数，所以排除C ,D,
又因为当0x >时，322
ln ln ()x x x
f x x x x
-==-， 当x →+∞时，()f x →+∞，所以排除B
故选：A. 【点睛】
本题考查由函数解析式选择函数图象，解题方法是排除法，即通过判断函数的性质，特殊的函数值或函数值的变化趋势等，排除错误选项，得出正确答案．
二、填空题
13．【分析】利用已知式两边同时取以e 为底的对数化简计算再利用换底公式代入计算即可【详解】正实数a 满足两边取对数得即故解得故故答案为：【点
睛】本题解题关键是对已知指数式左右两边同时取以e 为底的对数化简计算 解析：716
-
【分析】
利用已知式两边同时取以e 为底的对数，化简计算ln a ，再利用换底公式ln 3
log 3ln a a
=代入计算即可. 【详解】
正实数a 满足8(9)a
a
a a =，两边取对数得8ln ln(9)a
a
a a =，即ln 8ln(9)a a a a =，
故()ln 8ln9ln a a =+，解得16ln ln 37
a =-，故ln 3ln 37
log 316ln 16ln 37
a a ===-
-.
故答案为：716
-. 【点睛】
本题解题关键是对已知指数式左右两边同时取以e 为底的对数，化简计算得到ln a 的值，再结合换底公式即突破难点.
14．【分析】根据对数运算公式可以将转化得到的等量关系将此等量关系代入所求式子即可解决【详解】由可得故答案为：【点睛】本题考查对数的运算对数恒等式属于基础题 解析：
11000
【分析】
根据对数运算公式，可以将0lga lgb lgc ++=转化，得到a ，b ，c 的等量关系，将此等量关系代入所求式子即可解决． 【详解】
由0lga lgb lgc ++=， 可得1bc a =，1ab c
=，1
ac b =，
1111
11111()()
()
lgb lgc
lgc lga
lga lgb
lgb lga
lgc
a
b
c
ac bc ab +++∴⨯⨯=．
111
10
1010
1111
1010101000
b
a
c log log log b
a
c ==
⨯⨯= 故答案为：11000
【点睛】
本题考查对数的运算，对数恒等式，属于基础题．
15．【分析】由已知函数解析式求出时的函数解析式由真数大于0得到的范围
再由复合函数的单调性求解【详解】令则当时且或二次函数在上为减函数在上为增函数而对数式在上为减函数在内的单调增区间为故答案为：【点睛】本 解析：(,2)-∞-
【分析】
由已知函数解析式求出0x <时的函数解析式，由真数大于0得到x 的范围，再由复合函数的单调性求解．
【详解】
令0x <，则0x ->，
当0x >时，
212
()log (32)f x x x -=-+， 221122
()[()][()3()2](32)(0f x f x log x x log x x x ∴=--=---+=++<且
2320)x x ++>．
2x ∴<-或10x -<<．
二次函数232t x x =++在(,2)-∞-上为减函数，在(1,0)-上为增函数， 而对数式12
y log t =在(0,)t ∈+∞上为减函数， ()y f x ∴=在(,0)-∞内的单调增区间为(,2)-∞-．
故答案为：(,2)-∞-．
【点睛】
本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查复合函数的单调性，对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．
16．【分析】设值域为根据题意对分类讨论结合根的判别式即可求解【详解】设值域为函数的值域为当时值域为满足题意；当时须解得综上实数a 的取值范围是故答案为:【点睛】本题考查对数函数的性质复合函数的性质二次函数 解析：10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【分析】
设2
()u x ax x a =++值域为A ，根据题意(0,)A +∞⊆，对a 分类讨论，结合根的判别式，即可求解.
【详解】
设2()u x ax x a =++值域为A ，
函数22()log ()f x ax x a =++的值域为,(0,)R A +∞⊆，
当0a =时，2()log f x x =值域为R ，满足题意；
当0a ≠时，须20140a a >⎧⎨∆=-≥⎩，解得102a <≤，
综上，实数a 的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 故答案为:10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
本题考查对数函数的性质，复合函数的性质，二次函数的取值和根的判别式的关系，属于中档题.
