(16)算术漫谈洛书转盘与勾股乘方[转]

(16)算术闲聊洛书转盘与勾股乘方[ 转 ]
中国人很早就知道“勾三股四弦五〞，现存于世的古老
天算著作?周髀算经?就记录了这一结果。

一般来说，直角三角
形的两直角边平方和等于斜边的平方。

三三而九，四四十六，
五五二十五，正好有这样一种加法关系。

当年，文渊阁大学士李光地 (公元 1642 年— 1718 年)，奉康熙皇帝之命，率四十九名进士，编纂?周易折中? ，搜罗百代之精华，集萃先哲之大成。

此书附有易学启迪篇章，开河洛勾股之先河。

后继者江永 (公元 1681 年— 1762 年 )，字慎修，著作?河洛精蕴?。

江永七十九岁时，作此书，阐奥发微，一世研究所得，
尽在其中。

二位大儒的著作，在清代，产生了特别深广的影响。

九数这
篇短文的题目“勾股乘方〞四字就取自?河洛精蕴? ，在他们的基础上，我稍微作了点引申。

四九二
三五七
八一六
〔一〕洛书转盘
看了祖先留下的好多洛书图式，我认定万年淳的外圆内方洛
书图式最适合表现转盘旋机结构。

在?洛书旋机与全息结构?这篇短文中，我们引过一句话——天道左旋，地道右转。

这
是祖先留下的见解，在洛书中，可以有特别简短的数字表现。

[1]阳数天盘
□，九，□
三，◎，七
□，一，□
左旋三倍：一三九七
一→三： 1*3=3 ，化为 1*3 ≡ 3〔模 10〕；
三→九： 3*3=9 ，化为 3*3 ≡ 9〔模 10〕；
九→七： 9*3=27 ，化为 9*3 ≡ 7〔模 10〕；七→一： 27*3=81 ，化为 7*3 ≡ 1〔模 10〕。

右旋七倍：一七九三
一→七： 1*7=7 ，化为 1*7 ≡ 7〔模 10〕；七→九： 7*7=49 ，化为 7*7 ≡ 9〔模 10〕；九→三： 9*7=63 ，化为 9*7 ≡ 3〔模 10〕；
三→一： 3*7=21 ，化为 3*7 ≡ 1〔模 10〕。

[2]阴数地盘
四，□，二
□，◎，□
八，□，六
右旋七倍：二四八六
二→四： 2*7=14 ，化为 2*7 ≡ 4〔模 10〕；
四→八： 4*7=28 ，化为 4*7 ≡ 8〔模 10〕；
八→六： 8*7=56 ，化为 8*7 ≡ 6〔模 10〕；
六→二： 6*7=42 ，化为 6*7 ≡ 2〔模 10〕。

左旋三倍：二六八四
二六： 2*3=6 ，化为 2*3 ≡ 6〔模 10〕；
六八： 6*3=18 ，化为 6*3 ≡ 8〔模 10〕；
八四： 8*3=24 ，化为 8*3 ≡ 4〔模 10〕；
四二： 4*3=12 ，化为 4*3 ≡ 2〔模 10〕。

很明显，这里写成模 10 的同余式，是用观察乘法所得的结果来描述转盘数字循环模式的。

洛书口诀中，有一句“左三右七〞，我们这里正是用这种模式来解说的。

左旋三倍，右旋七倍，这是对天盘和地盘都适用的一致模式。

可以说，这是最正确的选择。

〔二〕周期循环
在?周易折中?里，有“河加减之原，洛乘除之原〞的法。

上，在洛中有完好的加减乘除四算律。

从乘方的角度来看洛，更能展出旋的特点。

[1]阳数天
□，九，□
三，◎，七
□，一，□
一的乘方个位数字是依照一循，周期一。

三的乘方个位数字是依照三九七一循，周期四。

七的乘方个位数字是依照七九三一循，周期四。

九的乘方个位数字是依照九一循，周期二。

1^1=1 ；1^2=1 ，⋯⋯
3^1=3 ，3^2=9 ， 3^3=27 ， 3^4=81 ； 3^5=243 ，⋯⋯
7^1=7 ，7^2=49 ， 7^3=343 ，7^4=2401 ；7^5=16807 ，⋯⋯
9^1=9 ，9^2=81 ； 9^3=729 ，⋯⋯
[2]阴数地
四，□，二
□，◎，□
八，□，六
二的乘方个位数字是依照二四八六循，周期四。

