2021中考数学必刷题 (38)

数学题库38一、选择题：本大共10小题，每小题3分，共30分在每小题绘出的四个选项中，只有一项符合题目要求1．（3分）5-的相反数是( ) A ．5-B ．15C ．5D ．15-2．（3分）把0.0813写成10(110n a a ⨯<，n 为整数）的形式，则a 为( ) A ．1B ．2-C ．0.813D ．8.133．（3分）下列立体图形中，主视图是三角形的是( )A ．B ．C ．D ．4．（3分）如图，直线a ，b 被c ，d 所截，且//a b ，则下列结论中正确的是( )A ．12∠=∠B ．34∠=∠C ．24180∠+∠=︒D ．14180∠+∠=︒5．（3分）已知1x 、2x 是关于x 的方程220x ax --=的两根，下列结论一定正确的是() A ．12x x ≠B ．120x x +>C ．120x x >D ．10x <，20x <6．（3分）在只有 15 人参加的演讲比赛中， 参赛选手的成绩各不相同， 若选手要想知道自己是否进入前 8 名， 只需要了解自己的成绩以及全部成绩的()A ． 平均数B ． 中位数C ． 众数D ． 以上都不对7．（3分）如图，AC 是O 的直径，弦BD AO ⊥于E ，连接BC ，过点O 作OF BC ⊥于F ，若8BD cm =，2AE cm =，则OF 的长度是( )A ．3cmB ．6cmC ．2.5cmD ．5cm8．（3分）如图，A 、B 、C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan BAC ∠的值为( )A ．12B ．1C 3D 39．（3分）抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线1x =-，图象过(1,0)点，部分图象如图所示，下列判断中： ①0abc >； ②240b ac ->； ③930a b c -+=；④若点1(0.5,)y -，2(2,)y -均在抛物线上，则12y y >； ⑤520a b c -+<． 其中正确的个数有( )A ．2B ．3C ．4D ．510．（3分）如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则( )A ．甲、乙都可以B ．甲、乙都不可以C ．甲不可以、乙可以D ．甲可以、乙不可以二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分 11．（3分）计算：01(32019)2-⨯-= ．12．（3分）写出一个满足317a <<的整数a 的值为 ．13．（3分）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD 绕O 点旋转到AC 位置，已知AB BD ⊥，BD 足分别为B ，D ，4AO m =， 1.6AB m =，1CO m =，则栏杆C 端应下降的垂直距离CD 为 ．14．（3分）如图，一次函数2y x =--与2y x m =+的图象相交于点(,4)P n -，则关于x 的不等式组2220x m x x +<--⎧⎨--<⎩的解集为 ．15．（3分）刘徵是我国古代最杰出的数学家之一，他在《九算术圆田术）中用“割圆术”证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法（注：圆周率=圆的周长与该圆直径的比值）“割圆术”就是以“圆内接正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”，刘徽形容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．刘徽计算圆周率是从正六边形开始的，易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每个三角形的边长均为圆的半径R ．此时圆内接正六边形的周长为6R ，如果将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，可得圆周率为3．当正十二边形内接于圆时，如果按照上述方法计算，可得圆周率为 ．（参考数据：sin 50.26)l ︒= 三、解答题：本大题共7小题，共55分 16．（6分）先化简，再求值：21(1)11xx x -÷+-，其中2sin451x =︒+． 17．（6分）老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形图（图1)和不完整的扇形图（图2)，其中条形图被墨迹遮盖了一部分． （1）求条形图中被遮盖的数，并写出册数的中位数；（2）在所抽查的学生中随机选一人谈读书感想，求选中读书超过5册的学生的概率； （3）随后又补查了另外几人，得知最少的读了6册，将其与之前的数据合并后，发现册数的中位数没改变，则最多补查了 人．18．（7分）已知：如图，以等边ABC ∆的边BC 为直径作O ，分别交AB ，AC 于点D ，E ，过点D 作DF AC ⊥交AC 于点F ． （1）求证：DF 是O 的切线；（2）若等边ABC ∆的边长为8，求由DE 、DF 、EF 围成的阴影部分面积．19．