17．【分析】根据对数的性质可知且最小值为即可求得的值【详解】因为的值域为所以函数的最小值为即解得故答案为：【点睛】本题考查对数函数的值域考查对数的性质合理转化是解题的关键考查了运算能力属于中档题 解析：27
【分析】
根据对数的性质可知2240y ax x =-+>，且最小值为1，即可求得a 的值. 【详解】
因为()()
()2
12log 24f x ax x a R =-+∈的值域为(],1-∞，所以2240ax x -+>， 函数224y ax x =-+的最小值为12，即()20442142a a a >⎧⎪⎨⨯--=⎪⎩，解得27a =， 故答案为：27
【点睛】
本题考查对数函数的值域，考查对数的性质，合理转化是解题的关键，考查了运算能力，属于中档题.
18．或2【分析】已知复合函数值求自变量从外层求出里层设求出对应的的值再由求出即可【详解】令则当若若当（舍去）故答案为：或【点睛】本题考查由函数值求自变量涉及到简单指数和对数方程考查分类讨论思想和数学计算 解析：1-或2
【分析】
已知复合函数值求自变量，从外层求出里层，设0()t f x =，求出()4f t =对应的t 的值，再由0()t f x =求出0x 即可.
【详解】
令0()t f x =，则()4f t =，当11,24,1t t t +≤==，
若010001,()21,1x x f x x +≤===-，
若00202001,()2log 1,log 1,2x f x x x x >=-===，
当2211,()2log 4,log 2,4
t f t t t t >=-==-=
（舍去） 故答案为：1-或2.
【点睛】 本题考查由函数值求自变量，涉及到简单指数和对数方程，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于中档题.
19．①②④【分析】根据①②③④各个函数的定义域求出各个函数的值域判断正误即可【详解】①中函数的定义域值域;故①不正确;②中函数的定义域是值域;故②不正确;③中函数的值域是则它的定义域可能是故③是正确的; 解析：①②④
【分析】
根据①、②、③、④各个函数的定义域,求出各个函数的值域,判断正误即可.
【详解】
①中函数2x y =的定义域{}|0x x ≤,值域2(0,1]x y =∈;故①不正确;
②中函数1y x =
的定义域是{|2}x x >,值域110,2y x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭;故②不正确; ③中函数2y x 的值域是{|04}y y ≤≤,则它的定义域可能是{}|22x x -≤≤,故③是正
确的;
④中函数2log y x =的值域是{|3}y y ≤,∵2log 3,08y x x =≤∴<≤,,故④不正确; 故答案为:①②④.
【点睛】
本题考查函数的定义域及其求法,函数的值域,指数函数的定义域和值域,对数函数的值域与最值,考查计算能力,属于基础题. 20．【分析】首先求出函数的定义域再根据复合函数同增异减求其单调减区间即可【详解】函数的定义域为：解得：或令为增函数当为增函数为增函数当为减函数为减函数所以增区间为故答案为：【点睛】本题主要考查复合函数的 解析：()2,+∞
【分析】
首先求出函数的定义域，再根据复合函数同增异减求其单调减区间即可.
【详解】
函数()f x 的定义域为：220x x -->，解得：2x >或1x <-.
令22t x x =--，2log y t =为增函数.
当2x >，t 为增函数，22()log (2)f x x x =--为增函数，
当1x <-，t 为减函数，22()log (2)f x x x =--为减函数.
所以增区间为(2,)+∞.
故答案为：(2,)+∞
【点睛】
本题主要考查复合函数的单调性，同增异减为解题的关键，属于中档题.
三、解答题
21．（1）()2232,032,0
ax ax x f x ax ax x ⎧-+>=⎨++<⎩；（2）()()()()3,21,00,12,3---.
【分析】 （1）根据已知和函数的奇偶性可得0x <的解析式从而求得()f x ；
（2）当1a =时，分别解每一段小于1的不等式，最后求两段的并集可得答案.