四的乘方个位数字是依照四六循，周期二。

六的乘方个位数字是依照六循，周期一。

八的乘方个位数字是依照八四二六循，周期四。

2^1=2 ，2^2=4 ， 2^3=8 ， 2^4=16 ； 2^5=32 ，⋯⋯
4^1=4 ，4^2=16 ； 4^3=64 ，⋯⋯
6^1=6 ；6^2=36 ，⋯⋯
8^1=8 ，8^2=64 ， 8^3=512 ，8^4=4096 ；8^5=32768 ，⋯⋯[3]河洛照
特别幽默的是，前面的洛中乘方个位数字，若是放在河中看，正好是同的居相同方向。

□□七□□
□□二□□
八三五四九
□□一□□
□□六□□
一六，北方水，恰好周期都为一。

二七，南方火，恰好周期都为四，在洛书中反时针。

三八，东方木，恰好周期都为四，在洛书中顺时针。

四九，西方金，恰好周期都为二。

对于这些数来说，有一个共同的特点，无论各自周期是多少，五次方的结果，其个位数字总回到该数自己。

写成同余式，
即 a^5≡ a〔模 10〕。

〔三〕卍字螺旋
我们从卍字符的角度看洛书，将洛书划分为四条螺旋臂。

四
→三→五，二→九→五，六→七→五，八→一→五。

这里的
数字排列，是从边缘走向中心数字五。

四，九，二
三，五，七
八，一，六
仔细看，四→三→五，这清楚是勾三股四弦五的模式。

难道这洛书也可以和勾股定理连上？是的，当年江永就是这样看的。

为此，他作了四幅洛书勾股图，每条螺旋一幅图〔注：万字的形成与勾股定理和弦图都有亲近关系，与洛书也直接相关〕。

也许有人会问，那“二→九→五〞呢？这也难不住江永，他用前面的“左旋三倍〞乘法规那么来解说。

四→三→五： 4^2+3^2=5^2
二→九→五： 12^2+9^2=15^2
六→七→五： 36^2+27^2=45^2
八→一→五： 108^2+81^2=135^2
注意到卍字符是旋转的，上面的模式还可以连续下去。

四→三→五： 324^2+243^2=405^2
二→九→五： 972^2+729^2=1215^2
六→七→五： 2916^2+2187^2=3645^2
八→一→五： 8748^2+6561^2=10935^2
勾 3→ 9→ 27→81→ 243→ 729→2187→ 6561→⋯⋯股
4→ 12→36→ 108→324→ 972→ 2916→8748→⋯⋯
弦 5→ 15→45→ 135→405→ 1215→ 3645→10935→⋯⋯
很明，卍字符每旋四分之一周，数字就都大三倍了，这样循下去，直至无。

在个化程中，洛中的数
字，的正好是所得大数的个位数字。

就，小小的洛中，存
了无数的勾股弦数字合。

〔四〕黄金比率
黄金比⋯⋯，是西方人的奇妙数字。

多人都，个数字也写在
洛里面了。

因我清楚看洛最下方排列的是“八一六〞，这样
离黄金比也就不了。

人
可以用三个数字写出一个小数，正好是黄金比
的近似。

四，□，二
□，◎，□
八，□，六
注意察偶数在洛中的排列，依照方向，从左上
角开始，正好是四二六八。

特别幽默的是， 4+2=6 ， 2+6=8，
6+8=14 ，里 14 的个位数字正好回到了出点 4。

里，并
没有依照“左旋三倍〞的乘法来看，而是不断的作加法，正
是黄金数列的生成！
演算下去， 8+14=22 ，14+22=36 ，36+58=94 ，58+94=152 ，94+152=246 ， 152+246=398 。