（8分）某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元． （1）从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？（2）在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，求2017年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励． 20．（8分）如图，一次函数4y x =+的图象与反比例函数(ky k x=为常数且0)k ≠的图象交于(1,)A a -，B 两点，与x 轴交于点C ． （1）求此反比例函数的表达式；（2）若点P 在x 轴上，且32ACP BOC S S ∆∆=，求点P 的坐标．21．（9分）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，P 为AB 的中点，Q 为边CD 上一动点，设(02)DQ t t =，线段PQ 的垂直平分线分别交边AD 、BC 于点M 、N ，过Q 作QE AB ⊥于点E ，过M 作MF BC ⊥于点F ．（1）当1t ≠时，求证：PEQ NFM ∆≅∆；（2）顺次连接P 、M 、Q 、N ，设四边形PMQN 的面积为S ，求出S 与自变量t 之间的函数关系式，并求S 的最小值．22．（11分）如图，直线334y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．抛物线238y x bx c =-++经过A 、B 两点，与x 轴的另一个交点为C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是第一象限抛物线上的点，连接OP 交直线AB 于点Q ．设点P 的横坐标为m ，PQ 与OQ 的比值为y ，求y 与m 的函数关系式，并求出PQ 与OQ 的比值的最大值； （3）点D 是抛物线对称轴上的一动点，连接OD 、CD ，设ODC ∆外接圆的圆心为M ，当sin ODC ∠的值最大时，求点M 的坐标．参考答案一、选择题：本大共10小题，每小题3分，共30分在每小题绘出的四个选项中，只有一项符合题目要求【分析】根据相反数的定义直接求得结果． 【解答】解：5-的相反数是5． 故选：C ．【点评】本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：把0.0813写成10(110n a a ⨯<，n 为整数）的形式，则a 为8.13， 故选：D ．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为10n a -⨯，其中1||10a <，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得图形的主视图．【解答】解：A 主视图是矩形，C 主视图是正方形，D 主视图是圆，故A 、C 、D 不符合题意；B 、主视图是三角形，故B 正确；故选：B ．【点评】本题考查了简单几何体的三视图，圆锥的主视图是三角形． 【分析】依据两直线平行，同位角相等，即可得到正确结论． 【解答】解：直线a ，b 被c ，d 所截，且//a b ， 34∴∠=∠，故选：B ．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等． 【分析】A 、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△0>，由此即可得出12x x ≠，结论A 正确；B 、根据根与系数的关系可得出12x x a +=，结合a 的值不确定，可得出B 结论不一定正确；C 、根据根与系数的关系可得出122x x =-，结论C 错误；D 、由122x x =-，可得出1x 、2x 异号，结论D 错误．综上即可得出结论．【解答】解：A △22()41(2)80a a =--⨯⨯-=+>， 12x x ∴≠，结论A 正确；B 、1x 、2x 是关于x 的方程220x ax --=的两根，12x x a ∴+=，a 的值不确定，B ∴结论不一定正确；C 、1x 、2x 是关于x 的方程220x ax --=的两根， 122x x ∴=-，结论C 错误；D 、122x x =-，1x ∴、2x 异号，结论D 错误．故选：A ．【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△0>时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．【分析】此题是中位数在生活中的运用， 知道自己的成绩以及全部成绩的中位数就可知道自己是否进入前 8 名 ．【解答】解： 15 名参赛选手的成绩各不相同， 第 8 名的成绩就是这组数据的中位数，所以选手知道自己的成绩和中位数就可知道自己是否进入前 8 名 ． 故选：B ．【点评】此题考查了中位数的意义 ． 中位数是将一组数据从小到大 （或 从大到小） 重新排列后， 最中间的那个数 （或 最中间两个数的平均数） ，叫做这组数据的中位数 ．