【详解】
（1）设0x <，0x ->，()2
32f x ax ax -=++，又∵()f x 为偶函数，()()f x f x -=，∴()232f x ax ax =++.
综上：()2232,032,0
ax ax x f x ax ax x ⎧-+>=⎨++<⎩. （2）当1a =时，可知：0x >，()
2232log 1x x -<+， 原不等式等价于22320322x x x x ⎧-+>⎨-+<⎩
，解得()()0,12,3x ∈， 同理可知：0x <，()
2232log 1x x +<+， 原不等式等价于22320322
x x x x ⎧++>⎨++<⎩，解得()()1,03,2x ∈---， 综上：实数x 的取值范围为()
()()()3,21,00,12,3---.
【点睛】 求分段函数的解析式，要根据函数的奇偶性、对称性、周期性等结合已知条件进行求解，要注意定义域.
22．（1）()f x 为奇函数时，1k =-，()f x 为偶函数时，1k =；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出函数的定义域，利用函数的奇偶性的定义列等式即可求得k 的值；
（2）根据函数解析式分别求得()()+f m f n ，1m n f mn +⎛⎫
⎪+⎝⎭，即可证明结论. 【详解】
（1）由1010
x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，得函数()f x 的定义域为()1,1-， 当()f x 为奇函数时，()()0f x f x +-=，
即()()()()ln 1ln 1ln 1ln 10x k x x k x ++-+-++=，
整理可得()()()1ln 1ln 10k x x +-++=⎡⎤⎣⎦，
因为上式恒成立，所以10k +=，所以1k =-；
当()f x 为偶函数时，()()0f x f x --=，
即()()()()ln 1ln 1ln 1ln 10x k x x k x ++----+=，
整理得()()()1ln 1ln 10k x x -+--=⎡⎤⎣⎦，
因为上式恒成立，所以10k -=，所以1k =.
综上，当()f x 为奇函数时，1k =-，当()f x 为偶函数时，1k =；
（2）由（1）知，1k =-，()()()1ln 1ln 1ln 1x f x x x x
+=+--=-， ()()()()()()
1111ln ln ln 1111m n m n f m f n m n m n +++++=+=----， ()()()()11111ln ln ln 111111m n
m n m n mn m n mn f m n mn mn m n m n mn ++
++++++⎛⎫+=== ⎪+++----⎝⎭-+， 所以()()1m n f m f n f mn +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭
. 【点睛】
方法点睛：已知函数的奇偶性求参数值一般思路是：
（1）利用函数的奇偶性的定义转化为()()f x f x -=（偶函数）或()()f x f x -=-（奇函数），从而建立方程，使问题获得解决；
（2）取一对互为相反数的自变量的函数值，建立等式求出参数的值，但同时要对此时函数的奇偶性进行验证.
23．（1）
154
；（2）210 【分析】
（1）根据对数的运算法则运算求值即可（2）根据指数的运算法则化简求值.
【详解】
（1
）7log 23log lg 25lg 473
+++ 1
43log 3lg1002-=++
1224
=-++ 154
=
（2
）
()1462030.2516248201249-⎛⎫⨯
+-⨯+- ⎪⎝⎭ 4313233
4447223(2)42214=⨯⨯+-⨯-⨯+ 2162721=+--+
210=
【点睛】
本题主要考查了对数的运算，指数的运算，属于中档题.
24．（1）()(),12,-∞⋃+∞；（2）[]9,0-；（3）[]1,1-，[)3,+∞.
【分析】
（1）解不等式2320x x -+>可求得函数()
22log 32y x x =-+的定义域；
（2）利用二次函数的基本性质可求得函数221y x x =-+-，[]2,2x ∈-的值域； （3）将函数223y x x =--的解析式表示为分段函数，利用二次函数的基本性质可求得原函数的单调递增区间.