就，我得出了一个序列：4，2，6，8，14， 22，36，58， 94，152， 246， 398，⋯⋯很明个序列的个位数字
恰好是依照4→ 2→ 6→8 的序循出。

一般来， x[1]=4 ， x[2]=2 ， x[n]+x[n+1]=x[n+2] ，由此就可以完好确定个序列。

由于个序列与斐波那契数列的生成
一致，都是x[n]+x[n+1]=x[n+2] ，因此同会有相二的比x[n] ∶x[n+1] 越来越凑近⋯⋯〔黄金比〕。

我算几个例子看一下吧。

⋯，
58/94=0.61702 ⋯， 94/152=0.61842 ⋯， 246/398=0.61809 ⋯。

好几个世从前，一位德国人开普勒，几何学里有两大
宝藏，一个是勾股定理，一个是黄金比率。

特别有意思的是，人依照易的象数思，两大宝藏竟然都和洛上了。

也是因洛的地位在太崇拜吧，人是想尽可能的往洛里面
多装点好西。

有候，我在想，八卦就是一只葫芦，里面装着天地无数的真
宝。

八卦这样，河洛也是这样，天干地支甲子五行是这样。

是典型的方人展学的方式，后辈先人解说的候，个“注〞
字生的表达了又有新的西注入其中了。

个程，就是往葫芦
里装宝的程。

〔五〕算妙趣
从前，有一位法国人，特别喜方文化，特别是中国的洛河
八卦有极大的趣，花了大量的学易。

特别幽默的是，位法
国人竟然从洛中悟了一个幽默的数字排列。

四，九，二
三，五，七
八，一，六
他发现，在洛书中，依照“三→八→一→六→五→四→七→二→九〞这
样的序次取数，可以得出一组特别奇妙的数字。

依次得出的是一位数到九位数： 3，38， 381， 3816，38165，381654，3816547， 38165472， 381654729。

请看下面的除法计算。

一位数字：三，3÷ 1=3；
二位数字：三八，38÷ 2=19；
三位数字：三八一，381÷3=127；
四位数字：三八一六，3816÷ 4=954；
五位数字：三八一六五，38165÷ 5=7633；
六位数字：三八一六五四，381654÷6=63609；
七位数字：三八一六五四七，3816547÷ 7=545221；
八位数字：三八一六五四七二，38165472÷ 8=4770684；
九位数字：三八一六五四七二九，381654729÷ 9=42406081 。

他的发现是，在这个序次中，取几位数，该数就是几的倍数。

需要注意的是，“三→八→一〞与“七→二→九〞正幸好洛
书中处于中心对称的地址。

你看，这位法国人的发现确实特
别幽默呢！
这样的一种数字研究，对于古代的中国人来说，是特别陌生
的。

由于这完好部是西方人的传统，他们受古希腊的影响，
重视几何和素数。

算数，对于古代的中国人来说，就是加减乘除乘方开方，其
实不关心数之间的分解与合成，也就没有素数合数这样的内
容了。

在二千多年前，中国人并没有素数的见解，这是当时
希腊人的文化。

算筹算盘这些算具的创立，意味着古代中国
人擅长的是计算。

注：道德经：道生一一世二生三，假设以道为零，那么其中序次涉及五个数：零一一二三，恰好为斐波那契数列的前五个数，该五个数可以隐含三条规那么：0+1=1 ，1+1=2 ， 1+2=3，依照数学归纳法，第一条、第二条规那么为归纳，对应，入和证，
第三条规那么为考据，对应合，那么可以归纳出全套斐波那契数列，故后有“三生万物〞句。

黄帝内应云：五日为一侯，所
其中涉及的五个数字恰乃构成一侯。