【分析】根据垂径定理得出OE 的长，进而利用勾股定理得出BC 的长，再利用相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：连接OB ，AC 是O 的直径，弦BD AO ⊥于E ，8BD cm =，2AE cm =，在Rt OEB ∆中，222OE BE OB +=， 即2224(2)OE OE +=+ 解得：3OE =， 325OB ∴=+=， 538EC ∴=+=，在Rt EBC ∆中，22224845BC BE EC =+=+ OF BC ⊥，90OFC CEB ∴∠=∠=︒， C C ∠=∠， OFC BEC ∴∆∆∽， ∴OF OCBE BC =， 即445OF =， 解得：5OF =， 故选：D ．【点评】此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理得出OE 的长．【分析】连接BC ，由网格求出AB ，BC ，AC 的长，利用勾股定理的逆定理得到ABC ∆为等腰直角三角形，即可求出所求． 【解答】解：连接BC ，由网格可得5AB BC ==，10AC =，即222AB BC AC +=， ABC ∴∆为等腰直角三角形， 45BAC ∴∠=︒，则tan 1BAC ∠=， 故选：B ．【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．【分析】根据二次函数的性质一一判断即可． 【解答】解：抛物线对称轴1x =-，经过(1,0)， 12ba∴-=-，0a b c ++=， 2b a ∴=，3c a =-， 0a >， 0b ∴>，0c <， 0abc ∴<，故①错误，抛物线与x 轴有交点， 240b ac ∴->，故②正确，抛物线与x 轴交于(3,0)-， 930a b c ∴-+=，故③正确，点1(0.5,)y -，2(2,)y -均在抛物线上， 1.52->-，则12y y <；故④错误，5254320a b c a a a a -+=--=-<，故⑤正确，故选：B ．【点评】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【分析】根据图形可得甲可以拼一个边长为2的正方形，图乙可以拼一个边长为5的正方形．【解答】解：所作图形如图所示，甲乙都可以拼一个与原来面积相等的正方形．故选：A．【点评】本题考查了图形的简拼，解答本题的关键是根据题意作出图形．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式11122=-=．故答案为：12．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．【分析】317【解答】解：132<<，4175<，∴317a<a的值为2，故答案为：2．【点评】317【分析】由90ABO CDO∠=∠=︒、AOB COD∠=∠知ABO CDO∆∆∽，据此得AO AB CO CD=，将已知数据代入即可得．【解答】解：AB BD⊥，CD BD⊥，90ABO CDO∴∠=∠=︒，又AOB COD∠=∠，ABO CDO∴∆∆∽，则AO AB CO CD=， 4AO m =， 1.6AB m =，1CO m =， ∴4 1.61CD=， 解得：0.4CD =，∴栏杆C 端应下降的垂直距离CD 为0.4m ．故答案为：0.4．【点评】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．【分析】先将点(,4)P n -代入2y x =--，求出n 的值，再找出直线2y x m =+落在2y x =--的下方且都在x 轴下方的部分对应的自变量的取值范围即可．【解答】解：一次函数2y x =--的图象过点(,4)P n -，42n ∴-=--，解得2n =，(2,4)P ∴-，又2y x =--与x 轴的交点是(2,0)-，∴关于x 的不等式220x m x +<--<的解集为22x -<<．故答案为22x -<<．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确确定出n 的值，是解答本题的关键．【分析】连接1OA 、2OA ，根据正十二边形的性质得到1230AOA ∠=︒，△12A OA 是等腰三角形，作12OM A A ⊥于M ，根据等腰三角形三线合一的性质得出115AOM ∠=︒，1212A A A M =．设圆的半径R ，解直角△1A OM ，求出1A M ，进而得到正十二边形的周长L ，那么圆周率2L Rπ≈． 【解答】解：如图，设半径为R 的圆内接正十二边形的周长为L ．连接1OA 、2OA ，十二边形1212A A A ⋯是正十二边形，1230AOA ∴∠=︒．作12OM A A ⊥于M ，又12OA OA =，115AOM ∴∠=︒，1212A A A M =． 在直角△1A OM 中，111sin 0.26A M OA AOM R =∠=， 12120.52A A A M R ∴==， 1212 6.24L A A R ∴==，∴圆周率 6.24 3.1222L R R R π≈==． 故答案为3.12．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，正多边形和圆，等腰三角形的性质，求出正十二边形的周长L 是解题的关键．