【详解】
（1）对于函数()22log 32y x x =-+，有2320x x -+>，解得1x <或2x >. 因此，函数()
22log 32y x x =-+的定义域为()(),12,-∞⋃+∞； （2）当[]2,2x ∈-时，()[]2
22119,0y x x x =-+-=--∈-， 因此，函数2
21y x x =-+-，[]2,2x ∈-的值域为[]9,0-； （3）解不等式2230x x -->，解得1x <-或3x >， 所以，222223,12323,1323,3x x x y x x x x x x x x ⎧--<-⎪=--=-++-≤≤⎨⎪-->⎩
. 二次函数223y x x =--的图象开口向上，对称轴为直线1x =.
当1x <-时，函数223y x x =--单调递减；
当13x -≤≤时，函数2y x 2x 3=-++在区间[]1,1-上单调递增，在区间[]1,3上单调递减；
当3x >时，函数223y x x =--单调递增. 综上所述，函数223y x x =--的单调递增区间为[]1,1-，[
)3,+∞. 【点睛】
本题考查与二次函数相关问题的求解，考查了对数型复合函数的定义域、二次函数的值域以及含绝对值的二次函数单调区间的求解，考查计算能力，属于中等题.
25．（1）1a =，定义域为()
(),11,-∞-+∞；（2）(),3-∞-.
【分析】 （1）由奇函数的定义可解得a 值；真数大于零解不等式可得定义域；
（2）换元转换成二次不等式讨论，变量分离，再用基本不等式.
【详解】
()2
1log 1ax f x x +=-是奇函数，∴()()f x f x -=-，∴2211log log 11ax ax x x -+=---- ∴2211log log 11--=-++ax x x ax ，∴1111
--=++ax x x ax ， ∴22211a x x -=-又0a >∴1a = ∴()2
1log 1x f x x +=-，要使()f x 有意义，则101x x +>-，即1x <-或1x >， ∴()f x 的定义域为()
(),11,-∞-+∞.
（2）由()22log ⋅>⋅g x g k x 得()()22234log 3log log x x k x -->⋅.令2log t x =
∵[]1,4x ∈，∴[]2log 0,2t x =∈
∴()()343-->t t kt ，对一切[]0,2t ∈恒成立，
①当0t =时，k ∈R ；
②当(]0,2t ∈时，()()343t t k t --<恒成立；即9415k t t <+-，∵9412t t +≥， 当且仅当94t t =，即32t =时等号成立.∴9415t t
+-的最小值为3-，所以3k <- 综上，实数k 的取值范围为(),3-∞-.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性及不等式的恒成立问题，换元转化为二次不等式在特定区间上恒成立是解决问题的关键.
26．（1）(0,1)[2,)a ∈⋃+∞（2）实数k 不存在，详见解析
【分析】
（1）分类讨论，利用对数函数的单调性，将不等式具体化，解不等式即可；
（2）判断函数()f x 为增函数，将不等式具体化，再分离参数求最值，即可得出结论.
【详解】
解：（1）当01a <<时，有2650a a +>，
解得02a <≤，即(0,1)∈a ；
当1a >时，有0265a a <+，
解得2a ，即[2,)a ∈+∞.
综上可知，(0,1)[2,)a ∈⋃+∞.
（2）由于221331244m m m ⎛⎫++=++ ⎪⎝
⎭， 且()2314f m m f ⎛⎫++ ⎪⎝⎭
，可知()f x 为增函数. ()()142240x x x f f k ++--⋅>，即()()14224x x x f f k ++>-⋅，
则有14224x x x k ++>-⋅在[1,0]-上恒成立， 即1342x x k +<⋅+在[1,0]-上恒成立，
令12,12x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，设2()32,()g t t t g t =+在1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递增， 则min 17()24g t g ⎛⎫
== ⎪⎝⎭，即74
k <. 又由于[1,0]x ∈-时，240x k -⋅>恒成立，
解得2k >，故符合题意的实数k 不存在.
【点睛】
本题考查对数函数的单调性、恒成立问题的转化分析、指数函数与二次函数的复合函数的最值问题.。