三、解答题：本大题共7小题，共55分【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式(1)(1)1x x x x x-+=+ 1x =-， 当22121x =+=时， 原式211-2=【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．【分析】（1）用读书为6册的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数分别减去读书为4册、6册和7册的人数得到读书5册的人数，然后根据中位数的定义求册数的中位数；（2）用读书为6册和7册的人数和除以总人数得到选中读书超过5册的学生的概率；（3）根据中位数的定义可判断总人数不能超过27，从而得到最多补查的人数．【解答】解：（1）抽查的学生总数为625%24÷=（人)，读书为5册的学生数为245649---=（人)，所以条形图中被遮盖的数为9，册数的中位数为5；（2）选中读书超过5册的学生的概率1052412==； （3）因为4册和5册的人数和为14，中位数没改变，所以总人数不能超过27，即最多补查了3人．故答案为3．【点评】本题考查了概率公式：随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．也考查了统计图和中位数．【分析】（1）连接CD 、OD ，先利用等腰三角形的性质证AD BD =，再证OD 为ABC ∆的中位线得//DO AC ，根据DF AC ⊥可得；（2）连接OE 、作OG AC ⊥，求出EF 、DF 的长及DOE ∠的度数，根据阴影部分面积EFDO DOE S S =-梯形扇形计算可得．【解答】解：（1）如图，连接CD 、OD ，BC 是O 的直径，90CDB ∴∠=︒，即CD AB ⊥，又ABC ∆是等边三角形，AD BD ∴=，BO CO =，DO ∴是ABC ∆的中位线，//OD AC ∴，DF AC ⊥，DF OD ∴⊥，DF ∴是O 的切线；（2）连接OE 、作OG AC ⊥于点G ，90OGF DFG ODF ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形OGFD 是矩形，4FG OD ∴==，OC OE OD OB ===，且60COE B ∠=∠=︒，OBD ∴∆和OCE ∆均为等边三角形，60BOD COE ∴∠=∠=︒，4CE OC ==，122EG CE ∴==、sin 60DF OG OC ==︒=60DOE ∠=︒， 2EF FG EG ∴=-=，则阴影部分面积为EFDO DOE S S -梯形扇形21604(24)2360π=⨯+⨯ 83π=． 【点评】本题主要考查了切线的判定与性质，等边三角形的性质，垂径定理等知识．判断直线和圆的位置关系，一般要猜想是相切，再证直线和半径的夹角为90︒即可．注意利用特殊的三角形和三角函数来求得相应的线段长．【分析】（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x ，根据2015年及2017年该地投入异地安置资金，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设2017年该地有a 户享受到优先搬迁租房奖励，根据投入的总资金=前1000户奖励的资金+超出1000户奖励的资金结合该地投入的奖励资金不低于500万元，即可得出关于a 的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．【解答】解：（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x ，根据题意得：21280(1)12801600x +=+，解得：10.550%x ==，2 2.5x =-（舍去）．答：从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%．（2）设2017年该地有a 户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意得：810004005400(1000)5000000a ⨯⨯+⨯-，解得：1900a ．答：2017年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，列出关于a 的一元一次不等式．【分析】（1）利用点A 在4y x =-+上求a ，进而代入反比例函数k y x=求k ． （2）联立方程求出交点，设出点P 坐标表示三角形面积，求出P 点坐标．【解答】解：（1）把点(1,)A a -代入4y x =+，得3a =，(1,3)A ∴-把(1,3)A -代入反比例函数k y x =3k ∴=-，∴反比例函数的表达式为3y x=- （2）联立两个函数的表达式得43y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩解得13x y =-⎧⎨=⎩或31x y =-⎧⎨=⎩∴点B 的坐标为(3,1)B -当40y x =+=时，得4x =-∴点(4,0)C -设点P 的坐标为(,0)x32ACP BOC S S ∆∆=∴1313|(4)|41222x ⨯⨯--=⨯⨯⨯ 解得16x =-，22x =-∴点(6,0)P -或(2,0)-【点评】本题是一次函数和反比例函数综合题，考查利用方程思想求函数解析式，通过联立方程求交点坐标以及在数形结合基础上的面积表达．【分析】（1）由四边形ABCD 是正方形得到90A B D ∠=∠=∠=︒，AD AB =，又由EQP FMN ∠=∠，而证得；（2）分为两种情况：①当E 在AP 上时，由点P 是边AB 的中点，2AB =，DQ AE t ==，又由勾股定理求得PQ ，由PEQ NFM ∆≅∆得到PQ 的值，又PQ MN ⊥求得面积S ，由t 范围得到S 的最小值；②当E 在BP 上时，同法可求S 的最小值．【解答】（1）证明：四边形ABCD 是正方形，90A B D ∴∠=∠=∠=︒，AD AB =，QE AB ⊥，MF BC ⊥，90AEQ MFB ∴∠=∠=︒，∴四边形ABFM 、AEQD 都是矩形，MF AB ∴=，QE AD =，MF QE ⊥，又PQ MN ⊥，190EQP ∴∠+∠=︒，290FMN ∠+∠=︒，12∠=∠，EQP FMN ∴∠=∠，又90QEP MFN ∠=∠=︒，PEQ NFM ∴∆≅∆；（2）解：分为两种情况：①当E 在AP 上时，点P 是边AB 的中点，2AB =，DQ AE t ==，1PA ∴=，1PE t =-，2QE =，由勾股定理，得PQ ==PEQ NFM ∆≅∆，MN PQ ∴==又PQ MN ⊥，221115[(1)4]2222S PQ MN t t t ∴==-+=-+， 02t ，∴当1t =时，2S =最小值．②当E 在BP 上时，点P 是边AB 的中点，2AB =，DQ AE t ==，1PA ∴=，1PE t =-，2QE =，由勾股定理，得222(1)4PQ QE PE t =+=-+，PEQ NFM ∆≅∆，2(1)4MN PQ t ∴==-+，又PQ MN ⊥，221115[(1)4]2222S PQ MN t t t ∴==-+=-+， 02t ，∴当1t =时，2S =最小值．综上：21522S t t =-+，S 的最小值为2．【点评】本题考查了正方形的性质，（1）由四边形ABCD 是正方形得到90A B D ∠=∠=∠=︒，AD AB =，又由EQP FMN ∠=∠，而证得；（2）由勾股定理求得PQ ，由PEQ NFM ∆≅∆得到PQ 的值，又PQ MN ⊥求得面积S ，由t 范围得到答案．【分析】（1）根据直线解析式求得点A 、B 的坐标，将两点的坐标代入抛物线解析式求解可得；（2）过点P 作y 轴的平行线交AB 于点E ，据此知PEQ OBQ ∆∆∽，根据对应边成比例得13y PE =，由233(,3)84P m m m -++、3(,3)4E m m -+得23382PE m m =-+，结合13y PE =可得函数解析式，利用二次函数性质得其最大值；（3）设CO 的垂直平分线与CO 交于点N ，知点M 在CO 的垂直平分线上，连接OM 、CM 、DM ，根据12ODC CMO OMN ∠=∠=∠、MC MO MD ==知1sin sin NO ODC OMN MO MO∠=∠==，当MD 取最小值时，sin ODC ∠最大，据此进一步求解可得．【解答】解：（1）在334y x =-+种，令0y =得4x =，令0x =得3y =， ∴点(4,0)A 、(0,3)B ，把(4,0)A 、(0,3)B 代入238y x bx c =-++，得： 2344083b c c ⎧-⨯++=⎪⎨⎪=⎩， 解得：343b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为233384y x x =-++；（2）如图1，过点P 作y 轴的平行线交AB 于点E ，则PEQ OBQ ∆∆∽，∴PQ PE OQ OB=， PQ y OQ=、3OB =， 13y PE ∴=，233(,3)84P m m m -++、3(,3)4E m m -+， 则2233333(3)(3)84482PE m m m m m =-++--+=-+， 2221331111()(2)3828282y m m m m m ∴=-+=-+=--+， 04m <<，∴当2m =时，12y =最大值， PQ ∴与OQ 的比值的最大值为12；（3）由抛物线233384y x x =-++易求(2,0)C -，对称轴为直线1x =， ODC ∆的外心为点M ，∴点M 在CO 的垂直平分线上，设CO 的垂直平分线与CO 交于点N ，连接OM 、CM 、DM ，则12ODC CMO OMN ∠=∠=∠、MC MO MD ==， 1sin sin NO ODC OMN MO MO∴∠=∠==， 又MO MD =，∴当MD 取最小值时，sin ODC ∠最大， 此时M 与直线1x =相切，2MD =， 223MN OM ON =-，∴点(1,3)M -，根据对称性，另一点(3)-也符合题意； 综上所述，点M 的坐标为(3)-或(1,3)--．【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及相似三角形的判定与性质、三角形的外心、圆的有关性质等知识点．。